Argent 2011

Problema 1: Casa del hielo. En aquellos lugares en donde se acumula mucho hielo durante el invierno, los habitantes que no tienen una heladera, juntan el hielo en un recinto conocido como “casa del hielo”. Esta se construye con ladrillos, parcialmente hundida en el suelo con paredes bien aisladas. La “casa del hielo” tiene una salida para el drenaje del agua que resulta de la fusión del hielo y una salida superior para el vapor de agua (ver dibujo). El hielo que se introduce en la “casa del hielo” es previamente molido y luego compactado dentro del recinto correspondiente en la casa.

Consignas: Considere despreciable la masa de aire que hay dentro de la casa y la sublimación del hielo y suponga que las paredes de la casa son perfectamente aislantes. Así, llamando: $E$ a la energía por unidad de tiempo (potencia) que ingresa a la casa del hielo y que es absorbida por este, $M$ la masa de hielo que se funde (se derrite) por unidad de tiempo en el interior de la casa, $M_v$ a la masa de vapor de agua que se evapora a partir de esta agua por unidad de tiempo y $M_F$ a la masa de agua que finalmente fluye por unidad de tiempo al desagüe (drenaje), “la ecuación de la casa del hielo”, esto es la masa de hielo que se funde por unidad de tiempo es:

$M=\frac{E-M_v{L}_v}{L_F}(1)$

Donde $L_v$ y $L_F$ son los calores de evaporación del agua y de fusión del hielo, respectivamente.

a) Usando la conservación de la energía, deduzca la “ecuación de la casa del hielo” (ecuación 1). b) b1) De una expresión de la masa de hielo por unidad de tiempo ($M_1$) que se fundiría si toda la potencia que ingresa a la casa de hielo solamente se empleara en fundir hielo; $M_v=0$. b2) De una expresión de la masa de hielo por unidad de tiempo ($M_2$) que se fundiría si toda el agua producida, finalmente, se transformara en vapor de agua; $M_F=0$. b3) Exprese el cociente entre $M_1$ y $M_2$ en términos de los datos y calcule su valor. b4) ¿Cuál de las dos situaciones es el menos favorable para la conservación del hielo? Suponiendo que una fracción $f$ de la masa de hielo derretido se evapora, lo que es equivalente a decir que la relación entre la masa de hielo que se derrite por unidad de tiempo ($M$) y la masa de agua que se evapora por unidad de tiempo ($M_v$) están vinculadas de la forma:

$M_v=fM(2)$

c) Demuestre que la ecuación (1) resulta:

$M=\frac{E}{L}\text{donde}L=L_F+f{L}_v(3)$

Considere que el lugar en donde se aloja el hielo, dentro de la “casa del hielo”, tiene la forma de un cilindro de radio $r$ y profundidad $h$. Suponga que el intercambio de calor con el hielo se produce a través de una de las superficies circulares del cilindro; esto es, a través de una de las tapas de área $A$, dada por:

$A=\pi r^2(4)$

Suponga que durante el proceso de fusión del hielo, la altura $h$ permanece constante; es decir, la fusión del hielo solo modifica la sección del cilindro de hielo. Con estas condiciones, la energía por unidad de tiempo ($E$) que ingresa al hielo se puede expresar como:

$E=-kA\Delta T(5)$

donde $k$ es una constante que representa el intercambio de calor con el exterior (coeficiente de conducción externa) y $\Delta T$ es la diferencia de temperatura (salto térmico) entre el hielo y el medio exterior con el que intercambia calor la “casa del hielo” (el hielo).

d) Utilizando ecuación (3) y las consideraciones expresadas en el párrafo anterior, demuestre que:

$M=\frac{-km\Delta T}{\rho Lh}(5)$

donde $m$ es la masa de hielo presente en la “casa del hielo” al tiempo $t$ y $\rho$ la densidad del hielo.

A partir de la ecuación (5) se puede obtener la forma en la que varia la masa total de hielo que hay dentro de la “casa del hielo”, $m$, en función del tiempo. Esta función es de la forma:

$m(t)=m_0{e}^{-bt}(5)$

donde $m_0$ es la masa inicial de hielo (la que se depositó en la “casa del hielo” al inicio) y $b$ es una constante dada por:

$b=\frac{k\Delta T}{\rho Lh}(6)$

e) A partir de las ecuaciones (5) y (6) encuentre el tiempo para el cual la masa de hielo se reduce a la mitad, en las condiciones siguientes: e1) Cuando $f=0$ (no hay evaporación) e2) Cuando $L=2L_F$. Para esta situación, además, calcule el valor correspondiente de $f$. Exprese ambos resultados en años. e3) ¿Cuál de los dos casos es el más favorable para la conservación del hielo?

Los valores de las constantes para los cálculos son: $k=2{\text{W/m}}^2\text{K}$ $L_F=0,33\times 10^6\text{J/kg}$ $L_V=2,26\times 10^6\text{J/kg}$ $\rho =800{\text{kg/m}}^3$ $\Delta T=20\text{K}$ $h=5\text{m}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 1: Casa di ghiaccio. In quei luoghi dove si accumula molto ghiaccio durante l’inverno, gli abitanti che non hanno un frigorifero, raccolgono il ghiaccio in un recinto noto come “casa del ghiaccio”. Questa è costruita con mattoni, in parte immersa nel suolo con pareti ben isolati. La casa di ghiaccio ha un’uscita per il drenaggio dell’acqua che deriva dalla Fusione del ghiaccio e uscita superiore per il vapore d’acqua (vedi disegno). Il ghiaccio che si sta Il frumento viene introdotto nella casa di ghiaccio. corrispondente spazio nella casa.

Consegni: Considerate disprezioso l’aria che c’è dentro la casa e la sublimazione del I muri della casa sono perfettamente isolanti. Così, chiamando: $E$ all’energia per unità di tempo (potenza) che entra nella casa di ghiaccio e che è Assorbita da questo, $M$ massa di ghiaccio che si fonde (si fonde) per unità di tempo all’interno della casa, $M_v$ alla massa di vapore d’acqua evaporata da questa acqua per unità di tempo y $M_F$ alla massa di acqua che infine scorre per unità di tempo al disubo (drenaggio), l’equazione della casa di ghiaccio, questa è la massa di ghiaccio che si fonde per unità di Il tempo è:

$M=\frac{E-M_v{L}_v}{L_F}(1)$

Dove $L_v$ e $L_F$ sono calori di evaporazione dell’acqua e di fusione del ghiaccio, rispettivamente.

a) Usando la conservazione dell’energia, dedurre l’equazione della casa di ghiaccio (Equilibrio 1). b) b1) di un’espressione della massa di ghiaccio per unità di tempo ($M_1$) che si Fonderebbe se tutta la potenza che entra nella casa di ghiaccio fosse solo utilizzato per fondere ghiaccio; $M_v=0$. b2) di un’espressione della massa di ghiaccio per unità di tempo ($M_2$) che si La fusione di acqua si verifica se l’acqua che viene prodotta si trasforma in vapore di acqua; $M_F=0$. b3) Esprimere il coefficiente fra $M_1$ e $M_2$ in termini di dati e calcolare il

• Il valore. b4) Qual è la situazione meno favorevole alla conservazione? del ghiaccio? Supponiamo che una frazione $f$ della massa di ghiaccio sciolto evapori, che è equivalente a dire che il rapporto tra la massa di ghiaccio che si scioglie per unità di tempo ($M$) e la massa di acqua evaporata per unità di tempo ($M_v$) sono legate di:

$M_v=fM(2)$

c) Dimostra che l’equazione (1) risulta:

$M=\frac{E}{L}\text{donde}L=L_F+f{L}_v(3)$

Considerate che il luogo in cui si trova il ghiaccio, all’interno della casa del ghiaccio, ha la forma di cilindro di radio $r$ e profondità $h$. Supponiamo che lo scambio di calore con Il ghiaccio viene prodotto attraverso una delle superfici circolari del cilindro; cioè, a attraverso una delle tappe $A$ di superficie, data da:

$A=\pi r^2(4)$

Supponiamo che durante il processo di fusione del ghiaccio l’altezza $h$ rimanga costante; è Cioè, la fusione del ghiaccio modifica solo la sezione del cilindro di ghiaccio. In queste condizioni, l’energia per unità di tempo ($E$) che entra nel ghiaccio può essere ridotta a esprimere come:

$E=-kA\Delta T(5)$

dove $k$ è una costante che rappresenta lo scambio di calore con l’esterno (coefficiente di conduzione esterna) e $\Delta T$ è la differenza di temperatura (salto termico) tra il ghiaccio e l’ambiente esterno con cui l’intercambiatore di calore della casa ghiacciata (ghiaccio).

d) Sfruttando l’equazione (3) e le considerazioni espresse nel precedente paragrafo, dimostrare che:

$M=\frac{-km\Delta T}{\rho Lh}(5)$

dove $m$ è la massa di ghiaccio presente nella cassa di ghiaccio al tempo $t$ e $\rho$ densità del ghiaccio.

L’equazione (5) può indicare come varia la massa totale di ghiaccio. che si trova all’interno della cassa di ghiaccio, $m$, a seconda del tempo. Questa funzione è di forma:

$m(t)=m_0{e}^{-bt}(5)$

dove $m_0$ è la massa iniziale di ghiaccio (quello depositato nella cassa ghiacciata all’inizio) e $b$ è una costante data da:

$b=\frac{k\Delta T}{\rho Lh}(6)$

e) A partire dalle equazioni (5) e (6) trovi il tempo per il quale la massa di il ghiaccio è ridotto di metà, alle seguenti condizioni: e1) Quando $f=0$ (non evaporazione) e2) Quando $L=2L_F$. Per questa situazione, calcola il valore corrispondente di $f$. Esprimete entrambi i risultati in anni. e3) Quale dei due casi è il più favorevole alla conservazione dell’ice?

I valori delle costanti per i calcoli sono: $k=2{\text{W/m}}^2\text{K}$ $L_F=0,33\times 10^6\text{J/kg}$ $L_V=2,26\times 10^6\text{J/kg}$ $\rho =800{\text{kg/m}}^3$ $\Delta T=20\text{K}$ $h=5\text{m}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem one: Ice house. In places where ice builds up a lot during the winter, the inhabitants They don’t have a freezer, they collect the ice in a compound known as the “ice house”. This one is built with bricks, partially sunk into the ground with walls well isolated. The ice house has an outlet for the drainage of water resulting from the ice melting and an upper outlet for water vapour (see drawing). The ice that is The product is then ground into a glass and then compacted into the glass. the corresponding enclosure in the house.

The following: Consider the air mass within the house and the sublimation of the I’ll just put some ice on the walls and assume the house walls are perfectly insulating. So, by calling: $E$ to the energy per unit time (power) entering the ice house and which is absorbed by this, $M$ the melting (melting) ice mass per unit of time inside the house, $M_v$ to the mass of water vapor evaporated from this water per unit time y $M_F$ to the water mass that finally flows per unit of time to drainage (drainage), the equation of the ice house, this is the mass of ice that melts per unit of Time is:

$M=\frac{E-M_v{L}_v}{L_F}(1)$

Where $L_v$ and $L_F$ are the heat of water evaporation and ice melting, respectively.

(a) Using energy conservation, deduce the equation of the ice house (Equation 1) b) (b1) Of an expression of ice mass per unit of time ($M_1$) which is It would melt if all the power entering the ice house were only used in melting ice; $M_v=0$. (b2) Of an expression of ice mass per unit of time ($M_2$) which is The Commission has already decided to take the necessary measures to ensure that the Community’s water; $M_F=0$. (b3) Express the ratio between $M_1$ and $M_2$ in terms of data and calculate its The courage. (b4) Which of the two situations is less favourable to conservation The ice? Assuming a $f$ of melted ice mass evaporates, which is This is equivalent to saying that the ratio of melting ice mass per unit of time ($M$) and evaporated water mass per unit time ($M_v$) are linked in the form:

$M_v=fM(2)$

(c) Show that equation (1) results in:

$M=\frac{E}{L}\text{donde}L=L_F+f{L}_v(3)$

Consider that the place where the ice is housed, within the ice house, has the a cylinder shape of radius $r$ and depth $h$. Suppose the heat exchange with The ice is produced through one of the cylinder’s circular surfaces; that is, a through one of the $A$ area caps, given by:

$A=\pi r^2(4)$

Suppose that during the melting process the height $h$ remains constant; it is That is, the melting of ice only changes the section of the ice cylinder. Under these conditions, the energy per unit time ($E$) entering the ice can be expressed as:

$E=-kA\Delta T(5)$

where $k$ is a constant representing heat exchange with the outside (external conduction coefficient) and $\Delta T$ is the temperature difference (thermal jump) between the ice and the external environment with which the ice house exchanges heat.

(d) Using equation (3) and the considerations set out in the preceding paragraph, demonstrate that:

$M=\frac{-km\Delta T}{\rho Lh}(5)$

where $m$ is the ice mass present in the ice shed at the time $t$ and $\rho$ density of the ice.

From equation (5) the shape of the total ice mass varies que hay dentro de la “casa del hielo”, $m$, en función del tiempo. This function is of the shape:

$m(t)=m_0{e}^{-bt}(5)$

where $m_0$ is the initial mass of ice (the one deposited in the ice shed at the start) and $b$ is a constant given by:

$b=\frac{k\Delta T}{\rho Lh}(6)$

(e) From equations (5) and (6) find the time for which the mass of ice is halved, under the following conditions: e1) When $f=0$ (no evaporation) e2) Cuando $L=2L_F$. For this situation, also calculate the value corresponding to $f$. Express both results in years. (e3) Which of the two cases is most favourable for ice conservation?

The values of the constants for the calculations are: $k=2{\text{W/m}}^2\text{K}$ $L_F=0,33\times 10^6\text{J/kg}$ $L_V=2,26\times 10^6\text{J/kg}$ $\rho =800{\text{kg/m}}^3$ $\Delta T=20\text{K}$ $h=5\text{m}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 2: Shazam! Introducción y Generalidades. El movimiento del aire dentro de las nubes produce una separación de cargas eléctricas que luego son desplazadas a diferentes partes de la misma, generando múltiples celdas o centros de carga. Debido a la presencia de estos centros de carga en la nube, se generan en la tierra centros de carga de signo opuesto por un proceso de inducción ya que la tierra es un buen conductor. Así, centros de carga negativa se generan en la tierra como imagen de los centros de carga positiva en la nube y viceversa. Cuando la concentración de cargas positivas y/o negativas alcanza un nivel crítico, los electrones se mueven atraídos por alguna de las celdas de cargas positivas a través del camino de menor resistencia produciendo una descarga eléctrica. Algunas veces la descarga se produce entre la nube y la tierra, y otras veces entre centros de carga de nubes distintas o entre centros de una misma nube. Un rayo es una descarga entre un centro de carga de una nube y el centro de carga en la tierra. Cuando la diferencia de potencial entre algún centro de carga de la nube y la superficie terrestre alcanza el voltaje de ruptura del aire $(\Delta V_r)$, se produce el rayo. El rayo comienza como una serie de pasos o segmentos de alrededor de 100 metros desde la nube hacia la tierra. Estos segmentos no transportan mucha carga y por lo tanto no emiten mucha luz pero son responsables de generar el canal por el cual se producirá el rayo. A medida que este canal se acerca a la superficie, una segunda descarga se propaga desde la tierra hacia la nube. Cuando las dos descargas hacen contacto se completa el canal produciendo un corto-circuito que baja la mayoría de la carga desde la nube a la tierra. Esta descarga, o corto-circuito, dura una milésima de segundo y se puede repetir varias veces a través del mismo canal. Lo que se conoce como rayo esta generalmente compuesto de varias descargas y dura una fracción de segundo. Cuando se produce un rayo, la descarga eléctrica deposita una gran cantidad de energía en el canal produciendo que este alcance una alta temperatura. Esta energía se deposita muy rápidamente (unas millonésimas de segundo) por lo cual la sección del canal no tiene tiempo de expandirse y la presión aumenta entre 10 y 100 veces. Esta gran presión rápidamente se propaga hacia el aire alrededor del canal produciendo una onda de choque que eventualmente se convierte en el sonido que llamamos trueno.

Problema La altura de la base de una nube de tormenta, respecto de tierra, es de aproximadamente 1000 m. La carga eléctrica negativa ubicada en su región inferior se puede considerar concentrada en un punto ubicado a una altura de 5000 m sobre un eje que pasa por el centro de la nube y tiene una magnitud $Q=-40\text{C}$. La presencia de esta carga induce una densidad de carga sobre la superficie terrestre, la cual puede ser modelada por una carga puntual $-Q$ ubicada a una distancia de 5000 m por debajo del nivel de tierra. 1- Determine el campo eléctrico, $E$, que producen estas cargas ($Q$ y $-Q$) sobre el segmento que las une y a una altura $h=4500\text{m}$ (Punto A) (Ver figura 1). 2- ¿Cuál es el valor que deberá tener $Q$ para que en el punto A el campo eléctrico alcance el valor de ruptura?

Suponga que una vez alcanzado el valor $E_r$ en el punto A, se forma un canal ionizado entre dicho punto y la superficie terrestre. Este canal se comporta como un conductor que tiene una resistividad eléctrica de $50\Omega$ cm dentro de la nube y de $350\Omega$ cm fuera de la misma. Considerando que el canal es rectilíneo y que tiene un diámetro constante de 46 cm, 3- Calcule la resistencia eléctrica del canal dentro de la nube ($R_{c1}$) y fuera de la misma ($R_{c2}$). 4- Calcule la resistencia eléctrica total del canal ($R_c$). 5- Calcule la diferencia de potencial $(\Delta V_r)$ entre los extremos del canal.

En este canal se establece una corriente eléctrica ($i_r$) que baja carga desde la nube a la tierra. Suponiendo que la diferencia de potencial se mantiene constante durante la descarga eléctrica. 6- Calcule el valor de dicha corriente.

Suponga al aire como un gas ideal diatómico y que inicialmente todo el canal tiene una atmósfera de presión y una temperatura de $20{}^{\circ }\text{C}$. 7- Calcule el número de moles ($n$) de gas que hay en el canal.

El paso de corriente por el canal conductor incrementa la temperatura del mismo. Como el proceso es sumamente rápido ($25\mu \text{s}$) se puede considerar que el calentamiento del canal se produce sin que el mismo cambie su volumen. Despreciando la energía luminosa irradiada, esto es suponiendo que toda la energía recibida por el canal por el paso de la corriente se entrega al gas que forma el canal y que no se pierde energía por conducción al gas fuera del canal, 8- Calcule la temperatura final ($T_f$) del canal. 9- Calcule la presión final ($P_f$) dentro del canal.

La diferencia de presión entre el interior y el exterior del canal provoca una onda de choque, cuya señal audible denominamos trueno. En una buena aproximación, se puede considerar que la señal audible que detectamos viaja desde su emisión (en el canal) hasta el detector, a la velocidad del sonido. Considere un sistema de detección y ubicación de rayos que consta de tres antenas. Las antenas se encuentran ubicadas en el los vértices de un triángulo equilátero de 10 km de lado. Cada antena detecta la señal luminosa y la señal sonora producidas por el rayo. En buena aproximación, se puede suponer que las señales detectadas por las antenas son emitidas por el rayo a nivel del suelo. Cada antena mide la diferencia en el tiempo de llegada de las dos señales $(\Delta t)$ con una precisión de $3\times 10^{-2}\text{s}$. Si la antena 1 midió un $\Delta t_1=24.43\text{s}$, la 2 midió $\Delta t_2=15.51\text{s}$ y la antena 3 midió ${\Delta }_3=38.85\text{s}$, 10- Determine las distancias, sobre la superficie de la tierra, entre el lugar en donde cayó el rayo y cada una de las antenas. Exprese estas cantidades con su incerteza. 11- Determine gráficamente los lugares posibles de emisión de las señales detectadas por cada una de las antenas. Para ello, utilice la hoja milimetrada provista. En el gráfico indique la posición donde cayó el rayo. 12- Estime del gráfico el valor del error en la posición donde cayó el rayo.

Suponga que el campo de ruptura del aire es de $3000\text{V/mm}$. Suponga que la permitividad del aire es igual a la permitividad del vacío, ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{C/(V m)}$. La constante universal de los gases es $R=8.32\text{J/(mol K)}$. Suponga que la velocidad de propagación de la señal luminosa es $c=300000\text{km/s}$ y que la velocidad del sonido es $u=330\text{m/s}$. Para un gas ideal diatómico la capacidad calorífica molar a volumen constante es $C_v=\frac{5}{2}R$. $1\text{atm}=1.01325\times 10^5\text{Pa}$.

Exprese todos sus resultados en unidades correspondientes al sistema internacional.

Topic: Electrostatics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Coulomb’s Law, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Error Propagation Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Point Charge, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 2: Shazam! Introduzione e generali. Il movimento dell’aria all’interno dei nubi produce una separazione di cariche elettriche che vengono poi spostate in diverse parti della stessa, generando più cellule o centri di carico. A causa della presenza di questi centri di carico nel cloud, si generano in terra centri di carico di segno opposto da un processo di induzione in quanto la terra E’ un buon conducente. Così, centri di carica negativa si generano sulla terra come immagine dei centri di carica positiva nel cloud e viceversa. Quando la concentrazione di carichi positivi e/o negativi raggiunge un livello critico, i Gli elettroni sono attraenti da una delle cellule di cariche positive attraverso il la via di resistenza inferiore produce un scarico elettrico. A volte la Il discarico si verifica tra il nuvo e la terra, e altre volte tra i centri di carico di Nuvole diverse o tra centri della stessa nuvola. Un raggio è un scarico tra un centro di carica di un nuvo e il centro di carica in un nuvo. terra. Quando la differenza di potenziale tra un centro di carico cloud e la la superficie terrestre raggiunge la tensione di rottura dell’aria $(\Delta V_r)$, si produce il raggio. Il raggio inizia come una serie di passi o segmenti di circa 100 metri dal nuvo verso la terra. Questi segmenti non trasportano molto carico e quindi Non emettono molta luce, ma sono responsabili di generare il canale attraverso il quale si produrrà. il fulmine. Mentre questo canale si avvicina alla superficie, un secondo scarico si Si diffonde dalla terra verso il nuvo. Quando i due scarichi si mettono in contatto completando il canale producendo un short-circuit che scarica la maggior parte del carico dal Nuvola sulla terra. Questo scarico, o cortocircuito, dura un milleesimo di secondo e può essere utilizzato per ripetere più volte attraverso lo stesso canale. Quello che si chiama fulmine è Generalmente composto da diversi scarichi e dura una frazione di secondo. Quando si produce un fulmine, la scarica elettrica deposita una grande quantità di energia nel canale, che porta a una temperatura elevata. Questa energia viene depositata molto velocemente (circa un milione di secondi) per cui la sezione del canale non ha tempo di espansione e la pressione aumenta da 10 a 100 volte. Questa pressione enorme si diffonde rapidamente verso l’aria intorno al canale producendo un’onda di colpo che alla fine diventa il suono che chiamiamo tuono.

Problema L’altezza della base di una nuvola di tempesta rispetto alla terra è di circa 1000 m. La carica elettrica negativa situata nella sua regione inferiore può essere considerata concentrata in un punto situato ad un’altezza di 5000 m su un asse che attraversa il centro del nuvo e ha una magnitudo $Q=-40\text{C}$. La presenza di questo carico induce un densità di carico sulla superficie terrestre, che può essere modellata da una carica il punto $-Q$ situato a una distanza di 5000 m sotto il livello del suolo. 1- Determina il campo elettrico, $E$, che produce queste cariche ($Q$ e $-Q$) sul segmento che li unisce e ad un’altezza $h=4500\text{m}$ (punto A) (vedi figura 1). 2- Qual è il valore che deve essere $Q$ per che nel punto A il campo elettrico raggiungere il valore di rottura?

Supponiamo che una volta raggiunto il valore $E_r$ al punto A, si formi un canale ionizzato tra tale punto e la superficie terrestre. Questo canale si comporta come un conducente che ha una resistività elettrica di $50\Omega$ cm all’interno del nuvo e di $350\Omega$ cm all’esterno del nuvo

• Sì, è lei stessa. Considerando che il canale è rettilineo e ha un diametro costante di 46 cm, 3- Calcolare la resistenza elettrica del canale all’interno del nuvo ($R_{c1}$) e all’esterno del canale La stessa ($R_{c2}$). 4- Calcolare la resistenza elettrica totale del canale ($R_c$). 5- Calcolare la differenza di potenziale $(\Delta V_r)$ tra le estremità del canale.

In questo canale si crea un corrente elettrica ($i_r$) che riduce la carica dal nuvo alla terra. Supponendo che la differenza di potenziale si mantenga costante durante la scarica elettrica. 6- Calcolare il valore di tale corrente.

Supponiamo che l’aria sia un gas ideale diatomico e che inizialmente l’intero canale abbia un atmosfera di pressione e temperatura $20{}^{\circ }\text{C}$. 7- Calcolare il numero di molli ($n$) di gas nel canale.

Il passaggio di corrente attraverso il canale conduttore aumenta la temperatura del canale. Come il Il processo è estremamente rapido ($25\mu \text{s}$) si può considerare che il riscaldamento del canale La produzione di un’acqua di cui non si tratta è necessaria per la produzione di acqua di cui non si tratta. Disprezzando l’energia luminosa Il sistema di radiazioni di cui sopra è il sistema di radiazioni di cui sopra. corrente viene consegnata al gas che forma il canale e che non viene persa energia per conduzione il gas fuori canale, 8- Calcolare la temperatura finale ($T_f$) del canale. 9- Calcolare la pressione finale ($P_f$) all’interno del canale.

La differenza di pressione tra l’interno e l’esterno del canale provoca un’onda di colpo, il cui segnale udibile è chiamato tuono. In un buon approccio, si può Considerare che il segnale udibile che rilevamo viaggia dalla sua emissione (nel canale) fino a il rilevatore, alla velocità del suono. Considera un sistema di rilevamento e localizzazione dei raggi che consiste in tre antenne. Le Le antenne sono situate sulle vertici di un triangolo equilaterale di 10 km di

• Un lato. Ogni antenna rileva il segnale luminoso e il segnale sonoro prodotto dal raggio. In buona Approximation, si può supporre che i segnali rilevati dalle antenne siano emessi per il raggio a livello del suolo. Ogni antenna misura la differenza nel tempo di arrivo delle due segnali $(\Delta t)$ con una precisione di $3\times 10^{-2}\text{s}$. Se l’antenna 1 ha misurato un $\Delta t_1=24.43\text{s}$, la 2 la misurazione è stata $\Delta t_2=15.51\text{s}$ e l’antenna 3 è stata ${\Delta }_3=38.85\text{s}$, 10- Determina le distanze, sulla superficie della terra, tra il luogo in cui E’ caduto il fulmine e tutte le antenne. Esprimere queste quantità con il
• l’incertitudine. 11- Determina graficamente i possibili luoghi di emissione dei segnali rilevate da ciascuna antenna. Per questo, utilizzare la foglia millimetrica Provvederci. Indica sulla grafica la posizione in cui è caduto il fulmine. 12- Calcola dal grafico il valore dell’errore nella posizione in cui il fulmine è caduto.

Supponiamo che il campo di rottura dell’aria sia $3000\text{V/mm}$. Supponiamo che la permisibilità dell’aria sia uguale alla permisibilità del vuoto. ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{C/(V m)}$. La costante universale dei gas è $R=8.32\text{J/(mol K)}$. Supponiamo che la velocità di diffusione del segnale luminoso sia $c=300000\text{km/s}$ y que la La velocità del suono è $u=330\text{m/s}$. Per un gas diatomico ideale la capacità calorica di mollare a volume costante è $C_v=\frac{5}{2}R$. $1\text{atm}=1.01325\times 10^5\text{Pa}$.

Esprimere tutti i risultati in unità corrispondenti al sistema

• Internazionale.

Topic: Electrostatics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Coulomb’s Law, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Error Propagation Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Point Charge, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problem two: Shazam! Introduction and Generals. The movement of air within the clouds produces a separation of electrical charges which are then moved to different parts of the same cell, generating multiple cells or loading centres. Because of the presence of these charging centres in the cloud, they generate In the earth, the opposite sign loading centers are induction processes as the earth He’s a good driver. Thus, negative charge centers are generated on the earth as image of the positive charge centres in the cloud and vice versa. When the concentration of positive and/or negative loads reaches a critical level, the electrons are attracted by some of the positive charge cells through the The path of less resistance produces an electrical discharge. Sometimes the The discharge occurs between the cloud and the ground, and sometimes between charging centres of clouds or between centres of the same cloud. A lightning strike is a discharge between a cloud’s charge center and the charge center on the cloud. the earth. When the potential difference between some cloud charging center and the The surface of the earth reaches the breakdown voltage of the air $(\Delta V_r)$, the beam is produced. The lightning starts as a series of steps or segments about 100 meters From the cloud to the earth. These segments do not carry much load and therefore They don’t emit much light, but they’re responsible for generating the channel through which it’ll be produced. The lightning. As this channel approaches the surface, a second discharge is It’s spreading from the earth to the cloud. When the two discharges make contact The channel is completed by producing a short circuit that lowers most of the load from the cloud to earth. This discharge, or short-circuit, lasts a thousandth of a second and can be repeat several times through the same channel. What is known as lightning is this It is usually composed of several discharges and lasts a fraction of a second. When lightning strikes, the electrical discharge deposits a large amount of energy In the channel, it reaches a high temperature. This energy is deposited The channel section has no Time to expand and the pressure increases 10 to 100 times. This great pressure It spreads rapidly into the air around the channel producing a wave of shock that eventually becomes the sound we call thunder.

The problem The height of the base of a storm cloud, relative to land, is approximately 1000 m. The negative electrical charge located in its lower region can be considered as concentrated at a point at an altitude of 5000 m on an axis passing through the the centre of the cloud and has a magnitude $Q=-40\text{C}$. The presence of this charge induces a load density on the earth’s surface, which can be modelled by a load point $-Q$ located at a distance of 5000 m below ground level. 1- Determine the electric field, $E$, which produces these charges ($Q$ and $-Q$) on the segment connecting them and at a height $h=4500\text{m}$ (A) (see Figure 1). 2- What is the value $Q$ to be used for the electric field at point A reach the break value?

Suppose that once $E_r$ is reached at point A, an ionized channel is formed between that point and the surface of the earth. This channel behaves like a conductor that has an electrical resistance of $50\Omega$ cm within the cloud and $350\Omega$ cm outside the cloud I’m not. Considering that the channel is straight and has a constant diameter of 46 cm, 3- Calculate the electrical resistance of the channel in the cloud ($R_{c1}$) and outside the cloud misma ($R_{c2}$). 4- Calculate the total electrical resistance of the channel ($R_c$). 5- Calculate the potential difference $(\Delta V_r)$ between the ends of the channel.

This channel establishes an electric current ($i_r$) that lowers the load from the cloud to the the earth. Assuming that the potential difference remains constant during the electrical discharge. 6- Calculate the value of this current.

Suppose the air is an ideal diatomic gas and initially the whole channel has a pressure atmosphere and a temperature of $20{}^{\circ }\text{C}$. 7- Calculate the number of moles ($n$) of gas in the channel.

The flow of current through the conductive channel increases the temperature of the conductive channel. Like the The process is extremely fast ($25\mu \text{s}$) it can be considered that the heating of the channel The volume of the product is not changed. Disregarding the Light Energy This is assuming that all the energy received by the channel through the passage of the The current is delivered to the gas forming the channel and no energy is lost by conduction the gas outside the channel, 8- Calculate the final temperature ($T_f$) of the channel. 9- Calculate the final pressure ($P_f$) inside the channel.

The pressure difference between the inside and outside of the channel causes a wave of shock, whose audible signal we call thunder. In a good approximation, you can Consider that the audible signal we detect travels from its emission (on the channel) to the the detector, at the speed of sound. Consider a lightning detection and location system consisting of three antennas. The Commission The antennas are located at the vertices of an equilateral triangle of 10 km side. Each antenna detects the light and sound signal produced by the lightning. In good condition The signal detected by the antennas is assumed to be emitted by lightning at ground level. Each antenna measures the difference in the arrival time of the two $(\Delta t)$ signals with an accuracy of $3\times 10^{-2}\text{s}$. If antenna 1 measured a $\Delta t_1=24.43\text{s}$, the 2 measured $\Delta t_2=15.51\text{s}$ and antenna 3 measured ${\Delta }_3=38.85\text{s}$, 10- Determine the distances, above the surface of the earth, between the place where the The lightning struck and each of the antennas fell. Express these amounts with your Uncertainty. 11- Graphically identify possible signal locations detected by each antenna. For this, use the millimeter sheet I’ll get you some supplies. On the graph, indicate the position where the lightning struck. 12- Estimate the value of the error in the position where the lightning fell from the graph.

Suppose the air breakage field is $3000\text{V/mm}$. Suppose the permittivity of the air is equal to the permittivity of the vacuum, ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{C/(V m)}$. The universal gas constant is $R=8.32\text{J/(mol K)}$. Suppose the speed of propagation of the light signal is $c=300000\text{km/s}$ y que la The speed of sound is $u=330\text{m/s}$. For an ideal diatomic gas the molar heat capacity at constant volume is $C_v=\frac{5}{2}R$. $1\text{atm}=1.01325\times 10^5\text{Pa}$.

Express all your results in units for the system The Commission is not a party to the agreement.

Topic: Electrostatics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Coulomb’s Law, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Error Propagation Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Point Charge, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 3: Un péndulo ingrávido. El día miércoles 24 de agosto de este año, la nave espacial rusa Progress M-112M, despegó desde el cosmódromo de Baikonur en Kazakhstan con destino en la estación espacial internacional (ISS). Sin embargo, luego de 325 s de vuelo el cohete ruso Soyuz-U se apagó de manera imprevista y la carga de varias toneladas con suministros para al ISS se desintegró en la caída. La carga útil destruida, además de alimentos, combustible y suministros para el normal funcionamiento de la ISS, contenía varios experimentos científicos para ser realizados en el espacio. La siguiente nave con suministros, Progress M-13M/Soyuz U, tiene previsto su vuelo recién para el 30 de octubre próximo. Por lo tanto, la tripulación 29 de la ISS en vuelo, compuesta por Sergey Volkov, Michael E. Fossum y Satoshi Furukawa, al no tener como realizar los experimentos previstos, dispone de más tiempo libre. Para entretenerse en sus ahora largos ratos de ocio, la tripulación se dispuso a diseñar un péndulo que funcione en las condiciones de ingravidez en la que se encuentra dentro de la ISS. A tal fin, recuperaron una esfera de material no conductor de radio $R=20\text{cm}$. Al frotarla con una tela sintética, la esfera adquirió una carga eléctrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la cual puede suponerse que se encuentra homogéneamente distribuida sobre toda la superficie de la esfera. Luego, soldaron una diminuta esfera, de un metal pesado, cuya masa $m=50\text{g}$ era conocida de antemano, a un muy fino alambre inextensible y no conductor de largo $l=2,30\text{m}$. Este hilo, a todo fin práctico, puede considerarse de masa despreciable. Para armar el péndulo, pegaron la esfera cargada en una de las paredes del módulo Columbus, de forma que quedara inmóvil y fijaron el extremo libre del hilo en el punto o, de la pared opuesta, de forma tal que la pequeña esfera metálica queda “casi” tocando la esfera cargada (pero sin contacto) cuando el hilo está completamente estirado, según se muestra en el diagrama (A) de la figura. De esta manera, la distancia entre el punto de sujeción del hilo, o, y el centro de la esfera, c, se mantiene constante igual a $R+l$. Finalmente, para que ambas esferas se atraigan entre sí, transfirieron una carga negativa $q=-1\mu \text{C}$ a la esferita metálica. En uno de los laboratorios de la ISS, disponen de instrumental para transferir la carga deseada de forma controlada.

Preguntas: (a) Calcular la tensión del hilo en la posición de reposo en equilibrio estable. (b) Para calcular el período del péndulo, la primera idea consiste en recordar la similitud entre la ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb. Teniendo en cuenta la relación entre ambas leyes y el hecho de que la aceleración en ambos casos viene definida por la relación $F=ma$, donde $a=g$ en el caso gravitatorio y $a=g_e$ en el caso eléctrico, calcular el valor de la correspondiente aceleración $g_e$ para el caso eléctrico. (c) A partir de la expresión del período de un péndulo simple en el caso gravitatorio, calcular el valor resultante para el correspondiente período del péndulo ingrávido.

Una vez construido el péndulo, los astronautas notaron que el período calculado difería bastante respecto del medido con un cronómetro, el cual resulta bastante más breve. Con buen criterio, Michael E. Fossum, que cuenta con una maestría en Física, concluyó que no se cumplen las condiciones bajo las cuales es válida la fórmula del período de un péndulo simple en el caso del péndulo ingrávido construido. Con el fin de encontrar la expresión correcta para este caso, procedió a realizar los siguientes cálculos que debemos reproducir: (d) Se desplaza la esferita de masa $m$, de manera que el hilo forma un pequeño ángulo $\alpha$ con respecto a la línea $\overline{oc}$. Dibujar un diagrama de cuerpo aislado para la masa $m$, trazando cualitativamente todos los vectores de las fuerzas que actúan sobre ella. (e) En la situación del ítem anterior, escribir la expresión analítica para la intensidad de la fuerza de atracción entre las esferas. (f) Utilizando el diagrama en el esquema (B) de la figura, descomponer los vectores fuerza en componentes a lo largo de la dirección del hilo (componente centrípeta) y perpendicular a esta (componente tangencial). (g) Escribir la segunda ley de Newton correspondiente a la dirección del hilo y a la dirección tangencial, utilizando las componentes calculadas en el ítem anterior. (h) Recordando que la aceleración tangencial, $a$, está relacionada con la aceleración angular, $\gamma$, según $a=l\gamma$, escribir la segunda ley de Newton correspondiente a la dirección tangencial para pequeñas oscilaciones del péndulo; es decir, en primer orden (o lineal) en el ángulo $\alpha$. (i) Escribir la expresión para la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones del péndulo ingrávido. (j) Calcular el valor numérico resultante para el período del péndulo, en el caso particular construido por los astronautas. (k) A partir de la expresión de la frecuencia angular calculada en el ítem (i), ¿qué condición debe cumplirse entre los valores de $R$ y $L$ para obtener el resultado calculado en el ítem (c)? (l) A partir de la expresión de la frecuencia angular calculada en el ítem (i), analizar como es la dependencia de la frecuencia angular en el caso límite en el cual $l\gg R$.

Información útil: (1) La constante de Coulomb es $k=(4\pi {\epsilon }_0{)}^{-1}$, donde ${\epsilon }_0$ es la constante dieléctrica del vacío. Así, $k=9\times 10^9{\text{N m}}^2/{\text{C}}^2$. (2) Las siguientes relaciones trigonométricas son siempre válidas:

$\text{sen}(\alpha +\beta )=\text{sen}(\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\text{sen}(\beta ),$

$\cos (\theta )=\sqrt{1-{\text{sen}}^2(\theta )}.$

(3) Utilizando relaciones trigonométricas en el diagrama del esquema (B) de la figura, resulta:

$\text{sen}(\alpha )=h/l,$

$\text{sen}(\beta )=h/r.$

(4) Usando el teorema del coseno en el diagrama del esquema (B) de la figura, resulta:

$r^2=l^2+(l+R{)}^2-2l(l+R)\cos (\alpha ).$

(5) Si el ángulo $\theta$ es pequeño, y está expresado en radianes, son válidas las siguientes aproximaciones:

$\text{sen}(\theta )\approx \theta ,\cos (\theta )\approx 1-{\theta }^2/2.$

(6) Si $x\ll 1$, entonces es válida la siguiente aproximación:

$\sqrt{1-x^2}\approx 1-x^2/2.$

(7) La ecuación de movimiento de un péndulo para pequeñas oscilaciones, es decir en primer orden (o lineal) en el ángulo $\alpha$, es

$\gamma ={\omega }^2\alpha .$

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Sphere, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problema 3: Un pendolo ingravato. Mercoledì 24 agosto di quest’anno, la nave spaziale russa Progress M-112M, decollato dal cosmodromo di Baikonur in Kazakistan per la stazione Spazio spaziale internazionale (ISS). Tuttavia, dopo 325 secondi di volo il razzo russo Soyuz-U l’interruzione di un’attesa e il carico di diverse tonnellate con forniture per l’ISS si è disintegrata nel cadere. La carica utile distrutta, oltre a cibo, combustibile e I materiali per il normale funzionamento della ISS, contenevano diversi esperimenti scienziati per essere realizzati nello spazio. La prossima nave con rifornimenti, Progress M-13M/Soyuz U, ha previsto il suo volo solo per il prossimo 30 ottobre. Quindi, l’equipaggio 29 della ISS in volo, composto da Sergey Volkov, Michael E. Fossum e Satoshi Furukawa, non avendo modo di fare gli esperimenti previsti, dispone di più tempo libero. Per divertirsi nei loro lunghi passaggi di tempo libero, l’equipaggio si è impegnato a progettare un pendolo che funziona in condizioni di gravità in cui si trova all’interno di l’ISS. Per questo motivo, sono state recuperate una sfera di materiale non radioconduttore $R=20\text{cm}$. Al La sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la sfera ha acquisito una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$. La maggior parte delle regioni del mondo è costituita da regioni di la superficie della sfera. Poi hanno saldato una piccola sfera di metallo pesante, La massa $m=50\text{g}$ era nota in anticipo, a un filo molto sottile e inestensibile e non un conducente di lunghezza $l=2,30\text{m}$. Questo filo, per ogni finalità pratica, può essere considerato di massa

• Desprezioso. Per mettere in piedi il pendolo, hanno attaccato la sfera carica su uno dei muri del Colombo modulo, così che rimase immobile e fissato l’estremità libera del filo nel punto o, del muro opposto, in modo tale che la piccola sfera metallica rimanga quasi toccando la sfera carica (ma senza contatto) quando il filo è completamente stretto, come mostrato nel diagramma (A) della figura. In questo modo, la distanza tra il punto di fissaggio del filo, o, e il centro della sfera, c, è mantenuto costante uguale a $R+l$. Infine, per attirare le due sfere, hanno trasferito una carica negativa. $q=-1\mu \text{C}$ alla sfera metallica. In uno dei laboratori della ISS, strumentale per il trasferimento controllato del carico desiderato.

Domande: (a) Calcolare la tensione del filo in posizione di riposo in equilibrio stabile. (b) Per calcolare il periodo del pendolo, la prima idea è ricordare la similitudine tra la legge di gravitazione universale di Newton e la legge di Coulomb. Considerando la relazione tra le due leggi e il fatto che la In entrambi i casi l’accelerazione è definita dal rapporto $F=ma$, dove $a=g$ in caso di gravità e $a=g_e$ in caso elettrico, calcolare il valore della la corrispondente accelerazione $g_e$ per il caso elettrico. (c) A partire dall’espressione del periodo di un semplice pendolo nel caso gravitazionale, calcolare il valore risultante per il periodo di pendolo non gravato corrispondente.

Una volta costruito il pendolo, gli astronauti notarono che il periodo calcolato differì La misurazione con un cronometro è molto più breve. Con Buona scelta, Michael E. Fossum, che ha un master in fisica, ha concluso che non sono soddisfatte le condizioni in base alle quali è valida la formula del periodo di un un pendolo semplice nel caso del pendolo ingravato costruito. Per trovare la La formulazione corretta per questo caso è stata la seguente:

• dobbiamo riprodurre: (d) La sfera di massa $m$ viene spostata in modo che il filo forma una piccola L’angolo $\alpha$ rispetto alla linea $\overline{oc}$. Disegnare un diagramma di corpo isolato per la massa $m$, tracciando qualitativamente tutti i vettori delle forze che agiscono
• Su di lei. (e) In precedenza, scrivere l’espressione analitica per l’intensità della forza di attrazione tra le sfere. (f) Usando il diagramma di schema (B) della figura, decompone i vettori forza in componenti lungo la direzione del filo (componente centripeta) e perpendicolare a questa (componente tangenziale). (g) Scrivere la seconda legge di Newton relativa alla direzione del filo e a l’indirizzo tangenziale, utilizzando i componenti calcolati nell’articolo precedente. (h) Ricordiamo che l’accelerazione tangenziale, $a$, è correlata alla Accelerazione angolare, $\gamma$, secondo $a=l\gamma$, scrivere la seconda legge di Newton corrispondente alla direzione tangenziale per piccole oscillazioni del pendolo; in primo ordine (o lineare) all’angolo $\alpha$. (i) Scrivere l’espressione per la frequenza angolare di piccole oscillazioni del pendolo ingravido. (j) Calcolare il valore numerico risultante per il periodo del pendolo, nel caso in cui: particolare costruito dagli astronauti. (k) Dall’espressione della frequenza angolare calcolata in (i), quale condizione deve essere soddisfatta tra $R$ e $L$ per ottenere il risultato calcolato nell’articolo (c)? (l) Sulla base dell’espressione della frequenza angolare calcolata in (i), analizzare come è la dipendenza della frequenza angolare nel caso limite in cui $l\gg R$.

Informazioni utili: (1) La costante di Coulomb è $k=(4\pi {\epsilon }_0{)}^{-1}$, dove ${\epsilon }_0$ è la costante dieletrica del vuoto. Così, $k=9\times 10^9{\text{N m}}^2/{\text{C}}^2$. (2) Le seguenti relazioni trigonometriche sono sempre valide:

$\text{sen}(\alpha +\beta )=\text{sen}(\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\text{sen}(\beta ),$

$\cos (\theta )=\sqrt{1-{\text{sen}}^2(\theta )}.$

(3) Utilizzando le relazioni trigonometriche nel diagramma dello schema (B) della figura, si ottiene:

$\text{sen}(\alpha )=h/l,$

$\text{sen}(\beta )=h/r.$

(4) Usando il teorema del coseno nel diagramma dello schema (B) della figura, risulta:

$r^2=l^2+(l+R{)}^2-2l(l+R)\cos (\alpha ).$

(5) Se l’angolo $\theta$ è piccolo, ed è espresso in radiani, sono valide le le seguenti approcci:

$\text{sen}(\theta )\approx \theta ,\cos (\theta )\approx 1-{\theta }^2/2.$

(6) Se $x\ll 1$, allora vale il seguente approccio:

$\sqrt{1-x^2}\approx 1-x^2/2.$

(7) L’equazione di movimento di un pendolo per piccole oscillazioni, è dire in primo ordine (o lineare) all’angolo $\alpha$, è

$\gamma ={\omega }^2\alpha .$

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Sphere, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problem three: a weightless pendulum. On Wednesday, August 24th of this year, the Russian spacecraft Progress M-112M, It took off from the Baikonur Cosmodrome in Kazakhstan with a destination at the station The European Union has also adopted a number of measures to combat the spread of the virus. However, after 325 s of flight the Russian Soyuz-U rocket It was unforeseen and the cargo of several tons with supplies to the ISS It disintegrated in the fall. The waste payload, in addition to food, fuel and Supplies for the normal operation of the ISS, contained several experiments scientists to be carried out in space. Next ship with supplies, Progress M-13M/Soyuz U, is scheduled to fly only for October 30th. So, what’s the point? The 29th crew of the ISS in flight, composed of Sergey Volkov, Michael E. Fossum and Satoshi Furukawa, who cannot carry out the planned experiments, has more Free time. To entertain themselves in their now long leisure time, the crew set out to design a pendulum operating under the unweight conditions in which it is located within The ISS. To this end, they recovered a sphere of radio non-conductive material $R=20\text{cm}$. Al The sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge $Q=2\mu \text{C}$, the sphere obtained a positive electrical charge. The Commission has therefore decided to adopt a proposal for a regulation on the surface of the sphere. Then they welded a small ball of heavy metal, The mass $m=50\text{g}$ was known in advance, to a very fine, unextended wire and not to a The length of the driver $l=2,30\text{m}$. This thread can be considered to be mass for all practical purposes. I’m not a big fan of this. To arm the pendulum, they stuck the loaded sphere on one of the walls of the The Columbus module, so that it remained motionless and fixed the free end of the thread in the point or, of the opposite wall, so that the small metal sphere is left almost touching the loaded (but contactless) sphere when the thread is fully stretched, as shown in Figure (A) of the figure. In this way, the distance between the The thread’s grip point, or, and the center of the sphere, c, is kept constant equal to $R+l$. Finally, to attract both spheres to each other, they transferred a negative charge. The metal sphere is $q=-1\mu \text{C}$. In one of the ISS laboratories, they have instrumental for the controlled transfer of the desired load.

Questions: (a) Calculate the tension of the thread in the resting position in stable equilibrium. (b) To calculate the period of the pendulum, the first idea is to recall the similarity between Newton’s law of universal gravitation and Coulomb’s law. Given the relationship between the two laws and the fact that the acceleration in both cases is defined by the $F=ma$ ratio, where $a=g$ In the gravitational case and $a=g_e$ in the electrical case, calculate the value of the The acceleration $g_e$ for the electrical case shall be the same. (c) From the expression of the period of a simple pendulum in the gravitational case, calculate the resulting value for the corresponding unweighted pendulum period.

Once the pendulum was built, the astronauts noticed that the calculated period differed The Commission has already taken a number of measures to ensure that the Community’s financial resources are adequately used. With That’s a good point, Michael E. Fossum, who has a master’s degree in physics, concluded that the conditions under which the formula for the period of one year is valid are not met simple pendulum in the case of the built-in gravity pendulum. In order to find the The Commission’s proposal for a regulation on the We must reproduce: (d) The mass sphere $m$ is displaced so that the thread forms a small angle $\alpha$ with respect to the line $\overline{oc}$. Draw an isolated body diagram for the mass $m$, qualitatively mapping all vectors of the forces acting about her. (e) In the situation of the previous item, write the analytical expression for the The intensity of the force of attraction between the spheres. (f) Using the diagram in Schedule (B) of the figure, break down the vectors Strength in components along the direction of the wire (centripet component) and perpendicular to it (tangential component). (g) Write Newton’s second law corresponding to the direction of the thread and a tangential direction, using the components calculated in the previous item. (h) The tangential acceleration, $a$, is related to the angular acceleration, $\gamma$, according to $a=l\gamma$, write Newton’s second law corresponding to the tangential direction for small oscillations of the pendulum; i.e. in the first order (or linear) at the angle $\alpha$. (i) Write the expression for the angular frequency of small oscillations of the The weightless pendulum. (j) Calculate the resulting numerical value for the period of the pendulum, in the case of It’s a particular one built by astronauts. (k) From the expression of the angular frequency calculated in item (i), what condition must be met between $R$ and $L$ to obtain the result calculated in item (c)? (l) From the expression of the angular frequency calculated in item (i), analyse the as is the angular frequency dependence in the limit case in which $l\gg R$.

Useful information: (1) The Coulomb constant is $k=(4\pi {\epsilon }_0{)}^{-1}$, where ${\epsilon }_0$ is the constant The vacuum dielectric. So, this is it. $k=9\times 10^9{\text{N m}}^2/{\text{C}}^2$. (2) The following trigonometric relations are always valid:

$\text{sen}(\alpha +\beta )=\text{sen}(\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\text{sen}(\beta ),$

$\cos (\theta )=\sqrt{1-{\text{sen}}^2(\theta )}.$

(3) Using trigonometric relations in the diagram of the scheme (B) of the Figure, it is:

$\text{sen}(\alpha )=h/l,$

$\text{sen}(\beta )=h/r.$

(4) Using the cosine theorem in the diagram of the diagram (B) of the figure, The result is:

$r^2=l^2+(l+R{)}^2-2l(l+R)\cos (\alpha ).$

(5) If the angle $\theta$ is small, and is expressed in radians, the the following approaches:

$\text{sen}(\theta )\approx \theta ,\cos (\theta )\approx 1-{\theta }^2/2.$

(6) If $x\ll 1$, then the following approximation is valid:

$\sqrt{1-x^2}\approx 1-x^2/2.$

(7) The motion equation of a pendulum for small oscillations, is say in first order (or linear) at the angle $\alpha$, is

$\gamma ={\omega }^2\alpha .$

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Sphere, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.11