Argentina 2004

Problema 1: Viaje a las Estrellas

La serie televisiva “Viaje a las Estrellas” ha sido motivo de interesantes discusiones acerca de la viabilidad científica y tecnológica de los recursos operativos de los que dispone la tripulación de la nave Enterprise. Entre los más sobresalientes de estos recursos se destacan el generador de potencia por aniquilación de materia-antimateria, el teletransportador, el holodeck que permite construir hologramas de materia (no sólo de luz, como actualmente se puede), etc.

Un hecho sumamente llamativo, al menos para el autor de este problema, es que los ocupantes de la nave Enterprise, independientemente del lugar del espacio en donde ésta se encuentre, siempre sienten la acción de un campo gravitatorio similar al terrestre, el cual les permite desplazarse por toda la nave, sin mayores inconvenientes.

El presente problema tiene por objetivo analizar, desde el punto de vista físico, dos posibles modelos de construcción de la nave Enterprise, para que esto ocurra:

Modelo I: Supongamos que la nave Enterprise, de masa $m=2,0\times 10^7\text{kg}$, arrastra junto con ella una esfera de masa $M$, tal como se muestra en la Figura 1, construida de un material de altísima densidad, $\rho$.

Figura 1

La esfera, de radio $R=500\text{m}$, está firmemente unida a la nave. Además, ésta, posee dos motores para su propulsión.

a) Calcule la masa $M$ de dicha esfera para que el campo gravitatorio que genera sobre el piso de la nave, corresponda a una aceleración gravitatoria igual $0,8g$, donde $g$ es la aceleración de la gravedad terrestre, la cual tomaremos igual a $g=9,8{\text{m/s}}^2$. Evalúe el valor de la densidad del material con el que está construida la esfera.

Desprecie todo efecto gravitatorio debido a la masa de la nave Enterprise. Modelo II: Los motores de la nave Enterprise, también de masa $m=2,0\times 10^7\text{kg}$, permiten que ésta se desplace permanentemente con una aceleración $a$ de magnitud menor o igual que $a_{\text{max}}=0,8g$, de modo que esta aceleración se sienta como debida a un campo gravitatorio constante (ver Figura 2). ¡Tenga presente lo que le sucede a Ud. cuando va de pie en un colectivo y el chofer acelera!

Figura 2

Suponga que la misión de la tripulación de la Enterprise sea recorrer en línea recta una distancia $D=6,0\times 10^{11}\text{km}$ en un tiempo $T=1,6\times 10^7\text{s}$. Dependiendo de cual de los dos modos de construcción de la Enterprise se utilice, el Capitán debe realizar distintos planes de vuelo.

Si la nave ha sido construida de acuerdo al modelo I, el viaje se planifica de la siguiente forma: la nave, inicialmente en reposo, se acelera durante un tiempo $T_a$ con una aceleración igual a $0,6g$; luego, durante un tiempo $T_u$ el viaje se realiza a velocidad constante, $v_f$.

b) Calcule los tiempos $T_a$ y $T_u$ y determine el módulo de la velocidad $v_f$ a la cual se recorre el trayecto en el que el movimiento es a velocidad constante.

c) Calcule la energía total consumida por los motores de la nave en este caso.

Si la nave Enterprise ha sido construida de acuerdo al modelo II,

d) Determine la aceleración que se debe impartir a la nave, para cumplir con la misión propuesta. Suponga nuevamente que la nave está inicialmente en reposo.

e) En este caso, calcule la energía total consumida por los motores de la nave.

f) Si Ud. fuese a financiar los viajes de la Enterprise, ¿cuál de los dos modos de construcción exigiría? Justifique su respuesta.

En todos los casos suponga que la nave sólo viaja en trayectos rectos y que no realiza movimientos de rotación. Además, no considere etapas de frenado, pues la misión consiste sólo en aproximarse a un sitio ubicado a una distancia $D$; no en posarse sobre un planeta ubicado en el sitio. Figura 3

Suponga ahora que en el primer modelo de la nave Enterprise, se coloca una mesa con una pista recta sobre la cual puede deslizar sin rozamiento, sobre una de sus caras, un disco pequeño de masa $\mu =1\text{kg}$ ; ver figura 3 (El dibujo no está a escala ¡!). Este disco se deja en reposo sobre la pista cerca del borde de la mesa y se observa que realiza un movimiento oscilatorio, sin caerse de la mesa.

g) Justifique que tal movimiento oscilatorio es posible y calcule el período de oscilación de dicho movimiento. Para esto último, distinga las dos situaciones: i) cuando el movimiento de la nave es uniforme, y ii) cuando la nave está acelerada.

Considere que el módulo de la fuerza total que actúa sobre el disco es constante, despreciando de esta manera la distancia entre el centro del disco y el suelo de la nave, es decir considere $R^{\prime }\approx R$.

La constante de gravitación universal es $G=6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3/(\text{kg}\cdot {\text{s}}^2)$.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Disk, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 1: Viaggio verso le Stelle

La serie televisiva “Viaggio verso le Stelle” è stata motivo di interessanti discussioni sulla fattibilità scientifica e tecnologica delle risorse operative di cui dispone l’equipaggio dell’astronave Enterprise. Tra le più notevoli di queste risorse si distinguono il generatore di potenza per annichilazione materia-antimateria, il teletrasporto, l’holodeck che permette di costruire ologrammi di materia (non solo di luce, come attualmente è possibile), ecc.

Un fatto estremamente singolare, almeno per l’autore di questo problema, è che gli occupanti dell’astronave Enterprise, indipendentemente dal luogo dello spazio in cui essa si trovi, sentono sempre l’azione di un campo gravitazionale simile a quello terrestre, il quale permette loro di spostarsi per tutta l’astronave, senza maggiori inconvenienti.

Il presente problema ha per obiettivo analizzare, dal punto di vista fisico, due possibili modelli di costruzione dell’astronave Enterprise, affinché ciò avvenga:

Modello I: Supponiamo che l’astronave Enterprise, di massa $m=2,0\times 10^7\text{kg}$, trascini con sé una sfera di massa $M$, come mostrato nella Figura 1, costruita con un materiale di altissima densità, $\rho$.

Figura 1

La sfera, di raggio $R=500\text{m}$, è saldamente unita all’astronave. Inoltre, questa possiede due motori per la sua propulsione.

a) Calcolare la massa $M$ di detta sfera affinché il campo gravitazionale che essa genera sul pavimento dell’astronave corrisponda a un’accelerazione gravitazionale pari a $0,8g$, dove $g$ è l’accelerazione di gravità terrestre, che assumeremo uguale a $g=9,8{\text{m/s}}^2$. Valutare il valore della densità del materiale con cui è costruita la sfera.

Trascurare ogni effetto gravitazionale dovuto alla massa dell’astronave Enterprise. Modello II: I motori dell’astronave Enterprise, anch’essa di massa $m=2,0\times 10^7\text{kg}$, permettono che questa si sposti permanentemente con un’accelerazione $a$ di modulo minore o uguale a $a_{\text{max}}=0,8g$, cosicché tale accelerazione venga percepita come dovuta a un campo gravitazionale costante (vedi Figura 2). Tenete presente ciò che vi succede quando siete in piedi su un autobus e l’autista accelera!

Figura 2

Supponete che la missione dell’equipaggio dell’Enterprise sia percorrere in linea retta una distanza $D=6,0\times 10^{11}\text{km}$ in un tempo $T=1,6\times 10^7\text{s}$. A seconda di quale dei due modi di costruzione dell’Enterprise venga utilizzato, il Capitano deve realizzare diversi piani di volo.

Se l’astronave è stata costruita secondo il modello I, il viaggio viene pianificato nel modo seguente: l’astronave, inizialmente in quiete, accelera per un tempo $T_a$ con un’accelerazione pari a $0,6g$; poi, per un tempo $T_u$ il viaggio avviene a velocità costante, $v_f$.

b) Calcolare i tempi $T_a$ e $T_u$ e determinare il modulo della velocità $v_f$ alla quale viene percorso il tratto in cui il moto avviene a velocità costante.

c) Calcolare l’energia totale consumata dai motori dell’astronave in questo caso.

Se l’astronave Enterprise è stata costruita secondo il modello II,

d) Determinare l’accelerazione che deve essere impartita all’astronave, per adempiere alla missione proposta. Supporre nuovamente che l’astronave sia inizialmente in quiete.

e) In questo caso, calcolare l’energia totale consumata dai motori dell’astronave.

f) Se Lei dovesse finanziare i viaggi dell’Enterprise, quale dei due modi di costruzione richiederebbe? Giustificare la risposta.

In tutti i casi supporre che l’astronave viaggi solo su tragitti rettilinei e che non effettui movimenti di rotazione. Inoltre, non considerare le fasi di frenata, poiché la missione consiste solo nell’avvicinarsi a un sito situato a una distanza $D$; non nel posarsi su un pianeta situato nel sito. Figura 3

Supporre ora che nel primo modello dell’astronave Enterprise, si collochi un tavolo con una pista rettilinea sulla quale può scivolare senza attrito, su una delle sue facce, un piccolo disco di massa $\mu =1\text{kg}$ ; vedere figura 3 (Il disegno non è in scala !). Questo disco viene lasciato in quiete sulla pista vicino al bordo del tavolo e si osserva che effettua un movimento oscillatorio, senza cadere dal tavolo.

g) Giustificare che tale movimento oscillatorio è possibile e calcolare il periodo di oscillazione di detto movimento. Per quest’ultimo, distinguere le due situazioni: i) quando il movimento dell’astronave è uniforme, e ii) quando l’astronave è accelerata.

Si consideri che il modulo della forza totale che agisce sul disco è costante, trascurando in questo modo la distanza tra il centro del disco e il suolo dell’astronave, cioè si consideri $R^{\prime }\approx R$.

La costante di gravitazione universale è $G=6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3/(\text{kg}\cdot {\text{s}}^2)$.

Problem 1: Star Trek

The television series “Star Trek” has been the subject of interesting discussions about the scientific and technological feasibility of the operational resources available to the crew of the Enterprise. Among the most outstanding of these resources are the matter-antimatter annihilation power generator, the transporter, the holodeck that allows the construction of matter holograms (not just light, as is currently possible), etc.

A highly striking fact, at least for the author of this problem, is that the occupants of the Enterprise, regardless of the location in space where it is, always feel the action of a gravitational field similar to Earth’s, which allows them to move throughout the ship without major inconveniences.

The purpose of this problem is to analyze, from a physical point of view, two possible construction models of the Enterprise, so that this occurs:

Model I: Suppose that the Enterprise, of mass $m=2,0\times 10^7\text{kg}$, drags along with it a sphere of mass $M$, as shown in Figure 1, made of a material of very high density, $\rho$.

Figure 1

The sphere, of radius $R=500\text{m}$, is firmly attached to the ship. Furthermore, the ship has two engines for its propulsion.

a) Calculate the mass $M$ of said sphere so that the gravitational field it generates on the floor of the ship corresponds to a gravitational acceleration equal to $0,8g$, where $g$ is the Earth’s gravitational acceleration, which we will take as equal to $g=9,8{\text{m/s}}^2$. Evaluate the value of the density of the material with which the sphere is built.

Neglect any gravitational effect due to the mass of the Enterprise ship. Model II: The engines of the Enterprise ship, also of mass $m=2,0\times 10^7\text{kg}$, allow it to move permanently with an acceleration $a$ of magnitude less than or equal to $a_{\text{max}}=0,8g$, so that this acceleration is felt as due to a constant gravitational field (see Figure 2). Keep in mind what happens to you when you are standing on a bus and the driver accelerates!

Figure 2

Suppose that the mission of the Enterprise crew is to travel in a straight line a distance $D=6,0\times 10^{11}\text{km}$ in a time $T=1,6\times 10^7\text{s}$. Depending on which of the two modes of construction of the Enterprise is used, the Captain must carry out different flight plans.

If the ship has been built according to model I, the trip is planned as follows: the ship, initially at rest, accelerates for a time $T_a$ with an acceleration equal to $0,6g$; then, for a time $T_u$ the trip is made at constant speed, $v_f$.

b) Calculate the times $T_a$ and $T_u$ and determine the magnitude of the speed $v_f$ at which the segment in which the motion is at constant speed is traveled.

c) Calculate the total energy consumed by the ship’s engines in this case.

If the Enterprise ship has been built according to model II,

d) Determine the acceleration that must be imparted to the ship, in order to fulfill the proposed mission. Assume again that the ship is initially at rest.

e) In this case, calculate the total energy consumed by the ship’s engines.

f) If you were to finance the Enterprise’s trips, which of the two construction modes would you require? Justify your answer.

In all cases assume that the ship only travels along straight paths and does not perform rotational movements. Furthermore, do not consider braking stages, since the mission consists only of approaching a site located at a distance $D$; not in landing on a planet located at the site. Figure 3

Assume now that in the first model of the Enterprise ship, a table with a straight track is placed on one of its faces, on which a small disk of mass $\mu =1\text{kg}$ can slide without friction; see figure 3 (The drawing is not to scale!). This disk is left at rest on the track near the edge of the table and it is observed that it performs an oscillatory motion, without falling off the table.

g) Justify that such oscillatory motion is possible and calculate the period of oscillation of said motion. For the latter, distinguish the two situations: i) when the ship’s motion is uniform, and ii) when the ship is accelerated.

Consider that the magnitude of the total force acting on the disk is constant, thus neglecting the distance between the center of the disk and the floor of the ship, that is, consider $R^{\prime }\approx R$.

The universal gravitational constant is $G=6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3/(\text{kg}\cdot {\text{s}}^2)$.

Problema 2: Un termómetro novedoso

Considere un tubo vertical abierto por ambos extremos y con secciones diferentes arriba y abajo como se muestra en la figura. En su interior se encuentran dos émbolos de masas $M=0,35\text{kg}$ y $m=0,15\text{kg}$ respectivamente, unidos por una barra rígida de peso y volumen despreciable y longitud $L$. En el espacio comprendido entre los émbolos hay $0,1$ moles de un gas ideal. El radio del émbolo de mayor área es $a=13,47\text{cm}$ y el del émbolo de menor área es $b=12,47\text{cm}$. Considere efectos de rozamiento despreciables. La presión atmosférica es $P_O$.

a) Demuestre que la presión del gas correspondiente al sistema en equilibrio a una temperatura $T$ es:

$P=P_O+\frac{(M+m)g}{\Delta S}$

donde $\Delta S$ es la diferencia entre áreas de los émbolos.

b) Encuentre una expresión que relacione la variación de temperatura con la variación de volumen ocupado por el gas.

c) Cuánto cambiará la posición de los émbolos si la temperatura varía en $1{}^{\circ }\text{C}$?

d) Cuánto tiene que valer $L$, para que la división correspondiente al $0{}^{\circ }\text{C}$ corresponda a una posición de equilibrio del émbolo mayor ubicado en el cuello del dispositivo?

e) Con estas condiciones hasta qué temperatura podrá ser utilizado el termómetro?

Datos útiles

$R=8,31\text{J/(mol K)}$

$P_O=1,013\times 10^5{\text{N/m}}^2$

$g=9,8{\text{m/s}}^2$

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Piston, Gas, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 2: Un termometro nuovo

Considera un tubo verticale aperto da entrambe le estremità e con sezioni diverse sopra e sotto come viene mostrato nella figura. All’interno si trovano due emblemi di massime $M=0,35\text{kg}$ e $m=0,15\text{kg}$ rispettivamente, unite da una barra rigida di peso e volume scarsa e lunghezza $L$. Nel spazio compreso tra gli emboli ci sono $0,1$ molli di gas ideale. Il raggio di embollo più grande è $a=13,47\text{cm}$ e quello del Embolo di superficie inferiore è $b=12,47\text{cm}$. Considerate gli effetti scadenti di un’acciaio. La pressione atmosferica è $P_O$.

a) Dimostra che la pressione del gas corrispondente al sistema in equilibrio a una temperatura $T$ è:

$P=P_O+\frac{(M+m)g}{\Delta S}$

dove $\Delta S$ è la differenza tra le aree degli emboli.

b) Trova un’espressione che relazioni la variazione di temperatura con la temperatura variazione del volume occupato dal gas.

c) Quanto cambierà la posizione degli emollienti se la temperatura varia a $1{}^{\circ }\text{C}$?

d) Quanto deve valere $L$, per che la divisione corrispondente a $0{}^{\circ }\text{C}$ corrisponde a una posizione di equilibrio del colpo maggiore collocato al collo del dispositivo?

e) In queste condizioni, fino a che temperatura può essere usato il termometro?

Dati utili

$R=8,31\text{J/(mol K)}$

$P_O=1,013\times 10^5{\text{N/m}}^2$

$g=9,8{\text{m/s}}^2$

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Piston, Gas, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem 2: A new thermometer

Consider a vertical tube open at both ends and with different sections above And down as shown in the figure. Inside it are two embos of Mass $M=0,35\text{kg}$ and $m=0,15\text{kg}$ respectively, joined by a rigid weight bar and a despicable volume and length $L$. In the space between the emboluses there are $0,1$ moles of an ideal gas. The radius of the larger embolus is $a=13,47\text{cm}$ and that of the The smallest area embolus is $b=12,47\text{cm}$. Consider the despicable effects of grinding. The atmospheric pressure is $P_O$.

(a) Demonstrate that the gas pressure of the system in equilibrium is at a The temperature $T$ is:

$P=P_O+\frac{(M+m)g}{\Delta S}$

where $\Delta S$ is the difference between the embolus areas.

(b) Find an expression that relates the temperature change to the the volume variation occupied by the gas.

(c) How much will the embolism position change if the temperature varies by $1{}^{\circ }\text{C}$?

(d) What $L$ has to be worth, so that the division corresponding to $0{}^{\circ }\text{C}$ corresponds to a balance position of the greater embolus located on the neck the device?

(e) Under these conditions, to what temperature can the What’s the thermometer?

Useful data

$R=8,31\text{J/(mol K)}$

$P_O=1,013\times 10^5{\text{N/m}}^2$

$g=9,8{\text{m/s}}^2$

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Piston, Gas, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 3: Energía Solar

En la escuela rural de Cachiyuyo (paraje inhóspito del norte cordobés) a la cual asisten 15 alumnos desde $1^{\circ }$ a $6^{\circ }$ grado hay uno de los 200 convertidores (distribuidos en tantas escuelas rurales cordobesas) de energía luminosa a energía eléctrica. Estos convertidores se denominan paneles solares. La energía eléctrica producida en los paneles solares, si no es utilizada por algún artefacto eléctrico, es almacenada en un grupo de baterías de 12 V. El esquema de conexión del circuito implementado en la escuela está expuesto en la figura 1.

Figura 1

La potencia eléctrica producida por los paneles solares depende de la insolación del día. En la figura 2 se graficó la potencia entregada por los paneles solares. El área marcada en la figura corresponde a la energía producida por los paneles, durante las horas de luz (entre las 8hs y las 18hs).

Figura 2

Si la lámpara $L_1$ está encendida todo el día (24hs). a) ¿Cuántos joules de energía consume durante un día?

Suponga que además de la lámpara $L_1$ está encendida la lámpara $L_2$. b) ¿Cuánta corriente circula por el conductor AB señalado en la figura 1? La eficiencia $\eta$ de un sistema (máquina) se define como el cociente entre el trabajo realizado ($W$) sobre la energía ($E$) entregada a ese sistema. Eso es $\eta =W/E$. La disposición del sistema de bombeo de la escuela está graficado en la figura 3. Se necesita bombear 300 litros de agua desde la napa de agua hasta el tanque de agua de la escuela. Considerando que todo el tramo vertical del caño que lleva agua al tanque está lleno de agua cuando arranca el motor y queda lleno de agua una vez que se vertieron los 300 litros de agua en el tanque: c) ¿Cuánto tiempo demora el motor en elevar los 300 litros de agua desde el pozo al tanque si la eficiencia del sistema de bombeo es $\eta =0,1$?

Figura 3

Suponga que cierto día a las 18hs cuando la escuelita de Cachiyuyo se cierra y se apagan todos los artefactos eléctricos excepto la lámpara $L_1$ las baterías tienen almacenada una energía $E_0=2\times 10^6\text{J}$. Al otro día sale el sol a las ocho de la mañana y comienza a aportar energía eléctrica según lo indicado en la figura 2. d) ¿A qué hora del día las baterías alcanzan el mínimo de energía si solo sigue encendida $L_1$? e) ¿Cuánto vale esa energía? (Exprese su resultado en joules).

Es usual que durante el invierno haya varios días nublados. Suponga que esa fue la causa por la que todas las baterías perdieron toda la energía almacenada. Por suerte amanece soleado justo el día en que es impostergable dar de beber a los animales de la granja de la escuela. Para ello se debe encender el motor de la bomba de agua que tiene un consumo constante $P_m$. Este motor funciona solo si se le suministra toda la potencia que necesita, $P_m$, si no es así, no funciona, se apaga. Suponga que, con el sol, comienza a almacenarse energía en las baterías de acuerdo con los datos de la Figura 2 y que el único artefacto conectado es la bomba de agua (ni $L_1$ está encendida). Con estos datos aconsejen a la maestra de la escuela de Cachiyuyo para que ella conozca: f) ¿cuál es la hora más temprana en la que los paneles solares y las baterías estarán en condiciones de suministrar, al motor, la potencia que necesita para funcionar ininterrumpidamente? g) ¿Hasta qué hora estará funcionando el motor del sistema de bombeo, teniendo en cuenta lo calculado y las condiciones de funcionamiento de la bomba impuestos en el punto f)? h) ¿Cuántos litros de agua podrá bombear el sistema al tanque teniendo en cuenta que $\eta =0,1$?

Datos: Potencia consumida por: $L_1$: $P_1=30\text{W}$ $L_2$: $P_2=30\text{W}$ Motor $P_m=200\text{W}$

Aceleración de la gravedad $g=9,8{\text{m/s}}^2$ Densidad del agua

$\delta =1{\text{g/cm}}^3$ OLIMPÍADA ARGENTINA DE FÍSICA 2004

OAF’2004

PRUEBA EXPERIMENTAL - 18 de Octubre de 2004

• Escriba su nombre en todas las hojas y enumere las mismas.
• Recuerde que no puede utilizar calculadoras programables ni ningún otro material que no esté incluido en la prueba, aparte de los útiles de escritura.
• Antes de empezar a resolver cada problema lea cuidadosamente TODO el enunciado del mismo.

Nombre:

Número total de hojas entregadas: Campos magnéticos – momentos magnéticos

1. Objetivo

El objetivo de esta prueba experimental es determinar el momento magnético de un imán permanente y el valor de la componente horizontal del campo magnético terrestre.

2. Teoría

Un imán permanente suspendido de su centro de masa en el seno de un campo magnético externo homogéneo $H$ se orientará, de la manera que lo hace la flecha de una brújula, en la dirección y sentido del mismo. Si se lo saca de dicha posición de equilibrio el imán comenzará a oscilar. En esta situación el campo magnético $H$ ejerce un torque restaurador dado por: $\tau =m_{H}H\sin \theta [1]$

siendo $m_H$ el momento magnético asociado al imán permanente y $\theta$ el ángulo comprendido entre el vector momento magnético y el vector campo magnético externo.

En el límite de pequeñas oscilaciones, el $\sin \theta$ se puede aproximar por $\theta$ resultando: $\tau \approx m_{H}H\theta [2]$

A partir de las ecuaciones de movimiento que nos da la mecánica se demuestra que la frecuencia angular de oscilación está dada por la siguiente expresión:

${\omega }^2={\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2=\frac{m_{H}H}{I}[3]$

donde $I$ es el momento de inercia del imán permanente y $T$ es el período de oscilación.

Una forma de generar un campo magnético externo homogéneo, de magnitud igual o mayor que el campo magnético terrestre, es por medio de un sistema conocido como bobina de Helmholtz.

Una bobina de Helmholtz consiste de dos espiras circulares de radio $R$ separadas por una distancia igual a su radio. Si ambas bobinas tienen un número de vueltas igual a $N$ y por ambas espiras circula una misma corriente $i$ (en el mismo sentido), se tiene que el campo magnético en el centro entre las dos espiras es uniforme dentro de un volumen de radio $R$. El valor de ese campo viene dado por: $H_Z=\frac{32}{\sqrt{125}}\times 10^{-6}\pi \frac{Ni}{R}[4]$

$[i]=\text{mA},[H]=\text{Gauss},[R]=\text{m}$

donde $z$ es la dirección a lo largo del eje de las bobinas. El sentido del vector $H$ depende de la dirección de circulación de la corriente.

3. Lista de materiales

Un imán permanente.

Una bobina de Helmholtz.

Un cronómetro.

Una fuente de voltaje variable.

Un multímetro.

Cable de conexión.

Hojas de papel blanco y milimetrado.

Lea TODAS las instrucciones ANTES de comenzar

4. Procedimiento experimental

1- Arme el circuito como se muestra en la Figura 1. 2- Determine la posición de equilibrio del imán en ausencia del campo magnético generado por las bobinas. Fije, como crea conveniente, la posición relativa del imán respecto al eje de las bobinas. 3- Con la posición fijada en el ítem 2, cierre el circuito y mida el período de oscilación del imán permanente para distintos valores de campo magnético externo $H$. Esto se logra variando la corriente que circula por la bobina de Helmholtz. 4- Para variar la corriente que circula por las bobinas se cuenta con una fuente (ver Figura 2) que puede generar diferencias de voltajes entre 1.5 y 9 V. Además el dispositivo, donde están las bobinas, cuenta con dos salidas que permiten variar la resistencia del circuito.

5. Requerimientos

a- Dibuje en la Figura 1 la dirección y el sentido de la posición de equilibrio determinada en el ítem 2 del procedimiento experimental. b- Registre en una tabla los valores de corriente y del período correspondiente. c- Calcule la magnitud del campo magnético generado por la bobina de Helmholtz para cada una de las corrientes que haya utilizado y los respectivos ${\omega }^2$. Confeccione una tabla con dichos valores. d- Grafique ${\omega }^2$ en función del campo magnético generado por las bobinas de Helmholtz. e- Calcule el momento de inercia del imán. f- A partir de la gráfica determine el valor de la componente horizontal del campo magnético terrestr

Topic: Circuits, Magnetism, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Battery, Magnet, Coil, Container Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 3: Energia Solare

Nella scuola rurale di Cachiyuyo (località inospitale del nord di Córdoba) alla quale frequentano 15 alunni dalla $1^{\circ }$ alla $6^{\circ }$ classe c’è uno dei 200 convertitori (distribuiti in altrettante scuole rurali di Córdoba) di energia luminosa in energia elettrica. Questi convertitori sono denominati pannelli solari. L’energia elettrica prodotta nei pannelli solari, se non è utilizzata da qualche apparecchio elettrico, è immagazzinata in un gruppo di batterie da 12 V. Lo schema di collegamento del circuito implementato nella scuola è esposto nella figura 1.

Figura 1

La potenza elettrica prodotta dai pannelli solari dipende dall’insolazione del giorno. Nella figura 2 è stata rappresentata graficamente la potenza fornita dai pannelli solari. L’area marcata nella figura corrisponde all’energia prodotta dai pannelli, durante le ore di luce (tra le 8 e le 18).

Figura 2

Se la lampada $L_1$ è accesa tutto il giorno (24 ore). a) Quanti joule di energia consuma durante un giorno?

Supponiamo che oltre alla lampada $L_1$ sia accesa la lampada $L_2$. b) Quanta corrente circola nel conduttore AB indicato nella figura 1? L’efficienza $\eta$ di un sistema (macchina) è definita come il rapporto tra il lavoro svolto ($W$) e l’energia ($E$) fornita a quel sistema. Cioè $\eta =W/E$. La disposizione del sistema di pompaggio della scuola è rappresentata graficamente nella figura 3. Si devono pompare 300 litri d’acqua dalla falda acquifera fino al serbatoio d’acqua della scuola. Considerando che tutto il tratto verticale del tubo che porta l’acqua al serbatoio è pieno d’acqua quando parte il motore e rimane pieno d’acqua una volta che i 300 litri d’acqua sono stati versati nel serbatoio: c) Quanto tempo impiega il motore a sollevare i 300 litri d’acqua dal pozzo al serbatoio se l’efficienza del sistema di pompaggio è $\eta =0,1$?

Figura 3

Supponiamo che un certo giorno alle 18 quando la piccola scuola di Cachiyuyo chiude e si spengono tutti gli apparecchi elettrici tranne la lampada $L_1$ le batterie abbiano immagazzinato un’energia $E_0=2\times 10^6\text{J}$. Il giorno successivo il sole sorge alle otto del mattino e inizia a fornire energia elettrica secondo quanto indicato nella figura 2. d) A che ora del giorno le batterie raggiungono il minimo di energia se rimane accesa solo $L_1$? e) Quanto vale quell’energia? (Esprimi il risultato in joule).

È usuale durante l’inverno avere diversi giorni nuvolosi. Supponete che questa sia stata la causa per cui tutte le batterie hanno perso tutta l’energia immagazzinata. Per fortuna albeggia soleggiato proprio il giorno in cui è improrogabile dare da bere agli animali della fattoria della scuola. Per fare ciò si deve accendere il motore della pompa dell’acqua che ha un consumo costante $P_m$. Questo motore funziona solo se gli viene fornita tutta la potenza di cui ha bisogno, $P_m$, altrimenti non funziona, si spegne. Supponete che, con il sole, inizi ad accumularsi energia nelle batterie secondo i dati della Figura 2 e che l’unico apparecchio collegato sia la pompa dell’acqua (neppure $L_1$ è accesa). Con questi dati consigliate la maestra della scuola di Cachiyuyo affinché lei sappia: f) qual è l’ora più precoce in cui i pannelli solari e le batterie saranno in condizioni di fornire, al motore, la potenza di cui ha bisogno per funzionare ininterrottamente? g) Fino a che ora starà funzionando il motore del sistema di pompaggio, tenendo conto di quanto calcolato e delle condizioni di funzionamento della pompa imposte al punto f)? h) Quanti litri d’acqua potrà pompare il sistema al serbatoio tenendo conto che $\eta =0,1$?

Dati: Potenza consumata da: $L_1$: $P_1=30\text{W}$ $L_2$: $P_2=30\text{W}$ Motore $P_m=200\text{W}$

Accelerazione di gravità $g=9,8{\text{m/s}}^2$ Densità dell’acqua

$\delta =1{\text{g/cm}}^3$ OLIMPIADE ARGENTINA DI FISICA 2004

OAF’2004

PROVA SPERIMENTALE - 18 ottobre 2004

• Scrivete il vostro nome su tutti i fogli e numerateli.
• Ricordate che non potete utilizzare calcolatrici programmabili né qualsiasi altro materiale non incluso nella prova, a parte gli strumenti di scrittura.
• Prima di iniziare a risolvere ogni problema leggete attentamente TUTTO l’enunciato dello stesso.

Nome:

Numero totale di fogli consegnati: Campi magnetici – momenti magnetici

1. Obiettivo

L’obiettivo di questa prova sperimentale è determinare il momento magnetico di un magnete permanente e il valore della componente orizzontale del campo magnetico terrestre.

2. Teoria

Un magnete permanente sospeso per il suo centro di massa all’interno di un campo magnetico esterno omogeneo $H$ si orienterà, come fa la freccia di una bussola, nella direzione e nel verso dello stesso. Se lo si allontana da tale posizione di equilibrio il magnete inizierà a oscillare. In questa situazione il campo magnetico $H$ esercita un momento torcente di richiamo dato da: $\tau =m_{H}H\sin \theta [1]$

essendo $m_H$ il momento magnetico associato al magnete permanente e $\theta$ l’angolo compreso tra il vettore momento magnetico e il vettore campo magnetico esterno.

Nel limite delle piccole oscillazioni, $\sin \theta$ si può approssimare con $\theta$ ottenendo: $\tau \approx m_{H}H\theta [2]$

A partire dalle equazioni del moto che ci fornisce la meccanica si dimostra che la frequenza angolare di oscillazione è data dalla seguente espressione:

${\omega }^2={\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2=\frac{m_{H}H}{I}[3]$

dove $I$ è il momento d’inerzia del magnete permanente e $T$ è il periodo di oscillazione.

Un modo per generare un campo magnetico esterno omogeneo, di grandezza uguale o maggiore del campo magnetico terrestre, è tramite un sistema noto come bobina di Helmholtz.

Una bobina di Helmholtz consiste di due spire circolari di raggio $R$ separate da una distanza uguale al loro raggio. Se entrambe le bobine hanno un numero di spire uguale a $N$ e attraverso entrambe le spire circola la stessa corrente $i$ (nello stesso verso), si ha che il campo magnetico al centro tra le due spire è uniforme all’interno di un volume di raggio $R$. Il valore di quel campo è dato da: $H_Z=\frac{32}{\sqrt{125}}\times 10^{-6}\pi \frac{Ni}{R}[4]$

$[i]=\text{mA},[H]=\text{Gauss},[R]=\text{m}$

dove $z$ è la direzione lungo l’asse delle bobine. Il verso del vettore $H$ dipende dalla direzione di circolazione della corrente.

3. Lista dei materiali

Un magnete permanente.

Una bobina di Helmholtz.

Un cronometro.

Una sorgente di tensione variabile.

Un multimetro.

Cavo di collegamento.

Fogli di carta bianca e millimetrata.

Leggere TUTTE le istruzioni PRIMA di iniziare

4. Procedura sperimentale

1- Montare il circuito come mostrato nella Figura 1. 2- Determinare la posizione di equilibrio del magnete in assenza del campo magnetico generato dalle bobine. Fissare, come si ritiene opportuno, la posizione relativa del magnete rispetto all’asse delle bobine. 3- Con la posizione fissata al punto 2, chiudere il circuito e misurare il periodo di oscillazione del magnete permanente per diversi valori di campo magnetico esterno $H$. Ciò si ottiene variando la corrente che circola nella bobina di Helmholtz. 4- Per variare la corrente che circola nelle bobine si dispone di un alimentatore (vedi Figura 2) che può generare differenze di tensione tra 1,5 e 9 V. Inoltre il dispositivo, in cui si trovano le bobine, dispone di due uscite che permettono di variare la resistenza del circuito.

5. Requisiti

a- Disegnare nella Figura 1 la direzione e il verso della posizione di equilibrio determinata al punto 2 della procedura sperimentale. b- Registrare in una tabella i valori di corrente e il periodo corrispondente. c- Calcolare il modulo del campo magnetico generato dalla bobina di Helmholtz per ciascuna delle correnti utilizzate e i rispettivi ${\omega }^2$. Compilare una tabella con tali valori. d- Tracciare il grafico di ${\omega }^2$ in funzione del campo magnetico generato dalle bobine di Helmholtz. e- Calcolare il momento d’inerzia del magnete. f- A partire dal grafico determinare il valore della componente orizzontale del campo magnetico terrestre

Problem 3: Solar Energy

At the rural school of Cachiyuyo (an inhospitable area in the north of Cordoba) which is attended by 15 students from $1^{\circ }$ to $6^{\circ }$ grade, there is one of the 200 converters (distributed among as many rural schools in Cordoba) of light energy to electrical energy. These converters are called solar panels. The electrical energy produced in the solar panels, if it is not used by some electrical device, is stored in a group of 12 V batteries. The connection diagram of the circuit implemented in the school is shown in figure 1.

Figure 1

The electrical power produced by the solar panels depends on the day’s insolation. Figure 2 graphs the power delivered by the solar panels. The area marked in the figure corresponds to the energy produced by the panels during the hours of light (between 8 a.m. and 6 p.m.).

Figure 2

If lamp $L_1$ is on all day (24 hours). a) How many joules of energy does it consume during one day?

Suppose that in addition to lamp $L_1$, lamp $L_2$ is also on. b) How much current flows through conductor AB indicated in figure 1? The efficiency $\eta$ of a system (machine) is defined as the ratio between the work done ($W$) and the energy ($E$) supplied to that system. That is $\eta =W/E$. The layout of the school’s pumping system is shown in figure 3. It is necessary to pump 300 liters of water from the water table to the school’s water tank. Considering that the entire vertical section of the pipe that carries water to the tank is full of water when the motor starts and remains full of water once the 300 liters of water have been poured into the tank: c) How long does it take the motor to raise the 300 liters of water from the well to the tank if the efficiency of the pumping system is $\eta =0,1$?

Figure 3

Suppose that one day at 6 p.m., when the little school in Cachiyuyo closes and all electrical devices are turned off except lamp $L_1$, the batteries have stored an energy of $E_0=2\times 10^6\text{J}$. The next day the sun rises at eight in the morning and begins to supply electrical energy as indicated in figure 2. d) At what time of day do the batteries reach the minimum energy if only $L_1$ remains on? e) What is that energy worth? (Express your result in joules).

It is common for there to be several cloudy days during winter. Assume that this was the cause for all the batteries losing all their stored energy. Luckily, the sun rises sunny just on the day when it is unavoidable to give the farm animals at the school water to drink. To do this, the motor of the water pump, which has a constant consumption $P_m$, must be turned on. This motor works only if it is supplied with all the power it needs, $P_m$; if not, it does not work, it turns off. Assume that, with the sun, energy begins to be stored in the batteries according to the data in Figure 2 and that the only device connected is the water pump ($L_1$ is not turned on either). With these data, advise the teacher of the Cachiyuyo school so that she knows: f) What is the earliest time at which the solar panels and the batteries will be in conditions to supply, to the motor, the power it needs to operate uninterruptedly? g) Until what time will the motor of the pumping system be operating, taking into account what was calculated and the operating conditions of the pump imposed in point f)? h) How many liters of water will the system be able to pump to the tank, taking into account that $\eta =0,1$?

Data: Power consumed by: $L_1$: $P_1=30\text{W}$ $L_2$: $P_2=30\text{W}$ Motor $P_m=200\text{W}$

Acceleration of gravity $g=9,8{\text{m/s}}^2$ Density of water

$\delta =1{\text{g/cm}}^3$ ARGENTINE OLYMPIAD OF PHYSICS 2004

OAF’2004

EXPERIMENTAL TEST - October 18, 2004

• Write your name on all sheets and number them.
• Remember that you may not use programmable calculators or any other material not included in the exam, apart from writing utensils.
• Before starting to solve each problem, read carefully ALL of its statement.

Name:

Total number of sheets submitted: Magnetic fields – magnetic moments

1. Objective

The objective of this experimental test is to determine the magnetic moment of a permanent magnet and the value of the horizontal component of the Earth’s magnetic field.

2. Theory

A permanent magnet suspended from its center of mass within a homogeneous external magnetic field $H$ will orient itself, in the same way as a compass needle does, in the direction and sense of that field. If it is moved away from that equilibrium position, the magnet will begin to oscillate. In this situation the magnetic field $H$ exerts a restoring torque given by: $\tau =m_{H}H\sin \theta [1]$

where $m_H$ is the magnetic moment associated with the permanent magnet and $\theta$ is the angle between the magnetic moment vector and the external magnetic field vector.

In the limit of small oscillations, $\sin \theta$ can be approximated by $\theta$, giving: $\tau \approx m_{H}H\theta [2]$

From the equations of motion given to us by mechanics, it is shown that the angular frequency of oscillation is given by the following expression:

${\omega }^2={\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2=\frac{m_{H}H}{I}[3]$

where $I$ is the moment of inertia of the permanent magnet and $T$ is the period of oscillation.

One way to generate a homogeneous external magnetic field, of magnitude equal to or greater than the Earth’s magnetic field, is by means of a system known as a Helmholtz coil.

A Helmholtz coil consists of two circular loops of radius $R$ separated by a distance equal to their radius. If both coils have a number of turns equal to $N$ and the same current $i$ flows through both loops (in the same direction), the magnetic field at the center between the two loops is uniform within a volume of radius $R$. The value of that field is given by: $H_Z=\frac{32}{\sqrt{125}}\times 10^{-6}\pi \frac{Ni}{R}[4]$

$[i]=\text{mA},[H]=\text{Gauss},[R]=\text{m}$

where $z$ is the direction along the axis of the coils. The direction of the vector $H$ depends on the direction of current flow.

3. List of materials

A permanent magnet.

A Helmholtz coil.

A stopwatch.

A variable voltage source.

A multimeter.

Connecting cable.

Sheets of white and graph paper.

Read ALL the instructions BEFORE starting

4. Experimental procedure

1- Set up the circuit as shown in Figure 1. 2- Determine the equilibrium position of the magnet in the absence of the magnetic field generated by the coils. Set, as you see fit, the relative position of the magnet with respect to the axis of the coils. 3- With the position set in item 2, close the circuit and measure the oscillation period of the permanent magnet for different values of the external magnetic field $H$. This is achieved by varying the current flowing through the Helmholtz coil. 4- To vary the current flowing through the coils, a power supply is available (see Figure 2) that can generate voltage differences between 1.5 and 9 V. In addition, the device, where the coils are located, has two outputs that allow the resistance of the circuit to be varied.

5. Requirements

a- Draw in Figure 1 the direction and sense of the equilibrium position determined in item 2 of the experimental procedure. b- Record in a table the values of current and the corresponding period. c- Calculate the magnitude of the magnetic field generated by the Helmholtz coil for each of the currents you have used and the respective ${\omega }^2$. Prepare a table with these values. d- Plot ${\omega }^2$ as a function of the magnetic field generated by the Helmholtz coils. e- Calculate the moment of inertia of the magnet. f- From the graph, determine the value of the horizontal component of the Earth’s magnetic field