Argent 2009

Problema 1: Señal luminosa en isla desierta.

Usted se encuentra en una isla desierta y luego de recorrerla encuentra una lámpara, cuatro cajas conteniendo cada una 12 pilas y algunos cables. La lámpara es de 100 W con resistencia de 9 $\Omega$ y las pilas son de 6 V con resistencia interna de 3 $\Omega$.

Con estos elementos decide armar un circuito para enviar señales luminosas cuando pase un avión o un barco cerca de la isla. Con el objeto de ser observado desde lo más lejos posible se debe lograr la mayor iluminación de la lámpara y para esto es necesario hacer circular la máxima corriente a través de la misma.

Con este objetivo Ud. arma un circuito de manera de tener M ramas en paralelo y en cada una de ellas N pilas en serie, de manera tal de utilizar todas las pilas encontradas ($M\cdot N=48$).

a) Encuentre una expresión para la corriente que circula a través de la lámpara en términos de N y M

b) Encuentre los valores de M y N correspondientes al circuito con el cuál se logra hacer circular la máxima corriente a través de la lámpara.

c) Encuentre los valores de M y N con los cuales se logra la mayor iluminación sin quemar la lámpara

d) Sabiendo que la eficiencia lumínica de la lámpara es de 6 lum/W, y que la sensibilidad de los bastones del ojo humano es de $10^{-6}{\text{lum/m}}^2$ calcule la máxima distancia a la cual podrán ser observadas las señales.

Nota: Para los puntos a, b y c considere que la resistencia no cambia con la temperatura.

Ayuda: La expresión $(ax+b/x)$, con $x>0$, toma un valor mínimo para $x^2=b/a$

Solución

a) Total = 4 puntos.

Un esquema del circuito se muestra en la figura de abajo

Si denominamos $i_r$ a la corriente que pasa por cada una de las ramas tenemos que la diferencia de potencial entre los bornes de una pila es

$\Delta V_P=V_P-i_r\cdot R_P$

y como en una rama tenemos N pilas la diferencia de potencial en los extremos de cada rama será:

$\Delta V_r=N\cdot \Delta V_P=N\cdot (V_P-i_r\cdot R_P)$ (1 punto)

Por la lámpara pasará una corriente igual a la suma de la corriente que pasa por todas las ramas que contienen pilas entonces $I=M\cdot i_r$ entonces la diferencia de potencial en la rama que contiene la lámpara será:

$\Delta V=I\cdot R_L=M\cdot i_r\cdot R_L$ (1 punto)

Cómo la diferencia de potencial en todas las ramas debe ser la misma tenemos que:

$N\cdot (V_P-i_r\cdot R_P)=M\cdot i_r\cdot R_L$

Despejando se obtiene

$i_r=\frac{N\cdot V_P}{M\cdot R_L+N\cdot R_P}$

(1 punto)

Por lo tanto la corriente que circula por la lámpara es

$I=M\cdot i_r=\frac{M\cdot N\cdot V_P}{M\cdot R_L+N\cdot R_P}$

(1 punto)

Como en nuestro caso $M\cdot N=48$ podemos reescribir esta ecuación en término sólo de la cantidad de pilas que hay en una rama

$I=\frac{48\cdot V_P}{\frac{48}{N}\cdot R_L+N\cdot R_P}$

b) Total = 2 puntos.

La máxima corriente que circulará por la lámpara corresponderá a aquella para la cual el denominador en la expresión anterior toma su mínimo valor. Haciendo uso de la ayuda podemos identificar $a=R_P$ y $b=48R_L$ ($R_P=3\Omega$ y $R_L=9\Omega$) podemos determinar

$N^2=\frac{48\cdot R_L}{R_P}=144$ $N=12$

Es decir que pasará la máxima corriente por la lámpara cuando armemos un circuito con 4 ramas con 12 pilas en cada una de ellas.

Otra posibilidad es evaluar la expresión de la corriente total para todas las combinaciones posibles de M y N.

N	M	I [A]
1	48	0.662
2	24	1.297
3	16	1.882
4	12	2.400
6	8	3.200
8	6	3.692
12	4	4.000
16	3	3.840
24	2	3.200
48	1	1.882

De donde resulta evidente que la máxima corriente se logra con un circuito que contiene 4 ramas con 12 pilas en cada una de ellas.

c) Total = 2 puntos.

Cómo la lámpara es de 100 W con una resistencia interna de 9 $\Omega$ la máxima corriente que puede pasar por ella es:

$P=i_{\text{max}}^2\cdot R$ $i_{\text{max}}=\sqrt{\frac{P}{R}}=\sqrt{11.1}\text{A}=3.3\text{A}$

(1 punto)

Por lo tanto, analizando la tabla anterior, la máxima corriente que se puede hacer pasar por la lámpara sin quemarla es 3.2 A.

Existen dos circuitos posibles para lograr esta corriente, uno de 8 ramas con 6 pilas en cada una de ellas (N = 6 y M = 8) ó uno de 2 ramas con 24 pilas en cada una de ellas (N = 24 y M = 2).

Si dan 1 solo circuito 0.5 puntos Si da los dos circuitos posibles 1 punto

d) Total = 2 puntos.

Con esta corriente máxima de 3.2 A la potencia disipada por la lámpara es

$P=i_{\text{max}}^2\cdot R=(3.2\text{A}{)}^2\cdot 9\Omega =92.16\text{W}$

(0.5 puntos)

la potencia lumínica de la lámpara será

$P_L=92.16\text{W}\cdot 6\frac{\text{lum}}{\text{W}}=552.96\text{lum}$

(0.5 puntos)

Cómo esa potencia lumínica se distribuye en todas las direcciones en una semiesfera tenemos que a una distancia L la densidad de potencia lumínica será

${\delta }_{PL}=\frac{P_L}{2\pi L^2}$

y la luz de la lámpara podrá ser observada en todo lugar en el cual esta densidad de potencia lumínica sea superior a la sensibilidad del ojo ($10^{-6}{\text{lum/m}}^2$), entonces

${\delta }_{PL}=\frac{P_L}{2\pi L^2}\ge 10^{-6}\frac{\text{lum}}{{\text{m}}^2}$

(0.75 puntos)

$L\le \sqrt{\frac{P_L}{2\cdot 10^{-6}{\text{lum/m}}^2}}=9381.2\text{m}$

(0.25 puntos)

También puede considerarse bien si el alumno toma la potencia lumínica dispersada en la esfera total ($S=4\pi L^2$), entonces la distancia será $L\le 6633.5$ m.

Topic: Circuits, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 1: segnale luminoso su un’isola deserta.

Sei su un’isola deserta e dopo averla percorsa trovi una lampada, quattro scatole contenenti ciascuno 12 batterie e alcuni cavi. La lampada è di 100 W con resistenza 9 $\Omega$ e le batterie sono di 6 V con resistenza interna 3 $\Omega$.

Con questi elementi decide di costruire un circuito per inviare segnali luminosi quando un aereo o una barca passa vicino all’isola. Per l’osservazione dal Il più lontano possibile è raggiungere la maggiore illuminazione della lampada e per questo è La massima corrente deve essere circolare attraverso la stessa.

Per questo scopo, Armata un circuito in modo da avere M rami in parallelo e in ciascuna di esse N batterie in serie, in modo tale da utilizzare tutte le batterie le informazioni disponibili ($M\cdot N=48$).

a) Trova un’espressione per il corrente che circola attraverso la lampada in termini di N e M

b) Trova i valori di M e N corrispondenti al circuito con cui si riesce a fare circolare la corrente massima attraverso la lampada.

c) Trova i valori di M e N con cui si ottiene la massima illuminazione senza bruciare la lampada

d) Sapendo che l’efficienza luminosa della lampada è di 6 lum/W, e che la sensibilità dei bastoni dell’occhio umano è di $10^{-6}{\text{lum/m}}^2$ calcola la massima Distanza a cui i segnali possono essere osservati.

Nota: per i punti a, b e c considera che la resistenza non cambia con la temperatura.

Aiuto: l’espressione $(ax+b/x)$, con $x>0$, assume un valore minimo per $x^2=b/a$

Soluzione

a) Total = 4 punti.

Un schema del circuito è mostrato nella figura di seguito

Si denominamos $i_r$ a la corriente que pasa por cada una de las ramas tenemos que la La differenza di potenziale tra i bordi di una pila è

$\Delta V_P=V_P-i_r\cdot R_P$

e come in un ramo abbiamo N pietra la differenza di potenziale alle estremità di ogni il ramo sarà:

$\Delta V_r=N\cdot \Delta V_P=N\cdot (V_P-i_r\cdot R_P)$ (punto 1)

La lampada attraverserà un flusso pari alla somma del flusso che attraverserà tutte le parti. ramas que contienen pilas entonces $I=M\cdot i_r$ entonces la diferencia de potencial en la il ramo contenente la lampada sarà:

$\Delta V=I\cdot R_L=M\cdot i_r\cdot R_L$ (punto 1)

Come la differenza di potenziale in tutti i rami deve essere la stessa abbiamo che:

$N\cdot (V_P-i_r\cdot R_P)=M\cdot i_r\cdot R_L$

La pulizia si ottiene

$i_r=\frac{N\cdot V_P}{M\cdot R_L+N\cdot R_P}$

(punto 1)

Quindi il corrente che circola attraverso la lampada è

$I=M\cdot i_r=\frac{M\cdot N\cdot V_P}{M\cdot R_L+N\cdot R_P}$

(punto 1)

Come nel nostro caso $M\cdot N=48$ possiamo riscrivere questa equazione in termini solo di numero di pile in un ramo

$I=\frac{48\cdot V_P}{\frac{48}{N}\cdot R_L+N\cdot R_P}$

b) Total = 2 punti.

La corrente massima che circola attraverso la lampada corrisponde a quella per la quale il il denominatore nella espressione precedente prende il suo valore minimo. L’aiuto è stato utilizzato Possiamo identificare $a=R_P$ e $b=48R_L$ ($R_P=3\Omega$ e $R_L=9\Omega$) possiamo determinare

$N^2=\frac{48\cdot R_L}{R_P}=144$ $N=12$

Questo significa che il massimo corrente passerà attraverso la lampada quando si armonia un circuito con 4 rami con 12 batterie in ciascuno di essi.

Un’altra possibilità è quella di valutare l’espressione del corrente totale per tutte le possibili combinazioni di M e N.

N	M	I [A]
1	48	0.662
2	24	1.297
3	16	1.882
4	12	2.400
6	8	3.200
8	6	3.692
12	4	4.000
16	3	3.840
24	2	3.200
48	1	1.882

Da cui è evidente che la massima corrente viene ottenuta con un circuito che contiene 4 rami con 12 batterie in ciascuno di essi.

c) Total = 2 punti.

Come la lampada è di 100 W con una resistenza interna di 9 $\Omega$ il massimo corrente che può passare attraverso di essa è:

$P=i_{\text{max}}^2\cdot R$ $i_{\text{max}}=\sqrt{\frac{P}{R}}=\sqrt{11.1}\text{A}=3.3\text{A}$

(punto 1)

Quindi, analizzando la tabella precedente, la corrente massima che si può passare per la lampada senza bruciare è 3.2 A.

Esistono due circuiti possibili per ottenere questo corrente, uno di 8 rami con 6 batterie in ciascuna di esse (N = 6 e M = 8) o una di 2 rami con 24 pile in ciascuna di esse (N = 24 y M = 2).

Se danno 1 solo circuito 0,5 punti Se dà i due circuiti possibili 1 punto

d) Total = 2 punti.

Con questo corrente massimo di 3.2 A la potenza dissipata dalla lampada è

$P=i_{\text{max}}^2\cdot R=(3.2\text{A}{)}^2\cdot 9\Omega =92.16\text{W}$

0,5 punti)

la potenza luminosa della lampada sarà

$P_L=92.16\text{W}\cdot 6\frac{\text{lum}}{\text{W}}=552.96\text{lum}$

0,5 punti)

Come si distribuisce questa potenza luminosa in tutte le direzioni in una semisfera Abbiamo che a distanza L la densità di potenza luminosa sarà

${\delta }_{PL}=\frac{P_L}{2\pi L^2}$

e la luce della lampada può essere osservata ovunque questa densità di se la potenza luminosa è superiore alla sensibilità dell’occhio ($10^{-6}{\text{lum/m}}^2$),

${\delta }_{PL}=\frac{P_L}{2\pi L^2}\ge 10^{-6}\frac{\text{lum}}{{\text{m}}^2}$

0,75 punti)

$L\le \sqrt{\frac{P_L}{2\cdot 10^{-6}{\text{lum/m}}^2}}=9381.2\text{m}$

0,25 punti)

Si può anche considerare bene se l’allievo prende la potenza luminosa dispersa in la sfera totale ($S=4\pi L^2$), quindi la distanza sarà $L\le 6633.5$ m.

Topic: Circuits, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problem 1: Light signal on a desert island.

You’re on a desert island and after you walk around it you find a lamp, four boxes containing 12 batteries and some cables each. The lamp is from 100 W with a resistance of 9 $\Omega$ and the batteries are 6 V with an internal resistance of 3 $\Omega$.

With these elements, he decides to assemble a circuit to send out light signals. When a plane or boat passes near the island. For the purpose of observing the As far as possible, the lamp should be illuminated as much as possible. The maximum current must be circulated through it.

With this aim, you will be able to Arms a circuit so as to have M branches in parallel and In each of them N series batteries, so as to use all the batteries encontradas ($M\cdot N=48$).

(a) Find an expression for the current flowing through the lamp in terms of N and M

(b) Find the M and N values for the circuit with which it is possible to make Circulate the maximum current through the lamp.

(c) Find the values of M and N with which the greatest illumination is achieved without burning the lamp

(d) Knowing that the luminous efficiency of the lamp is 6 lum/W, and that the sensitivity of the human eyelid rods is $10^{-6}{\text{lum/m}}^2$ calculate the maximum distance from which the signals can be observed.

Note: For points a, b and c consider that the resistance does not change with the The temperature.

Aid: The expression $(ax+b/x)$, with $x>0$, takes a minimum value for $x^2=b/a$

Solution

(a) Total = 4 points.

A circuit diagram is shown in the figure below

Si denominamos $i_r$ a la corriente que pasa por cada una de las ramas tenemos que la The potential difference between the ends of a stack is

$\Delta V_P=V_P-i_r\cdot R_P$

And as in a branch, we have N piles the potential difference at the ends of each branch shall be:

$\Delta V_r=N\cdot \Delta V_P=N\cdot (V_P-i_r\cdot R_P)$ (a) the number of days

A current passing through the lamp is equal to the sum of the current passing through all the branches containing batteries then $I=M\cdot i_r$ then the potential difference in the the branch containing the lamp shall be:

$\Delta V=I\cdot R_L=M\cdot i_r\cdot R_L$ (a) the number of days

How the potential difference in all branches should be the same we have to:

$N\cdot (V_P-i_r\cdot R_P)=M\cdot i_r\cdot R_L$

Clearing you get

$i_r=\frac{N\cdot V_P}{M\cdot R_L+N\cdot R_P}$

(a) the number of days

So the current that’s circulating through the lamp is

$I=M\cdot i_r=\frac{M\cdot N\cdot V_P}{M\cdot R_L+N\cdot R_P}$

(a) the number of days

As in our case $M\cdot N=48$ we can rewrite this equation in terms of only the Number of batteries in a branch

$I=\frac{48\cdot V_P}{\frac{48}{N}\cdot R_L+N\cdot R_P}$

(b) Total = 2 points.

The maximum current to be circulated by the lamp shall be the same as that for which the lamp is The denominator in the above expression takes its minimum value. Using the aid We can identify $a=R_P$ and $b=48R_L$ ($R_P=3\Omega$ and $R_L=9\Omega$) we can determine

$N^2=\frac{48\cdot R_L}{R_P}=144$ $N=12$

That means the maximum current will pass through the lamp when we put a circuit with Four branches with 12 batteries in each.

Another possibility is to evaluate the total current expression for all possible combinations of M and N.

N	M	I [A]
1	48	0.662
2	24	1.297
3	16	1.882
4	12	2.400
6	8	3.200
8	6	3.692
12	4	4.000
16	3	3.840
24	2	3.200
48	1	1.882

Where it is clear that the maximum current is achieved with a circuit containing Four branches with 12 batteries in each.

(c) Total = 2 points.

How the lamp is 100 W with an internal resistance of 9 $\Omega$ the maximum current What can happen to her is:

$P=i_{\text{max}}^2\cdot R$ $i_{\text{max}}=\sqrt{\frac{P}{R}}=\sqrt{11.1}\text{A}=3.3\text{A}$

(a) the number of days

Therefore, by analyzing the table above, the maximum current that can be passed For the unlit lamp, it’s 3.2 A.

There are two possible circuits for achieving this current, one of 8 branches with 6 batteries in Each of them (N = 6 and M = 8) or one of 2 branches with 24 batteries in each of them (N = 24 y M = 2).

If you give 1 only circuit 0.5 points If it gives the two possible circuits 1 point

(d) Total = 2 points.

With this maximum current of 3.2 A the power dissipated by the lamp is

$P=i_{\text{max}}^2\cdot R=(3.2\text{A}{)}^2\cdot 9\Omega =92.16\text{W}$

(Some of the following points)

The luminous power of the lamp shall be

$P_L=92.16\text{W}\cdot 6\frac{\text{lum}}{\text{W}}=552.96\text{lum}$

(Some of the following points)

How that light power is distributed in all directions in a hemisphere. We have to have a distance L. The density of light power will be

${\delta }_{PL}=\frac{P_L}{2\pi L^2}$

And the light from the lamp can be seen everywhere where this density of If the light output is greater than the sensitivity of the eye ($10^{-6}{\text{lum/m}}^2$), then

${\delta }_{PL}=\frac{P_L}{2\pi L^2}\ge 10^{-6}\frac{\text{lum}}{{\text{m}}^2}$

(00.75 points)

$L\le \sqrt{\frac{P_L}{2\cdot 10^{-6}{\text{lum/m}}^2}}=9381.2\text{m}$

(00.25 points)

It can also be considered good if the student takes the scattered light power in the total sphere ($S=4\pi L^2$), then the distance will be $L\le 6633.5$ m.

Topic: Circuits, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 2: Horno por radiación.

Un sistema para calentar agua de piletas de natación aprovechando la radiación solar consiste de una cañería pintada de negro, por cuyo interior circula agua. Externamente los caños están rodeados de un espacio al vacío delimitado por un tubo de acrílico de baja conductividad térmica, evitando de esta manera los efectos de convección y conducción del calor con el exterior. Aprovechando esta idea, un inventor decide fabricar un horno que le permita calentar agua aprovechando la radiación solar. De esta manera diseña la tapa del horno con las características mostradas en la Figura

La lámina intermedia está pintada de plateado de un lado y de negro del otro, lo que permite reflejar o absorber la radiación que incide sobre ella regulando la temperatura del interior del horno. Esta tapa puede ser colocada con el lado negro o el plateado hacia fuera.

En un ambiente a temperatura de $20{}^{\circ }\text{C}$, se encuentra experimentalmente que cuando el sistema alcanza el estado estacionario (es decir todas las temperaturas se mantienen constantes) la temperatura en el interior del horno es de $80{}^{\circ }\text{C}$.

En estas condiciones y suponiendo que:

La tapa tiene un área de $1/2{\text{m}}^2$

La radiación solar promedio por unidad de área es $P_s=1000{\text{W/m}}^2$

La reflectividad del lado plateado es del 90% y del lado negro del 10%.

a) Encontrar una expresión para la potencia absorbida por la lámina en términos de los coeficientes de reflectividad interior (r) y exterior (R)

b) Encontrar una expresión para la potencia irradiada por la lámina en función de r, R y su temperatura ($T_L$).

c) Encontrar una expresión para la temperatura que adquiere la lámina.

d) ¿En que caso (con la cara plateada hacia fuera o hacia adentro) la temperatura que adquiere la lámina es mayor? Justifique.

e) ¿En que caso la potencia irradiada por la lámina hacia el interior del horno es mayor? Justifique.

f) Calcule la potencia perdida por las paredes del horno en ambos casos.

AYUDA: Se sabe que la energía emitida por unidad de tiempo y por unidad de área por un objeto a temperatura T está dada por la ley de Stefan-Boltzmann

$E=e\cdot \sigma \cdot T_e^4\sigma =5,67\cdot 10^{-8}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4}$

donde $\sigma$ es una constante universal y e es la emisividad. Un cuerpo en equilibrio con sus alrededores emite y absorbe la misma cantidad de energía en la unidad de tiempo, manteniendo su temperatura constante. Para un absorbedor ideal e = 1.

Los coeficiente de absorción A y de reflectividad R satisfacen $A+R=1$

La emisividad e es igual al coeficiente de absorción A.

Solución

a) Total = 2 puntos.

Si denominamos R a la reflectividad de la superficie expuesta hacia el exterior del horno y r a la reflectividad de la superficie que queda hacia el interior del horno, resulta:

• Potencia absorbida de la radiación solar

$P_{AS}=(1-R)\cdot S\cdot P_s$

(1 puntos)

• Potencia absorbida del ambiente exterior

$P_{Aext}=(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4$

(0.5 puntos)

• Potencia absorbida del interior del horno

$P_{A\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4$

(0.5 puntos)

Por lo tanto la potencia total absorbida por la lámina es

$P_A=(1-R)\cdot S\cdot P_s+(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4$

b) Total = 2 puntos.

• Potencia irradiada al ambiente exterior por la lámina

$P_{Iext}=(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

(1 punto)

• Potencia irradiada al interior del horno por la lámina

$P_{I\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

(1 punto)

Por lo tanto la potencia total irradiada por la lámina es

$P_I=(2-R-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

c) Total = 2 puntos.

En el estado estacionario, cuando ya todas las temperaturas se mantienen constantes, la potencia absorbida por la lámina es igual a la potencia irradiada por la misma.

$P_A=P_I$ $(1-R)\cdot S\cdot P_s+(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4=(2-R-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$ (1 punto)

$T_t=\sqrt[4]{\frac{(1-R)\cdot P_s/\sigma +(1-R)\cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot T_{\text{int}}^4}{(2-R-r)}}$

(1 punto)

d) Total = 1.5 puntos.

En la situación en que el lado negro de la lámina está hacia fuera R = 0.1 y r = 0.9 resultando:

$T_t=393.91\text{K}=120.75{}^{\circ }\text{C}$

(0.75 puntos)

Cuando el lado plateado de la lámina está hacia fuera R = 0.91 y r = 0.1 resultando:

$T_t=358.42\text{K}=85.26{}^{\circ }\text{C}$

(0.75 puntos)

Por lo tanto la temperatura de la lámina será mayor cuando el lado plateado de la misma esté hacia dentro.

e) Total = 1.5 puntos.

La potencia irradiada por la lámina hacia el interior del horno es:

$P_{I\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

• Cuando el lado negro está hacia fuera r = 0.9 resultando:

$P_{I\text{int}}=68.26\text{W}$

(0.75 puntos)

• Cuando el lado plateado está hacia fuera r = 0.1 resultando:

$P_{I\text{int}}=421.08\text{W}$

(0.75 puntos)

f) Total = 1 puntos.

Cómo es sistema está en estado estacionario (todas las temperaturas de mantienen constantes) la potencia perdida por las paredes del horno será igual a la potencia que le entrega la lámina de la tapa, por lo tanto

• Cuando el lado negro está hacia fuera:

$P_{\text{perd}}=68.26\text{W}$ (0.5 puntos)

• Cuando el lado plateado está hacia fuera:

$P_{\text{perd}}=421.08\text{W}$ (0.5 puntos)

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism Metodi: Physical Modeling, Conservation of Energy, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.17

Problema 2: Forno a radiazioni.

Un sistema per riscaldare l’acqua da bagni da nuoto sfruttando la radiazione Il sistema solare consiste in un canale dipinto di nero, attraverso il quale circola acqua. Esternamente i tubi sono circondati da uno spazio vuoto delimitato da un tubo di acrilico a bassa conducibilità termico, evitando così gli effetti di convezione e conduzione del calore con l’esterno. Sfruttando questa idea, un inventore decide di costruire un forno che gli permetta di riscaldare l’acqua utilizzando la radiazione solare. In questo modo progetta la copertura del forno con le caratteristiche mostrate nella Figura

La lamina intermedia è dipinta di argento da un lato e di nero dall’altro, il che consente di riflettere o assorbire la radiazione che incide su di essa regolamentando la temperatura all’interno del forno. Questa copertura può essere collocata con il lato nero o il Arricchito fuori.

In ambiente a temperatura $20{}^{\circ }\text{C}$, si trova sperimentalmente che quando il sistema raggiunge lo stato di stazione (cioè tutte le temperature sono La temperatura all’interno del forno è $80{}^{\circ }\text{C}$.

In queste condizioni, purché:

La copertura ha un’area di $1/2{\text{m}}^2$

La radiazione solare media per unità di area è $P_s=1000{\text{W/m}}^2$

La riflettività del lato argento è del 90% e del lato nero del 10%.

a) Trovare un’espressione della potenza assorbita dalla lamina in termini di Coefficienti di riflettività interna (r) ed esterna (R)

b) Trovare un’espressione per la potenza irradiata dalla lamina in funzione di r, R e la sua temperatura ($T_L$).

c) Trovare un’espressione per la temperatura che la lamina acquista.

d) In che caso (con la faccia argento verso l’esterno o verso l’interno) la temperatura che acquista la lamina è maggiore? giustifica.

e) In che caso la potenza irradiata dalla lamina verso l’interno del forno è maggiore? giustifica.

f) Calcolare la potenza persa dalle pareti del forno in entrambi i casi.

Aiuto: è noto che l’energia emessa per unità di tempo e per unità di area per un oggetto a temperatura T è dato dalla legge di Stefan-Boltzmann

$E=e\cdot \sigma \cdot T_e^4\sigma =5,67\cdot 10^{-8}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4}$

dove $\sigma$ è una costante universale e e è l’emissività. Un corpo in equilibrio con i suoi dintorni emettono e assorbono la stessa quantità di energia nell’unità di tempo; mantenendo la temperatura costante. Per un assorbente ideale e = 1.

I coefficienti di assorbimento A e di riflettività R soddisfano $A+R=1$

L’emissività e è pari al coefficiente di assorbimento A.

Soluzione

a) Total = 2 punti.

Se diamo R alla riflettività della superficie esposta all’esterno del forno e r alla riflettività della superficie rimasta all’interno del forno, si ottiene:

• Potenza assorbita dalla radiazione solare

$P_{AS}=(1-R)\cdot S\cdot P_s$

(1 punti)

• Potenza assorbita dall’ambiente esterno

$P_{Aext}=(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4$

0,5 punti)

• Potenza assorbita dall’interno del forno

$P_{A\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4$

0,5 punti)

La potenza totale assorbita dalla lamina è quindi

$P_A=(1-R)\cdot S\cdot P_s+(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4$

b) Total = 2 punti.

• Potenza irradiata all’ambiente esterno dalla lamina

$P_{Iext}=(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

(punto 1)

• Potenza irradiata all’interno del forno dalla lamina

$P_{I\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

(punto 1)

La potenza totale irradiata dalla lamina è quindi

$P_I=(2-R-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

c) Total = 2 punti.

In stato stazionario, quando tutte le temperature sono state mantenute costanti, la temperatura è la potenza assorbita dalla lamina è pari alla potenza irradiata dalla lamina.

$P_A=P_I$ $(1-R)\cdot S\cdot P_s+(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4=(2-R-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$ (punto 1)

$T_t=\sqrt[4]{\frac{(1-R)\cdot P_s/\sigma +(1-R)\cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot T_{\text{int}}^4}{(2-R-r)}}$

(punto 1)

d) Total = 1,5 punti.

In una situazione in cui il lato nero della lamina è verso l’esterno R = 0,1 e r = 0,9 risultando:

$T_t=393.91\text{K}=120.75{}^{\circ }\text{C}$

0,75 punti)

Quando il lato argento della lamina è verso l’esterno R = 0,91 e r = 0,1 risultando:

$T_t=358.42\text{K}=85.26{}^{\circ }\text{C}$

0,75 punti)

Quindi la temperatura della lamina sarà maggiore quando il lato argento della stessa

• Sta’ dentro.

e) Total = 1,5 punti.

La potenza irradiata dalla lamina verso l’interno del forno è:

$P_{I\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

• Quando il lato nero è verso l’esterno r = 0,9 risultando:

$P_{I\text{int}}=68.26\text{W}$

0,75 punti)

• Quando il lato argento è verso l’esterno r = 0,1 risultando:

$P_{I\text{int}}=421.08\text{W}$

0,75 punti)

f) Total = 1 punto.

Come è sistema è in stato di stazione (tutte le temperature di mantenere

• la potenza perduta dalle pareti del forno sarà pari alla potenza che viene consegna la lamina della copertura, quindi

• Quando il lato nero è verso l’esterno:

$P_{\text{perd}}=68.26\text{W}$ 0,5 punti)

• Quando il lato argento è verso l’esterno:

$P_{\text{perd}}=421.08\text{W}$ 0,5 punti)

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism Metodi: Physical Modeling, Conservation of Energy, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.17

Problem two: radiation furnace.

A system for heating swimming pool water using radiation The solar system consists of a black-painted pipeline through which water flows. Externally the tubes are surrounded by a gap bounded by a tube Low thermal conductivity acrylic, thus avoiding the effects of heat convection and conduction with the outside. Taking advantage of this idea, an inventor He decides to make a furnace that heals water using solar radiation. This way he designs the oven lid with the characteristics shown in Figure

The middle sheet is painted silver on one side and black on the other, the which allows the radiation to be reflected or absorbed by regulating it the temperature inside the furnace. This cap can be placed with the black side or the Silvered out.

In an environment with a temperature of $20{}^{\circ }\text{C}$, it is experimentally found that When the system reaches steady state (i.e. all temperatures are The temperature inside the furnace is $80{}^{\circ }\text{C}$.

Under these conditions and assuming that:

The cover has an area of $1/2{\text{m}}^2$

The average solar radiation per unit area is $P_s=1000{\text{W/m}}^2$

The reflectivity on the silver side is 90% and the black side is 10%.

(a) Find an expression for the absorbed power of the sheet in terms of the Inner and outer reflectivity coefficients (r)

(b) Find an expression for the power radiated by the sheet in terms of r, R and the temperature of the product ($T_L$).

(c) Find an expression for the temperature acquired by the sheet.

(d) In which case (with the silver face facing out or in) the temperature at which the Does the sheet get bigger? You justify it.

(e) In which case is the power radiated by the sheet into the furnace greater? You justify it.

(f) Calculate the power lost by the furnace walls in both cases.

HELP: It is known that energy emitted per unit of time and per unit of area per an object at temperature T is given by Stefan-Boltzmann’s law

$E=e\cdot \sigma \cdot T_e^4\sigma =5,67\cdot 10^{-8}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4}$

donde $\sigma$ es una constante universal y e es la emisividad. A body in balance with its surroundings emit and absorb the same amount of energy per unit time, Keeping its temperature constant. For an ideal absorber e = 1.

The absorption coefficients A and reflectivity coefficients R satisfy $A+R=1$

The emissivity e is equal to the absorption coefficient A.

Solution

(a) Total = 2 points.

If we call R the reflectivity of the surface exposed to the outside of the furnace and r to the reflectivity of the surface remaining inside the furnace, it is:

• Power absorbed from solar radiation

$P_{AS}=(1-R)\cdot S\cdot P_s$

(one point)

• Power absorbed from the external environment

$P_{Aext}=(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4$

(Some of the following points)

• Power absorbed from the inside of the furnace

$P_{A\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4$

(Some of the following points)

Therefore the total power absorbed by the sheet is

$P_A=(1-R)\cdot S\cdot P_s+(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4$

(b) Total = 2 points.

• Power radiated to the outside environment by the sheet

$P_{Iext}=(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

(a) the number of days

• Power radiated to the inside of the furnace by the sheet

$P_{I\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

(a) the number of days

Therefore the total power radiated by the sheet is

$P_I=(2-R-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

(c) Total = 2 points.

In the steady state, when all temperatures are already kept constant, the The energy absorbed by the sheet is equal to the energy radiated by the sheet.

$P_A=P_I$ $(1-R)\cdot S\cdot P_s+(1-R)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_{\text{int}}^4=(2-R-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$ (a) the number of days

$T_t=\sqrt[4]{\frac{(1-R)\cdot P_s/\sigma +(1-R)\cdot T_{\text{ext}}^4+(1-r)\cdot T_{\text{int}}^4}{(2-R-r)}}$

(a) the number of days

(d) Total = 1.5 points.

In the situation where the black side of the sheet is outward R = 0.1 and r = 0.9 resulting in:

$T_t=393.91\text{K}=120.75{}^{\circ }\text{C}$

(00.75 points)

When the silver side of the sheet is outward R = 0.91 and r = 0.1 resulting in:

$T_t=358.42\text{K}=85.26{}^{\circ }\text{C}$

(00.75 points)

Therefore the temperature of the sheet will be higher when the silver side of the sheet is Get in there.

(e) Total = 1.5 points.

The power radiated by the sheet into the furnace is:

$P_{I\text{int}}=(1-r)\cdot S\cdot \sigma \cdot T_t^4$

• When the black side is outward r = 0.9 resulting in:

$P_{I\text{int}}=68.26\text{W}$

(00.75 points)

• When the silver side is outward r = 0.1 resulting:

$P_{I\text{int}}=421.08\text{W}$

(00.75 points)

(f) Total = 1 point.

How is the system in steady state (all temperatures of maintain The power lost by the walls of the furnace shall be equal to the power lost by the furnace walls. Delivers the lid sheet, therefore

• When the black side is out:

$P_{\text{perd}}=68.26\text{W}$ (Some of the following points)

• When the silver side is out:

$P_{\text{perd}}=421.08\text{W}$ (Some of the following points)

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism Metodi: Physical Modeling, Conservation of Energy, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.17

Problema 3: Una sorpresa extraterrestre.

Una civilización proveniente de algún sistema planetario lejano, pone en órbita alrededor de la Luna un objeto en forma de prisma. Tan pronto como los humanos se enteran de su presencia, los científicos de la Tierra comienzan a estudiar las propiedades de ese extraño objeto. Las observaciones que realizaron indican que el objeto en su movimiento orbital, permanece siempre en el plano de la órbita Tierra – Luna, que realiza una órbita circular alrededor de la Luna, que la extensión de la bisectriz del prisma pasa en todo momento por el centro de la Luna (ver figura 1) y que su período de revolución es de 2 horas y 40 minutos. A partir de esta información,

a) calcule la distancia Luna – prisma. Nota 1: Suponga que el efecto gravitatorio de la Tierra sobre el objeto es despreciable y que para describir su movimiento alrededor de la Luna lo pensamos como un cuerpo puntual. Para estudiar tanto las características geométricas como el material con el que se ha construido el prisma, los científicos planifican el siguiente experimento: cuando el objeto se encuentra en la posición indicada en la figura 2 (dibujo no a escala), se envían desde la Tierra dos poderosos rayos laser, paralelos al eje que pasa por el centro de la Tierra, el centro de la Luna y por el vértice del prisma. Esos rayos, al tocar la superficie del prisma, sufren tanto una reflexión como una refracción. Los rayos reflejados son captados por sensores ubicados sobre la superficie lunar que se encuentran separados entre si por una distancia $d_{AB}=200$ km medida sobre la superficie lunar. A partir de este dato:

b) Calcule el ángulo de refringencia $\alpha$ del prisma (ver figura 3). Por otro lado, los rayos que se refractaron en el prisma, emergen del mismo por la cara más cercana a la luna, para luego ser detectados por sensores ubicados sobre la superficie lunar y separados por una distancia $d_{CD}=100$ km (ver figura 2). A partir de esta información.

c) Calcule el ángulo ${\theta }_r^{\prime }$ con que los rayos emergen del prisma luego de la segunda refracción (ver figura 3). d) Muestre que el índice de refracción del prisma está dado por las siguiente expresión:

$n=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{\mathrm{sen}\left(\frac{{\theta }_r^{\prime }}{2}\right)+\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}\right)}^2}$

e) Determine el índice de refracción n del prisma. Exprese el resultado con cuatro cifras significativas. Nota 2: En los puntos b) y c) considere que el prisma es lo suficientemente pequeño como para suponer que todos los rayos (tanto los reflejados como los refractados) emergen de un único punto interior al prisma. Nota 3: Considere que la luz se propaga a velocidad infinita. Nota 4: Para todos los cálculos trabaje con seis cifras significativas.

Figura 1

Figura 2

Figura 3: Diagrama no a escala de uno de los rayos que inciden en el prisma y sus respectivas refracciones. Los ángulos se han exagerado para mayor claridad en el dibujo.

Datos necesarios:

1. Radio de la Luna: 1737 km
2. Índice de refracción del vacío: 1
3. Masa de la Luna: $7,35\times 10^{22}$ kg
4. Constante Universal de la Gravitación: $6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$

Fórmulas útiles:

$\mathrm{sen}(a\pm b)=\mathrm{sen}(a)\cos (b)\pm \cos (a)\mathrm{sen}(b)$ $\cos (a\pm b)=\cos (a)\cos (b)\mp \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b)$ $\mathrm{sen}(a/2)\cos (a/2)=(1/2)\mathrm{sen}(a)$

Recta normal al lado del prisma. Recta normal a la base del prisma. Rayo incidente.

Solución

a) Total = 2 puntos.

$T=2\text{h}40^{\prime }=160^{\prime }=9600\text{s}$

$F=-\frac{G{m}_L{m}_p}{R^2}=-m{\omega }^{2}R\text{(1.5 puntos)}$ $\omega =\frac{2\pi }{T}$ $R^3=\frac{G{m}_L{T}^2}{4{\pi }^2}=2253.54\text{km}\text{(0.5 puntos)}$

b) Total = 2 puntos.

$d_{AB}=200\text{km}$ $\beta R_L=200\text{km}$ $\beta =0.115141\text{rad}$ $\beta /2=0.0575705\text{rad}$

$R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\beta }{2}\right)=h$ $\tan (\alpha )=\left(\frac{h}{R-R_L\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}\right)=\left(\frac{R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\beta }{2}\right)}{R-R_L\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}\right)$ $\tan (\alpha )=0.192417$ $\alpha =0.190094$

c) Total = 2 puntos.

De la misma forma que calculamos $\alpha$ podemos calcular ${\theta }_r^{\prime }$.

$d_{CD}=100\text{km}$ $\gamma R_L=100\text{km}$ $\gamma =0.0575705\text{rad}$ $\gamma /2=0.0287853\text{rad}$

$\tan ({\theta }_r^{\prime })=\left(\frac{R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}{R-R_L\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}\right)$ $\tan ({\theta }_r^{\prime })=0.0966501$ ${\theta }_r^{\prime }=0.09635088\text{rad}$

d) Total = 3 puntos

${\theta }_i=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}\text{(0.5 puntos)}$ $\mathrm{sen}({\theta }_i)=n\mathrm{sen}({\theta }_r)=\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\text{(0.5 puntos)}$ $n\mathrm{sen}({\theta }_i^{\prime })=\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })\text{(0.5 puntos)}$ ${\theta }_r+{\theta }_i^{\prime }+\pi -{\theta }_i=\pi$ ${\theta }_i^{\prime }=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}-{\theta }_r\text{(0.5 puntos)}$ $n\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}-{\theta }_r\right)=\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })$ $n=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })+\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}\right)}^2}\text{(1 punto)}$

e) $n=1.0138\text{(1 punto)}$

Recta normal al lado del prisma. Recta normal a la base del prisma. Rayo incidente.

Topic: Gravitation, Geometric Optics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Significant Figures Objects: Prism, Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.21

Problema 3: Una sorpresa extraterrestre.

Una civiltà proveniente da qualche sistema planetario lontano, mette in orbita intorno alla Luna un oggetto in forma di prisma. Non appena gli umani si Quando hanno saputo della sua presenza, gli scienziati della Terra iniziano a studiare le proprietà di quell’oggetto strano. Le osservazioni che hanno fatto indicano che l’oggetto nel suo movimento orbitale, rimane sempre sul piano dell’orbita Terra Luna, che La sua orbita circolare attorno alla Luna è molto più elevata rispetto a quella della luna. Il prisma passa in ogni momento attraverso il centro della Luna (vedi figura 1) e il suo periodo è di La rivoluzione è di 2 ore e 40 minuti. Sulla base di queste informazioni,

a) Calcolare la distanza Luna prisma. Nota 1: Supponiamo che l’effetto gravitazionale della Terra sull’oggetto sia scarsa e che per descrivere il suo movimento attorno alla Luna lo pensiamo come un corpo puntuale. Per studiare le caratteristiche geometriche e il materiale con cui si è La ricerca ha portato a un nuovo approccio, il primo di cui è stato sviluppato. oggetto si trova nella posizione indicata in figura 2 (disegno non a scala), sono inviati da terra due potenti raggi laser, paralleli all’asse che attraversa il centro della Terra Terra, centro della Luna e per la vertica del prisma. Quegli raggi, toccando la superficie La loro riflessione e la loro refraczione sono due elementi che possono essere osservati. I raggi riflessi sono rilevati da sensori situati sulla superficie lunare separati tra loro per una distanza $d_{AB}=200$ km misurata sulla superficie lunare. A partire da il dato:

b) Calcolare l’angolo di rifresco $\alpha$ del prisma (vedere figura 3). D’altra parte, i raggi che si sono refrattati nel prisma, emergono dal mismo attraverso il viso più vicino alla luna, per poi essere rilevati da sensori posizionati sulla Terra. superficie lunare e separati da una distanza $d_{CD}=100$ km (vedere figura 2). A partire da

• questa informazione.

c) Calcolare l’angolo ${\theta }_r^{\prime }$ con cui i raggi emergono dal prisma dopo la Se la seconda refraczione è stata effettuata (vedi figura 3). d) Dimostra che l’indice di refraczione del prisma è dato da: espressione:

$n=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{\mathrm{sen}\left(\frac{{\theta }_r^{\prime }}{2}\right)+\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}\right)}^2}$

e) Determina l’indice di refraczione n del prisma. Esprimere il risultato con quattro cifre significative. Nota 2: nei punti (b) e (c) considera che il prisma è sufficientemente piccolo come supporre che tutti i raggi (tanto riflessi che refratti) emerge da un unico punto interno alla prisma. Nota 3: Considera che la luce si diffonde a velocità infinite. Nota 4: Per tutti i calcoli, lavora con sei cifre significative.

Figura 1

Figura 2

Figura 3: Diagramma non a scala di uno dei raggi che incidono sul prisma e sui suoi le rispettive refraczioni. Gli angoli sono stati esagerati per una maggiore chiarezza nel

• lo disegno.

Dati necessari:

1. Radios della Luna: 1737 km
2. Indice di refraczione del vuoto: 1
3. Massa della Luna: $7,35\times 10^{22}$ kg
4. Costante universale di gravità: $6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$

Formulazioni utili:

$\mathrm{sen}(a\pm b)=\mathrm{sen}(a)\cos (b)\pm \cos (a)\mathrm{sen}(b)$ $\cos (a\pm b)=\cos (a)\cos (b)\mp \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b)$ $\mathrm{sen}(a/2)\cos (a/2)=(1/2)\mathrm{sen}(a)$

Normalmente, prosegue accanto al prisma. Normalmente diretto alla base del prisma. Raggione incidente.

Soluzione

a) Total = 2 punti.

$T=2\text{h}40^{\prime }=160^{\prime }=9600\text{s}$

$F=-\frac{G{m}_L{m}_p}{R^2}=-m{\omega }^{2}R\text{(1.5 puntos)}$ $\omega =\frac{2\pi }{T}$ $R^3=\frac{G{m}_L{T}^2}{4{\pi }^2}=2253.54\text{km}\text{(0.5 puntos)}$

b) Total = 2 punti.

$d_{AB}=200\text{km}$ $\beta R_L=200\text{km}$ $\beta =0.115141\text{rad}$ $\beta /2=0.0575705\text{rad}$

$R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\beta }{2}\right)=h$ $\tan (\alpha )=\left(\frac{h}{R-R_L\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}\right)=\left(\frac{R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\beta }{2}\right)}{R-R_L\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}\right)$ $\tan (\alpha )=0.192417$ $\alpha =0.190094$

c) Total = 2 punti.

Così come abbiamo calcolato $\alpha$ possiamo calcolare ${\theta }_r^{\prime }$.

$d_{CD}=100\text{km}$ $\gamma R_L=100\text{km}$ $\gamma =0.0575705\text{rad}$ $\gamma /2=0.0287853\text{rad}$

$\tan ({\theta }_r^{\prime })=\left(\frac{R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}{R-R_L\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}\right)$ $\tan ({\theta }_r^{\prime })=0.0966501$ ${\theta }_r^{\prime }=0.09635088\text{rad}$

d) Total = 3 punti

${\theta }_i=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}\text{(0.5 puntos)}$ $\mathrm{sen}({\theta }_i)=n\mathrm{sen}({\theta }_r)=\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\text{(0.5 puntos)}$ $n\mathrm{sen}({\theta }_i^{\prime })=\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })\text{(0.5 puntos)}$ ${\theta }_r+{\theta }_i^{\prime }+\pi -{\theta }_i=\pi$ ${\theta }_i^{\prime }=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}-{\theta }_r\text{(0.5 puntos)}$ $n\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}-{\theta }_r\right)=\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })$ $n=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })+\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}\right)}^2}\text{(1 punto)}$

e) $n=1.0138\text{(1 punto)}$

Normalmente, prosegue accanto al prisma. Normalmente diretto alla base del prisma. Raggione incidente.

Topic: Gravitation, Geometric Optics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Significant Figures Objects: Prism, Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.21

Problem three: An alien surprise.

A civilization from some distant planetary system, puts it in orbit. Around the moon, a prism-shaped object. As soon as humans are When they learn of its presence, Earth scientists begin to study its properties. of that strange object. The observations made by the Orbital motion, always remains in the plane of Earth Moon orbit, which It orbits the Moon in a circular orbit, which is the extension of the bisector of the Moon. The prism passes at all times through the center of the Moon (see Figure 1) and its period is The revolution is 2 hours and 40 minutes. Based on this information,

(a) calculate the distance Moon prism. Note 1: Suppose the Earth’s gravitational effect on the object is negligible and That to describe its motion around the moon, we think of it as a body. I’m on time. To study both geometric characteristics and the material with which it has been made The scientists plan the following experiment: object is in the position indicated in Figure 2 (not at scale), they are sent From Earth, two powerful laser beams, parallel to the axis passing through the center of the Earth’s orbit, Earth, the center of the Moon and by the tip of the prism. Those lightning strikes the surface The prism is reflected and refracted. The reflected rays are Captured by sensors located on the lunar surface that are separate each other by a distance $d_{AB}=200$ km measured over the lunar surface. From This data:

(b) Calculate the angle of refraction $\alpha$ of the prism (see Figure 3). On the other hand, the rays that were refracted in the prism emerge from the same through the face closer to the moon, to be detected by sensors located above the moon. lunar surface and separated by a distance $d_{CD}=100$ km (see Figure 2). From This information.

(c) Calculate the angle ${\theta }_r^{\prime }$ at which the rays emerge from the prism after the The second refraction (see Figure 3). (d) Show that the refractive index of the prism is given by the following: The expression:

$n=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{\mathrm{sen}\left(\frac{{\theta }_r^{\prime }}{2}\right)+\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}\right)}^2}$

(e) Determine the refractive index n of the prism. Express the result with Four significant numbers. Note 2: In points (b) and (c) consider that the prism is small enough As to assume that all rays (both reflected and refracted) emerge from a single point inside the prism. Note 3: Consider that light is propagating at infinite speed. Note 4: For all calculations work with six significant figures.

Figure 1

Figure 2

Figure 3: Non-scale diagram of one of the rays that strike the prism and its the respective refractions. The angles have been exaggerated for greater clarity in the I draw.

Data required:

1. Radius of the Moon: 1737 km
2. The vacuum refractive index: 1
3. The mass of the moon: $7,35\times 10^{22}$ kg
4. Constante Universal de la Gravitación: $6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$

Useful formulas:

$\mathrm{sen}(a\pm b)=\mathrm{sen}(a)\cos (b)\pm \cos (a)\mathrm{sen}(b)$ $\cos (a\pm b)=\cos (a)\cos (b)\mp \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b)$ $\mathrm{sen}(a/2)\cos (a/2)=(1/2)\mathrm{sen}(a)$

Normal straight next to the prism. Straight to the base of the prism. Lightning incident.

Solution

(a) Total = 2 points.

$T=2\text{h}40^{\prime }=160^{\prime }=9600\text{s}$

$F=-\frac{G{m}_L{m}_p}{R^2}=-m{\omega }^{2}R\text{(1.5 puntos)}$ $\omega =\frac{2\pi }{T}$ $R^3=\frac{G{m}_L{T}^2}{4{\pi }^2}=2253.54\text{km}\text{(0.5 puntos)}$

(b) Total = 2 points.

$d_{AB}=200\text{km}$ $\beta R_L=200\text{km}$ $\beta =0.115141\text{rad}$ $\beta /2=0.0575705\text{rad}$

$R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\beta }{2}\right)=h$ $\tan (\alpha )=\left(\frac{h}{R-R_L\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}\right)=\left(\frac{R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\beta }{2}\right)}{R-R_L\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}\right)$ $\tan (\alpha )=0.192417$ $\alpha =0.190094$

(c) Total = 2 points.

In the same way that we calculate $\alpha$ we can calculate ${\theta }_r^{\prime }$.

$d_{CD}=100\text{km}$ $\gamma R_L=100\text{km}$ $\gamma =0.0575705\text{rad}$ $\gamma /2=0.0287853\text{rad}$

$\tan ({\theta }_r^{\prime })=\left(\frac{R_L\mathrm{sen}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}{R-R_L\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}\right)$ $\tan ({\theta }_r^{\prime })=0.0966501$ ${\theta }_r^{\prime }=0.09635088\text{rad}$

(d) Total = 3 points

${\theta }_i=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}\text{(0.5 puntos)}$ $\mathrm{sen}({\theta }_i)=n\mathrm{sen}({\theta }_r)=\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\text{(0.5 puntos)}$ $n\mathrm{sen}({\theta }_i^{\prime })=\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })\text{(0.5 puntos)}$ ${\theta }_r+{\theta }_i^{\prime }+\pi -{\theta }_i=\pi$ ${\theta }_i^{\prime }=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}-{\theta }_r\text{(0.5 puntos)}$ $n\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}-{\theta }_r\right)=\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })$ $n=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{\mathrm{sen}({\theta }_r^{\prime })+\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}\right)}^2}\text{(1 punto)}$

e) $n=1.0138\text{(1 punto)}$

Normal straight next to the prism. Straight to the base of the prism. Lightning incident.

Topic: Gravitation, Geometric Optics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Significant Figures Objects: Prism, Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.21