Argent 2007

Problema 1: Transmisión por fibras ópticas

Los modernos sistemas de comunicación hacen uso, en alguno de sus tramos, de las fibras ópticas. Estas son fibras muy delgadas que consisten de un núcleo de vidrio, de unos $50 μ m$ de diámetro, envuelto por un revestimiento vítreo de índice de refracción menor al del núcleo, y un diámetro exterior de $120 μ m$ . El principio físico que subyace en la propagación de la luz dentro de una fibra óptica está en el hecho que los rayos de luz que inciden sobre la interfaz entre el núcleo y el revestimiento vítreo con un ángulo (respecto a la normal de la interfaz) mayor que un valor crítico $θ_{c}$ , son totalmente reflejados (ver figura 1). Así, un rayo que satisfaga esta condición se propagará dentro de la fibra óptica, tras sucesivas reflexiones internas totales. Esta reflexión total hace que las perdidas energéticas del rayo a lo largo de la fibra, sean practicamente despreciables. El valor del ángulo crítico $θ_{c}$ depende del índice de refracción del material que compone el núcleo, $n_{1}$ , y del índice de refracción del revestimiento vítreo, $n_{2}$ , a través de la fórmula:

$sen θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$

Figura 1 Corte transversal de una fibra óptica

Para enfocar la luz proveniente desde un láser dentro de la fibra óptica se utiliza una lente bola, ubicada en uno de los extremos de la fibra óptica, entre ésta y el haz láser (figura 2).

Figura 2 Conjunto lente bola-fibra óptica (Figura no a escala)

La lente bola es una esfera de rubí o zafiro de radio $R$ e índice de refracción $n$ .

a) Para un rayo luminoso que se propaga paralelo al eje $X$ (ver figura 3) y que incide sobre la lente bola desde la izquierda a una altura $d$ , medida desde el eje $X$ , calcule la distancia del punto de intersección del rayo sobre el eje $X$ (indicado con la letra P en la figura 3), medida desde el centro O de la esfera. Suponga que el rayo incidente se propaga próximo al eje $X$ , es decir $d ≪ R$ . Tenga presente que si un ángulo ( $φ$ , medido en radianes) es pequeño, el seno de ese ángulo ( $sen φ$ ) puede aproximarse por el valor del ángulo ( $sen φ \approx φ$ ).

Figura 3 (Figura no a escala) Fibra óptica Haz láser Lente bola P d X n O R

Fórmula útil: TEOREMA DEL SENO: En un triángulo arbitrario la relación entre el seno del ángulo comprendido entre dos de sus lados y la longitud del lado opuesto, tiene el mismo valor cualquiera sea el par ángulo–lado opuesto.

b) Es necesario que el rayo de luz incida sobre la interfaz núcleo-revestimiento con un ángulo mayor que el valor crítico. Existe un valor máximo del ángulo de incidencia del haz desde el aire (ver figura 1), para el cual, más allá de ese valor no es posible la propagación del rayo dentro de la fibra óptica. El seno de ese ángulo máximo, $θ_{A}$ , recibe el nombre de apertura numérica, $A_{N}$ :

$A_{N} = sen θ_{A}$

Calcule la apertura numérica para una fibra óptica cuyo núcleo está construido con un material de índice de refracción $n_{1} = 1, 500$ mientras que el índice de refracción del revestimiento vítreo es $n_{2} = 1, 470$ .

c) El valor máximo de la distancia $d$ , $d_{max}$ , a la que deben incidir los rayos provenientes del láser sobre la lente bola, para que los rayos emergentes de la lente puedan propagarse en la fibra óptica de las características indicadas en el punto anterior, viene dado por la expresión $d_{max} = k R,$ donde $k$ es una constante que solamente depende de los índices de refracción de la bola y de la fibra óptica. Encuentre la expresión de $k$ en término de los índices de refracción de la bola, del núcleo y del recubrimiento. Considere que entre la lente bola y la fibra óptica hay aire; que el índice de refracción de la lente es $n = 1, 517$ y que su diámetro es $R = 0, 30 mm$ . Nuevamente suponga que los rayos se propagan próximos al eje, de tal forma que se puede hacer la aproximación ( $sen φ \approx φ$ ).

d) En muchas situaciones prácticas los sistemas de telecomunicación por fibras ópticas, deben operar bajo condiciones ambientales extremas. Suponga que el ancho del haz del rayo láser está ajustado precisamente al valor de la apertura numérica del sistema lente bola-fibra óptica, cuando éste opera a $30^{\circ} C$ . Suponga que el haz láser y la fibra óptica no sufren alteraciones con el cambio de temperatura, pero sí lo hace la lente-bola. El coeficiente de dilatación térmica del material con el que está fabricada la lente bola es $λ = 8, 4 \times 1 0^{- 5} (^{\circ} C)^{- 1}$ y su radio a $30^{\circ} C$ es $R = 0, 30 mm$ . ¿Qué fracción del haz se pierde, desde el punto de vista de la propagación dentro de la fibra, cuando el sistema se hace operar a $- 20^{\circ} C$ ?

Topic: Geometric Optics, Thermodynamics Metodi: Ray Tracing, Snell’s Law, Small-Angle Approximation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 1: trasmissione a fibra ottica

I moderni sistemi di comunicazione fanno uso di alcuni dei loro tracciati, di fibre ottiche. Queste sono fibre molto sottili che sono costituite da un núcleo de vidrio, de unos $50 μ m$ de diámetro, envuelto por un rivestimento in vetro di indice di refraczione inferiore a quello del nucleo, e un diametro esterno di $120 μ m$ . Il principio fisico che sta alla base della La diffusione della luce all’interno di una fibra ottica è nel fatto che le raggi luminosi che incidono sull’interfaccia tra il nucleo e il rivestimento Vittura con un angolo (rispetto alla normalità dell’interfaccia) superiore a un valore crítico $θ_{c}$ , son totalmente reflejados (ver figura 1). Così, un fulmine che soddisfa la condizione si diffonde all’interno della fibra ottica, dopo successive riflessioni interne totali. Questa riflessione totale fa perdere le energie del raggio lungo la fibra, sono praticamente scarsa. Il valore dell’angolo critico $θ_{c}$ dipende dall’indice di refraczione del materiale che compone il nucleo, $n_{1}$ , e l’indice di refraczione del rivestimento di vetro, $n_{2}$ , mediante la formula:

$sen θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$

Figura 1 Fabbricazione di fibre ottiche

Per focalizzare la luce proveniente da un laser all’interno della fibra ottica si utilizza un obiettivo a sfera, situato su una delle estremità della fibra ottica, tra questo e il laser (Figura 2).

Figura 2 Connessione lente a sfera-figura ottica (Figura non su scala)

La lente a sfera è una sfera di rubino o zaffiro di radio $R$ e indice di refraczione $n$ .

a) Per un raggio luminoso che si diffonde parallelo all’asse $X$ (vedere figura 3) che incide sulla lente a sfera da sinistra ad un’altezza $d$ , misura dall’asse $X$ , Calcolare la distanza dal punto di intersezione del raggio sull’asse $X$ (indicato con la lettera P in figura 3), misurato dal centro O di la sfera. Supponiamo che il raggio incidente si diffonda vicino all’asse $X$ , cioè $d ≪ R$ . Si noti che se un angolo ( $φ$ , misurato in radiani) è piccolo, il seno di quell’angolo ( $sen φ$ ) può avvicinarsi al valore di angolo ( $sen φ \approx φ$ ).

Figura 3 (Figura non a scala) Fibra ottica Fai un laser Lenti a palla P d X n O R

Formula utile: TEOREMA DEL SENO: In un triangolo arbitrario la relazione tra il seno dell’angolo compreso tra due dei loro lati e la lunghezza del lato opposto, ha lo stesso valore qualunque sia la coppia angolare Opposto.

b) È necessario che il raggio di luce incida sull’interfaccia nucleo-rivestimento con un angolo superiore al valore critico. C’è un Valore massimo dell’angolo di incidenza del fascio dall’aria (vedere

per il quale, al di là di tale valore, non è possibile diffusione del raggio all’interno della fibra ottica. Il seno di quell’angolo massimo, $θ_{A}$ , riceve il nome di apertura numerica, $A_{N}$ :

$A_{N} = sen θ_{A}$

Calcola l’apertura numerica per una fibra ottica il cui nucleo è costruito con un materiale di indice di rifrazione $n_{1} = 1, 500$ mentre l’indice di refraczione del rivestimento è $n_{2} = 1, 470$ .

c) Il valore massimo della distanza $d$ , $d_{max}$ , che deve essere indicato dalle raggi provenienti dal laser sulla lente palla, in modo che i raggi Le fibre ottiche delle lenti possono diffondersi nella fibra ottica delle Le caratteristiche indicate nel punto precedente sono indicate dalla espressione $d_{max} = k R,$ dove $k$ è una costante che dipende solo dagli indici di la refraczione della palla e della fibra ottica. Trova l’espressione $k$ in termini di indici di refraczione della palla, del nucleo e del rivestimento. Considera che tra la lente a sfera e la fibra ottica c’è aria; che il l’indice di refraczione della lente è $n = 1, 517$ e il suo diametro è $R = 0, 30 mm$ . Supponiamo di nuovo che i raggi si diffondano vicino al eje, de tal forma que se puede hacer la aproximación ( $sen φ \approx φ$ ).

d) In molte situazioni pratiche i sistemi di telecomunicazione per Le fibre ottiche devono operare in condizioni ambientali estreme. Supponiamo che la larghezza del fascio del raggio laser sia regolata il valore dell’apertura numerica del sistema di lente a sfera ottica quando esso opera a $30^{\circ} C$ . Supponiamo che il laser e la fibra ottica non subiscano alterazioni con il cambiamento di temperatura, ma lo fa la lente-bola. Il coefficiente di dilatazione termico del materiale con cui è fabbricata la lente palla è $λ = 8, 4 \times 1 0^{- 5} (^{\circ} C)^{- 1}$ e il suo raggio a $30^{\circ} C$ è $R = 0, 30 mm$ . Che frazione del fascio viene persa, dal punto di vista della diffusione all’interno della fibra, quando il sistema viene operato a $- 20^{\circ} C$ ?

Problem 1: Transmission by optical fibres

Modern communication systems are used in some of the most The two components of the optical fibers. These are very thin fibers that consist of a glass core, of a diameter of $50 μ m$ , wrapped in a Glass coating with a refractive index lower than that of the core, and a diámetro exterior de $120 μ m$ . The physical principle underlying the The propagation of light within an optical fiber is in the fact that the Light rays that affect the interface between the core and the coating Glass with an angle (relative to the normal interface) greater than a value crítico $θ_{c}$ , son totalmente reflejados (ver figura 1). So, a beam that satisfies This condition will spread within the optical fiber after successive The total internal reflections. This total reflection makes the losses The energy of lightning along the fiber is practically negligible. The value of the critical angle $θ_{c}$ depends on the refractive index of the material which comprises the core, $n_{1}$ , and the coating refractive index a glass, $n_{2}$ , by the formula:

$sen θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$

Figure 1 Cross-sectional cutting of an optical fibre

To focus light from a laser inside the optical fiber is uses a ball lens, located at one end of the optical fiber, The laser beam is the laser beam.

Figure 2 Ball-fiber optical lens set (Figure not in scale)

Ball lens is a ruby or sapphire radius sphere $R$ and refractive index $n$ .

(a) For a light beam propagating parallel to the $X$ axis (see Figure 3) and which hits the ball lens from the left at a height $d$ , measured from the $X$ axis, calculate the distance from the beam intersection point on the $X$ axis (indicated by the letter P in Figure 3), measured from the centre O of the The sphere. Suppose the incident beam propagates near the $X$ axis, i.e. $d ≪ R$ . Note that if an angle ( $φ$ , measured in radians) is The angle of the sternum ( $sen φ$ ) can be approximated by the value del ángulo ( $sen φ \approx φ$ ).

Figure 3 (Figure not in scale) Fiber optic Make a laser Ball lens P d X n O R

Useful formula: SENO theorem: In an arbitrary triangle the relation is between the breast of the angle between two of its sides and the length of the The opposite side, has the same value whatever the angled pair The opposite.

(b) The beam of light shall be applied to the core-coating interface at an angle greater than the critical value. There is a Maximum value of the beam angle of incidence from the air (see Figure 1), for which, beyond that value, it is not possible to The radiation is propagated through the optical fiber. The breast of that angle maximum, $θ_{A}$ , is given the numerical opening name, $A_{N}$ :

$A_{N} = sen θ_{A}$

Calculate the numerical aperture for a fiber whose core is construido con un material de índice de refracción $n_{1} = 1, 500$ whereas the refractive index of the glass coating is $n_{2} = 1, 470$ .

(c) The maximum value of the distance $d$ , $d_{max}$ , to which the The laser beams coming over the ball lens, so that the beams The resulting optical fibres can be propagated into the optical fibre of the lens. The characteristics indicated in the previous point are given by the following: Expression $d_{max} = k R,$ where $k$ is a constant that depends only on the indices of refraction of the ball and optical fiber. Find the expression $k$ in terms of refractive indices The ball, the core and the coating. Consider that between the ball and the optical fiber there is air; that the The refractive index of the lens is $n = 1, 517$ and its diameter is $R = I^{'} mn o t g o in g t os a y . A g ain, s u pp ose t h er a y s p r o p a g a t e n e a r t h e a x i s, so t ha tt h e a pp r o x ima t i o n c anb e ma d e ($ \operatorname{sen}\varphi \approx \varphi$).

(d) In many practical situations telecommunications systems are The optical fibres must operate under extreme environmental conditions. Suppose the beam width of the laser beam is adjusted the value of the optical fiber ball lens system’s numerical aperture when it operates at $30^{\circ} C$ . Suppose the laser beam and the optical fibre are not altered by the temperature change, but the ball lens does. The coefficient of thermal dilation of the material from which the ball lens is manufactured is $λ = 8, 4 \times 1 0^{- 5} (^{\circ} C)^{- 1}$ and its radius at $30^{\circ} C$ is $R = 0, 30 mm$ . What fraction of the beam is lost from the point of view of the propagation within the fibre when the system is operated a $- 20^{\circ} C$ ?

Problema 2: Un Óhmetro casero

Con los elementos disponibles en su taller, listados más abajo, Edelmiro armó el circuito que se muestra en la figura. Este circuito, que denominamos óhmetro casero, es útil para medir resistencias cerámicas. Para ello es necesario conectar la resistencia cuyo valor ( $R_{x}$ ) se desea determinar entre los puntos C y D del circuito. La llave L es necesaria para lograr la puesta a cero del óhmetro. En situación de medición la llave L debe permanecer abierta.

Elementos utilizados:

Un micro amperímetro A de resistencia interna $r = 2, 5 k Ω$ . La escala está dividida en 100 partes iguales y el valor máximo corresponde a $i_{m} = 50 μ A$ ; luego, si la corriente que circula por el micro amperímetro es $i_{a}$ y la lectura del mismo corresponde a la división $n$ , se cumple que $i_{a} = i_{m} (n /100)$ .
Una pila de fuerza electromotriz $E = 1, 5 V$ . La resistencia interna de la pila es despreciable.
Una resistencia de valor $R = 20 k Ω$ .
Una resistencia $R_{V}$ que puede variarse entre $0$ y $15 k Ω$ .

La resistencia a medir se indica con $R_{X}$ .

Preguntas:

a) Dé la expresión de la resistencia equivalente del circuito del óhmetro, con la llave L abierta.

D L RX RV A R E C

b) Determine el valor de $R_{V}$ para el cual el micro amperímetro indique $i_{m} = 50 μ A$ , cuando la llave L se cierra cortocircuitando los puntos C y D. Esta operación se denomina puesta en cero del óhmetro. c) Naturalmente, la pila disminuye su fuerza electromotriz con el uso. Determine el valor mínimo de $E$ para el cual se puede poner en cero el óhmetro, variando el valor de $R_{V}$ (como se hizo en el punto b). d) La relación entre el valor de $R_{X}$ y la lectura $n$ del micro amperímetro, cuando se intercala $R_{X}$ entre C y D con la llave L (lógicamente) abierta, está dada por

$R_{X} = (\frac{100}{n} - 1) R_{0}$

Encuentre la expresión de $R_{0}$ en términos de $R$ , $r$ , $E$ e $i_{m}$ . Para $E = 1, 5 V$ es $R_{0} = 21, 86 k Ω$ . En particular, ¿cuál es el valor de $R_{X}$ para $n = 60$ ?. e) Dé una expresión para el error de apreciación ( $∣Δ R_{X} ∣$ ) de una medición de $R_{X}$ , correspondiente a media división de la escala ( $∣Δ n ∣ = \frac{1}{2}$ ), para cualquier $n$ . Calcule el valor de este error para $n = 60$ . f) Suponga que la pila disminuyó el valor de $E$ de $1, 5 V$ a $1, 3 V$ . Calcule el valor de $R_{X}$ correspondiente a $n = 60$ (Para $E = 1, 3 V$ es $R_{0} = 22, 13 k Ω$ ). Compare el valor obtenido en esta medición con el valor anterior ( $n = 60$ para $E = 1, 5 V$ ). Explique si la medición es confiable de acuerdo con el resultado del punto e). Es decir, si para el mismo valor de $n$ , con $E$ distinto, podemos considerar que las mediciones de $R_{X}$ son indistinguibles.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Error Propagation Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Diagrammatic Reasoning Objects: Galvanometer, Resistor, Battery, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 2: Un ottometro casato

Con gli elementi disponibili nel suo laboratorio, elencati di seguito, Edelmiro ha armarto il circuito che mostra la figura. Questo circuito, che noi chiamiamo Il metrico casato è utile per misurare le resistenze ceramiche. Per questo è è necessario collegare la resistenza il cui valore ( $R_{x}$ ) si desidera determinare tra: i punti C e D del circuito. La chiave L è necessaria per ottenere l’inserimento di zero per il metro. In caso di misurazione la chiave L deve rimanere

Si’, è aperta.

Elementi utilizzati:

Un microampielitro A di resistenza interna $r = 2, 5 k Ω$ . La scala è diviso in 100 parti uguali e il valore massimo corrisponde a $i_{m} = 50 μ A$ ; quindi, se il corrente che circola attraverso il microampielitore è $i_{a}$ e la lettura di esso corrisponde alla divisione $n$ , se si ottengono che $i_{a} = i_{m} (n /100)$ .
Una pila di forza elettromotrice $E = 1, 5 V$ . La resistenza interna di la pila è dispregiata.
resistenza di $R = 20 k Ω$ .
resistenza $R_{V}$ che può variare tra $0$ e $15 k Ω$ .

La resistenza da misurare è indicata con $R_{X}$ .

Domande:

a) Indicare l’espressione della resistenza equivalente del circuito del Ohmetro, con la chiave L aperta.

D L RX RV A R E C

b) Determina il valore di $R_{V}$ per il quale il microampielitore Indicare $i_{m} = 50 μ A$ , quando la chiave L viene chiusa a breve termine punti C e D. Questa operazione è chiamata messa a zero del

Un metro. c) Naturalmente, la pila riduce la sua forza elettromotrice con l’uso. Determina il valore minimo di $E$ per il quale si può inserire in 0 il óhmetro, variando il valore di $R_{V}$ (come è stato fatto al punto b). d) Il rapporto tra il valore di $R_{X}$ e la lettura $n$ del micro-ampielitro, quando $R_{X}$ è intercambiabile tra C e D con la chiave L (logicamente) aperta, è data da

$R_{X} = (\frac{100}{n} - 1) R_{0}$

Trova l’espressione di $R_{0}$ in termini di $R$ , $r$ , $E$ e $i_{m}$ . Per $E = 1, 5 V$ è $R_{0} = 21, 86 k Ω$ . In particolare, qual è il valore di $R_{X}$ per $n = 60$ ?. e) Indicare un’espressione per l’errore di valutazione ( $∣Δ R_{X} ∣$ ) di un misurazione di $R_{X}$ , corrispondente a media divisione della scala ( $∣Δ n ∣ = \frac{1}{2}$ ), per qualsiasi $n$ . Calcola il valore di questo errore per $n = 60$ . f) Supponiamo che la pila abbia abbassato il valore di $E$ da $1, 5 V$ a $1, 3 V$ . Calcolare il valore di $R_{X}$ corrispondente a $n = 60$ (Per $E = 1, 3 V$ è $R_{0} = 22, 13 k Ω$ ). Compare il valore ottenuto in questa misurazione con il valore precedente ( $n = 60$ per $E = 1, 5 V$ ). Spiegare se la misurazione è affidabile in base al risultato di cui al punto (e). In altre parole, se per lo stesso valore di $n$ , con $E$ diverso, Si può considerare che le misurazioni di $R_{X}$ sono indistingubili.

Problem 2: A home-made meter

With the items available in his workshop, listed below, Edelmiro He set up the circuit shown in the figure. This circuit, which we call The home meters are useful for measuring ceramic resistance. That’s what it’s for. the resistance ( $R_{x}$ ) to be determined between the C and D points of the circuit. The L key is necessary to achieve the placement of the 0 of the ohm. In a measuring situation the L key must remain It’s open.

Elements used:

A micro-amplimeter A with internal resistance $r = 2, 5 k Ω$ . The scale It’s divided into 100 equal parts and the maximum value is $i_{m} . = 50 μ A$ ; then, if the current circulating through the micro-ampire is $i_{a}$ and the reading thereof corresponds to the division $n$ , if $i_{a} = i_{m} (n /100)$ .
A battery of electromotive force $E = 1, 5 V$ . The internal resistance of The pile is despicable.
A resistance of $R = 20 k Ω$ value.
A resistance $R_{V}$ which can vary between $0$ and $15 k Ω$ .

The resistance to be measured is indicated by $R_{X}$ .

Questions:

(a) Express the equivalent resistance of the circuit of the Ohm, with the L key open.

D L RX RV A R E C

(b) Determine the value of $R_{V}$ for which the micro-amplimeter indicate $i_{m} = 50 μ A$ , when the L key is closed by short circuit points C and D. This operation is called zeroing the I’m going to go. (c) Naturally, the battery decreases its electromotive force with use. Determine the minimum value of $E$ for which it can be placed in 0 the ohm, varying the value of $R_{V}$ (as done at point b). (d) The ratio of the value of $R_{X}$ to the reading of $n$ of the micro-amplimeter, when $R_{X}$ is interchanged between C and D with the L key (logically) open, is given by

$R_{X} = (\frac{100}{n} - 1) R_{0}$

Find the expression of $R_{0}$ in terms of $R$ , $r$ , $E$ and $i_{m}$ . For $E = 1, 5 V$ it is $R_{0} = 21, 86 k Ω$ . In particular, what is the value of $R_{X}$ para $n = 60$ ?. (e) Give an expression for the error of assessment ( $∣Δ R_{X} ∣$ ) of a measurement of $R_{X}$ , corresponding to the half-division of the scale ( $∣Δ n ∣ = \frac{1}{2}$ ), for any $n$ . Calculate the value of this error for $n = 60$ . (f) Suppose the stack decreased the value of $E$ from $1, 5 V$ to $1, 3 V$ . Calculate the value of $R_{X}$ for $n = 60$ (For $E = 1, 3 V$ is $R_{0} = 22, 13 k Ω$ ). Compare the value obtained in this measurement with the previous value ( $n = 60$ para $E = 1, 5 V$ ). Explain whether the measurement is reliable according to the result of point (e). That is, if for the same value of $n$ , with $E$ different, We can consider the measurements of $R_{X}$ indistinguishable.

Problema 3: Melazas ópticas

En el año 1995 un grupo de investigadores de la Universidad de Colorado (EE.UU) logró, por primera vez, una condensación de Bosse-Einstein enfriando átomos de rubidio ( $^{87} Rb$ ) a temperaturas extremadamente bajas ( $1 \times 1 0^{- 7} K$ ).

¿Cómo pudieron enfriar tanto? El primer paso en el enfriamiento fue el uso de la técnica llamada enfriamiento láser y el segundo paso es lo que se conoce con el nombre de trampa magnética.

En este problema nos ocupamos de la primera técnica, es decir, el enfriamiento láser.

Interpretando a la luz en término de fotones (partículas de masa nula que transportan, además de energía, momento lineal), el proceso de absorber un fotón por parte de un átomo puede interpretarse como un choque entre el fotón y el átomo. La aplicación de esta idea es la que se utiliza para hacer más lentos a los átomos gaseosos, es decir, enfriarlos.

Para mostrar como se logra este efecto consideremos átomos de un gas, como los representados en la Figura 1a, moviéndose en una sola dirección, mientras son irradiados desde ambos lados por rayos láser con una frecuencia ( $ν_{L}$ ) cuyo valor es algo inferior a la “frecuencia de resonancia” atómica ( $ν_{A}$ ), es decir al valor necesario para ser absorbido por estos átomos (Figura 1b).

Figura 1a

Figura 1b Frecuencia Absorción $ν_{L}$ $ν_{A}$ $ν_{L} + ν_{Doppler}$ $ν_{L} - ν_{Doppler}$

Los átomos, al estar en movimiento, encuentran aumentado el valor de la frecuencia de los fotones que viajan en sentido contrario a ellos y disminuida la frecuencia de los fotones que viajan en su mismo sentido (este fenómeno se conoce como Efecto Doppler). Así, dado que la frecuencia usada es menor que la de resonancia, los átomos tendrá mayor probabilidad de absorber fotones que viajan en sentido contrario a ellos que fotones que viajan en su mismo sentido (Figura 1b). Entonces, cuando un átomo absorbe un fotón, además de quedar en un estado excitado, sufrirá una disminución de momento lineal preferentemente en la dirección de movimiento. Luego de un tiempo característico $τ$ , el átomo emitirá espontáneamente un fotón en una dirección arbitraria regresando a su estado fundamental. Después de varios de estos eventos de absorción-emisión habrá un cambio no nulo de momento lineal del átomo debido a la absorción, mientras que el cambio debido a la emisión espontánea se promedia a cero, ya que esta emisión tiene una distribución angular isotrópica, es decir, ocurre en todas las direcciones. Con pares de láser a lo largo de los tres ejes coordenados se consigue el frenado en las tres direcciones, o sea, el enfriamiento del gas de átomos. Dada la similitud de la fuerza de frenado que sufren los átomos debido a la luz láser con una fuerza viscosa, este sistema se denomina “melaza óptica”.

Teniendo en cuenta lo expuesto y limitando el caso al de un movimiento unidimensional:

a) Calcule el cambio en el módulo de la velocidad de un átomo de rubidio de masa $1.42 \times 1 0^{- 25} kg$ cuando absorbe un fotón de un láser de longitud de onda $λ = 780 nm$ . (El momento lineal de un fotón de longitud de onda $λ$ está dado por $h / λ$ ; $h$ es la constante de Planck)

b) Suponiendo que un átomo de rubidio absorbe un fotón cada $τ = 27 \times 1 0^{- 9} s$ , dé el valor de la relación entre la fuerza de frenado por luz y la fuerza de gravedad.

c) Calcule el tiempo necesario para detener un átomo de rubidio que se encuentra a temperatura ambiente ( $T = 300 K$ ). Considere el gas de rubidio como un gas ideal monoatómico.

d) Determine la mínima temperatura a la cual se puede enfriar un gas de átomos de rubidio por este método.

Constantes útiles: $h = 6.626 \times 1 0^{- 34} Js$ $g = 10 m/s^{2}$

$k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$

Topic: Modern-Quantum Physics, Conservation of Momentum, Kinetic Theory Metodi: Conservation of Momentum, Photon Energy Relation, Kinetic Theory of Gases, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Atom, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.16

Problema 3: Melasi ottici

Nel 1995 un gruppo di ricercatori dell’Università del Colorado (USA) ha ottenuto, per la prima volta, una condensazione di Bosse-Einstein raffreddando atomi di rubidio ( $^{87} Rb$ ) a temperature estremamente basse ($1

Non è vero.

Come hanno potuto farsi così freddo? Il primo passo nel raffreddamento è stato l’uso di La seconda fase è quella che viene Conosce il nome di trappola magnetica.

In questo problema ci occupiamo della prima tecnica, cioè la raffreddamento laser.

Interpretando la luce in termini di fotoni (particelle di massa zero che La capacità di trasportazione di energia, tempo lineare, è un processo di assorbimento di energia. Un fotone da parte di un atomo può essere interpretato come un colpo tra il il fotone e l’atomo. L’applicazione di questa idea è quella che viene utilizzata per fare più lento agli atomi gassosi, cioè li raffreddare.

Per mostrare come si ottiene questo effetto, consideriamo gli atomi di un gas, come quelli rappresentati in figura 1a, in una sola direzione, mentre vengono irradiati da entrambi i lati da raggi laser con una frequenza ( $ν_{L}$ ) di valore inferiore a poco alla “frequenza di risonanza” atomica ( $ν_{A}$ ), cioè il valore necessario per essere assorbito da questi atomi (Figura 1b).

Figura 1a

Figura 1b Frequenza Assorbimento $ν_{L}$ $ν_{A}$ $ν_{L} + ν_{Doppler}$ $ν_{L} - ν_{Doppler}$

Gli atomi, mentre sono in movimento, trovano aumentato il valore della frequenza dei fotoni che viaggiano in direzione opposta a loro e diminuita La frequenza dei fotoni che viaggiano nella stessa direzione (questo fenomeno è noto come effetto Doppler). Quindi, dato che la frequenza utilizzata è Se il livello di risonanza è inferiore, gli atomi hanno maggiori probabilità di assorbire fotoni che viaggiano in direzione opposta a loro che fotoni che viaggiano nella stessa direzione (Figura 1b). Quindi, quando un atomo assorbe un fotone, oltre a rimanere in uno stato eccitato, subirà un calo di momento lineare preferibilmente nella direzione di movimento. Dopo un tempo caratteristico $τ$ , l’atomo emetterà spontaneamente un fotone in una direzione arbitraria che ritorna al suo stato fondamentale. Dopo In alcuni casi di questo tipo di eventi di assorbimento-emissione ci sarà un cambiamento non nullo di momento lineare dell’atomo a causa dell’assorbimento, mentre il cambiamento La produzione di gas è una delle principali cause di questo fenomeno. una distribuzione angolare isotropico, cioè si verifica in tutte le direzioni. Con coppie di laser lungo i tre assi coordinati si ottiene il frenata in tre direzioni, cioè il raffreddamento del gas atomico. Dato il simile effetto di frenata che gli atomi subiscono a causa della la luce laser con una forza viscosa, questo sistema è chiamato “mesola ottica”.

Considerando quanto precede e limitando il caso a quello di un movimento Unidimensionalmente:

a) Calcolare il cambiamento nel modulo di velocità di un atomo di rubidio di massa $1.42 \times 1 0^{- 25} kg$ quando assorbe un fotone da un laser di lunghezza d’onda $λ = 780 nm$ . (Il momento lineare di un fotone di lunghezza d’onda $λ$ è dato da $h / λ$ ; $h$ è la costante di Planck)

b) Supponendo che un atomo di rubidio assorba un fotone ogni $τ = 27 \times 1 0^{- 9} s$ , dare il valore del rapporto tra la forza di frenata della luce e la forza di frenata della luce forza di gravità.

c) Calcolare il tempo necessario per fermare un atomo di rubidio che si trova a temperatura ambiente ( $T = 300 K$ ). Considera il gas rubidio come un gas ideale monoatomo.

d) Determina la temperatura minima a cui un gas può essere raffreddato di atomi di rubidio con questo metodo.

Costanti utili: $h = 6.626 \times 1 0^{- 34} Js$ $g = 10 m/s^{2}$

$k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$

Problem 3: Optical molasses

In 1995 a group of researchers from the University of Colorado (US) achieved, for the first time, a Bosse-Einstein condensation cooling rubidium atoms ( $^{87} Rb$ ) to extremely low temperatures ($1 I’m not going to say anything.

How could they get so cold? The first step in cooling was to use The second step is what you do. It’s known as a magnetic trap.

In this problem we are dealing with the first technique, namely the Laser cooling.

Interpreting light in terms of photons (particles of zero mass that are The process of absorbing a A photon on the part of an atom can be interpreted as a collision between the The photon and the atom. The application of this idea is what is used to make slower to the gaseous atoms, that is, cool them.

To show how this effect is achieved, let’s consider atoms of a gas, as shown in Figure 1a, moving in one direction, While they’re being irradiated from both sides by laser beams with a frequency ( $ν_{L}$ ) of which the value is slightly less than the ‘resonance frequency’ atomic ( $ν_{A}$ ), i.e. the value necessary to be absorbed by these atoms (Figure 1b)

The following table shows the following:

The following table shows the following: Frequency Absorption $ν_{L}$ $ν_{A}$ $ν_{L} + ν_{Doppler}$ $ν_{L} - ν_{Doppler}$

Atoms, as they move, find the value of the frequency of photons traveling in opposite directions and decreased The frequency of photons traveling in the same direction (this phenomenon It’s called the Doppler Effect. So, given that the frequency used is The resulting atomic radiation is less than the resonance, and the atoms are more likely to absorbing photons traveling in opposite directions to them than photons that The two are traveling in the same direction (Figure 1b). So when an atom absorbs A photon, in addition to remaining in an excited state, will suffer a decrease in Linear momentum preferably in the direction of motion. After At a characteristic time $τ$ , the atom will spontaneously emit a photon in an arbitrary direction returning to its fundamental state. After Several of these absorption-emission events will have a non-zero change of linear momentum of the atom due to absorption, while the change The average spontaneous emission is zero, since this emission has isotropic angular distribution, that is, it occurs in all directions. With laser pairs along the three coordinate axes, the The three-way braking, that is, the cooling of the gas from the atoms. Given the similarity of the braking force that atoms suffer due to the laser light with a viscous force, this system is called “optical meshes”.

Taking into account the above and limiting the case to a motion One-dimensional:

(a) Calculate the change in the velocity module of an atom of Rubidium mass $1.42 \times 1 0^{- 25} kg$ when absorbing a photon from a laser a wavelength of $λ = 780 nm$ . (The linear moment of a photon wavelength $λ$ is given by $h / λ$ ; $h$ is Planck’s constant)

b) Assuming a rubidium atom absorbs one photon for every $τ = 27 \times 1 0^{- 9} s$ , give the value of the ratio between the braking force of light and the braking force of the braking force of the braking force. gravity force.

(c) Calculate the time required to stop a rubidium atom that is at room temperature ( $T = 300 K$ ). Consider rubidium gas as an ideal monoatomic gas.

(d) Determine the minimum temperature at which a gas can be cooled Rubidium atoms by this method.

Useful constants: $h = 6.626 \times 1 0^{- 34} Js$ $g = 10 m/s^{2}$

$k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$

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