Argentina 2001

PROBLEMA 1: El pez toxotes jaculator en acción

El “pez arquero” (toxotes jaculator) es un ejemplar muy particular de la fauna ictícola. Consigue su alimento cazando insectos (moscas, mosquitos u otros insectos de tamaño semejante) de una forma muy curiosa. El pez, una vez que identificó su presa (detenida sobre una hoja, por ejemplo), le escupe una gota de agua de masa $m$, que hace que el insecto caiga al agua, donde se lo come.

a) La posición de la imagen del insecto, vista por el pez está sobre la normal n (ver figura). Calcule el ángulo ${\theta }_0$ entre la normal a la superficie y la recta OM’ que pasa por el punto O y la imagen M’ del insecto .

b) Calcule la altura $h_i$ respecto del nivel del agua, a la que se encuentra la imagen M’del insecto, si este está a una altura $h=1\text{m}$.

c) Calcule la variación porcentual de $h_i$ si $\theta$ varía de $0^{\circ }$ a $20^{\circ }$. Use solo una cifra significatica para expresar su resultado.

d) El pez arquero lanza las gotas siempre a la misma velocidad inicial. Si la altura máxima a la que pueden llegar las gotas es $H=3\text{m}$, calcule la velocidad $v_0$ a la que lanza las gotas (desprecie el frenado de las gotas por causa de la viscosidad del aire).

Una mejor aproximación para resolver el punto d) es considerar el efecto de la fuerza de roce de las gotas con el aire:

e) Considere que la fuerza de rozamiento viscoso de la gota con el aire es $F_r$. Esta fuerza apunta siempre en el sentido opuesto al del movimiento. Cuando el valor de $F_r$ es mucho menor que $P$ ( donde $P$ es el peso de la gota) el efecto de la fuerza de roce, desde que sale la gota hasta que se detiene en el punto más alto de la trayectoria, se puede considerar como una fuerza de roce constante dada por $F_r=c{v}_0/2$ donde $v_0$ es la velocidad inicial de la gota. Calcule el valor de $v_0$.

Datos:

Aceleración de la gravedad: $g=10{\text{m/s}}^2$

Indice de refracción del agua : $n_{\text{agua}}=1.33$ Indice de refracción del aire: $n_{\text{aire}}=1$

$H=3\text{m}$ ; $m=6.5\times 10^{-2}\text{g}$ ; $c=8.2\times 10^{-6}\text{kg/s}$ ; $\theta =15^{\circ }$. O M’ M h ${\theta }_0$ $\theta$ ATENCIÓN: El gráfico no está hecho a escala n

Topic: Geometric Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Snell’s Law, Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

PROBLEMA 1: Pesce tossoccolo in azione

Il pez arquero (tossotte caculator) è un esemplare molto particolare della fauna ictica. Si nutre di insecte (mosche, zanzare o altri insetti di dimensioni In un modo molto curioso. Il pesce, una volta identificato la sua preda (detenuto La scarica di un’acqua di massa $m$, che fa sì che il l’insetto cade in acqua, dove lo mangia.

a) La posizione dell’immagine dell’insetto vista dal pesce è sopra la norma n (vedi figura). Calcolare l’angolo ${\theta }_0$ tra la norma alla superficie e la retta OM che passa attraverso il punto O e l ’ immagine M dell ’ insetto .

b) Calcolare l’altezza $h_i$ rispetto al livello dell’acqua, a cui si trova l’immagine Mdel insetto, se è a un’altezza $h=1\text{m}$.

c) Calcolare la variazione percentuale di $h_i$ se $\theta$ varia da $0^{\circ }$ a $20^{\circ }$. Usa solo un numero E’ un’operazione che ha un significato significativo per esprimere il suo risultato.

d) Il pesce arcoio lancia le gocce sempre alla stessa velocità iniziale. Se l’altezza massima la velocità di lancio delle gocce è $H=3\text{m}$, calcola la velocità $v_0$ (sprega la frenata delle gocce a causa della viscosità dell’aria).

Un approccio migliore per risolvere il punto (d) è quello di considerare l’effetto della forza di rastrate le gocce con l’aria:

e) Considerare che la forza di ruggine viscosissima della goccia con l’aria è $F_r$. Questa forza Il suo punto è sempre il contrario del movimento. Quando il valore di $F_r$ è molto inferiore a $P$ (dove $P$ è il peso della goccia) l’effetto della forza di rottura, da Se la goccia esce fino a quando non si ferma al punto più alto del percorso, si può considerato come una forza di rottura costante data da $F_r=c{v}_0/2$ in cui $v_0$ è la velocità iniziale della goccia. Calcolare il valore di $v_0$.

Dati:

Accelerazione della gravità: $g=10{\text{m/s}}^2$

Indice di refraczione dell’ acqua: $n_{\text{agua}}=1.33$ Indice di refraczione dell’aria: $n_{\text{aire}}=1$

$H=3\text{m}$ ; $m=6.5\times 10^{-2}\text{g}$ ; $c=8.2\times 10^{-6}\text{kg/s}$ ; $\theta =15^{\circ }$. O M’ M h ${\theta }_0$ $\theta$ Attenzione, Il grafico non è fatto a scala n

Topic: Geometric Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Snell’s Law, Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 1: The toxotic fish in action

The archery spider (jaculator toxotes) is a very particular specimen of the icticola fauna. Get your food by hunting insects (flies, mosquitoes or other insects of the same size) In a very curious way. The fish, once it identified its prey (held sobre una hoja, por ejemplo), le escupe una gota de agua de masa $m$, que hace que el The insect falls into the water, where it is eaten.

(a) The position of the insect image, seen by the fish, is above normal n (see figure). Calculate the angle ${\theta }_0$ between the normal to the surface and the OM straight passing through the point Or the M image of the insect .

(b) Calculate the height $h_i$ with respect to the water level, at which the Mdel image is located insect, if this is at a height $h=1\text{m}$.

(c) Calculate the percentage variation of $h_i$ if $\theta$ varies from $0^{\circ }$ to $20^{\circ }$. Use only one number It is a very important tool to express your result.

(d) The archer fish always tosses the drops at the same initial speed. If the maximum height The droplet rate is $H=3\text{m}$, calculate the speed $v_0$ at which the drops are dropped (disregard the braking of the drops because of the viscosity of the air).

A better approach to solving point (d) is to consider the effect of the force on the rub the drops with air:

(e) Consider that the viscous force of the drop with air is $F_r$. This force It always points in the opposite direction to the motion. When the value of $F_r$ is much less than $P$ (where $P$ is the weight of the drop) the effect of the brushing force, from If the drop comes out until it stops at the highest point of the trajectory, you can Consider as a constant brushing force given by $F_r=c{v}_0/2$ where $v_0$ is the the initial velocity of the droplet. Calculate the value of $v_0$.

The data:

Acceleration of gravity: $g=10{\text{m/s}}^2$

Water refractive index: $n_{\text{agua}}=1.33$ Air refractive index: $n_{\text{aire}}=1$

$H=3\text{m}$ ; $m=6.5\times 10^{-2}\text{g}$ ; $c=8.2\times 10^{-6}\text{kg/s}$ ; $\theta =15^{\circ }$. O M’ M h ${\theta }_0$ $\theta$

• What ‘s the matter ? The graph is not made on scale n

Topic: Geometric Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Snell’s Law, Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

PROBLEMA 2: Una misión en alta mar

Un buque oceanográfico parte en una misión para medir la concentración de oxígeno diluido en el agua de mar, en una región del océano Atlántico en el rango de 0 a 2000 metros de profundidad. La sonda de que se dispone está construida con acero, debido a que las presiones que debe soportar son muy altas. Ella tiene forma cilíndrica de radio $R=0.25\text{m}$ y de altura $L=1\text{m}$. Su masa es $M=500\text{kg}$. El enganche entre la sonda y el cable para levantarla es un acople roscado. Todo el acople, una vez enroscado, queda incluido dentro del cilindro de la sonda y su masa está incluida en la masa de la sonda. Una vez preparada la sonda se la transfiere a la grúa que la va a sumergir hasta los $2000\text{m}$ de profundidad. El cable de acero, de $1.5\text{cm}$ de diámetro, tiene una densidad de $5500{\text{kg/m}}^3$.

En la figura se muestra el esquema de la grua del barco.

El punto $A_1$ es el punto a partir del cual el cable no hace contacto con la polea y está a $15\text{m}$ sobre el nivel del mar. $A_2$ es el punto donde termina el cable y empieza la sonda, mientras $A_3$ indica el centro geométrico de la sonda el cual coincide con su centro de masa.

Si la sonda desciende con velocidad constante:

a) Calcule la fuerza que está haciendo el cable en $A_2$ cuando $A_3$ está a un metro sobre el nivel del mar. b) Calcule la fuerza que está haciendo el cable en $A_2$ cuando $A_3$ está a un metro por debajo del nivel del mar. c) Calcule la fuerza que hace el cable en $A_1$ cuando $A_3$ está a $2000\text{m}$ por debajo del nivel del mar.

Una vez terminadas las mediciones se empieza a enrollar el cable. Cuando $A_3$ está a medio metro por debajo del nivel del mar, el diámetro de la bobina en la que está enrollado el cable es $D=64\text{cm}$ y el eje de la bobina está a nivel del mar.

A1 A2 A3 15m NIVEL DEL MAR sonda d) Grafique la fuerza que hace el cable en el punto $A_2$ desde que $A_3$ está a $0.5\text{m}$ por debajo del nivel del mar hasta que $A_3$ está a $1.5\text{m}$ sobre el nivel del mar.

e) Calcule el trabajo realizado por el motor que enrolla el cable, para llevar $A_3$ desde $0.5\text{m}$ por debajo del nivel del mar hasta $1.5\text{m}$ por encima del nivel del mar. Desprecie el rozamiento en los ejes de todas las poleas.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Cylinder, String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.4

PROBLEMA 2: Una missione in alto mare

Una nave oceanografica parte per una missione di misurazione della concentrazione di ossigeno diluito in acqua di mare, in una regione dell’oceano Atlantico nella gamma 0 a 2000 metri di profondità. La sonda che si dispone è costruita in acciaio, perché le pressioni che deve sopportare sono molto alte. Ha una forma cilindrica di radio $R=0.25\text{m}$ e di altezza $L=1\text{m}$. La sua massa è $M=500\text{kg}$. Il collegamento tra la sonda e il cavo per sollevarla è un accoppiamento Rostato. L’intero cupolo, una volta incrociato, viene incluso all’interno del cilindro della sonda. e la sua massa è inclusa nella massa della sonda. Una volta che la sonda è pronta, la trasforma al grilletto che la immerge fino a $2000\text{m}$ di profondità. Il cavo in acciaio, di $1.5\text{cm}$ di diametro, ha una densità di $5500{\text{kg/m}}^3$.

La figura mostra lo schema della gru della nave.

Il punto $A_1$ è il punto da cui il cavo non entra in contatto con la polea e è a $15\text{m}$ sul livello del mare. $A_2$ è il punto in cui il cavo termina e la sonda inizia, mentre $A_3$ indica il centro geometrico della sonda che coincide con il suo centro di massa.

Se la sonda scende a velocità costante:

a) Calcolare la forza che il cavo sta facendo in $A_2$ quando $A_3$ è a un metro sopra il livello del mare. b) Calcolare la forza che il cavo sta facendo a $A_2$ quando $A_3$ è a un metro di sotto del livello del mare. c) Calcolare la forza del cavo a $A_1$ quando $A_3$ è $2000\text{m}$ al di sotto del livello dal mare.

Una volta terminate le misure, il cavo inizia a rotolare. Quando $A_3$ è a metà metro sotto il livello del mare, il diametro della bobina in cui è rotolato il il cavo è $D=64\text{cm}$ e l’asse della bobina è a livello del mare.

A1 A2 A3 15m NELVELLO DEL MAR sonda d) Graficare la forza del cavo al punto $A_2$ dal momento che $A_3$ è $0.5\text{m}$ sotto La temperatura del livello del mare fino a quando $A_3$ è $1.5\text{m}$ sul livello del mare.

e) Calcolare il lavoro svolto dal motore che rimuove il cavo, per portare $A_3$ da $0.5\text{m}$ sotto il livello del mare fino a $1.5\text{m}$ sopra il livello del mare. Disprezza il Raggiustamento sugli assi di tutte le pollice.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Cylinder, String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.4

PROBLEM 2: A mission on the high seas

An oceanographic vessel sets out on a mission to measure the concentration of dissolved oxygen in seawater, in a region of the Atlantic Ocean in the range of 0 to 2000 meters depth. The probe available is made of steel, because the pressures it must withstand are very high. It has a cylindrical shape with radius $R=0.25\text{m}$ and height $L=1\text{m}$. Its mass is $M=500\text{kg}$. The coupling between the probe and the cable to lift it is a threaded coupling. The entire coupling, once screwed on, is contained within the cylinder of the probe and its mass is included in the mass of the probe. Once the probe is prepared, it is transferred to the crane that will submerge it to a depth of $2000\text{m}$. The steel cable, with a diameter of $1.5\text{cm}$, has a density of $5500{\text{kg/m}}^3$.

The figure shows the schematic of the ship’s crane.

Point $A_1$ is the point from which the cable no longer makes contact with the pulley and is $15\text{m}$ above sea level. $A_2$ is the point where the cable ends and the probe begins, while $A_3$ indicates the geometric center of the probe, which coincides with its center of mass.

If the probe descends at constant velocity:

a) Calculate the force that the cable is exerting at $A_2$ when $A_3$ is one meter above sea level. b) Calculate the force that the cable is exerting at $A_2$ when $A_3$ is one meter below sea level. c) Calculate the force that the cable exerts at $A_1$ when $A_3$ is $2000\text{m}$ below sea level.

Once the measurements are finished, the cable begins to be wound. When $A_3$ is half a meter below sea level, the diameter of the reel on which the cable is wound is $D=64\text{cm}$ and the axis of the reel is at sea level.

A1 A2 A3 15m SEA LEVEL probe d) Graph the force that the cable exerts at point $A_2$ from when $A_3$ is $0.5\text{m}$ below sea level until $A_3$ is $1.5\text{m}$ above sea level.

e) Calculate the work done by the motor that winds the cable, to bring $A_3$ from $0.5\text{m}$ below sea level to $1.5\text{m}$ above sea level. Neglect friction in the axes of all the pulleys.

PROBLEMA 3: Control de calidad

Una importante joyería adquiere barras de platino para ser utilizadas en la construcción de joyas. Las barras, del denominado platino 950 (lo cual significa una aleación que posee en su contenido un 95% de platino), son cilindros de 1 m de longitud y 1 cm de diámetro. El gerente de la firma recibe información de que posiblemente están siendo víctimas de una estafa, pues le estarían proveyendo barras de oro blanco de 18 kilates (aleación de oro y níquel) bañadas en platino. Esta duda induce al directorio de la empresa a introducir un control de calidad en la recepción de la materia prima. Este tipo de control no es fácil de implementar, pues como la densidad de ambos metales preciosos es muy similar, sería necesario hacer un análisis químico a todas las barras lo cual implica destruir una parte de las barras de platino, contratar personal especializado y demorar el ingreso del material por el tiempo que insume este análisis. Si el baño de platino tiene un espesor de 1 mm tampoco sería útil un análisis por difracción de rayos X y/o fluorescencia de rayos X. Ante este sombrío panorama la empresa decide contratarlo a Ud. para que proponga una solución al problema, tarea en la que nosotros trataremos de guiarlo dentro de lo posible. Como primera tarea Ud. recopila información sobre ambos metales para tratar de profundizar su conocimiento sobre ellos. De toda la información obtenida se destacan los siguientes datos:

Propiedad Platino 950 Oro blanco 18 K Densidad (${\text{g/cm}}^3$) 19,25 19,20 Conductividad $(\Omega \cdot \text{cm}{)}^{-1}$ 94339,6 454545,5 Costo (U$S/g) 14,8 8,4

De los datos recopilados resalta la notoria diferencia que existe entre la conductividad eléctrica de ambos metales y esto lo lleva a Ud. a proponer que el control de la materia prima se realice mediante la medición de la resistencia eléctrica de las barras. Esta medición se puede hacer utilizando el siguiente dispositivo:

(Los electrodos son para asegurar un buen contacto eléctrico en los extremos, tienen longitud despreciable y su resistencia eléctrica también es despreciable, comparada con la resistencia del material en estudio).

Electrodo Electrodo Barra de Platino Amperímetro Fuente de tensión Al escuchar su propuesta, un gerente de la joyería propone como alternativa un método más simple, operativamente, basado en pesar las barras y detectar las barras adulteradas a partir del peso de las mismas.

A continuación nosotros le indicaremos qué cálculos debe realizar para confeccionar el informe en el cual Ud. demostrará la viabilidad de su propuesta.

a) Calcule el peso de una barra de platino no adulterada.

b) Calcule el peso de una barra de platino adulterada como la mostrada en la figura.

Suponga que las dimensiones son $R_1=0,4\text{cm}$; $R_2=0,5\text{cm}$; $L=1\text{m}$ y $L_1=0,98\text{m}$.

c) Suponiendo que las barras de platino son construidas con una variación en su longitud menor al $0,5\%$, determine si es posible detectar las barras adulteradas a partir del peso de las mismas.

d) Calcule el perjuicio económico que le ocasionaría a la joyería cada barra falsa, si fueran como las que corresponden a las dimensiones del punto b).

e) Encuentre una expresión para la resistencia de una barra de platino sólida de radio $R$ y longitud $L$. Para ello Ud. puede utilizar la expresión $J=\sigma E$; donde $J$ es la densidad de corriente en el material (corriente por unidad de área de la sección transversal de la barra); $\sigma$ es la conductividad eléctrica del material y $E$ es la intensidad del campo eléctrico dentro del material. En nuestro caso el campo eléctrico en el interior de la barra es constante y su valor es $V/L$; donde $V$ es la diferencia de potencial que se aplica a los extremos de la barra y $L$ es la longitud de la barra.

f) Encuentre, como primera aproximación al problema real, una expresión para la resistencia de una barra de oro blanco de radio $R_1$ bañada en su superficie lateral por una capa de platino de espesor $d$ como se muestra en la figura.

R1 R2 R2 - R1 = d L R2 L R1 L1 Oro Pt g) Finalmente, encuentre una expresión para la resistencia de una barra de oro blanco, de longitud $L_1$ y radio $R_1$, totalmente recubierta por platino (en su superficie lateral y bases) como se muestra en la figura. Note que el espesor en las bases no es necesariamente idéntico al espesor en la superficie lateral.

h) Calcule la precisión que debe tener el sistema de medición de resistencias para poder detectar las barras fraudulentas, suponiendo que las dimensiones sean $R_1=0,4\text{cm}$; $R_2=0,5\text{cm}$; $L=1\text{m}$ y $L_1=0,98\text{m}$.

R2 L R1 L1 OLIMPIADA ARGENTINA DE FISICA 2001

OAF’2001

PRUEBA EXPERIMENTAL- 15 de Octubre de 2001

• Escriba su nombre en todas las hojas y enumere las mismas. • Recuerde que no se puede utilizar calculadoras programables ni ningún otro material que no esté incluido en la prueba, aparte de los útiles de escritura. • Antes de empezar a trabajar en la prueba experimental, lea cuidadosamente TODO el enunciado de la misma. • Ud. dispone de 4 (cuatro) horas para realizar la prueba.

Nombre:

Número de hojas entregadas: Elementos

Se lista seguidamente los materiales y aparatos experimentales disponibles para la realización del experimento.

1. Fuente de tensión de 10 – 12 Voltios.
2. Calefactor montado sobre base.
3. Voltímetro digital (indicado en la Figura 1 con V).
4. Amperímetro (indicado en la Figura 1 con A).
5. Cilindro hueco de aluminio con superficie pulida.
6. Termocupla (hierro constantan).
7. Un recipiente térmico aislado.
8. Hielo y agua.
9. Un voltímetro digital (indicado mV en la Figura 1).
10. Tabla de calibración de la termocupla.
11. Cables para las conexiones eléctricas.
12. Vela y fósforos para el ennegrecido del cilindro.
13. Varilla soporte. DETERMINACION DE LA CONSTANTE DE STEFAN-BOLTZMANN

Consideraciones teóricas

La potencia térmica $P_{\text{rad}}$ emitida como radiación por un objeto con una superficie exterior de área $S$ a la temperatura absoluta $T_E$ , en un ambiente a temperatura absoluta $T_O$ , está dada por la siguiente fórmula:

$P_{\text{rad}}=\sigma eS\left(T_E^4-T_O^4\right)$

donde $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann y $e$ es una constante llamada de emisividad. Para un cuerpo que absorbe toda la energía que le llega en forma de radiación es $e=1$ (cuerpo negro) y para un cuerpo que refleja toda la energía que le llega en forma de radiación es $e=0$ (reflector ideal).

Por otro lado, un objeto a temperatura mayor que la del ambiente disipa energía térmica a través de mecanismos no radiativos: conducción y convección del aire circundante $P_{\text{conv}}$ .

En el caso de la disipación por convección, la potencia perdida por el cuerpo está dada, en principio, por la siguiente formula:

$P_{\text{conv}}=k\left(T_P-T_O\right)$

donde $k$ es una constante, $T_P$ es la temperatura del objeto y $T_O$ es la del ambiente. En base a los diferentes procesos físicos descriptos, pueden formularse dos métodos experimentales para la determinación de la constante de Stefan-Boltzmann.

1. Método de la potencia constante:

En este método, se calienta el cilindro pulido y el cilindro ennegrecido mediante un calefactor eléctrico, al que se le entrega una potencia $P_{\text{elect}}$ dada por:

$P_{\text{elect}}=V\cdot I$

donde $V$ es la diferencia de potencial entre los terminales de la resistencia calefactora e $I$ es la corriente eléctrica que circula por la misma. Luego de algún tiempo, durante el cual circula corriente por el calefactor, la temperatura del cilindro (pulido o del ennegrecido según sea el caso) no cambia mas en el tiempo; esto es, se ha alcanzado un estado estacionario. En este estado, toda la potencia eléctrica que se entrega para calentar el cilindro es disipada al medio ambiente, o sea:

$P_{\text{elect}}=P_{\text{rad}}+P_{\text{conv}}$

donde se han despreciado las perdidas por conducción.

Si se indica con $T_P$ la temperatura alc

Topic: Thermodynamics, Circuits, Electrostatics Metodi: First Law of Thermodynamics, Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.6

PROBLEMA 3: Controllo di qualità

Una importante gioielleria acquista barre di platino da utilizzare nella costruzione di gioielli. Le barre, del cosiddetto platino 950 (il che significa una lega che contiene il 95% di platino), sono cilindri di 1 m di lunghezza e 1 cm di diametro. Il direttore dell’azienda riceve l’informazione che probabilmente stanno subendo una truffa, poiché gli fornirebbero barre di oro bianco a 18 carati (lega di oro e nichel) placcate in platino. Questo dubbio induce il consiglio di amministrazione dell’azienda a introdurre un controllo di qualità al ricevimento della materia prima. Questo tipo di controllo non è facile da implementare, poiché, essendo la densità dei due metalli preziosi molto simile, sarebbe necessario fare un’analisi chimica a tutte le barre, il che implica distruggere una parte delle barre di platino, assumere personale specializzato e ritardare l’ingresso del materiale per il tempo che richiede questa analisi. Se la placcatura di platino ha uno spessore di 1 mm, non sarebbe utile neppure un’analisi per diffrazione di raggi X e/o fluorescenza di raggi X. Davanti a questo cupo panorama l’azienda decide di assumere Lei per proporre una soluzione al problema, compito in cui noi cercheremo di guidarla per quanto possibile. Come primo compito Lei raccoglie informazioni su entrambi i metalli per cercare di approfondire la sua conoscenza su di essi. Di tutte le informazioni ottenute si evidenziano i seguenti dati:

Proprietà Platino 950 Oro bianco 18 K Densità (${\text{g/cm}}^3$) 19,25 19,20 Conducibilità $(\Omega \cdot \text{cm}{)}^{-1}$ 94339,6 454545,5 Costo (U$S/g) 14,8 8,4

Dai dati raccolti emerge la notevole differenza che esiste tra la conducibilità elettrica dei due metalli e questo la porta a proporre che il controllo della materia prima venga effettuato mediante la misurazione della resistenza elettrica delle barre. Questa misurazione può essere fatta utilizzando il seguente dispositivo:

(Gli elettrodi servono ad assicurare un buon contatto elettrico alle estremità, hanno lunghezza trascurabile e anche la loro resistenza elettrica è trascurabile, rispetto alla resistenza del materiale in esame).

Elettrodo Elettrodo Barra di Platino Amperometro Sorgente di tensione Sentendo la sua proposta, un dirigente della gioielleria propone come alternativa un metodo più semplice, operativamente, basato sul pesare le barre e individuare le barre adulterate a partire dal loro peso.

Di seguito noi le indicheremo quali calcoli deve eseguire per redigere il rapporto nel quale lei dimostrerà la fattibilità della sua proposta.

a) Calcoli il peso di una barra di platino non adulterata.

b) Calcoli il peso di una barra di platino adulterata come quella mostrata in figura.

Supponga che le dimensioni siano $R_1=0,4\text{cm}$; $R_2=0,5\text{cm}$; $L=1\text{m}$ e $L_1=0,98\text{m}$.

c) Supponendo che le barre di platino siano costruite con una variazione della loro lunghezza inferiore a $0,5\%$, determini se è possibile individuare le barre adulterate a partire dal loro peso.

d) Calcolare il danno economico che ogni barra falsa causerebbe alla gioielleria, se fossero come quelle che corrispondono alle dimensioni del punto b).

e) Trovare un’espressione per la resistenza di una barra di platino solida di raggio $R$ e lunghezza $L$. A tal fine si può utilizzare l’espressione $J=\sigma E$; dove $J$ è la densità di corrente nel materiale (corrente per unità di area della sezione trasversale della barra); $\sigma$ è la conducibilità elettrica del materiale e $E$ è l’intensità del campo elettrico all’interno del materiale. Nel nostro caso il campo elettrico all’interno della barra è costante e il suo valore è $V/L$; dove $V$ è la differenza di potenziale applicata agli estremi della barra e $L$ è la lunghezza della barra.

f) Trovare, come prima approssimazione al problema reale, un’espressione per la resistenza di una barra di oro bianco di raggio $R_1$ rivestita sulla sua superficie laterale da uno strato di platino di spessore $d$ come mostrato in figura.

R1 R2 R2 - R1 = d L R2 L R1 L1 Oro Pt g) Infine, trovare un’espressione per la resistenza di una barra di oro bianco, di lunghezza $L_1$ e raggio $R_1$, completamente rivestita di platino (sulla sua superficie laterale e sulle basi) come mostrato in figura. Si noti che lo spessore sulle basi non è necessariamente identico allo spessore sulla superficie laterale.

h) Calcolare la precisione che deve avere il sistema di misura delle resistenze per poter individuare le barre fraudolente, supponendo che le dimensioni siano $R_1=0,4\text{cm}$; $R_2=0,5\text{cm}$; $L=1\text{m}$ e $L_1=0,98\text{m}$.

R2 L R1 L1 OLIMPIADA ARGENTINA DE FISICA 2001

OAF’2001

PROVA SPERIMENTALE - 15 ottobre 2001

• Scrivere il proprio nome su tutti i fogli e numerarli. • Ricordare che non si possono usare calcolatrici programmabili né qualsiasi altro materiale non incluso nella prova, a parte gli strumenti di scrittura. • Prima di iniziare a lavorare alla prova sperimentale, leggere attentamente TUTTO l’enunciato della stessa. • Si dispone di 4 (quattro) ore per svolgere la prova.

Nome:

Numero di fogli consegnati: Elementi

Si elencano di seguito i materiali e gli apparecchi sperimentali disponibili per l’esecuzione dell’esperimento.

1. Sorgente di tensione da 10 – 12 Volt.
2. Riscaldatore montato su base.
3. Voltmetro digitale (indicato nella Figura 1 con V).
4. Amperometro (indicato nella Figura 1 con A).
5. Cilindro cavo di alluminio con superficie lucidata.
6. Termocoppia (ferro costantana).
7. Un recipiente termico isolato.
8. Ghiaccio e acqua.
9. Un voltmetro digitale (indicato mV nella Figura 1).
10. Tabella di calibrazione della termocoppia.
11. Cavi per i collegamenti elettrici.
12. Candela e fiammiferi per l’annerimento del cilindro.
13. Asta di supporto. DETERMINAZIONE DELLA COSTANTE DI STEFAN-BOLTZMANN

Considerazioni teoriche

La potenza termica $P_{\text{rad}}$ emessa come radiazione da un oggetto con una superficie esterna di area $S$ alla temperatura assoluta $T_E$, in un ambiente a temperatura assoluta $T_O$, è data dalla seguente formula:

$P_{\text{rad}}=\sigma eS\left(T_E^4-T_O^4\right)$

dove $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann e $e$ è una costante chiamata emissività. Per un corpo che assorbe tutta l’energia che gli arriva sotto forma di radiazione è $e=1$ (corpo nero) e per un corpo che riflette tutta l’energia che gli arriva sotto forma di radiazione è $e=0$ (riflettore ideale).

D’altra parte, un oggetto a temperatura maggiore di quella dell’ambiente dissipa energia termica attraverso meccanismi non radiativi: conduzione e convezione dell’aria circostante $P_{\text{conv}}$.

Nel caso della dissipazione per convezione, la potenza persa dal corpo è data, in linea di principio, dalla seguente formula:

$P_{\text{conv}}=k\left(T_P-T_O\right)$

dove $k$ è una costante, $T_P$ è la temperatura dell’oggetto e $T_O$ è quella dell’ambiente. In base ai diversi processi fisici descritti, possono essere formulati due metodi sperimentali per la determinazione della costante di Stefan-Boltzmann.

1. Metodo della potenza costante:

In questo metodo, si riscaldano il cilindro lucidato e il cilindro annerito mediante un riscaldatore elettrico, al quale viene fornita una potenza $P_{\text{elect}}$ data da:

$P_{\text{elect}}=V\cdot I$

dove $V$ è la differenza di potenziale tra i terminali della resistenza riscaldante e $I$ è la corrente elettrica che vi circola. Dopo un certo tempo, durante il quale circola corrente attraverso il riscaldatore, la temperatura del cilindro (lucidato o annerito a seconda del caso) non cambia più nel tempo; cioè si è raggiunto uno stato stazionario. In questo stato, tutta la potenza elettrica fornita per riscaldare il cilindro viene dissipata verso l’ambiente circostante, ovvero:

$P_{\text{elect}}=P_{\text{rad}}+P_{\text{conv}}$

dove sono state trascurate le perdite per conduzione.

Se si indica con $T_P$ la temperatura rag

PROBLEM 3: Quality control

An important jewelry store acquires platinum bars to be used in the construction of jewelry. The bars, of the so-called 950 platinum (which means an alloy that contains 95% platinum), are cylinders 1 m long and 1 cm in diameter. The manager of the firm receives information that they may be victims of a scam, since they would be supplying bars of 18-karat white gold (an alloy of gold and nickel) plated with platinum. This doubt induces the company’s board of directors to introduce quality control upon receipt of the raw material. This type of control is not easy to implement, because since the density of both precious metals is very similar, it would be necessary to perform a chemical analysis on all the bars, which implies destroying part of the platinum bars, hiring specialized personnel, and delaying the entry of the material for the time this analysis takes. If the platinum plating has a thickness of 1 mm, an analysis by X-ray diffraction and/or X-ray fluorescence would also not be useful. Faced with this bleak outlook, the company decides to hire you to propose a solution to the problem, a task in which we will try to guide you as much as possible. As a first task, you gather information about both metals to try to deepen your knowledge about them. From all the information obtained, the following data stand out:

Property Platinum 950 White gold 18 K Density (${\text{g/cm}}^3$) 19.25 19.20 Conductivity $(\Omega \cdot \text{cm}{)}^{-1}$ 94339.6 454545.5 Cost (US$/g) 14.8 8.4

From the collected data, the notable difference between the electrical conductivity of both metals stands out, and this leads you to propose that the control of the raw material be carried out by measuring the electrical resistance of the bars. This measurement can be done using the following device:

(The electrodes are to ensure good electrical contact at the ends; they have negligible length and their electrical resistance is also negligible compared to the resistance of the material under study).

Electrode Electrode Platinum bar Ammeter Voltage source Upon hearing your proposal, a manager of the jewelry store proposes as an alternative a simpler method, operationally, based on weighing the bars and detecting adulterated bars from their weight.

Next we will indicate what calculations you must perform to prepare the report in which you will demonstrate the feasibility of your proposal.

a) Calculate the weight of a non-adulterated platinum bar.

b) Calculate the weight of an adulterated platinum bar like the one shown in the figure.

Assume that the dimensions are $R_1=0,4\text{cm}$; $R_2=0,5\text{cm}$; $L=1\text{m}$ and $L_1=0,98\text{m}$.

c) Assuming that the platinum bars are manufactured with a variation in their length of less than $0,5\%$, determine whether it is possible to detect adulterated bars from their weight.

d) Calculate the economic loss that each fake bar would cause to the jewelry store, if they were like those corresponding to the dimensions of point b).

e) Find an expression for the resistance of a solid platinum bar of radius $R$ and length $L$. To do this, you may use the expression $J=\sigma E$; where $J$ is the current density in the material (current per unit area of the cross-section of the bar); $\sigma$ is the electrical conductivity of the material and $E$ is the magnitude of the electric field inside the material. In our case the electric field inside the bar is constant and its value is $V/L$; where $V$ is the potential difference applied to the ends of the bar and $L$ is the length of the bar.

f) Find, as a first approximation to the real problem, an expression for the resistance of a white gold bar of radius $R_1$ coated on its lateral surface by a platinum layer of thickness $d$ as shown in the figure.

R1 R2 R2 - R1 = d L R2 L R1 L1 Gold Pt g) Finally, find an expression for the resistance of a white gold bar, of length $L_1$ and radius $R_1$, fully coated with platinum (on its lateral surface and bases) as shown in the figure. Note that the thickness on the bases is not necessarily identical to the thickness on the lateral surface.

h) Calculate the precision that the resistance measurement system must have in order to detect the fraudulent bars, assuming that the dimensions are $R_1=0,4\text{cm}$; $R_2=0,5\text{cm}$; $L=1\text{m}$ and $L_1=0,98\text{m}$.

R2 L R1 L1 ARGENTINE OLYMPIAD OF PHYSICS 2001

OAF’2001

EXPERIMENTAL TEST - October 15, 2001

• Write your name on all sheets and number them. • Remember that programmable calculators may not be used, nor any other material not included in the test, apart from writing utensils. • Before starting to work on the experimental test, carefully read ALL the statement of the test. • You have 4 (four) hours to carry out the test.

Name:

Number of sheets submitted: Elements

The materials and experimental apparatus available for carrying out the experiment are listed below.

1. Voltage source of 10 – 12 Volts.
2. Heater mounted on a base.
3. Digital voltmeter (indicated in Figure 1 with V).
4. Ammeter (indicated in Figure 1 with A).
5. Hollow aluminum cylinder with polished surface.
6. Thermocouple (iron constantan).
7. An insulated thermal container.
8. Ice and water.
9. A digital voltmeter (indicated mV in Figure 1).
10. Calibration table of the thermocouple.
11. Cables for the electrical connections.
12. Candle and matches for blackening the cylinder.
13. Support rod. DETERMINATION OF THE STEFAN-BOLTZMANN CONSTANT

Theoretical considerations

The thermal power $P_{\text{rad}}$ emitted as radiation by an object with an outer surface of area $S$ at absolute temperature $T_E$, in an environment at absolute temperature $T_O$, is given by the following formula:

$P_{\text{rad}}=\sigma eS\left(T_E^4-T_O^4\right)$

where $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant and $e$ is a constant called emissivity. For a body that absorbs all the energy that reaches it in the form of radiation, $e=1$ (black body), and for a body that reflects all the energy that reaches it in the form of radiation, $e=0$ (ideal reflector).

On the other hand, an object at a temperature higher than that of the environment dissipates thermal energy through non-radiative mechanisms: conduction and convection of the surrounding air $P_{\text{conv}}$.

In the case of dissipation by convection, the power lost by the body is given, in principle, by the following formula:

$P_{\text{conv}}=k\left(T_P-T_O\right)$

where $k$ is a constant, $T_P$ is the temperature of the object and $T_O$ is that of the environment. Based on the different physical processes described, two experimental methods can be formulated for the determination of the Stefan-Boltzmann constant.

1. Constant power method:

In this method, the polished cylinder and the blackened cylinder are heated by means of an electric heater, to which a power $P_{\text{elect}}$ is supplied, given by:

$P_{\text{elect}}=V\cdot I$

where $V$ is the potential difference between the terminals of the heating resistor and $I$ is the electric current flowing through it. After some time, during which current flows through the heater, the temperature of the cylinder (polished or blackened, as the case may be) no longer changes over time; that is, a steady state has been reached. In this state, all the electrical power supplied to heat the cylinder is dissipated to the environment, that is:

$P_{\text{elect}}=P_{\text{rad}}+P_{\text{conv}}$

where conduction losses have been neglected.

If $T_P$ denotes the temperature rea