Argentina 2008

Problema 1: Un problema de transporte

Una caja cúbica de lado $L$ y masa $M$ se deposita suavemente, en el instante $t=0\text{s}$, sobre una cinta transportadora. La cinta está en posición horizontal y se desplaza, respecto a tierra, a velocidad constante $v_o$ (ver figura). El motor que mueve la cinta entrega la potencia necesaria para mantener su velocidad constante en todo instante de tiempo. Entre la base de la caja y la cinta hay rozamiento y sus coeficientes estático y dinámico son ${\mu }_e$ y ${\mu }_d$, respectivamente. En el instante $t=t_f$ la caja alcanza la velocidad de la cinta, es decir la velocidad relativa entre la cinta y la caja es cero.

Datos numéricos: $M=4\text{kg}$, ${\mu }_d=0,5$ , $v_o=2\text{m/s}$ , $g=9,8{\text{m/s}}^2$

Consignas:

a) Haga un dibujo de la caja con las fuerzas que actúan sobre ella cuando:

i) La caja desliza respecto a la cinta transportadora. (1pt) ii) La caja ya adquirió la misma velocidad $v_o$ de la cinta transportadora. (1pt)

• B. Calcule la aceleración de la caja.(1pt)
• C. Calcule el desplazamiento de la caja, respecto a un referencial fijo en tierra, desde que es depositada hasta que adquiere la misma velocidad de la cinta transportadora. (1,5pts) d) Calcule el trabajo realizado por la fuerza de roce dinámico. (1pt) e) Calcule la potencia que entrega el motor para permitir que la cinta se siga moviendo a velocidad constante.(1pt) f) Calcule la energía disipada en el sistema.(1,5pts) g) Calcule el máximo valor que puede tener el coeficiente de rozamiento dinámico de manera que la caja no vuelque.(2pts)

$M$ $v_o$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 1: Un problema di trasporto

Un’acciaio cubo laterale $L$ e massa $M$ si deposita con delicatezza, immediatamente $t=0\text{s}$, su una cinta trasportatrice. La cinta è in posizione orizzontale e si sposta, rispetto alla terra, a velocità costante $v_o$ (vedi figura). El il motore che muove la cinta fornisce la potenza necessaria per mantenere il suo velocità costante in ogni istante del tempo. Tra la base della scatola e la la cinta è a ruggine e i suoi coefficienti statici e dinamici sono ${\mu }_e$ e ${\mu }_d$, rispettivamente. En el instante $t=t_f$ la caja alcanza la velocidad de la cinta, es decir la velocità relativa tra la cinta e la scatola è zero.

Dati numerici: $M=4\text{kg}$, ${\mu }_d=0,5$, $v_o=2\text{m/s}$, $g=9,8{\text{m/s}}^2$

Consegni:

a) Disegnare la cassa con le forze che agiscono su di essa quando:

(i) La cassa scivola rispetto alla cinta trasportatrice. (1pt) (ii) La cassa ha già acquisito la stessa velocità $v_o$ della cinta trasportatrice. (1pt)

• B. Calcola l’accelerazione della scatola.
• C. Calcola il spostamento della scatola, rispetto a un riferimento fisso in La prima è che il terreno sia stato depositato fino a quando non ha raggiunto la stessa velocità di la cinta trasportatrice. (5,5 pts) d) Calcolare il lavoro effettuato dalla forza di frattura dinamica. (1pt) e) Calcolare la potenza fornita dal motore per consentire alla cinta di essere Continua a muoversi a velocità costante. f) Calcolare l’energia dissipata nel sistema. g) Calcolare il massimo valore che il coefficiente di rottura può avere dinamico in modo che la scatola non si rivolga.

$M$ $v_o$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problem 1: A transport problem

A cubic box of side $L$ and mass $M$ is gently deposited, at the instant $t=0\text{s}$, onto a conveyor belt. The belt is horizontal and moves, relative to the ground, at constant speed $v_o$ (see figure). The motor that drives the belt delivers the power necessary to keep its speed constant at every instant of time. Between the base of the box and the belt there is friction and its static and dynamic coefficients are ${\mu }_e$ and ${\mu }_d$, respectively. At the instant $t=t_f$ the box reaches the speed of the belt, that is, the relative speed between the belt and the box is zero.

Numerical data: $M=4\text{kg}$, ${\mu }_d=0,5$ , $v_o=2\text{m/s}$ , $g=9,8{\text{m/s}}^2$

Questions:

a) Draw a diagram of the box with the forces acting on it when:

i) The box slides relative to the conveyor belt. (1pt) ii) The box has already acquired the same velocity $v_o$ as the conveyor belt. (1pt)

• B. Calculate the acceleration of the box. (1pt)
• C. Calculate the displacement of the box, with respect to a reference frame fixed to the ground, from when it is placed until it acquires the same velocity as the conveyor belt. (1.5pts) d) Calculate the work done by the dynamic friction force. (1pt) e) Calculate the power delivered by the motor to allow the belt to keep moving at constant velocity. (1pt) f) Calculate the energy dissipated in the system. (1.5pts) g) Calculate the maximum value that the coefficient of dynamic friction can have so that the box does not tip over. (2pts)

$M$ $v_o$

Problema 2: Un calefactor

Un circuito está construido con una fuente de tensión $V=1,5\text{V}$ (con resistencia interna $r=2,5\Omega$), cuatro resistencias iguales de valor $R=1\Omega$, y una resistencia de valor $R^{\prime }=2\Omega$ (ver el circuito de la figura). En el circuito están intercalados tres interruptores $L_1$, $L_2$ y $L_3$ conectados a un selector que permite obtener distintos valores de la potencia entregada por la fuente, y disipada en las cinco resistencias externas a la fuente, según $L_1$, $L_2$ y $L_3$ estén cerradas o abiertas.

Se pide:

a) Con las llaves $L_1$ cerrada y $L_2$ abierta, escriba la expresión de la diferencia de potencial entre A y B, en términos de los datos del problema, y calcule su valor. (2pts) b) Dé todas las combinaciones posibles de los estados de las llaves $L_1$, $L_2$ y $L_3$ (cerradas o abiertas) que correspondan a circuitos eléctricos distintos (no equivalentes). Calcule los valores de la resistencia equivalente de estos circuitos entre los puntos A y B. (3pts) c) Para los circuitos del punto b) calcule los distintos valores de la potencia total disipada en las resistencias externas a la fuente. (2,5pts) d) Proponga una combinación posible de los estados de las llaves $L_1$, $L_2$ y $L_3$ (cerrados o abiertos) y un valor de $R^{\prime }$ para que la potencia total disipada en las resistencias externas a la fuente sea la máxima posible. Calcule el valor de dicha potencia. (2,5pts)

Sugerencia: Puede ser útil saber que la función $f(x)=x+1/x$ tiene un valor mínimo en $x=1$.

$R$ $R$ $R$ $R^{\prime }$ B A $V$ $r$ fuente $L_2$ $L_3$ $L_1$ $R$

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Resistor, Battery, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 2: Un riscaldatore

Un circuito è costruito con una fonte di tensione $V=1,5\text{V}$ (con resistenza interna $r=2,5\Omega$), quattro resistenze uguali di $R=1\Omega$; e una resistenza di valore $R^{\prime }=2\Omega$ (vedere il circuito della figura). Sul circuito sono intercambiabili tre interruttori $L_1$, $L_2$ e $L_3$ collegati a un selettore che consente di ottenere valori differenti della potenza fornita dalla fonte; e diossido nelle cinque resistenze esterne alla sorgente, secondo $L_1$, $L_2$ e $L_3$ siano chiusi o aperti.

Si chiede:

a) Con le chiavi $L_1$ chiuse e $L_2$ aperte, scrivere l’espressione di La differenza di potenziale tra A e B, in termini di dati del Il problema, e calcola il suo valore. 2pts b) Fornisce tutte le combinazioni possibili di stati di chiave $L_1$, $L_2$ e $L_3$ (chiusi o aperti) che corrispondono a circuiti elettrici diversi (non equivalenti). Calcolare i valori della resistenza equivalente di questi circuiti tra i punti A e B. (3 pts) (c) Per i circuiti di cui al punto (b) calcolare i diversi valori della potenza totale dissipata nelle resistenze esterne alla sorgente. (5,5 pts) d) Propone una combinazione possibile degli stati di chiavi $L_1$, $L_2$ e $L_3$ (chiusi o aperti) e un valore di $R^{\prime }$ per rendere la potenza totale diossidato nelle resistenze esterne alla sorgente è il massimo

• Potrebbe essere. Calcola il valore di tale potenza. (5,5 pts)

Suggerimento: Potrebbe essere utile sapere che la funzione $f(x)=x+1/x$ ha un valore minimo in $x=1$.

$R$ $R$ $R$ $R^{\prime }$ B A $V$ $r$ fonte $L_2$ $L_3$ $L_1$ $R$

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Resistor, Battery, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problem 2: A heater

A circuit is built with a voltage source $V=1,5\text{V}$ (with internal resistance $r=2,5\Omega$), four equal resistors of value $R=1\Omega$, and a resistor of value $R^{\prime }=2\Omega$ (see the circuit in the figure). In the circuit, three switches $L_1$, $L_2$ and $L_3$ are inserted, connected to a selector that allows obtaining different values of the power delivered by the source, and dissipated in the five resistors external to the source, depending on whether $L_1$, $L_2$ and $L_3$ are closed or open.

You are asked to:

a) With switch $L_1$ closed and $L_2$ open, write the expression for the potential difference between A and B, in terms of the data of the problem, and calculate its value. (2pts) b) Give all possible combinations of the states of switches $L_1$, $L_2$ and $L_3$ (closed or open) that correspond to different (non-equivalent) electrical circuits. Calculate the values of the equivalent resistance of these circuits between points A and B. (3pts) c) For the circuits in point b), calculate the different values of the total power dissipated in the resistors external to the source. (2.5pts) d) Propose a possible combination of the states of switches $L_1$, $L_2$ and $L_3$ (closed or open) and a value of $R^{\prime }$ so that the total power dissipated in the resistors external to the source is as large as possible. Calculate the value of said power. (2.5pts)

Hint: It may be useful to know that the function $f(x)=x+1/x$ has a minimum value at $x=1$.

$R$ $R$ $R$ $R^{\prime }$ B A $V$ $r$ source $L_2$ $L_3$ $L_1$ $R$

Problema 3: ¡Oh, se reventó el globo!

Un globo esférico e inflado con un gas de densidad menor que la del aire, asciende verticalmente en la atmósfera para la cual la temperatura $T$ en función de la altura $h$ es:

$T=T_0-\lambda h,$

donde $T_0$ es la temperatura de la atmósfera, en grados Kelvin, a nivel del suelo y $\lambda =4\times 10^{-3}\text{K/m}$ (valor válido para el día del ascenso del globo).

Suponga que:

1. El globo es de un material tal que durante el ascenso la presión elástica de éste se mantiene despreciable frente a la presión atmosférica.
2. El aire en el exterior y el gas en el interior del globo se comportan como gases ideales y están en equilibrio térmico entre sí.
3. La densidad del material del globo no depende de su espesor.
4. El globo se revienta cuando el espesor de su pared alcanza el valor igual a la mitad del espesor inicial, es decir inflado a nivel del suelo.
5. La dependencia de la presión $p$ del aire con la temperatura $T$ está dada por

$p(h)=p_0{\left(T/T_0\right)}^{(Mg/R\lambda )},$

donde:

$M$: masa molar promedio del aire. $g$: aceleración de la gravedad supuesta constante con $h$. $R$: constante universal de los gases ideales. $p_0$: valor de $p$ a nivel del suelo.

Se pide:

a) Calcule la fuerza de sustentación del globo. Muestre que ésta no depende de la altura alcanzada. (4 pts) (Desprecie el volumen del material del globo frente al volumen del globo inflado). b) Determine la temperatura y la altura a la cual el globo se revienta. (6pts)

Datos numéricos:

$g=9,8{\text{m/s}}^2$ ; $M=29,0\text{g/mol}$ ; $R=8,31\text{J/mol K}$ ; $T_0=293\text{K}$

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 3: Oh, il pallone è scoppiato!

Un globo sferico e gonfio con un gas di densità inferiore a quella dell’aria, si eleva verticalmente nell’atmosfera per la quale la temperatura $T$ in La funzione di altezza $h$ è:

$T=T_0-\lambda h,$

dove $T_0$ è la temperatura dell’atmosfera, in Kelvin, a livello di il suolo e $\lambda =4\times 10^{-3}\text{K/m}$ (valore valido per il giorno dell’ascesa del globo).

Supponiamo che:

1. Il pallone è di materiale tale che durante l’ascesa la pressione il suo elasticità rimane dispregiata alla pressione

• Atmosferica.

2. L’aria all’esterno e il gas all’interno del pallone si comportano come gas ideali e sono in equilibrio termico tra loro.
3. La densità del materiale del pallone non dipende dal suo spessore.
4. Il pallone si rovescia quando il suo spessore di parete raggiunge il valore pari alla metà dello spessore iniziale, cioè gonfiato a livello del suolo.
5. La dipendenza della pressione $p$ dell’aria dalla temperatura $T$ è data da

$p(h)=p_0{\left(T/T_0\right)}^{(Mg/R\lambda )},$

dove:

$M$: massa molare media dell’aria. $g$: accelerazione della gravità presunta costante con $h$. $R$: costante universale dei gas ideali. $p_0$: valore $p$ a livello di terreno.

Si chiede:

a) Calcolare la forza di sosteggio del pallone. Mostrare che questa non dipende dall’altezza raggiunta. (4 pts) (Sprezzi il volume del materiale del pallone rispetto al volume del il globolo gonfiato). b) Determina la temperatura e l’altezza alla quale il pallone si spalanca. 6pts

Dati numerici:

$g=9,8{\text{m/s}}^2$ ; $M=29,0\text{g/mol}$ ; $R=8,31\text{J/mol K}$ ; $T_0=293\text{K}$

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problem 3: Oh no, the balloon burst!

A spherical balloon inflated with a gas of lower density than that of air rises vertically in the atmosphere for which the temperature $T$ as a function of height $h$ is:

$T=T_0-\lambda h,$

where $T_0$ is the temperature of the atmosphere, in degrees Kelvin, at ground level and $\lambda =4\times 10^{-3}\text{K/m}$ (value valid for the day of the balloon’s ascent).

Assume that:

1. The balloon is made of a material such that during the ascent its elastic pressure remains negligible compared to the atmospheric pressure.
2. The air outside and the gas inside the balloon behave as ideal gases and are in thermal equilibrium with each other.
3. The density of the balloon material does not depend on its thickness.
4. The balloon bursts when the thickness of its wall reaches a value equal to half the initial thickness, that is, inflated at ground level.
5. The dependence of the air pressure $p$ on the temperature $T$ is given by

$p(h)=p_0{\left(T/T_0\right)}^{(Mg/R\lambda )},$

where:

$M$: average molar mass of air. $g$: acceleration of gravity assumed constant with $h$. $R$: universal constant of ideal gases. $p_0$: value of $p$ at ground level.

Find:

a) Calculate the buoyant force on the balloon. Show that it does not depend on the height reached. (4 pts) (Neglect the volume of the balloon material compared to the volume of the inflated balloon). b) Determine the temperature and the height at which the balloon bursts. (6pts)

Numerical data:

$g=9,8{\text{m/s}}^2$ ; $M=29,0\text{g/mol}$ ; $R=8,31\text{J/mol K}$ ; $T_0=293\text{K}$