Argent 2003

Problema 1: Un doblete acromático

Cuando un haz de luz incide sobre una lente convergente, uno espera que todos los rayos paralelos que inciden converjan en el mismo punto o foco f. Sin embargo, el haz de luz visible consiste de diferentes colores o longitudes de onda $λ$ y se encuentra que los rayos de luz azul se refractan más que los rayos de luz roja. De esta manera nos enfrentamos con un defecto conocido como “aberración cromática”.

Teniendo presente que el índice de refracción es función de los colores (o longitud de onda) como se muestra en la tabla para dos tipos de vidrios diferentes

Tabla de índices de refracción

Color (long. de onda) Azul 488 nm

520 nm

568 nm

632 nm

694 nm Rojo 890 nm Vidrio Crown liviano 1.4877 1.4859 1.4836 1.4813 1.4796 1.4758 Vidrio Crown pesado 1.5793 1.5766 1.5735 1.5704 1.5681 1.5634 $1 nm = 1 0^{- 9} m$

a) Calcule, usando la fórmula del constructor para lentes delgadas, la diferencia entre las distancias focales de una lente convergente (en el caso del vidrio Crown liviano) para el rojo y el azul teniendo en cuenta que para el color rojo $f = 10 cm$ .

Ayuda: La fórmula del constructor de lentes es:

$\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})$

donde $n$ es el índice de refracción del vidrio empleado y $R_{1}$ y $R_{2}$ son los radios de curvatura de las superficies de la lente.

b) Dadas dos lentes delgadas de distancia focal $f_{1}$ y $f_{2}$ separadas una distancia $d$ , como se muestra en la figura, encuentre la posición de la imagen, generada por este sistema de dos lentes, de un objeto ubicado a una distancia $S$ de la lente de distancia focal $f_{1}$ (lente 1)

Ayuda: Utilice la expresión

$\frac{1}{S} + \frac{1}{S ^{'}} = \frac{1}{f}$

ROJO c) Cuando las dos lentes del sistema descrito en el ítem b) se aproximan hasta tocarse ( $d = 0 cm$ ), el sistema se comporta como una única lente delgada con una distancia focal equivalente ( $f_{e}$ ). Encuentre una expresión para $1/ f_{e}$ en función de las distancias focales $f_{1}$ y $f_{2}$ .

Con los fundamentos teóricos adquiridos en los ítem anteriores nos podemos abocar a resolver un problema concreto. Un proyector presenta problemas debido a la aberración cromática de la lente que posee. Una forma de minimizar la aberración es reemplazar dicha lente por dos lentes pegadas de diferentes materiales. Suponga que los materiales a usar son los dados en la tabla (el vidrio Crown liviano para la lente 1 y el vidrio Crown pesado para la lente 2). La lente que queremos remplazar tiene una distancia focal de 10 cm.

d) ¿Cuales deberían ser las distancias focales en el rojo de las dos lentes para minimizar la aberración cromática?

S d Lente 1 Lente 2

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Snell’s Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 1: Un doppio acromatico

Quando un raggio di luce incide su una lente convergente, si prevede che tutti i raggi paralleli che incidono convergano nello stesso punto o foco f. Tuttavia, il fascio di luce visibile è costituito da diversi colori o lunghezze d’onda $λ$ e si trova che i raggi di luce blu si refrattano più di quelli di luce rossa. In questo modo ci troviamo ad affrontare un difetto noto come “aberrazione cromatica”.

Tenendo presente che l’indice di refraczione è una funzione dei colori (o della lunghezza d’onda) come mostrato nella tabella per due diversi tipi di vetri

Tabella degli indici di rifrazione

Colore (long. di onde) Blu 488 nm

520 nm

568 nm

632 nm

694 nm Rossa 890 nm Leggio vetro Crown 1.4877 1.4859 1.4836 1.4813 1.4796 1.4758 Vetro croce pesante 1.5793 1.5766 1.5735 1.5704 1.5681 1.5634 $1 nm = 1 0^{- 9} m$

a) Calcolare, utilizzando la formula del costruttore di lenti sottili, la differenza tra le distanze focali di una lente convergente (nel caso del vetro Crown leggero) per il rosso e il blu tenendo conto che per il colore rosso $f = 10 cm$ .

Aiuto: La formula del costruttore di lenti è:

$\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})$

dove $n$ è l’indice di refraczione del vetro utilizzato e $R_{1}$ e $R_{2}$ sono i raggi di curvatura delle superfici del lente.

b) Dati due lenti sottili a distanza focale $f_{1}$ e $f_{2}$ separati a distanza $d$ , come mostrato nella figura, trovare la posizione dell’immagine, generata da questo sistema di due lenti, di un oggetto situato a distanza $S$ dalla lente a distanza focale $f_{1}$ (lente 1)

Aiuto: Usa l’espressione

$\frac{1}{S} + \frac{1}{S ^{'}} = \frac{1}{f}$

ROSSO c) Quando i due obiettivi del sistema descritti nell’articolo b) si avvicinano fino al tocco ( $d = 0 cm$ ), il sistema si comporta come un unico lente sottile con una distanza focale equivalente ( $f_{e}$ ). Trova un’espressione per $1/ f_{e}$ in base alle distanze focali $f_{1}$ e $f_{2}$ .

Con i fondamenti teorici acquisiti nei precedenti punti possiamo arrivare a risolvere un problema concreto. Un proiettore presenta problemi a causa dell’aberrazione cromatica della lente che possiede. Un modo per ridurre al minimo l’aberrazione è sostituire tale lente con due obiettivi incollati di materiali diversi. Supponiamo che i materiali da usare siano i dado della tavola (il vetro Crown leggero per la lente 1 e il vetro Crown pesante per la lente 2). Il lente che vogliamo sostituire ha una distanza focale di 10 centimetri.

d) Quali dovrebbero essere le distanze focali sul rosso dei due obiettivi per ridurre al minimo l’aberrazione cromatica?

S d Lenti 1 Lenti 2

Problem 1: A chromatic double

When a beam of light hits a converging lens, one expects all the parallel rays that hit to converge at the same point or f-focus. However, the visible light beam consists of different colors or wavelengths $λ$ and blue light rays are found to be more refractory than red light rays. This is how we deal with a defect known as “chromatic aberration”.

Having regard to the fact that the refractive index is a function of the colours (or wavelengths) as shown in the table for two different types of glass

Table of refractive indices

Color (long. (of the wave) Blue 488 nm

520 nm

568 nm

632 nm

694 nm Red 890 nm Light Crown glass 1.4877 1.4859 1.4836 1.4813 1.4796 1.4758 Crown glass heavy 1.5793 1.5766 1.5735 1.5704 1.5681 1.5634 $1 nm = 1 0^{- 9} m$

(a) Calculate, using the thin lens constructor formula, the difference between the focal lengths of a converging lens (in the case of light Crown glass) for red and blue taking into account that for red $f = 10 cm$ .

Help: The formula for the lens manufacturer is:

$\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})$

where $n$ is the refractive index of the glass used and $R_{1}$ and $R_{2}$ are the radii of curvature of the lens surfaces.

(b) Given two thin focal length lenses $f_{1}$ and $f_{2}$ separated by a distance $d$ , as shown in Figure 1, find the position of the image, generated by this two-lens system, of an object located at a distance $S$ from the focal length lens $f_{1}$ (lens 1)

Help: Use the expression

$\frac{1}{S} + \frac{1}{S ^{'}} = \frac{1}{f}$

Red (c) When the two lenses of the system described in item (b) approach each other until touched ( $d = 0 cm$ ), the system behaves as a single thin lens with an equivalent focal length ( $f_{e}$ ). Find an expression for $1/ f_{e}$ based on the focal lengths $f_{1}$ and $f_{2}$ .

Theoretical grounds for the above can be used to solve a specific problem. A projector has problems due to the chromatic aberration of the lens it possesses. One way to minimize aberration is to replace the lens with two lenses glued together from different materials. Suppose the materials to be used are the dice on the table (light Crown glass for lens 1 and heavy Crown glass for lens 2). The lens we’re trying to replace has a focal length of 10 centimeters.

(d) What should be the focal lengths in the red of the two lenses to minimize chromatic aberration?

S d Lens 1 Lens 2

Problema 2: Un aparatoso dispositivo

Un inventor ingenioso diseñó un aparatoso dispositivo para usos múltiples, como por ejemplo ser parte de un interruptor.

Este dispositivo consiste de un cilindro que contiene en su interior un émbolo que ajusta perfectamente al cilindro, manteniendo herméticamente aislados las dos zonas en las que lo divide (ver figura) y que puede deslizar, con rozamiento despreciable, dentro del mismo.

El émbolo tiene un espesor $L = 1 cm$ , sección $A = 0, 001 m^{2}$ , masa $m = 100 g$ y un coeficiente de conductividad térmico $k = 5 cal/ (^{\circ} C \cdot s \cdot m)$ . Inicialmente se encuentra en el punto medio del cilindro, dejando, a ambos lados, volúmenes idénticos $V_{0} = 1 l$ .

El volumen de la izquierda del émbolo se mantiene permanentemente lleno con vapor de agua a $100^{\circ} C$ de temperatura y a presión constante e igual a 1 atm. Esto se logra por medio de una válvula en su extremo, conectada a un reservorio de vapor. El volumen de la derecha está lleno inicialmente con hielo a $0^{\circ} C$ y se mantiene cerrado.

Todo el cilindro está térmicamente aislado, es decir, es un sistema adiabático, ó sea no hay flujo de calor entre el cilindro y el exterior.

Experimentalmente se encuentra que, en condiciones de régimen (llamado estado estacionario), la cantidad de calor por unidad de tiempo que fluye a través de una pared plana de espesor e, coeficiente de conducción térmica k y área A, está dada por:

$\frac{Δ Q}{Δ t} = k \cdot A \cdot \frac{Δ T}{e}$

donde $Δ T$ es la diferencia de temperatura entre las caras de la pared de espesor e.

Considerando que las condiciones iniciales en el tubo son: Vapor a $100^{\circ} C$ y presión 1 atm, a la izquierda en el volumen $V_{0}$ ; hielo a $0^{\circ} C$ en el volumen $V_{0}$ a la derecha y condiciones de flujo estacionario de calor a través del émbolo:

a) Calcule la cantidad de calor que fluye, por unidad de tiempo, a través del émbolo.

b) Determine la masa de hielo que se funde en un segundo.

c) Dé una expresión para el volumen del hielo, en función del tiempo, teniendo en cuenta que la densidad del hielo es nueve décimos de la densidad del agua.

d) Dé una expresión para el volumen de agua, en función del tiempo, en equilibrio con el hielo.

e) Calcule el módulo de la velocidad del émbolo y hacia donde se mueve. f) Determine cuanto tiempo transcurrirá hasta que el émbolo se detenga.

g) Calcule la cantidad de moles de vapor de agua que han sido suministrados durante todo el proceso (es decir desde que tenemos en el volumen derecho todo hielo hasta que tengamos todo agua).

h) Justifique porqué en todo el desarrollo del ejercicio no se ha tenido en cuenta la energía cinética que adquiere el émbolo.

NOTA:

El calor latente de vaporización del agua a $100^{\circ} C$ y presión 1 atm es 540 cal/g.
El calor latente de fusión del hielo es 80 cal/g.
Considere despreciables todos los efectos de dilatación.
Considere que la densidad del agua es constante e igual a $1 g/cm^{3}$ .
La masa molecular del agua es 18 g/mol

Ingreso de vapor L $V_{0}$ $V_{0}$ Hielo $0^{\circ} C$ Vapor $100^{\circ} C$ A

Topic: Thermodynamics, Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2: Un dispositivo apparecchiato

Un ingegnoso inventore progettò un apparecchio apparato per molteplici usi, come ad esempio essere parte di un interruttore.

Questo dispositivo consiste in un cilindro che contiene all’interno un embolio che si adatta perfettamente al cilindro, mantenendo ermeticamente isolati le due zone in cui lo divide (vedi figura) e che può scivolare, con scissione sconsiderata, all’interno del cilindro.

Il debito ha uno spessore $L = 1 cm$ , una sezione $A = 0, 001 m^{2}$ , una massa $m = 100 g$ e un coefficiente di conduzione termico $k = 5 cal/ (^{\circ} C \cdot s \cdot m)$ . Inizialmente si trova nel punto medio del cilindro, lasciando, su entrambi i lati, volumi identici $V_{0} = 1 l$ .

Il volume della sinistra del covo è mantenuto permanentemente pieno di vapore d’acqua a $100^{\circ} C$ di temperatura e pressione costante e pari a 1 atm. Questo viene fatto attraverso una valvola all’estremità, collegata a un serbatoio di vapore. Il volume a destra è inizialmente pieno di ghiaccio a $0^{\circ} C$ e viene mantenuto chiuso.

L’intero cilindro è termicamente isolato, cioè è un sistema adiabatico, cioè non c’è flusso di calore tra il cilindro ed l’esterno.

In pratica, si trova che, in condizioni di regime (chiamata stato stazionario), la quantità di calore per unità di tempo che fluisce attraverso un muro piatto di spessore e, coefficiente di conduzione termica k e area A, è data da:

$\frac{Δ Q}{Δ t} = k \cdot A \cdot \frac{Δ T}{e}$

dove $Δ T$ è la differenza di temperatura tra le facce del muro di spessore e.

Considerando che le condizioni iniziali nel tubo sono: Vapore a $100^{\circ} C$ e pressione 1 atm, a sinistra al volume $V_{0}$ ; ghiaccio a $0^{\circ} C$ al volume $V_{0}$ a destra e condizioni di flusso di calore fisso attraverso l’imbolo:

a) Calcolare la quantità di calore che scorre, per unità di tempo, attraverso l’imbolo.

b) Determina la massa di ghiaccio che si fonde in un secondo.

c) Indicare un’espressione per il volume del ghiaccio, in funzione del tempo, considerando che la densità del ghiaccio è nove decimi della densità dell’acqua.

d) Fornisce un’espressione per il volume di acqua, in funzione del tempo, in equilibrio con il ghiaccio.

e) Calcolare il modulo della velocità dell’imbolo e la direzione in cui si muove. f) Determina quanto tempo trascorrerà prima che l’embolo si ferma.

g) Calcolare la quantità di molli di vapore d’acqua che sono stati forniti durante l’intero processo (cioè dal momento in cui abbiamo nel volume destro tutto il ghiaccio fino a quando abbiamo tutto l’acqua).

h) giustificare perché, nel corso dell’esercizio, l’energia cinetica acquista da un emblema non è stata tenuta conto.

Nota:

Il calore latente di vaporizzazione dell’acqua a $100^{\circ} C$ e la pressione di 1 atm è 540 cal/g.
Il calore latente della fusione del ghiaccio è di 80 cal/g.
Considerate scarsa l’effetto di dilatazione.
Considera che la densità dell’acqua è costante ed è uguale a $1 g/cm^{3}$ .
La massa molecolare dell’acqua è di 18 g/mol

In ingresso di vapore L $V_{0}$ $V_{0}$ I ghiacci $0^{\circ} C$ Vapor $100^{\circ} C$ A

Problem 2: A device that is very convenient

A brilliant inventor designed a device for multiple uses, such as being part of a switch.

This device consists of a cylinder containing inside a cylinder that fits perfectly to the cylinder, keeping the two areas in which it divides hermetically isolated (see figure) and which can slide, with despicable friction, inside the cylinder.

The embolus has a thickness $L = 1 cm$ , section $A = 0, 001 m^{2}$ , mass $m = 100 g$ and a thermal conductivity coefficient $k = 5 cal/ (^{\circ} C \cdot s \cdot m)$ . Initially it is located in the middle of the cylinder, leaving on both sides identical volumes $V_{0} = 1 l$ .

The left embol volume is kept permanently filled with water vapour at $100^{\circ} C$ temperature and at constant pressure and equal to 1 atm. This is achieved by means of a valve at the end, connected to a steam reservoir. The right volume is initially filled with ice at $0^{\circ} C$ and is kept closed.

The entire cylinder is thermal insulated, that is, it’s an adiabatic system, which means there’s no heat flow between the cylinder and the outside.

Experimentally it is found that, under regime conditions (called stationary state), the amount of heat per unit of time flowing through a flat wall of thickness e, thermal conduction coefficient k and area A, is given by:

$\frac{Δ Q}{Δ t} = k \cdot A \cdot \frac{Δ T}{e}$

where $Δ T$ is the temperature difference between the faces of the wall of thickness e.

Whereas the initial conditions in the tube are: Steam at $100^{\circ} C$ and pressure 1 atm, left at $V_{0}$ volume; ice at $0^{\circ} C$ volume $V_{0}$ right and conditions of steady heat flow through the embankment:

(a) Calculate the amount of heat flowing, per unit of time, through the embolus.

(b) Determine the mass of ice that melts in one second.

(c) Give an expression for the volume of ice, based on time, taking into account that the density of ice is nine tenths of the density of water.

(d) Give an expression for the volume of water, in time, in equilibrium with ice.

(e) Calculate the speed module of the embezzlement and where it is moving. (f) Determine how long it will be until the embolus stops.

(g) Calculate the amount of moles of water vapour that have been supplied throughout the process (i.e. from the time we have all the ice in the right volume until we have all the water).

(h) justify why the kinetic energy of the emblem has not been taken into account throughout the development of the exercise.

Please note:

The latent heat of water vaporization at $100^{\circ} C$ and pressure of 1 atm is 540 cal/g.
The latent heat of ice melting is 80 cal/g.
Consider all effects of dilation despicable.
Consider that the water density is constant and equal to $1 g/cm^{3}$ .
The molecular weight of water is 18 g/mol

Steam input L $V_{0}$ $V_{0}$ Hielo $0^{\circ} C$ Vapor $100^{\circ} C$ A

Problema 3: Un líquido muy escurridizo

Introducción El helio superfluido es un líquido transparente muy frío. La razón por la cual a este líquido se lo denomina superfluido es porque cuando fluye no tiene rozamiento viscoso. Esto significa que si una partícula de prueba (una esfera por ejemplo) se desplaza en su seno, lo hace sin sentir una fuerza de roce, es decir se desplaza sin intercambiar ni energía ni impulso. Sin embargo, después de realizar algunos experimentos, se observó que la ausencia de roce entre una partícula de prueba y el superfluido es válida siempre y cuando la velocidad de la partícula de prueba sea menor que una velocidad crítica $V_{C}$ medida respecto de un referencial en el cual el helio superfluido está en reposo. Una forma muy elemental, pero útil, de imaginar al superfluido es pensarlo como compuesto de cuasipartículas que tienen energía nula e impulso nulo. En el caso que una esfera de prueba “choque” elásticamente contra alguna de las cuasipartículas del líquido superfluido esta cuasipartícula adquiere un impulso p y una energía $ϵ$ .

Problema. Un partícula de masa $M = 6, 6 \times 1 0^{- 22} g$ se mueve en el seno de helio superfluido a una velocidad V . Suponga que la partícula de prueba de masa M choca elásticamente contra una cuasipartícula del helio superfluido. La velocidad de M posterior al choque es $V_{1}$ mientras que el impulso y la energía de la cuasipartícula del helio superfluido son p y $ϵ$ respectivamente. Considerando que hay un choque elástico entre la partícula de prueba y la cuasipartícula y suponiendo que el impulso de las partículas involucradas en el choque están en la misma dirección:

a) Encuentre una expresión para: i) $ϵ$ en término de $V_{1}^{2}$ , M y V. ii) $V_{1}^{2}$ en término de M, V y p. iii) $ϵ$ en término de V, M y p.

Experimentalmente se encuentra que la energía de una cuasipartícula es una función del impulso p. Dado el impulso p la energía $ϵ (p)$ se puede determinar de la curva experimental mostrada en el gráfico 1. Como ejemplo está la cruz indicando que si el impulso es $p = 1, 1 \times 1 0^{- 19} g cm/s$ entonces la energía $ϵ = 1, 9 \times 1 0^{- 15} erg$ .

b) De acuerdo con los argumentos presentados en la introducción, muestre que efectivamente no existe interacción si V es menor que un valor crítico $V_{C}$ .

c) Encuentre, gráficamente, dos juegos de valores posibles de p y $ϵ$ para $V > V_{C}$ .

d) Encuentre el valor o los valores de V correspondientes a esas dos soluciones del punto c). Energía en función del impulso para las partículas que componen el helio superfluido 0 1e-21 2e-21 3e-21 Impulso p [g cm/s] 0 5e-16 1e-15 1.5e-15 2e-15 2.5e-15 Energía $ϵ$ [erg] 0 5e-16 1e-15 1.5e-15 2e-15 2.5e-15 Energía $ϵ$ [erg]

Gráfico 1

Nota: El problema que le hemos planteado es una adecuación del modelo planteado por L. Landau el 21 de mayo de 1941 al Journal of Physics para explicar algunos de los fenómenos observados en superfluidos. OLIMPÍADA ARGENTINA DE FÍSICA 2003

Instancia Nacional

PRUEBA EXPERIMENTAL 20 de Octubre de 2003

Escriba su nombre en todas las hojas y enumere las mismas.
Recuerde que no puede utilizar calculadoras programables ni ningún otro material que no esté incluido en la prueba, aparte de los útiles de escritura.
Antes de empezar a resolver cada problema lea cuidadosamente TODO el enunciado del mismo.

Nombre:

Número total de hojas entregadas (incluyendo la carátula y los enunciados): Olimpíada Argentina de Física 2003 Prueba experimental

Plano inclinado

Objetivo

El objetivo de esta prueba experimental es la determinación de la aceleración de la gravedad “g” del lugar.

Teoría

La aceleración $a_{C M}$ del centro de masa de una esfera que rueda sin deslizar por un plano inclinado, habiendo partido con velocidad cero, es:

$a_{C M} = \frac{2 x _{0}}{t ^{2}}, [1]$

donde $x_{0}$ es la distancia recorrida por el centro de masa de la esfera, y t el intervalo de tiempo que demora en recorrer esa distancia. Una manera de tener un plano inclinado es tomar un perfil “U” e inclinarlo un ángulo $α$ respecto a la horizontal, como se muestra en la figura 1(a).

Figura 1: Vista lateral (a) y frontal (b) del dispositivo experimental.

De la figura 1(b) puede obtenerse la relación $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ donde r es la distancia entre el centro de la esfera y el eje S, definido por la recta que pasa por los puntos del perfil “U” en donde se apoya la esfera, R es el radio de la esfera y d la mitad del ancho interno del perfil. Teniendo en cuenta la relación anterior y sabiendo que una esfera que rueda sin deslizar tiene energía cinética de traslación y rotación, se encuentra que la aceleración de su centro de masa está dada por:

$α$ O x L h

esfera R r 2d S Perfil en U (a) (b) Tornillo para regular la altura del plano inclinado

$a_{C M} = \frac{g sen α}{[ 1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )} ]}, [2]$

donde se ve que para un valor de d y una dada inclinación $α$ del plano inclinado, la aceleración del centro de masa ( $a_{C M}$ ) cambiará si se usan esferas de distintos radios (R). A partir de [2] y usando que $sen α = h / L$ , resulta

$a_{C M} [1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )}] L = g h,$

o equivalentemente

$w = g h, [3]$

donde,

$w = a_{C M} [1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )}] L .$

Lista de materiales

Un perfil con tornillo para regular el desnivel.
Tres esferas de acero de radios conocidos.
Una cinta métrica.
Un cronómetro. (Ver hoja donde se explica su funcionamiento).
Trozos de papel adhesivo.
Un trozo de trapo.
Una placa de hierro con una muesca cónica.
Hojas de papel blanco y milimetrado.
Un guante de látex descartable.

Lea TODAS las instrucciones ANTES de comenzar

Procedimiento experimental

1- Mida L [ver figura 1(a)]. 2- Acomode el perfil en la mesa de modo que la punta del tornillo asiente sobre la muesca cónica de la placa metálica. 3- Una vez acomodado el perfil en U en la mesa, NO LO MUEVA (DESPLACE) durante TODO el experimento. 4- Tome la esfera de menor radio, colóquela en las proximidades del extremo más elevado del perfil en U y regule la mínima altura del tornillo de modo que la esfera ruede si usted la suelta. 5- Tome uno de los trozos de papel adhesivo y péguelo en el perfil en el lugar a partir del cual liberará todas las esferas. 6- Determine $x_{0}$ . 7- Sostenga con un dedo la esfera colocada en el punto que ya marcó con el papel adhesivo; en la otra mano sostenga el cronómetro. En el momento en que “suelta” la esfera para que comience a rodar, dispare el cronómetro y deténgalo cuando la esfera choque contra la chapa que se encuentra al final de perfil. Utilice el guante de látex para manipular la esfera de manera de mantener libre de grasas a la superficie de la misma. 8- Haciendo uso del transportador y la aguja adosada al tornillo puede medir las variaciones $Δ h$ . De ese modo resulta $h = h_{0} + Δ h$ [ver figura 1(a)], donde $h_{0}$ corresponde al valor de mínima altura dada por el tornillo obtenida en el punto 4 (este experimento está diseñado de manera tal que no es necesario medir los valores de h ni $h_{0}$ siendo sólo necesario medir $Δ h$ ). 9- Repita esta operación con todas las esferas y valores $Δ h$ que considere necesarios.

Requerimientos:

A. Mida L con su error.
B. Construya tablas con todos los datos de $x_{0}$ , t y $Δ h$ medidos.
C. Calcule $a_{C M}$ haciendo uso de la ecuación [1] para las diferentes esferas y distintas $Δ h$ .
D. Construya un gráfico de w en función de $Δ h$ para cada una de las esferas con los puntos medidos.
E. Determine para cada caso los valores de g y $h_{0}$ . f) Compare los valores de $h_{0}$ obtenidos del gráfico para la esfera de mayor y menor diámetro. En no más de cinco renglones explique cualitativamente la diferencia observada en la comparación realizada. g) Describa detalladamente los criterios utilizados en la determinación de los errores de todas las cantidades medidas y determinadas.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Sphere, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 3: Un liquido molto scurridente

Introduzione L’elio superfluido è un liquido trasparente molto freddo. Il motivo per cui questo liquido è chiamato superfluido è che quando fluisce non ha un’erosione viscosa. Ciò significa che se una particella di prova (una sfera per esempio) si sposta nel suo seno, lo fa senza sentire una forza di rottura, cioè si sposta senza scambiare né energia né impulso. Tuttavia, dopo aver effettuato alcuni esperimenti, si è osservato che l’assenza di rottura tra una particella di prova e il superfluido è valida a condizione che la velocità della particella di prova sia inferiore a una velocità critica $V_{C}$ misurata rispetto a un riferimento in cui l’elio superfluido è a riposo. Un modo molto elementare, ma utile, per immaginare il superfluido è pensarlo come composto da quasi-particelle che hanno energia zero e impulso zero. Nel caso in cui una sfera di prova “colpisca” elasticamente contro una delle quasi-particelle del liquido superfluo, questa quasi-particella acquista un impulso p e un’energia $ϵ$ .

Non è così. Una particella di massa $M = 6, 6 \times 1 0^{- 22} g$ si muove nel seno dell’elio superfluo a velocità V. Supponiamo che la particella di prova di massa M colpisca elasticamente una quasi particella di elio superfluido. La velocità di M dopo l’impatto è $V_{1}$ mentre la pulsazione e l’energia della quasiparticella dell’elio superfluido sono p e $ϵ$ rispettivamente. Considerando che vi è un colpo elastico tra la particella di prova e la quasi-particella e supponendo che la forza delle particelle coinvolte nella collisione siano nella stessa direzione:

a) Trova un’espressione per: i) $ϵ$ in termini di $V_{1}^{2}$ , M e V. (ii) $V_{1}^{2}$ per M, V e p. (iii) $ϵ$ in termini di V, M e p.

Si trova sperimentalmente che l’energia di una quasi-particella è una funzione dell’impulso p. Dato l’impulso p l’energia $ϵ (p)$ può essere determinata dalla curva sperimentale mostrata nel grafico 1. Come esempio è la croce che indica che se l’impulso è $p = 1, 1 \times 1 0^{- 19} g cm/s$ allora l’energia $ϵ = 1, 9 \times 1 0^{- 15} erg$ .

b) Sulla base degli argomenti presentati all’inizio, dimostrare che non vi è effettivamente alcuna interazione se V è inferiore a un valore critico $V_{C}$ .

c) Trova, graficamente, due possibili set di valori di p e $ϵ$ per $V > V_{C}$ .

d) Trova il valore o i valori di V corrispondenti a queste due soluzioni di punto c). Energia a seconda dell’impulso per le particelle che ne compongono di cui al punto 1.6.1. 0 1e-21 2e-21 3e-21 Impulso p [g cm/s] 0 5e-16 1e-15 1.5e-15 2e-15 2.5e-15 Energia $ϵ$ [erg] 0 5e-16 1e-15 1.5e-15 2e-15 2.5e-15 Energia $ϵ$ [erg]

Grafico 1

Nota: Il problema che abbiamo presentato è un’adeguatezza del modello presentato da L. Landau il 21 maggio 1941 al Journal of Physics per spiegare alcuni dei fenomeni osservati nei superfluidi. L’OLIMPIADA ARGENTINA Fisica 2003

Instanza nazionale

Prove sperimentali 20 ottobre 2003

Scrivi il tuo nome su tutti i fogli e elencali.
Ricorda che non puoi usare calcolatori programmabili o altri materiali non inclusi nella prova, tranne gli strumenti di scrittura.
Prima di iniziare a risolvere ogni problema, leggi attentamente TUTTA la sua frase.

Nome:

Numero totale di fogli consegnati (inclusi il foglio e le dichiarazioni): Olimpiada Argentina di Fisica 2003 Prova sperimentale

Piano inclinato

Obiettivo

L’obiettivo di questo test sperimentale è determinare l’accelerazione della gravità “g” del luogo.

Teoria

L’accelerazione $a_{C M}$ del centro di massa di una sfera che ruota senza scivolare in un piano inclinato, dopo essere partita a zero velocità, è:

$a_{C M} = \frac{2 x _{0}}{t ^{2}}, [1]$

dove $x_{0}$ è la distanza percorsa dal centro di massa della sfera, e t l’intervallo di tempo impiegato per percorrere tale distanza. Un modo per avere un piano inclinato è prendere un profilo “U” e inclinarlo un angolo $α$ rispetto all’orizzontale, come mostrato nella figura 1(a).

Figura 1: Vista laterale (a) e frontale (b) del dispositivo sperimentale.

Dalla figura 1(b) si può ottenere il rapporto $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ dove r è la distanza tra il centro della sfera e l’asse S, definita dalla retta che passa attraverso i punti del profilo “U” in cui la sfera si appoggia, R è il raggio della sfera e d la metà della larghezza interna del profilo. Considerando la relazione precedente e sapendo che una sfera che ruota senza scivolare ha energia cinetica di traslazione e rotazione, si trova che l’accelerazione del suo centro di massa è data da:

$α$ O x L h

sfera R r 2d S Profil in U (a) (b) Torino per regolare l’altezza del piano inclinato

$a_{C M} = \frac{g sen α}{[ 1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )} ]}, [2]$

dove si vede che per un valore di d e una determinata inclinazione $α$ del piano inclinato, l’accelerazione del centro di massa ( $a_{C M}$ ) cambierà se si utilizzano sfere di diversi raggi (R). A partire da [2] e usando $sen α = h / L$ , si ottiene

$a_{C M} [1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )}] L = g h,$

o equivalentemente

$w = g h, [3]$

dove,

$w = a_{C M} [1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )}] L .$

Lista dei materiali

Un profilo con un tornino per regolare il livello.
Tre sfere di acciaio di radio conosciute.
Una cinta metrica.
Un cronometro. (Vedi foglio che ne spiega il funzionamento).
Pezzi di carta adesiva.
Un pezzo di lino.
Una targa di ferro con una muesca conica.
Fogli di carta bianca e millimetrica.
Un guanto di latex scaricabile.

Leggi TUTTE le istruzioni prima di iniziare

Procedura sperimentale

1- Mita L [vedi figura 1(a)]. 2- Accogliere il profilo sul tavolo in modo che la punta dello scheggia si sia appesa sulla muesca conica della scheda metallica. 3- Una volta che il profilo in U è stato inserito sul tavolo, NON lo muova (SPLASSA) durante l’intero esperimento. 4- Prendi la sfera a radius minore, colloca la sfera in U, vicino all’estremità più alta del profilo e regola la minima altezza del turretto in modo che la sfera ruoli se la rilasci. 5- Prendi uno dei pezzi di carta adesiva e colla sul profilo nel luogo da cui libererai tutte le sfere. 6- Determina $x_{0}$ . 7- Sosteni con un dito la sfera posta al punto che hai già segnato con la carta adesiva; con l’altra mano sosteni il cronometro. Quando la sfera “spazza” per iniziare a girare, spara il cronometro e fermati quando la sfera colpisce la scheda che si trova alla fine del profilo. Utilizzare il guanto di latex per manipolare la sfera in modo da mantenere libera da grasso la superficie della sfera. 8- Utilizzando il trasportatore e la ago adatta al tornello, si possono misurare le variazioni $Δ h$ . In questo modo si ottiene $h = h_{0} + Δ h$ [vedi figura 1(a)], dove $h_{0}$ corrisponde al valore di altezza minima dato dal turretto ottenuto al punto 4 (questo esperimento è progettato in modo tale da non essere necessario misurare i valori di h né $h_{0}$ , ma solo $Δ h$ ). 9- Ripeti questa operazione con tutte le sfere e valori $Δ h$ che ritieni necessari.

Requisiti:

A. Misura L con il suo errore.
B. Costruire tabelle con tutti i dati di $x_{0}$ , t e $Δ h$ misurati.
C. Calcolare $a_{C M}$ utilizzando l’equazione [1] per le diverse sfere e differenti $Δ h$ .
D. Costruire un grafico di w in funzione di $Δ h$ per ciascuna sfera con i punti misurati.
E. Determina per ciascun caso i valori di g e $h_{0}$ . f) Confronta i valori $h_{0}$ ottenuti dal grafico per la sfera di più grande e più piccola diametro. In non più di cinque lingue, spiegare qualitativamente la differenza osservata nel confronto effettuato. (g) Descrive in dettaglio i criteri utilizzati per determinare gli errori di tutte le quantità misurate e determinate.

Problem 3: A very slippery liquid

The following is the list of the countries of the European Union: Superfluid helium is a very cold, transparent liquid. The reason this liquid is called superfluid is because when it flows it has no viscous friction. This means that if a test particle (a sphere, for example) moves in its bosom, it does so without feeling a force of friction, that is, it moves without exchanging energy or impulse. However, after some experiments, it was observed that the absence of friction between a test particle and the superfluid is valid as long as the test particle speed is less than a critical speed $V_{C}$ measured relative to a reference point at which the superfluid helium is at rest. A very basic, but useful way to imagine superfluid is to think of it as composed of quasiparticles that have zero energy and zero momentum. In the event that a test sphere “shocks” elastically against any of the quasiparticles of the superfluid liquid, this quasiparticle acquires a p-impulse and an energy $ϵ$ .

It’s a problem. A mass particle $M = 6, 6 \times 1 0^{- 22} g$ moves within superfluid helium at a velocity of V. Suppose the mass test particle M collides elastically with a quasiparticle of superfluid helium. The velocity of M after impact is $V_{1}$ while the impulse and energy of the superfluid helium quasiparticle are p and $ϵ$ respectively. Whereas there is an elastic shock between the test particle and the quasiparticle and assuming that the momentum of the particles involved in the shock is in the same direction:

(a) Find an expression for: (i) $ϵ$ in terms of $V_{1}^{2}$ , M and V. (ii) $V_{1}^{2}$ in terms of M, V and p. (iii) $ϵ$ in terms of V, M and p.

Experimentally, the energy of a quasiparticle is a function of the momentum p. Given the impulse p the energy $ϵ (p)$ can be determined from the experimental curve shown in graph 1. As an example is the cross indicating that if the momentum is $p = 1, 1 \times 1 0^{- 19} g cm/s$ then the energy is $ϵ = 1, 9 \times 1 0^{- 15} erg$ .

(b) According to the arguments presented in the introduction, show that there is no interaction if V is less than a critical value $V_{C}$ .

(d) Find the value or values of V for those two solutions in point (c). Energy based on momentum for the particles which compose Superfluid helium 0 1e-21 2e-21 3e-21 The following shall be added to the list of the following: 0 5e-16 1e-15 1.5e-15 2e-15 2.5e-15 Energía $ϵ$ [erg] 0 5e-16 1e-15 1.5e-15 2e-15 2.5e-15 Energía $ϵ$ [erg]

The following table shows the following:

Note: The problem we have raised to you is an adequacy of the model posed by L. Landau on May 21, 1941 to the Journal of Physics to explain some of the phenomena observed in superfluids. The Argentine Olympic Games The Commission has also adopted a proposal for a regulation on the

National court

The test is carried out in a test. 20 October 2003

Write your name on all the sheets and list them.
Remember that you cannot use programmable calculators or any other material not included in the test, other than writing tools.
Before you start solving every problem, read carefully the entire statement.

Name of the company:

Total number of sheets delivered (including cover and statements): Argentine Olympic Games in Physics 2003 The test shall be carried out in accordance with the following conditions:

The slope of the line

Objective

The objective of this experimental test is to determine the acceleration of the gravity “g” of the place.

Theory

The acceleration $a_{C M}$ of the centre of mass of a sphere spinning without sliding on an inclined plane, having started at zero speed, is:

$a_{C M} = \frac{2 x _{0}}{t ^{2}}, [1]$

where $x_{0}$ is the distance travelled by the centre of mass of the sphere, and t is the interval of time taken to travel that distance. One way to have an inclined plane is to take a “U” profile and tilt it an angle $α$ to the horizontal, as shown in Figure 1(a).

Figure 1: Side view (a) and front view (b) of the experimental device.

From figure 1 ((b) the $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ ratio can be obtained where r is the distance between the centre of the sphere and the S axis, defined by the straight line passing through the points of the “U” profile on which the sphere rests, R is the radius of the sphere and d half the interior width of the profile. Taking into account the above relationship and knowing that a sphere that spins without sliding has kinetic energy of translation and rotation, it is found that the acceleration of its center of mass is given by:

$α$ O x L h

Sphere R r 2d S Profile in U (a) (b) Turning for adjusting the height of the inclined plane

$a_{C M} = \frac{g sen α}{[ 1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )} ]}, [2]$

where it is seen that for a value of d and a given slope $α$ of the slope plane, the acceleration of the centre of mass ( $a_{C M}$ ) will change if spheres of different radii (R) are used. From [2] and using $sen α = h / L$ , it is

$a_{C M} [1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )}] L = g h,$

or equivalent

$w = g h, [3]$

where,

$w = a_{C M} [1 + \frac{2}{5} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} - d ^{2} )}] L .$

List of materials

A profile with screw to regulate the level gap.
Three known radio steel spheres.
It’s a tape recorder.
A timepiece. (See sheet explaining how it works).
Pieces of sticky paper.
A piece of cloth.
A plate of iron with a conical notch.
It’s a sheet of white, millimeter paper.
A disposable latex glove.

Read ALL the instructions before you start

The experimental procedure

The following information is provided by the Commission: 2- Place the profile on the table so that the tip of the screw sits on the conical notch of the metal plate. 3- Once the profile is placed in U on the table, DO NOT move it (DESPLACE) during the entire experiment. 4- Take the lower-radio sphere, place it near the upper end of the profile in U and adjust the minimum height of the screw so that the sphere rolls if you release it. 5- Take one of the pieces of adhesive paper and stick it to the profile at the place from which it will release all the spheres. 6- Determine $x_{0}$ . 7- Hold the ball in the spot you have already marked with the adhesive paper with one finger; hold the chronometer with the other hand. The moment the sphere “loops” to start rolling, fire the chronometer and stop it when the sphere hits the sheet at the end of the profile. Use the latex glove to manipulate the sphere so that it is free of fat on the surface. 8- Using the conveyor and the needle attached to the screw, the $Δ h$ variations can be measured. Thus $h = h_{0} + Δ h$ is obtained [see figure 1(a) ], where $h_{0}$ is the minimum height value given by the screw obtained in point 4 (this experiment is designed so that neither h nor $h_{0}$ values need to be measured and only $Δ h$ is needed). Repeat this operation with all spheres and values $Δ h$ that you deem necessary.

Requirements:

A Measure L with its error.
B. Build tables with all data from $x_{0}$ , t and $Δ h$ measurements.
C. Calculate $a_{C M}$ using the equation [1] for different and distinct spheres $Δ h$ .
D. Construct a graph of w based on $Δ h$ for each of the spheres with the measured points.
E. Determine for each case the values of g and $h_{0}$ . f) Compare the values of $h_{0}$ obtained from the graph for the larger and smaller diameter sphere. In no more than five lines, qualitatively explain the difference observed in the comparison. (g) Describe in detail the criteria used to determine the errors of all quantities measured and determined.

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Vista grafico