Argentina 2002

Problema 1: El Termómetro de Galileo

En búsqueda de un método preciso de medición de temperaturas, en el año 1597 Galileo desarrolló el primer termómetro científico. Si bien con el paso de los años el desarrollo original de Galileo fue cambiando, su forma actual es escencialmente la misma que la propuesta por el sabio italiano.

El termómetro de Galileo consiste de un tubo de vidrio vertical, cerrado en ambos extremos, que contiene un líquido en el que se encuentran varias esferas flotantes, etiquetadas con distintos valores de temperatura (ver figura adjunta). Cada una de estas esferas posee un peso particular. El principio de funcionamiento del termómetro está basado en la dilatación y contracción del líquido contenido en el tubo, debido a sus cambios de temperatura. Como consecuencia de ello, la densidad del líquido varía con la temperatura, produciéndose, así, cambios en el estado de flotación de las esferas. Esto nos indicará los distintos valores de temperatura a las que se encuentra el líquido en el cual están sumergidas las esferas.

Suponga que Ud. debe diseñar y construir un termómetro de Galileo. Para ello se le entrega:

1. una cierta cantidad de alcohol, el cual deberá usar como líquido en el que se sumergen las esferas; 2) cinco esferas vacías de 3 cm de diámetro cuando están a $18{}^{\circ }\text{C}$, de 6 gr de masa cada una y de pared con espesor despreciable; 3) cierta cantidad de agua destilada con la cual podrá rellenar las esferas en distintas cantidades con el objeto de obtener un peso diferente para cada una de ellas y 4) una tabla de densidades para el alcohol a distintas temperaturas.

Ud. podrá cerrar fácilmente y herméticamente cada una de las esferas de forma tal que el líquido contenido en ellas no pueda derramarse ni evaporarse. Inicialmente supondremos que el material con el que están construidas las esferas no se dilata ni se contrae con los cambios de temperatura. Los rótulos que usará para identificar a cada una de las esferas tienen peso despreciable.

a) Exprese la condición de flotación, para cualquiera de las esferas, a una cierta temperatura dada, $T$.

b) Calcule la masa de agua que debe colocar en cada una de las esferas para que las mismas permitan medir las temperaturas de $18{}^{\circ }\text{C}$, $20{}^{\circ }\text{C}$, $22{}^{\circ }\text{C}$, $24{}^{\circ }\text{C}$ y $26{}^{\circ }\text{C}$. Suponga que la densidad del agua destilada es $1,0{\text{gr/cm}}^3$ y que no cambia con la temperatura en ese rango.

c) Suponga ahora que desea construir el termómetro de Galileo como una instrumento de medición más preciso. Para ello ha decidido tomar en cuenta la dilatación (o contracción) del material con el que están construídas las esferas. El coeficiente de dilatación volumétrica de ese material es $\alpha =6,8\times 10^{-5}1/{}^{\circ }\text{C}$. ¿En cuánto difieren los valores de temperatura anteriormente asignados, a cada una de las esferas, con los que resultan al tener en cuenta la dilatación (o contracción) de las esferas?

Suponga en este caso también que la densidad del agua destilada es constante en el rango de temperaturas considerado.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Container Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 1: Il Termometro di Galileo

Alla ricerca di un metodo preciso di misurazione delle temperature, nell’anno 1597 Galileo sviluppò il primo termometro scientifico. Sebbene con il passare degli anni lo sviluppo originale di Galileo sia cambiato, la sua forma attuale è essenzialmente la stessa di quella proposta dal sapiente italiano.

Il termometro di Galileo consiste in un tubo di vetro verticale, chiuso a entrambe le estremità, che contiene un liquido nel quale si trovano diverse sfere galleggianti, etichettate con diversi valori di temperatura (vedi figura allegata). Ognuna di queste sfere possiede un peso particolare. Il principio di funzionamento del termometro è basato sulla dilatazione e contrazione del liquido contenuto nel tubo, a causa dei suoi cambiamenti di temperatura. Come conseguenza di ciò, la densità del liquido varia con la temperatura, producendosi, così, cambiamenti nello stato di galleggiamento delle sfere. Questo ci indicherà i diversi valori di temperatura a cui si trova il liquido nel quale sono immerse le sfere.

Supponga che Lei debba progettare e costruire un termometro di Galileo. Per questo le viene fornito:

1. una certa quantità di alcol, che dovrà essere usato come liquido in cui immergere le sfere; 2) cinque sfere vuote di 3 cm di diametro quando sono a $18{}^{\circ }\text{C}$, di 6 gr di massa ciascuna e con parete di spessore trascurabile; 3) una certa quantità di acqua distillata con la quale potrà riempire le sfere in quantità diverse allo scopo di ottenere un peso differente per ciascuna di esse e 4) una tabella di densità per l’alcol a diverse temperature.

Lei potrà chiudere facilmente ed ermeticamente ciascuna delle sfere in modo tale che il liquido contenuto in esse non possa fuoriuscire né evaporare. Inizialmente supporremo che il materiale con cui sono costruite le sfere non si dilati né si contragga con i cambiamenti di temperatura. Le etichette che userà per identificare ciascuna delle sfere hanno peso trascurabile.

a) Esprima la condizione di galleggiamento, per una qualsiasi delle sfere, a una certa data temperatura, $T$.

b) Calcoli la massa d’acqua che deve mettere in ciascuna delle sfere affinché le stesse permettano di misurare le temperature di $18{}^{\circ }\text{C}$, $20{}^{\circ }\text{C}$, $22{}^{\circ }\text{C}$, $24{}^{\circ }\text{C}$ e $26{}^{\circ }\text{C}$. Supponga che la densità dell’acqua distillata sia $1,0{\text{gr/cm}}^3$ e che non cambi con la temperatura in quell’intervallo.

c) Supponga ora di voler costruire il termometro di Galileo come uno strumento di misura più preciso. Per fare ciò ha deciso di tenere conto della dilatazione (o contrazione) del materiale con cui sono costruite le sfere. Il coefficiente di dilatazione volumetrica di quel materiale è $\alpha =6,8\times 10^{-5}1/{}^{\circ }\text{C}$. Di quanto differiscono i valori di temperatura precedentemente assegnati a ciascuna delle sfere da quelli che si ottengono tenendo conto della dilatazione (o contrazione) delle sfere?

Supponga in questo caso anche che la densità dell’acqua distillata sia costante nell’intervallo di temperature considerato.

Problem 1: Galileo’s Thermometer

In search of a precise method of measuring temperatures, in the year 1597 Galileo developed the first scientific thermometer. Although over the years Galileo’s original development changed, its current form is essentially the same as that proposed by the Italian sage.

Galileo’s thermometer consists of a vertical glass tube, closed at both ends, containing a liquid in which several floating spheres are found, labeled with different temperature values (see attached figure). Each of these spheres has a particular weight. The operating principle of the thermometer is based on the expansion and contraction of the liquid contained in the tube, due to its temperature changes. As a consequence of this, the density of the liquid varies with temperature, thus producing changes in the floating state of the spheres. This will indicate the different temperature values at which the liquid in which the spheres are submerged is found.

Suppose you must design and build a Galileo thermometer. For this, you are given:

1. a certain amount of alcohol, which you should use as the liquid in which the spheres are submerged; 2) five empty spheres of 3 cm diameter when they are at $18{}^{\circ }\text{C}$, of 6 g mass each and with negligibly thin walls; 3) a certain amount of distilled water with which you can fill the spheres in different amounts in order to obtain a different weight for each of them and 4) a table of densities for alcohol at different temperatures.

You will be able to easily and hermetically close each of the spheres in such a way that the liquid contained in them cannot spill or evaporate. Initially we will assume that the material with which the spheres are made does not expand or contract with changes in temperature. The labels you will use to identify each of the spheres have negligible weight.

a) Express the flotation condition, for any of the spheres, at a certain given temperature, $T$.

b) Calculate the mass of water that must be placed in each of the spheres so that they allow measuring the temperatures of $18{}^{\circ }\text{C}$, $20{}^{\circ }\text{C}$, $22{}^{\circ }\text{C}$, $24{}^{\circ }\text{C}$ and $26{}^{\circ }\text{C}$. Assume that the density of distilled water is $1,0{\text{gr/cm}}^3$ and that it does not change with temperature in that range.

c) Now suppose you want to build Galileo’s thermometer as a more precise measuring instrument. To do this, you have decided to take into account the expansion (or contraction) of the material from which the spheres are made. The volumetric expansion coefficient of that material is $\alpha =6,8\times 10^{-5}1/{}^{\circ }\text{C}$. By how much do the temperature values previously assigned to each of the spheres differ from those obtained when taking into account the expansion (or contraction) of the spheres?

In this case also assume that the density of the distilled water is constant over the temperature range considered.

Problema 2: Birra y algo más…

Un conocido Pub vende cerveza en jarros de diseño propio. Estos jarros son de base cuadrada de 10 cm de lado y 15 cm de alto. La base del jarro es de 2 cm de espesor, mientras que las paredes laterales son de 3 mm de espesor (ver figura). Los jarros están hechos de vidrio de densidad $2,6{\text{g/cm}}^3$. Un asiduo concurrente, luego de haber consumido su cerveza, retorna el jarro al cantinero, que se encuentra a 1,5 m de distancia, haciéndolo deslizar sobre la barra que es de madera encerada.

a) Determine el peso del jarro vacío suponiendo que la aceleración de la gravedad en el lugar es de $9,8{\text{m/s}}^2$.

b) Calcule la fuerza con la que el cliente debe empujar el jarro, suponiendo que inicialmente está en reposo, para que se detenga justo en frente al cantinero. Suponga que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el vidrio y la madera encerada es 0,19 y que el cliente le aplica al jarro una fuerza constante durante los primeros 30 cm de recorrido y luego lo suelta.

El cantinero llena el jarro con cerveza (densidad de la cerveza $1,004{\text{g/cm}}^3$) hasta 3 cm del borde superior y le devuelve el jarro al cliente. Sabiendo que cuando el jarro está acelerado la superficie del líquido no permanecerá horizontal y suponiendo que la cerveza es un líquido ideal,

c) Considere un elemento de volumen en la superficie del líquido y grafique cualitativamente las fuerzas que actúan y la aceleración a la cuál está sometido la masa de líquido contenida en ese volumen, mientras el jarro es empujado por el cantinero. Basado en ese dibujo, diga cual es la forma que adopta la superficie del líquido.

d) Calcule en un punto de la superficie del líquido el ángulo de inclinación de dicha superficie, respecto de la horizontal, en función de su aceleración.

e) Calcule la fuerza máxima que se puede aplicar al jarro, sin que se derrame cerveza.

f) Determine, si aplicando esa fuerza máxima, el cantinero puede hacer llegar el jarro frente al cliente. (Suponga nuevamente que el cantinero aplica una fuerza constante en los primeros 30 cm del recorrido).

Suponga ahora que el cliente recibe un llamado urgente y se retira del local llevando uno de los jarros, con autorización del cantinero, el cual ha sido llenado con agua hasta 3 cm del borde superior. El jarro dentro del auto se fija sobre una superficie horizontal de manera que el jarro no desliza ni se tumba.

g) Calcule la máxima velocidad con la que puede tomar una curva horizontal de 50 m de radio sin que se derrame el agua en el vehículo. Suponga que el auto no desliza en la curva, que la masa del auto es de 1500 kg. y la masa del cliente es de 90 kg.

15 cm 10 cm

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2: Birra e altro…

Un famoso pub vende birra in vasi di design proprio. Questi vasi sono di base quadrato di 10 cm di lato e 15 cm di altezza. La base del vasello è spessa 2 cm, mentre i muri laterali sono di 3 mm di spessore (vedere figura). I vasi sono di vetro di densità $2,6{\text{g/cm}}^3$. Un frequentatore, dopo aver consumato la sua birra, restituisce il vaso al cantinero, che si trova a 1,5 metri di distanza, facendogli scivolare sulla barra che è di legno cerata.

a) Determina il peso del vascello vuoto, supponendo che l’accelerazione della gravità in luogo è $9,8{\text{m/s}}^2$.

b) Calcolare la forza con cui il cliente deve spingere il vaso, supponendo che Inizialmente è a riposo, per fermarsi proprio davanti al cantinero. Supponiamo che il coefficiente di rottura dinamica tra vetro e legno La forza di cerea è di 0,19 e il cliente deve applicare alla vasca una forza costante durante i lavori. Prima 30 cm di percorso e poi lo rilascia.

Il cantinero riempie il vassoio di birra (densizza della birra $1,004{\text{g/cm}}^3$) fino a 3 cm di il bordo superiore e restituisce il vasso al cliente. Sapendo che quando il vascello è accelerato la superficie del liquido non resterà orizzontale e supponendo che la birra è un liquido ideale,

c) Considerare un elemento di volume sulla superficie del liquido e graficare qualitativamente le forze che agiscono e l’accelerazione alla quale è sottoposta la massa di liquido contenuto in quel volume, mentre il vaso viene spinto dal cantinero. Sulla base di quel disegno, dimmi quale sia la forma che assume la superficie del liquido.

d) Calcolare all’angolo di inclinazione di un punto della superficie del liquido la superficie, rispetto al orizzonte, in funzione della sua accelerazione.

e) Calcolare la forza massima che può essere applicata al vascello senza che si versa Birra.

f) Determina se, applicando tale forza massima, il cantinero può far arrivare il

• Il vassoio davanti al cliente. (Suppone di nuovo che il cantinero applichi una forza (Sito di riferimento)

Supponiamo che il cliente riceva una chiamata urgente e si ritira dal locale con uno di i vasi, con l’autorizzazione del cantinero, che sono stati riempiti di acqua fino a 3 cm di Il bordo superiore. Il vascello all’interno della macchina è fissato su una superficie orizzontale in modo che che il vassoio non scivolerà né si sepolgerà.

g) Calcolare la velocità massima con cui si può prendere una curva orizzontale di 50 metri di radius senza che l’acqua si versa sul veicolo. Supponiamo che la macchina non scivola sulla curva, che la massa della macchina è di 1500 kg. e la massa del cliente è di 90 kg.

15 cm 10 cm

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem two, beer and something else…

A well-known pub sells beer in its own-designed jars. These jars are basic. square 10 cm on the side and 15 cm high. The bottom of the jar is 2 cm thick. whereas the side walls are 3 mm thick (see figure). The jars are hechos de vidrio de densidad $2,6{\text{g/cm}}^3$. A fellow-dweller, having consumed his beer, returns the jar to the waiter, It’s about a mile away, and it’s sliding over the wooden bar. waxed.

(a) Determine the weight of the empty jar assuming that the acceleration of gravity is in place is $9,8{\text{m/s}}^2$.

(b) Calculate the force with which the customer must push the jar, assuming that He’s at rest initially, so he stops right in front of the waiter. Suppose that the dynamic friction coefficient between glass and wood The amount of wax is 0.19 and the customer applies a constant force to the pot during the First 30 cm of course and then you let it go.

The canister fills the jar with beer (beer density $1,004{\text{g/cm}}^3$) up to 3 cm of the the upper edge and returns the jar to the customer. Knowing that when the jar is speeded up The surface of the liquid will not remain horizontal and assuming the beer is a ideal liquid,

(c) Consider a volume element on the surface of the liquid and draw a graph The quantity of the energy is measured by the force acting on it and the acceleration to which the mass is subjected. The volume of the liquid contained in the pot is kept constant while the pot is pushed by the waiter. Based on that drawing, tell me what shape the surface of the liquid takes.

(d) Calculate at one point on the surface of the liquid the angle of inclination of the surface of the vehicle, relative to the horizontal, according to its acceleration.

(e) Calculate the maximum force that can be applied to the jar without spilling

• I’m not drinking beer.

(f) Determine whether, by applying this maximum force, the waiter can deliver the I’m putting the jar in front of the client. (Suppose again that the waiter applies force to the constant for the first 30 cm of the route).

Suppose now that the client receives an urgent call and leaves the premises carrying one of the jars, with the authorisation of the butcher, which have been filled with water up to 3 cm of the The upper edge. The jar inside the car is fixed on a horizontal surface in such a way that the car is That the jar will not slip or bury.

(g) Calculate the maximum speed at which a horizontal curve of 50 meters radius without spilling water into the vehicle. Suppose the car doesn’t It slides in the curve, which means the car’s mass is 1500 kg. And the customer mass is 90. kg.

15 cm 10 cm

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 3: La Ciudad Sumergida

A varios años del fin de la década de la Oscuridad, la raza de los Brokos descubrió el punto débil de la cúpula de la Ciudad Sumergida. Dicha ciudad era un cilindro con una cúpula muy delgada, aparentemente sólo transparente a la luz visible, en forma de semiesfera, con un radio de 100m (ver figura). La ciudad contenía una atmósfera de aire. La virtud de la cúpula era su material, impermeable a todo tipo de proyectil mecánico y electromagnético utilizado por sus ancestrales enemigos, los Brokos. Luego de muchos intentos, un espía pudo vulnerar el secreto de la ciudad, y descubrió que la cúpula era permeable a las bolitas de paraíso. Con esta información, los Brokos decidieron atacar con dichas bolitas y posteriormente con un láser de He-Ne. La primera misión fue molestar al líder de la ciudad. La tarea fue asignada a Brok, el molesto. Él se ubicó en el agua, justo por encima del vértice, $V$, de la cúpula, a una distancia de 200m de ella, sobre la dirección vertical (ver figura).

a) Brok ve al líder en la ciudad, debajo del vértice de la cúpula, a una distancia de 200m del vértice según la vertical.

¿Cuál es la distancia real desde el vértice de la cúpula hasta la posición del líder?

Brok se distrae un instante cargando sus armas y cuando vuelve a mirar, ve al líder que se ha desplazado en dirección horizontal una distancia , que según él, es de 10m.

b) ¿Cuánto se ha desplazado realmente el líder?

Como Brok no sabía física, pide ayuda al centro de mando preguntando en qué dirección debía apuntar sus armas para acertar a su objetivo.

c) ¿Con qué ángulo, respecto de la vertical, debe apuntar Brok su arma que dispara bolitas de paraíso?

d) Como Brok era muy molesto, decide seguir molestando al líder pero ahora con su arma láser de He-Ne.

¿Con qué ángulo, respecto de la vertical, debe apuntar Brok su arma que dispara un rayo láser de He-Ne?

AYUDAS

Refracción de la luz en una superficie esférica

La ley de refracción de la luz en una interfase esférica que separa dos medios ópticos (medio 1 y medio 2) es la siguiente:

$\frac{n_1}{S_o}+\frac{n_2}{S_i}=\frac{n_2-n_1}{R}$

Siendo $n_1$ el índice de refracción en el medio 1 (en el que se encuentra el objeto) y $n_2$ el índice de refracción en el medio 2. $S_o$ es la distancia desde el objeto a $V$, $S_i$ es la distancia desde la imagen a $V$ y $R$ es el radio de curvatura.

Convención de signos

$S_o$ es positivo si el objeto se encuentra a la izquierda de $V$. $S_i$ es positivo si la imagen se encuentra a la derecha de $V$. $R$ es positivo si el centro de curvatura $C$ se encuentra a la derecha de $V$.

Valores del índice de refracción para la luz visible

Índice de refracción del aire $n_1=1$ Índice de refracción del agua $n_2=4/3$

Otras ayudas

1. El láser de He-Ne emite luz de longitud de onda dentro del rango visible.
2. Considere bolitas ideales que no tienen rozamiento con medio alguno. Los efectos de la gravedad pueden ser despreciados.
3. Es suficiente hacer las cuentas considerando que $\alpha \cong \mathrm{sen}\alpha \cong \mathrm{tg}\alpha$.

OLIMPIADA ARGENTINA DE FISICA 2002

OAF’2002

PRUEBA EXPERIMENTAL - 21 de Octubre de 2002

• Escriba su nombre en todas las hojas y enumere las mismas.
• Recuerde que no se puede utilizar calculadoras programables ni ningun otro material que no esté incluido en la prueba, aparte de los útiles de escritura.
• Antes de empezar a resolver un problema, lea cuidadosamente TODO el enunciado del mismo.

Nombre:

Número de hojas entregadas:.

Prueba Experimental

Conservación de la energía, flujo de líquidos y viscosidad.

1. Teoría

El caudal $Q$ de líquido que lleva una tubería, se puede expresar como

$Q=vA[1]$

donde $v$ es la velocidad del líquido en un punto de la tubería y $A$ el área de la sección transversal de la tubería en dicho punto. Si el líquido es incomprensible, el caudal a lo largo de toda la tubería, que puede ser de sección variable, es constante. Por otro lado, la conservación de la energía aplicada a un elemento de volumen de un líquido incomprensible, en el caso que la tubería sea horizontal, permite obtener la siguiente ecuación

$\frac{p_1-p_2}{\delta }=\frac{1}{2}\left(v_2^2-v_1^2\right)+W_{1-2}[2]$

donde $(p_1,v_1)$ y $(p_2,v_2)$ indican respectivamente, la presión y velocidad del elemento de volumen del líquido, cuando está en el punto 1 y en el punto 2 de la tubería. $\delta$ representa la densidad del líquido, mientras que $W_{1-2}$ es la pérdida de energía cinética, a causa de la viscosidad del líquido, cuando el elemento de volumen del líquido va desde el punto 1 al 2 (ver figura).

La diferencia de presión entre los puntos 1 y 2 se puede expresar por $p_1-p_2=g\delta (h_1-h_2)$, donde $h_1$ y $h_2$ representan las alturas de columnas de líquido en los tubos verticales (manómetros) conectados con la tubería en los puntos 1 y 2 respectivamente, $g$ es la aceleración de la gravedad con lo cual la fórmula [2] se escribe como

$h_1-h_2=\frac{1}{2g}\left(v_2^2-v_1^2\right)+\frac{W_{1-2}}{g}[3]$

Si la velocidad del líquido en el punto 1 es baja comparada con $v_2$, se puede demostrar que $W_{1-2}=\alpha v_2$, donde $\alpha$ es un coeficiente de proporcionalidad. Por lo tanto, despejando $\alpha$ resulta:

$\frac{\alpha }{g}=\frac{h_1-h_2}{v_2}-\frac{1}{2g{v}_2}\left(v_2^2-v_1^2\right)[4]$

Consideremos ahora el dispositivo experimental que nos ocupa. El líquido es agua y está contenido en una botella de sección $A_B$ y circula por una tubería de plástico y metal de sección reducida. Recordando que el caudal es constante, tanto en la botella como a lo largo de toda la tubería, sabemos que $v_B{A}_B=v_1{A}_1=v_2{A}_2$, con lo cual [4] se puede rescribir como

$\frac{\alpha }{g}=\frac{A_2}{A_B}\frac{(h_1-h_2)}{v_B}-\frac{A_B}{2g{A}_2}\left[1-\frac{A_2^2}{A_1^2}\right]v_B[5]$

donde $v_B$ representa la velocidad del agua en la botella (por ejemplo, de un punto de la superficie horizontal del agua). De esta manera con la expresión [5], conociendo $A_B$, $A_1$, $A_2$, $g$ y midiendo $h_1$, $h_2$ y $v_B$, se determina el valor de $\alpha$.

2. Lista de materiales

• Una botella llena de agua de la que sale una tubería horizontal.
• Dos manómetros de columna de agua adosados a la tubería con escala graduada en milímetros.
• Una llave para regular el caudal de agua en la tubería.
• Un tapón en el extremo de la tubería para bloquear el flujo de agua.
• Un cronómetro. (Ver hoja donde se explica su funcionamiento).
• Un vaso plástico dentro de otro recipiente mayor.
• Hojas de papel blanco y milimetrado.

3. Procedimiento experimental

Lea TODAS las instrucciones ANTES de comenzar

i) Verifique que el nivel del agua en la botella y en los dos manómetros sea el mismo. ii) Saque el tapón del extremo de la tubería y regule la llave de paso (tornillo con arandela soldada) de modo que aparezca una diferencia de altura entre las dos columnas manométricas.

iii) Recoja el agua que va cayendo en el vaso plástico.

iv) Vuelva a colocar el tapón sin modificar la posición de la llave que regula el caudal y retorne a la botella el agua recogida en el vaso.

v) Saque nuevamente el tapón, espere unos segundos hasta que $h_1-h_2$ se estabilice y mida la altura $H$ del agua en la botella, en función del tiempo, a partir de $H_0=H(t=0)$ y hasta que $H\approx H_0-2\text{cm}$ (el símbolo $\approx$ indica aproximadamente). Recoja esos datos en una tabla.

vi) Coloque nuevamente el tapón, retorne el agua del vaso a la botella y repita v) pero ahora para medir $h_1$ en función del tiempo. Recoja esos datos en una tabla. Repita el procedimiento para medir $h_2$ en función del tiempo. Recoja esos datos en una tabla. IMPORTANTE: Para medir $h_1(t)$ y $h_2(t)$ arranque el cronómetro cuando el nivel del agua en la botella sea $H_0$.

4. Requerimientos

1- Grafique los datos obtenidos de $H$, $h_1$ y $h_2$ en función del tiempo. 2- Con la ayuda de los gráficos determine $h_1-h_2$ y $v_B$. 3- Calcule $\alpha$ (con su error) haciendo uso de la ecuación [5]. 4- Repita los puntos 1, 2 y 3 anteriores para diversos caudales (diversos $v_2$). 5- Grafique $\alpha$ en funci

Topic: Geometric Optics, Fluid Mechanics Metodi: Snell’s Law, Small-Angle Approximation, Bernoulli’s Equation, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: Manometer, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 3: La città sommersa

A diversi anni dalla fine del decennio degli Oscuri, la razza dei Brokos scoprì Il punto debole della cupola della Città Smersa. Questa città era un cilindro con una cupola molto sottile, apparentemente solo trasparente alla luce visibile, in forma di semisfera, con un raggio di 100 m (vedere figura). La città Contiene un’atmosfera di aria. La virtù della cupola era il suo materiale, impermeabile a tutto. tipo di proiettile meccanici ed elettromagnetici utilizzati dai loro nemici antichi, Brokos. Dopo molti tentativi, uno spione riuscì a violare il segreto della città, e Scoprì che la cupola era permeabile alle palle di paradiso. Con queste informazioni, i Brokos decise di attaccare con queste palline e successivamente con un laser di He-Ne. La La prima missione fu di disturbare il leader della città. Il compito è stato affidato a Brok, il fastidioso. Si trovava nell’acqua, proprio sopra il Vertice, $V$, della cupola, a 200 m di distanza da essa, sulla direzione verticale (vedere (Figura 1).

a) Brok vede il leader in città, sotto il vertice della cupola, a una distanza di 200 metri dal vertice in linea verticale.

Qual è la distanza reale dal vertice della cupola alla posizione del leader?

Brok si distrae per un istante caricando le sue armi e quando guarda di nuovo, vede il leader che si Ha spostato in direzione orizzontale una distanza, che secondo lui è di 10 metri.

b) Quanto è veramente spostato il leader?

Come Brok non sapeva la fisica, chiede aiuto al centro di comando chiedendo quale direzione doveva puntare le armi per colpire il suo obiettivo.

c) Con quale angolo, rispetto alla verticale, Brok deve puntare la sua arma che

• Sparare pallottole da paradiso?

d) Brok era molto irritato, quindi decide di continuare a disturbare il leader ma ora con il suo Arma laser di He-Ne.

Con quale angolo, rispetto alla verticale, deve puntare Brok la sua pistola che spara Un raggio laser di He-Ne?

Aiuti

Rifrazione della luce su una superficie sferica

La legge di refraczione della luce in un’interfase sferica che separa due mezzi di ottica (media 1 e media 2) è la seguente:

$\frac{n_1}{S_o}+\frac{n_2}{S_i}=\frac{n_2-n_1}{R}$

Se $n_1$ è l’indice di refraczione nel mezzo 1 (in cui si trova l’oggetto) e $n_2$ è il indice di refraczione in mezzo 2. $S_o$ è la distanza dall’oggetto a $V$, $S_i$ è la distanza dall’immagine a $V$ e $R$ è il raggio di curvatura.

Convenzione dei segni

$S_o$ è positivo se l’oggetto si trova a sinistra di $V$. $S_i$ è positivo se l’immagine è a destra di $V$. $R$ è positivo se il centro di curvatura $C$ è situato a destra di $V$.

Valori dell’indice di refraczione per la luce visibile

Indice di refraczione dell’aria $n_1=1$ Indice di refraczione dell’acqua $n_2=4/3$

Altri aiuti

1. Il laser He-Ne emette luce a lunghezza d’onda all’interno del range visibile.
2. Considerate le palline ideali che non hanno alcun mezzo per farli rasare. Gli effetti della gravità possono essere disprezzati.
3. Basta fare i conti considerando che $\alpha \cong \mathrm{sen}\alpha \cong \mathrm{tg}\alpha$.

L’Olimpiade di Fisica del 2002

OAF’2002

PROBRA sperimentale - 21 ottobre 2002

• Scrivi il tuo nome su tutti i fogli e elencali.
• Ricorda che non puoi usare calcolatori programmabili né altri materiali non inclusi nella prova, diversi dagli utensili di Scrittura.
• Prima di iniziare a risolvere un problema, leggi attentamente TUTTO il testo di cui sopra.

Nome:

Numero di fogli consegnati:

Prova sperimentale

Conservazione dell’energia, flusso di liquidi e viscosità.

1. Teoria

Il flusso $Q$ di liquido che porta un tubo può essere espresso come

$Q=vA[1]$

dove $v$ è la velocità del liquido in un punto del tubo e $A$ l’area della sezione il tubo transversale in quel punto. Se il liquido è incomprensibile, il flusso lungo di tutta la tubazione, che può essere di sezione variabile, è costante. La conservazione dell’energia applicata ad un elemento di volume di un Il tubo, se orizzontale, permette di ottenere la Next equazione

$\frac{p_1-p_2}{\delta }=\frac{1}{2}\left(v_2^2-v_1^2\right)+W_{1-2}[2]$

dove $(p_1,v_1)$ e $(p_2,v_2)$ indicano rispettivamente la pressione e la velocità dell’elemento di volume del liquido, quando è al punto 1 e al punto 2 del tubo. $\delta$ rappresenta la La densità del liquido, mentre $W_{1-2}$ è la perdita di energia cinetica, a causa della viscosità del liquido, quando l’elemento di volume del liquido va dal punto 1 al punto 2 (vedi figura).

La differenza di pressione tra i punti 1 e 2 può essere espressa in $p_1-p_2=g\delta (h_1-h_2)$, dove $h_1$ e $h_2$ rappresentano le altezze di colonne di liquido nei tubi verticali (manometri) collegati al tubo rispettivamente ai punti 1 e 2, $g$ è la Accelerazione della gravità con cui la formula [2] è scritta come

$h_1-h_2=\frac{1}{2g}\left(v_2^2-v_1^2\right)+\frac{W_{1-2}}{g}[3]$

Se la velocità del liquido al punto 1 è bassa rispetto a $v_2$, si può dimostrare che $W_{1-2}=\alpha v_2$, dove $\alpha$ è un coefficiente di proporzionalità. Quindi, chiarisce $\alpha$ risulta:

$\frac{\alpha }{g}=\frac{h_1-h_2}{v_2}-\frac{1}{2g{v}_2}\left(v_2^2-v_1^2\right)[4]$

Ora consideriamo il dispositivo sperimentale che ci occupa. Il liquido è acqua e è contenuti in una bottiglia di sezione $A_B$ e circolano attraverso un tubo di plastica e metallo di sezione ridotta. Ricordando che il flusso è costante, sia in bottiglia che lungo di tutta la tubazione, sappiamo che $v_B{A}_B=v_1{A}_1=v_2{A}_2$, con cui [4] può essere riscritto come

$\frac{\alpha }{g}=\frac{A_2}{A_B}\frac{(h_1-h_2)}{v_B}-\frac{A_B}{2g{A}_2}\left[1-\frac{A_2^2}{A_1^2}\right]v_B[5]$

dove $v_B$ rappresenta la velocità dell’acqua in bottiglia (ad esempio, da un punto della superficie orizzontale dell’acqua). In questo modo con l’espressione [5], conoscendo $A_B$, $A_1$, $A_2$, $g$ e misurando $h_1$, $h_2$ e $v_B$, si determina il valore di $\alpha$.

2. Lista dei materiali

• Una bottiglia piena di acqua da cui uscirà un tubo orizzontale.
• Due manometri di colonna d’acqua collegati al tubo a scala graduale in
• Millimetri.
• Una chiave per regolare il flusso d’acqua nel tubo.
• Un tappo all’estremità del tubo per bloccare il flusso d’acqua.
• Un cronometro. (Vedi foglio che ne spiega il funzionamento).
• Un bicchiere di plastica in un altro vasetto più grande.
• Fogli di carta bianca e millimetrica.

3. Procedura sperimentale

Leggi TUTTE le istruzioni prima di iniziare

i) Verificare che il livello dell’acqua in bottiglia e nei due manometri sia lo stesso. (ii) Scaccia il tappo dall’estremità del tubo e regola la chiave di passaggio (torno con arenda) Saldato) in modo che si presenti una differenza di altezza tra le due colonne

• Le manometrie.

(iii) Raccogli l’acqua che cade nel bicchiere di plastica.

(iv) Rimpostare il tappo senza modificare la posizione della chiave che regola la corrente e restituire al flacone l’acqua raccolta dal bicchiere.

v) Rimuovere il tappo, aspettare qualche secondo fino a quando $h_1-h_2$ si stabilizza e misurare la temperatura altezza $H$ dell’acqua in bottiglia, a seconda del tempo, a partire da $H_0=H(t=0)$ e fino a quando $H\approx H_0-2\text{cm}$ (il simbolo $\approx$ indica approssimativamente). Raccogliete questi dati in una tabella.

vi) Riempi il tappo, rimetti l’acqua dal bicchiere nella bottiglia e ripeti v) ma ora per misurare $h_1$ in funzione del tempo. Raccogliete questi dati in una tabella. Ripetere la procedura per misurare $h_2$ in funzione del tempo. Raccoglie questi dati in una

• La tavola. IMPORTANTE: Per misurare $h_1(t)$ e $h_2(t)$, accendi il cronometro quando il livello dell’acqua è in grado di diminuire in bottiglia è $H_0$.

4. Richieste

1- Graficare i dati ottenuti da $H$, $h_1$ e $h_2$ in base al tempo. 2- Con l’aiuto dei grafici determina $h_1-h_2$ e $v_B$. 3- Calcolare $\alpha$ (con il suo errore) utilizzando l’equazione [5]. 4- Ripeti i punti 1, 2 e 3 precedenti per vari flussi (diversi $v_2$). 5- Grafico $\alpha$ in funci

Topic: Geometric Optics, Fluid Mechanics Metodi: Snell’s Law, Small-Angle Approximation, Bernoulli’s Equation, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: Manometer, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problem 3: The Sunken City

Several years after the end of the Decade of Darkness, the race of the Brokos discovered the weak point of the dome of the Sunken City. Said city was a cylinder with a very thin dome, apparently only transparent to visible light, in the shape of a hemisphere, with a radius of 100 m (see figure). The city contained an atmosphere of air. The virtue of the dome was its material, impermeable to every type of mechanical and electromagnetic projectile used by its ancestral enemies, the Brokos. After many attempts, a spy managed to breach the secret of the city, and discovered that the dome was permeable to paradise berries. With this information, the Brokos decided to attack with said berries and later with a He-Ne laser. The first mission was to annoy the leader of the city. The task was assigned to Brok, the annoying one. He positioned himself in the water, just above the vertex, $V$, of the dome, at a distance of 200 m from it, along the vertical direction (see figure).

a) Brok sees the leader in the city, below the vertex of the dome, at a distance of 200 m from the vertex along the vertical.

What is the real distance from the vertex of the dome to the leader’s position?

Brok is distracted for an instant loading his weapons and when he looks again, he sees the leader who has moved in the horizontal direction a distance , which according to him, is 10 m.

b) How much has the leader really moved?

Since Brok didn’t know physics, he asks the command center for help by asking in which direction he should aim his weapons to hit his target.

c) At what angle, with respect to the vertical, must Brok aim his weapon that shoots paradise berries?

d) Since Brok was very annoying, he decides to keep bothering the leader but now with his He-Ne laser weapon.

At what angle, with respect to the vertical, must Brok aim his weapon that shoots a He-Ne laser beam?

HINTS

Refraction of light at a spherical surface

The law of refraction of light at a spherical interface separating two optical media (medium 1 and medium 2) is as follows:

$\frac{n_1}{S_o}+\frac{n_2}{S_i}=\frac{n_2-n_1}{R}$

Where $n_1$ is the refractive index in medium 1 (where the object is located) and $n_2$ is the refractive index in medium 2. $S_o$ is the distance from the object to $V$, $S_i$ is the distance from the image to $V$, and $R$ is the radius of curvature.

Sign convention

$S_o$ is positive if the object is to the left of $V$. $S_i$ is positive if the image is to the right of $V$. $R$ is positive if the center of curvature $C$ is to the right of $V$.

Refractive index values for visible light

Refractive index of air $n_1=1$ Refractive index of water $n_2=4/3$

Other hints

1. The He-Ne laser emits light with a wavelength within the visible range.
2. Consider ideal small balls that have no friction with any medium. The effects of gravity can be neglected.
3. It is sufficient to do the calculations considering that $\alpha \cong \mathrm{sen}\alpha \cong \mathrm{tg}\alpha$.

ARGENTINE PHYSICS OLYMPIAD 2002

OAF’2002

EXPERIMENTAL TEST - October 21, 2002

• Write your name on all sheets and number them.
• Remember that programmable calculators and any other material not included in the test, apart from writing utensils, may not be used.
• Before starting to solve a problem, read carefully ALL of its statement.

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Experimental Test

Conservation of energy, liquid flow and viscosity.

1. Theory

The flow rate $Q$ of liquid carried by a pipe can be expressed as

$Q=vA[1]$

where $v$ is the velocity of the liquid at a point in the pipe and $A$ the cross-sectional area of the pipe at that point. If the liquid is incompressible, the flow rate along the entire pipe, which may have variable cross-section, is constant. On the other hand, the conservation of energy applied to a volume element of an incompressible liquid, in the case where the pipe is horizontal, allows the following equation to be obtained

$\frac{p_1-p_2}{\delta }=\frac{1}{2}\left(v_2^2-v_1^2\right)+W_{1-2}[2]$

where $(p_1,v_1)$ and $(p_2,v_2)$ indicate respectively the pressure and velocity of the volume element of the liquid, when it is at point 1 and at point 2 of the pipe. $\delta$ represents the density of the liquid, while $W_{1-2}$ is the loss of kinetic energy, due to the viscosity of the liquid, when the volume element of the liquid goes from point 1 to 2 (see figure).

The pressure difference between points 1 and 2 can be expressed by $p_1-p_2=g\delta (h_1-h_2)$, where $h_1$ and $h_2$ represent the heights of liquid columns in the vertical tubes (manometers) connected to the pipe at points 1 and 2 respectively, $g$ is the acceleration of gravity, with which formula [2] is written as

$h_1-h_2=\frac{1}{2g}\left(v_2^2-v_1^2\right)+\frac{W_{1-2}}{g}[3]$

If the velocity of the liquid at point 1 is low compared with $v_2$, it can be shown that $W_{1-2}=\alpha v_2$, where $\alpha$ is a proportionality coefficient. Therefore, solving for $\alpha$ gives:

$\frac{\alpha }{g}=\frac{h_1-h_2}{v_2}-\frac{1}{2g{v}_2}\left(v_2^2-v_1^2\right)[4]$

Let us now consider the experimental device at hand. The liquid is water and is contained in a bottle of cross-section $A_B$ and circulates through a plastic and metal pipe of reduced cross-section. Recalling that the flow rate is constant, both in the bottle and along the entire pipe, we know that $v_B{A}_B=v_1{A}_1=v_2{A}_2$, with which [4] can be rewritten as

$\frac{\alpha }{g}=\frac{A_2}{A_B}\frac{(h_1-h_2)}{v_B}-\frac{A_B}{2g{A}_2}\left[1-\frac{A_2^2}{A_1^2}\right]v_B[5]$

where $v_B$ represents the velocity of the water in the bottle (for example, at a point on the horizontal surface of the water). In this way, with expression [5], knowing $A_B$, $A_1$, $A_2$, $g$ and measuring $h_1$, $h_2$ and $v_B$, the value of $\alpha$ is determined.

2. List of materials

• A bottle filled with water from which a horizontal pipe comes out.
• Two water-column manometers attached to the pipe with a scale graduated in millimeters.
• A valve to regulate the water flow in the pipe.
• A stopper at the end of the pipe to block the water flow.
• A stopwatch. (See the sheet where its operation is explained).
• A plastic cup inside a larger container.
• Sheets of white and graph paper.

3. Experimental procedure

Read ALL the instructions BEFORE starting

i) Verify that the water level in the bottle and in the two manometers is the same. ii) Remove the stopper from the end of the pipe and regulate the valve (screw with welded washer) so that a height difference appears between the two manometric columns.

iii) Collect the water that is falling into the plastic cup.

iv) Put the stopper back without changing the position of the valve that regulates the flow and return the water collected in the cup to the bottle.

v) Remove the stopper again, wait a few seconds until $h_1-h_2$ stabilizes and measure the height $H$ of the water in the bottle, as a function of time, starting from $H_0=H(t=0)$ and until $H\approx H_0-2\text{cm}$ (the symbol $\approx$ indicates approximately). Record these data in a table.

vi) Replace the stopper, return the water from the glass to the bottle and repeat v) but now to measure $h_1$ as a function of time. Record these data in a table. Repeat the procedure to measure $h_2$ as a function of time. Record these data in a table. IMPORTANT: To measure $h_1(t)$ and $h_2(t)$ start the stopwatch when the water level in the bottle is $H_0$.

4. Requirements

1- Plot the data obtained for $H$, $h_1$ and $h_2$ as a function of time. 2- With the help of the graphs determine $h_1-h_2$ and $v_B$. 3- Calculate $\alpha$ (with its error) using equation [5]. 4- Repeat points 1, 2 and 3 above for various flow rates (various $v_2$). 5- Plot $\alpha$ as a funct