Argentina 2011

Problema 1: Casa del hielo. En aquellos lugares en donde se acumula mucho hielo durante el invierno, los habitantes que no tienen una heladera, juntan el hielo en un recinto conocido como “casa del hielo”. Esta se construye con ladrillos, parcialmente hundida en el suelo con paredes bien aisladas. La “casa del hielo” tiene una salida para el drenaje del agua que resulta de la fusión del hielo y una salida superior para el vapor de agua (ver dibujo). El hielo que se introduce en la “casa del hielo” es previamente molido y luego compactado dentro del recinto correspondiente en la casa.

Consignas: Considere despreciable la masa de aire que hay dentro de la casa y la sublimación del hielo y suponga que las paredes de la casa son perfectamente aislantes. Así, llamando: $E$ a la energía por unidad de tiempo (potencia) que ingresa a la casa del hielo y que es absorbida por este, $M$ la masa de hielo que se funde (se derrite) por unidad de tiempo en el interior de la casa, $M_v$ a la masa de vapor de agua que se evapora a partir de esta agua por unidad de tiempo y $M_F$ a la masa de agua que finalmente fluye por unidad de tiempo al desagüe (drenaje), “la ecuación de la casa del hielo”, esto es la masa de hielo que se funde por unidad de tiempo es:

$M=\frac{E-M_v{L}_v}{L_F}(1)$

Donde $L_v$ y $L_F$ son los calores de evaporación del agua y de fusión del hielo, respectivamente.

a) Usando la conservación de la energía, deduzca la “ecuación de la casa del hielo” (ecuación 1). b) b1) De una expresión de la masa de hielo por unidad de tiempo ($M_1$) que se fundiría si toda la potencia que ingresa a la casa de hielo solamente se empleara en fundir hielo; $M_v=0$. b2) De una expresión de la masa de hielo por unidad de tiempo ($M_2$) que se fundiría si toda el agua producida, finalmente, se transformara en vapor de agua; $M_F=0$. b3) Exprese el cociente entre $M_1$ y $M_2$ en términos de los datos y calcule su valor. b4) ¿Cuál de las dos situaciones es el menos favorable para la conservación del hielo? Suponiendo que una fracción $f$ de la masa de hielo derretido se evapora, lo que es equivalente a decir que la relación entre la masa de hielo que se derrite por unidad de tiempo ($M$) y la masa de agua que se evapora por unidad de tiempo ($M_v$) están vinculadas de la forma:

$M_v=fM(2)$

c) Demuestre que la ecuación (1) resulta:

$M=\frac{E}{L}\text{donde}L=L_F+f{L}_v(3)$

Considere que el lugar en donde se aloja el hielo, dentro de la “casa del hielo”, tiene la forma de un cilindro de radio $r$ y profundidad $h$. Suponga que el intercambio de calor con el hielo se produce a través de una de las superficies circulares del cilindro; esto es, a través de una de las tapas de área $A$, dada por:

$A=\pi r^2(4)$

Suponga que durante el proceso de fusión del hielo, la altura $h$ permanece constante; es decir, la fusión del hielo solo modifica la sección del cilindro de hielo. Con estas condiciones, la energía por unidad de tiempo ($E$) que ingresa al hielo se puede expresar como:

$E=-kA\Delta T(5)$

donde $k$ es una constante que representa el intercambio de calor con el exterior (coeficiente de conducción externa) y $\Delta T$ es la diferencia de temperatura (salto térmico) entre el hielo y el medio exterior con el que intercambia calor la “casa del hielo” (el hielo).

d) Utilizando ecuación (3) y las consideraciones expresadas en el párrafo anterior, demuestre que:

$M=\frac{-km\Delta T}{\rho Lh}(5)$

donde $m$ es la masa de hielo presente en la “casa del hielo” al tiempo $t$ y $\rho$ la densidad del hielo.

A partir de la ecuación (5) se puede obtener la forma en la que varia la masa total de hielo que hay dentro de la “casa del hielo”, $m$, en función del tiempo. Esta función es de la forma:

$m(t)=m_0{e}^{-bt}(5)$

donde $m_0$ es la masa inicial de hielo (la que se depositó en la “casa del hielo” al inicio) y $b$ es una constante dada por:

$b=\frac{k\Delta T}{\rho Lh}(6)$

e) A partir de las ecuaciones (5) y (6) encuentre el tiempo para el cual la masa de hielo se reduce a la mitad, en las condiciones siguientes: e1) Cuando $f=0$ (no hay evaporación) e2) Cuando $L=2L_F$. Para esta situación, además, calcule el valor correspondiente de $f$. Exprese ambos resultados en años. e3) ¿Cuál de los dos casos es el más favorable para la conservación del hielo?

Los valores de las constantes para los cálculos son: $k=2{\text{W/m}}^2\text{K}$ $L_F=0,33\times 10^6\text{J/kg}$ $L_V=2,26\times 10^6\text{J/kg}$ $\rho =800{\text{kg/m}}^3$ $\Delta T=20\text{K}$ $h=5\text{m}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 1: Casa di ghiaccio. In quei luoghi dove si accumula molto ghiaccio durante l’inverno, gli abitanti che non hanno un frigorifero, raccolgono il ghiaccio in un recinto noto come “casa del ghiaccio”. Questa è costruita con mattoni, in parte immersa nel suolo con pareti ben isolati. La casa di ghiaccio ha un’uscita per il drenaggio dell’acqua che deriva dalla Fusione del ghiaccio e uscita superiore per il vapore d’acqua (vedi disegno). Il ghiaccio che si sta Il frumento viene introdotto nella casa di ghiaccio. corrispondente spazio nella casa.

Consegni: Considerate disprezioso l’aria che c’è dentro la casa e la sublimazione del I muri della casa sono perfettamente isolanti. Così, chiamando: $E$ all’energia per unità di tempo (potenza) che entra nella casa di ghiaccio e che è Assorbita da questo, $M$ massa di ghiaccio che si fonde (si fonde) per unità di tempo all’interno della casa, $M_v$ alla massa di vapore d’acqua evaporata da questa acqua per unità di tempo y $M_F$ alla massa di acqua che infine scorre per unità di tempo al disubo (drenaggio), l’equazione della casa di ghiaccio, questa è la massa di ghiaccio che si fonde per unità di Il tempo è:

$M=\frac{E-M_v{L}_v}{L_F}(1)$

Dove $L_v$ e $L_F$ sono calori di evaporazione dell’acqua e di fusione del ghiaccio, rispettivamente.

a) Usando la conservazione dell’energia, dedurre l’equazione della casa di ghiaccio (Equilibrio 1). b) b1) di un’espressione della massa di ghiaccio per unità di tempo ($M_1$) che si Fonderebbe se tutta la potenza che entra nella casa di ghiaccio fosse solo utilizzato per fondere ghiaccio; $M_v=0$. b2) di un’espressione della massa di ghiaccio per unità di tempo ($M_2$) che si La fusione di acqua si verifica se l’acqua che viene prodotta si trasforma in vapore di acqua; $M_F=0$. b3) Esprimere il coefficiente fra $M_1$ e $M_2$ in termini di dati e calcolare il

• Il valore. b4) Qual è la situazione meno favorevole alla conservazione? del ghiaccio? Supponiamo che una frazione $f$ della massa di ghiaccio sciolto evapori, che è equivalente a dire che il rapporto tra la massa di ghiaccio che si scioglie per unità di tempo ($M$) e la massa di acqua evaporata per unità di tempo ($M_v$) sono legate di:

$M_v=fM(2)$

c) Dimostra che l’equazione (1) risulta:

$M=\frac{E}{L}\text{donde}L=L_F+f{L}_v(3)$

Considerate che il luogo in cui si trova il ghiaccio, all’interno della casa del ghiaccio, ha la forma di cilindro di radio $r$ e profondità $h$. Supponiamo che lo scambio di calore con Il ghiaccio viene prodotto attraverso una delle superfici circolari del cilindro; cioè, a attraverso una delle tappe $A$ di superficie, data da:

$A=\pi r^2(4)$

Supponiamo che durante il processo di fusione del ghiaccio l’altezza $h$ rimanga costante; è Cioè, la fusione del ghiaccio modifica solo la sezione del cilindro di ghiaccio. In queste condizioni, l’energia per unità di tempo ($E$) che entra nel ghiaccio può essere ridotta a esprimere come:

$E=-kA\Delta T(5)$

dove $k$ è una costante che rappresenta lo scambio di calore con l’esterno (coefficiente di conduzione esterna) e $\Delta T$ è la differenza di temperatura (salto termico) tra il ghiaccio e l’ambiente esterno con cui l’intercambiatore di calore della casa ghiacciata (ghiaccio).

d) Sfruttando l’equazione (3) e le considerazioni espresse nel precedente paragrafo, dimostrare che:

$M=\frac{-km\Delta T}{\rho Lh}(5)$

dove $m$ è la massa di ghiaccio presente nella cassa di ghiaccio al tempo $t$ e $\rho$ densità del ghiaccio.

L’equazione (5) può indicare come varia la massa totale di ghiaccio. che si trova all’interno della cassa di ghiaccio, $m$, a seconda del tempo. Questa funzione è di forma:

$m(t)=m_0{e}^{-bt}(5)$

dove $m_0$ è la massa iniziale di ghiaccio (quello depositato nella cassa ghiacciata all’inizio) e $b$ è una costante data da:

$b=\frac{k\Delta T}{\rho Lh}(6)$

e) A partire dalle equazioni (5) e (6) trovi il tempo per il quale la massa di il ghiaccio è ridotto di metà, alle seguenti condizioni: e1) Quando $f=0$ (non evaporazione) e2) Quando $L=2L_F$. Per questa situazione, calcola il valore corrispondente di $f$. Esprimete entrambi i risultati in anni. e3) Quale dei due casi è il più favorevole alla conservazione dell’ice?

I valori delle costanti per i calcoli sono: $k=2{\text{W/m}}^2\text{K}$ $L_F=0,33\times 10^6\text{J/kg}$ $L_V=2,26\times 10^6\text{J/kg}$ $\rho =800{\text{kg/m}}^3$ $\Delta T=20\text{K}$ $h=5\text{m}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem 1: Ice house. In those places where a lot of ice accumulates during the winter, inhabitants who do not have a refrigerator gather the ice in an enclosure known as an “ice house”. This is built with bricks, partially sunk into the ground with well-insulated walls. The “ice house” has an outlet for draining the water resulting from the melting of the ice and an upper outlet for water vapor (see drawing). The ice that is put into the “ice house” is previously ground and then compacted inside the corresponding enclosure in the house.

Instructions: Consider negligible the mass of air inside the house and the sublimation of the ice and assume that the walls of the house are perfectly insulating. Thus, calling: $E$ the energy per unit time (power) that enters the ice house and is absorbed by it, $M$ the mass of ice that melts (thaws) per unit time inside the house, $M_v$ the mass of water vapor that evaporates from this water per unit time and $M_F$ the mass of water that finally flows per unit time to the drain (drainage), “the ice house equation”, that is, the mass of ice that melts per unit time is:

$M=\frac{E-M_v{L}_v}{L_F}(1)$

Where $L_v$ and $L_F$ are the heats of evaporation of water and of fusion of ice, respectively.

a) Using energy conservation, derive the “ice house equation” (equation 1). b) b1) Give an expression for the mass of ice per unit time ($M_1$) that would melt if all the power entering the ice house were used only to melt ice; $M_v=0$. b2) Give an expression for the mass of ice per unit time ($M_2$) that would melt if all the water produced eventually turned into water vapor; $M_F=0$. b3) Express the ratio between $M_1$ and $M_2$ in terms of the data and calculate its value. b4) Which of the two situations is less favorable for the preservation of the ice? Assuming that a fraction $f$ of the mass of melted ice evaporates, which is equivalent to saying that the relationship between the mass of ice that melts per unit time ($M$) and the mass of water that evaporates per unit time ($M_v$) are related in the form:

$M_v=fM(2)$

c) Show that equation (1) becomes:

$M=\frac{E}{L}\text{donde}L=L_F+f{L}_v(3)$

Consider that the place where the ice is stored, inside the “ice house”, has the shape of a cylinder of radius $r$ and depth $h$. Assume that the heat exchange with the ice occurs through one of the circular surfaces of the cylinder; that is, through one of the end caps of area $A$, given by:

$A=\pi r^2(4)$

Assume that during the ice melting process, the height $h$ remains constant; that is, the melting of the ice only changes the cross-section of the ice cylinder. Under these conditions, the energy per unit time ($E$) that enters the ice can be expressed as:

$E=-kA\Delta T(5)$

where $k$ is a constant that represents the heat exchange with the outside (external conduction coefficient) and $\Delta T$ is the temperature difference (thermal gap) between the ice and the external medium with which the “ice house” (the ice) exchanges heat.

d) Using equation (3) and the considerations expressed in the previous paragraph, show that:

$M=\frac{-km\Delta T}{\rho Lh}(5)$

where $m$ is the mass of ice present in the “ice house” at time $t$ and $\rho$ is the density of the ice.

From equation (5) one can obtain the way in which the total mass of ice inside the “ice house”, $m$, varies as a function of time. This function has the form:

$m(t)=m_0{e}^{-bt}(5)$

where $m_0$ is the initial mass of ice (the one deposited in the “ice house” at the beginning) and $b$ is a constant given by:

$b=\frac{k\Delta T}{\rho Lh}(6)$

e) From equations (5) and (6), find the time for which the mass of ice is reduced by half, under the following conditions: e1) When $f=0$ (there is no evaporation) e2) When $L=2L_F$. For this situation, in addition, calculate the corresponding value of $f$. Express both results in years. e3) Which of the two cases is more favorable for the conservation of the ice?

The values of the constants for the calculations are: $k=2{\text{W/m}}^2\text{K}$ $L_F=0,33\times 10^6\text{J/kg}$ $L_V=2,26\times 10^6\text{J/kg}$ $\rho =800{\text{kg/m}}^3$ $\Delta T=20\text{K}$ $h=5\text{m}$

Problema 2: Shazam! Introducción y Generalidades. El movimiento del aire dentro de las nubes produce una separación de cargas eléctricas que luego son desplazadas a diferentes partes de la misma, generando múltiples celdas o centros de carga. Debido a la presencia de estos centros de carga en la nube, se generan en la tierra centros de carga de signo opuesto por un proceso de inducción ya que la tierra es un buen conductor. Así, centros de carga negativa se generan en la tierra como imagen de los centros de carga positiva en la nube y viceversa. Cuando la concentración de cargas positivas y/o negativas alcanza un nivel crítico, los electrones se mueven atraídos por alguna de las celdas de cargas positivas a través del camino de menor resistencia produciendo una descarga eléctrica. Algunas veces la descarga se produce entre la nube y la tierra, y otras veces entre centros de carga de nubes distintas o entre centros de una misma nube. Un rayo es una descarga entre un centro de carga de una nube y el centro de carga en la tierra. Cuando la diferencia de potencial entre algún centro de carga de la nube y la superficie terrestre alcanza el voltaje de ruptura del aire $(\Delta V_r)$, se produce el rayo. El rayo comienza como una serie de pasos o segmentos de alrededor de 100 metros desde la nube hacia la tierra. Estos segmentos no transportan mucha carga y por lo tanto no emiten mucha luz pero son responsables de generar el canal por el cual se producirá el rayo. A medida que este canal se acerca a la superficie, una segunda descarga se propaga desde la tierra hacia la nube. Cuando las dos descargas hacen contacto se completa el canal produciendo un corto-circuito que baja la mayoría de la carga desde la nube a la tierra. Esta descarga, o corto-circuito, dura una milésima de segundo y se puede repetir varias veces a través del mismo canal. Lo que se conoce como rayo esta generalmente compuesto de varias descargas y dura una fracción de segundo. Cuando se produce un rayo, la descarga eléctrica deposita una gran cantidad de energía en el canal produciendo que este alcance una alta temperatura. Esta energía se deposita muy rápidamente (unas millonésimas de segundo) por lo cual la sección del canal no tiene tiempo de expandirse y la presión aumenta entre 10 y 100 veces. Esta gran presión rápidamente se propaga hacia el aire alrededor del canal produciendo una onda de choque que eventualmente se convierte en el sonido que llamamos trueno.

Problema La altura de la base de una nube de tormenta, respecto de tierra, es de aproximadamente 1000 m. La carga eléctrica negativa ubicada en su región inferior se puede considerar concentrada en un punto ubicado a una altura de 5000 m sobre un eje que pasa por el centro de la nube y tiene una magnitud $Q=-40\text{C}$. La presencia de esta carga induce una densidad de carga sobre la superficie terrestre, la cual puede ser modelada por una carga puntual $-Q$ ubicada a una distancia de 5000 m por debajo del nivel de tierra. 1- Determine el campo eléctrico, $E$, que producen estas cargas ($Q$ y $-Q$) sobre el segmento que las une y a una altura $h=4500\text{m}$ (Punto A) (Ver figura 1). 2- ¿Cuál es el valor que deberá tener $Q$ para que en el punto A el campo eléctrico alcance el valor de ruptura?

Suponga que una vez alcanzado el valor $E_r$ en el punto A, se forma un canal ionizado entre dicho punto y la superficie terrestre. Este canal se comporta como un conductor que tiene una resistividad eléctrica de $50\Omega$ cm dentro de la nube y de $350\Omega$ cm fuera de la misma. Considerando que el canal es rectilíneo y que tiene un diámetro constante de 46 cm, 3- Calcule la resistencia eléctrica del canal dentro de la nube ($R_{c1}$) y fuera de la misma ($R_{c2}$). 4- Calcule la resistencia eléctrica total del canal ($R_c$). 5- Calcule la diferencia de potencial $(\Delta V_r)$ entre los extremos del canal.

En este canal se establece una corriente eléctrica ($i_r$) que baja carga desde la nube a la tierra. Suponiendo que la diferencia de potencial se mantiene constante durante la descarga eléctrica. 6- Calcule el valor de dicha corriente.

Suponga al aire como un gas ideal diatómico y que inicialmente todo el canal tiene una atmósfera de presión y una temperatura de $20{}^{\circ }\text{C}$. 7- Calcule el número de moles ($n$) de gas que hay en el canal.

El paso de corriente por el canal conductor incrementa la temperatura del mismo. Como el proceso es sumamente rápido ($25\mu \text{s}$) se puede considerar que el calentamiento del canal se produce sin que el mismo cambie su volumen. Despreciando la energía luminosa irradiada, esto es suponiendo que toda la energía recibida por el canal por el paso de la corriente se entrega al gas que forma el canal y que no se pierde energía por conducción al gas fuera del canal, 8- Calcule la temperatura final ($T_f$) del canal. 9- Calcule la presión final ($P_f$) dentro del canal.

La diferencia de presión entre el interior y el exterior del canal provoca una onda de choque, cuya señal audible denominamos trueno. En una buena aproximación, se puede considerar que la señal audible que detectamos viaja desde su emisión (en el canal) hasta el detector, a la velocidad del sonido. Considere un sistema de detección y ubicación de rayos que consta de tres antenas. Las antenas se encuentran ubicadas en el los vértices de un triángulo equilátero de 10 km de lado. Cada antena detecta la señal luminosa y la señal sonora producidas por el rayo. En buena aproximación, se puede suponer que las señales detectadas por las antenas son emitidas por el rayo a nivel del suelo. Cada antena mide la diferencia en el tiempo de llegada de las dos señales $(\Delta t)$ con una precisión de $3\times 10^{-2}\text{s}$. Si la antena 1 midió un $\Delta t_1=24.43\text{s}$, la 2 midió $\Delta t_2=15.51\text{s}$ y la antena 3 midió ${\Delta }_3=38.85\text{s}$, 10- Determine las distancias, sobre la superficie de la tierra, entre el lugar en donde cayó el rayo y cada una de las antenas. Exprese estas cantidades con su incerteza. 11- Determine gráficamente los lugares posibles de emisión de las señales detectadas por cada una de las antenas. Para ello, utilice la hoja milimetrada provista. En el gráfico indique la posición donde cayó el rayo. 12- Estime del gráfico el valor del error en la posición donde cayó el rayo.

Suponga que el campo de ruptura del aire es de $3000\text{V/mm}$. Suponga que la permitividad del aire es igual a la permitividad del vacío, ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{C/(V m)}$. La constante universal de los gases es $R=8.32\text{J/(mol K)}$. Suponga que la velocidad de propagación de la señal luminosa es $c=300000\text{km/s}$ y que la velocidad del sonido es $u=330\text{m/s}$. Para un gas ideal diatómico la capacidad calorífica molar a volumen constante es $C_v=\frac{5}{2}R$. $1\text{atm}=1.01325\times 10^5\text{Pa}$.

Exprese todos sus resultados en unidades correspondientes al sistema internacional.

Topic: Electrostatics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Coulomb’s Law, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Error Propagation Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Point Charge, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 2: Shazam! Introduzione e generali. Il movimento dell’aria all’interno dei nubi produce una separazione di cariche elettriche che vengono poi spostate in diverse parti della stessa, generando più cellule o centri di carico. A causa della presenza di questi centri di carico nel cloud, si generano in terra centri di carico di segno opposto da un processo di induzione in quanto la terra E’ un buon conducente. Così, centri di carica negativa si generano sulla terra come immagine dei centri di carica positiva nel cloud e viceversa. Quando la concentrazione di carichi positivi e/o negativi raggiunge un livello critico, i Gli elettroni sono attraenti da una delle cellule di cariche positive attraverso il la via di resistenza inferiore produce un scarico elettrico. A volte la Il discarico si verifica tra il nuvo e la terra, e altre volte tra i centri di carico di Nuvole diverse o tra centri della stessa nuvola. Un raggio è un scarico tra un centro di carica di un nuvo e il centro di carica in un nuvo. terra. Quando la differenza di potenziale tra un centro di carico cloud e la la superficie terrestre raggiunge la tensione di rottura dell’aria $(\Delta V_r)$, si produce il raggio. Il raggio inizia come una serie di passi o segmenti di circa 100 metri dal nuvo verso la terra. Questi segmenti non trasportano molto carico e quindi Non emettono molta luce, ma sono responsabili di generare il canale attraverso il quale si produrrà. il fulmine. Mentre questo canale si avvicina alla superficie, un secondo scarico si Si diffonde dalla terra verso il nuvo. Quando i due scarichi si mettono in contatto completando il canale producendo un short-circuit che scarica la maggior parte del carico dal Nuvola sulla terra. Questo scarico, o cortocircuito, dura un milleesimo di secondo e può essere utilizzato per ripetere più volte attraverso lo stesso canale. Quello che si chiama fulmine è Generalmente composto da diversi scarichi e dura una frazione di secondo. Quando si produce un fulmine, la scarica elettrica deposita una grande quantità di energia nel canale, che porta a una temperatura elevata. Questa energia viene depositata molto velocemente (circa un milione di secondi) per cui la sezione del canale non ha tempo di espansione e la pressione aumenta da 10 a 100 volte. Questa pressione enorme si diffonde rapidamente verso l’aria intorno al canale producendo un’onda di colpo che alla fine diventa il suono che chiamiamo tuono.

Problema L’altezza della base di una nuvola di tempesta rispetto alla terra è di circa 1000 m. La carica elettrica negativa situata nella sua regione inferiore può essere considerata concentrata in un punto situato ad un’altezza di 5000 m su un asse che attraversa il centro del nuvo e ha una magnitudo $Q=-40\text{C}$. La presenza di questo carico induce un densità di carico sulla superficie terrestre, che può essere modellata da una carica il punto $-Q$ situato a una distanza di 5000 m sotto il livello del suolo. 1- Determina il campo elettrico, $E$, che produce queste cariche ($Q$ e $-Q$) sul segmento che li unisce e ad un’altezza $h=4500\text{m}$ (punto A) (vedi figura 1). 2- Qual è il valore che deve essere $Q$ per che nel punto A il campo elettrico raggiungere il valore di rottura?

Supponiamo che una volta raggiunto il valore $E_r$ al punto A, si formi un canale ionizzato tra tale punto e la superficie terrestre. Questo canale si comporta come un conducente che ha una resistività elettrica di $50\Omega$ cm all’interno del nuvo e di $350\Omega$ cm all’esterno del nuvo

• Sì, è lei stessa. Considerando che il canale è rettilineo e ha un diametro costante di 46 cm, 3- Calcolare la resistenza elettrica del canale all’interno del nuvo ($R_{c1}$) e all’esterno del canale La stessa ($R_{c2}$). 4- Calcolare la resistenza elettrica totale del canale ($R_c$). 5- Calcolare la differenza di potenziale $(\Delta V_r)$ tra le estremità del canale.

In questo canale si crea un corrente elettrica ($i_r$) che riduce la carica dal nuvo alla terra. Supponendo che la differenza di potenziale si mantenga costante durante la scarica elettrica. 6- Calcolare il valore di tale corrente.

Supponiamo che l’aria sia un gas ideale diatomico e che inizialmente l’intero canale abbia un atmosfera di pressione e temperatura $20{}^{\circ }\text{C}$. 7- Calcolare il numero di molli ($n$) di gas nel canale.

Il passaggio di corrente attraverso il canale conduttore aumenta la temperatura del canale. Come il Il processo è estremamente rapido ($25\mu \text{s}$) si può considerare che il riscaldamento del canale La produzione di un’acqua di cui non si tratta è necessaria per la produzione di acqua di cui non si tratta. Disprezzando l’energia luminosa Il sistema di radiazioni di cui sopra è il sistema di radiazioni di cui sopra. corrente viene consegnata al gas che forma il canale e che non viene persa energia per conduzione il gas fuori canale, 8- Calcolare la temperatura finale ($T_f$) del canale. 9- Calcolare la pressione finale ($P_f$) all’interno del canale.

La differenza di pressione tra l’interno e l’esterno del canale provoca un’onda di colpo, il cui segnale udibile è chiamato tuono. In un buon approccio, si può Considerare che il segnale udibile che rilevamo viaggia dalla sua emissione (nel canale) fino a il rilevatore, alla velocità del suono. Considera un sistema di rilevamento e localizzazione dei raggi che consiste in tre antenne. Le Le antenne sono situate sulle vertici di un triangolo equilaterale di 10 km di

• Un lato. Ogni antenna rileva il segnale luminoso e il segnale sonoro prodotto dal raggio. In buona Approximation, si può supporre che i segnali rilevati dalle antenne siano emessi per il raggio a livello del suolo. Ogni antenna misura la differenza nel tempo di arrivo delle due segnali $(\Delta t)$ con una precisione di $3\times 10^{-2}\text{s}$. Se l’antenna 1 ha misurato un $\Delta t_1=24.43\text{s}$, la 2 la misurazione è stata $\Delta t_2=15.51\text{s}$ e l’antenna 3 è stata ${\Delta }_3=38.85\text{s}$, 10- Determina le distanze, sulla superficie della terra, tra il luogo in cui E’ caduto il fulmine e tutte le antenne. Esprimere queste quantità con il
• l’incertitudine. 11- Determina graficamente i possibili luoghi di emissione dei segnali rilevate da ciascuna antenna. Per questo, utilizzare la foglia millimetrica Provvederci. Indica sulla grafica la posizione in cui è caduto il fulmine. 12- Calcola dal grafico il valore dell’errore nella posizione in cui il fulmine è caduto.

Supponiamo che il campo di rottura dell’aria sia $3000\text{V/mm}$. Supponiamo che la permisibilità dell’aria sia uguale alla permisibilità del vuoto. ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{C/(V m)}$. La costante universale dei gas è $R=8.32\text{J/(mol K)}$. Supponiamo che la velocità di diffusione del segnale luminoso sia $c=300000\text{km/s}$ y que la La velocità del suono è $u=330\text{m/s}$. Per un gas diatomico ideale la capacità calorica di mollare a volume costante è $C_v=\frac{5}{2}R$. $1\text{atm}=1.01325\times 10^5\text{Pa}$.

Esprimere tutti i risultati in unità corrispondenti al sistema

• Internazionale.

Topic: Electrostatics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Coulomb’s Law, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Error Propagation Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Point Charge, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problem 2: Shazam! Introduction and Generalities. The movement of air inside clouds produces a separation of electrical charges that are then displaced to different parts of the cloud, generating multiple cells or charge centers. Due to the presence of these charge centers in the cloud, charge centers of opposite sign are generated in the ground by a process of induction, since the ground is a good conductor. Thus, negative charge centers are generated in the ground as an image of the positive charge centers in the cloud and vice versa. When the concentration of positive and/or negative charges reaches a critical level, the electrons move, attracted by one of the positive charge cells, through the path of least resistance, producing an electrical discharge. Sometimes the discharge occurs between the cloud and the ground, and other times between charge centers of different clouds or between centers of the same cloud. A lightning bolt is a discharge between a charge center of a cloud and the charge center in the ground. When the potential difference between some charge center of the cloud and the Earth’s surface reaches the breakdown voltage of air $(\Delta V_r)$, the lightning bolt occurs. The lightning begins as a series of steps or segments of about 100 meters from the cloud toward the ground. These segments do not carry much charge and therefore do not emit much light, but they are responsible for generating the channel through which the lightning will occur. As this channel approaches the surface, a second discharge propagates from the ground toward the cloud. When the two discharges make contact, the channel is completed, producing a short circuit that brings most of the charge down from the cloud to the ground. This discharge, or short circuit, lasts one thousandth of a second and can be repeated several times through the same channel. What is known as lightning is generally composed of several discharges and lasts a fraction of a second. When lightning occurs, the electrical discharge deposits a large amount of energy in the channel, causing it to reach a high temperature. This energy is deposited very quickly (about a few millionths of a second), so the cross-section of the channel does not have time to expand and the pressure increases between 10 and 100 times. This great pressure rapidly propagates into the air around the channel, producing a shock wave that eventually becomes the sound we call thunder.

Problem The height of the base of a storm cloud, relative to the ground, is approximately 1000 m. The negative electric charge located in its lower region can be considered concentrated at a point located at a height of 5000 m on an axis that passes through the center of the cloud and has a magnitude $Q=-40\text{C}$. The presence of this charge induces a charge density on the Earth’s surface, which can be modeled by a point charge $-Q$ located at a distance of 5000 m below ground level. 1- Determine the electric field, $E$, that these charges ($Q$ and $-Q$) produce on the segment that joins them and at a height $h=4500\text{m}$ (Point A) (See figure 1). 2- What value must $Q$ have for the electric field at point A to reach the breakdown value?

Assume that once the value $E_r$ is reached at point A, an ionized channel forms between that point and the Earth’s surface. This channel behaves as a conductor that has an electrical resistivity of $50\Omega$ cm inside the cloud and $350\Omega$ cm outside it. Considering that the channel is straight and has a constant diameter of 46 cm, 3- Calculate the electrical resistance of the channel inside the cloud ($R_{c1}$) and outside it ($R_{c2}$). 4- Calculate the total electrical resistance of the channel ($R_c$). 5- Calculate the potential difference $(\Delta V_r)$ between the ends of the channel.

In this channel an electric current is established ($i_r$) that carries charge down from the cloud to the ground. Assuming that the potential difference remains constant during the electrical discharge. 6- Calculate the value of said current.

Assume the air to be a diatomic ideal gas and that initially the entire channel has an atmosphere of pressure and a temperature of $20{}^{\circ }\text{C}$. 7- Calculate the number of moles ($n$) of gas in the channel.

The passage of current through the conducting channel increases its temperature. Since the process is extremely fast ($25\mu \text{s}$), it can be considered that the heating of the channel occurs without it changing its volume. Neglecting the radiated light energy, that is, assuming that all the energy received by the channel from the passage of current is delivered to the gas that forms the channel and that no energy is lost by conduction to the gas outside the channel, 8- Calculate the final temperature ($T_f$) of the channel. 9- Calculate the final pressure ($P_f$) inside the channel.

The pressure difference between the inside and the outside of the channel causes a shock wave, whose audible signal we call thunder. As a good approximation, it can be considered that the audible signal we detect travels from its emission (in the channel) to the detector at the speed of sound. Consider a lightning detection and location system consisting of three antennas. The antennas are located at the vertices of an equilateral triangle with a side of 10 km. Each antenna detects the light signal and the sound signal produced by the lightning. As a good approximation, it can be assumed that the signals detected by the antennas are emitted by the lightning at ground level. Each antenna measures the difference in arrival time of the two signals $(\Delta t)$ with a precision of $3\times 10^{-2}\text{s}$. If antenna 1 measured a $\Delta t_1=24.43\text{s}$, antenna 2 measured a $\Delta t_2=15.51\text{s}$ and antenna 3 measured a ${\Delta }_3=38.85\text{s}$, 10- Determine the distances, on the surface of the Earth, between the place where the lightning struck and each of the antennas. Express these quantities with their uncertainty. 11- Graphically determine the possible places of emission of the signals detected by each of the antennas. To do this, use the provided millimeter paper. On the graph, indicate the position where the lightning struck. 12- Estimate from the graph the value of the error in the position where the lightning struck.

Assume that the breakdown field of air is $3000\text{V/mm}$. Assume that the permittivity of air is equal to the permittivity of vacuum, ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{C/(V m)}$. The universal gas constant is $R=8.32\text{J/(mol K)}$. Assume that the propagation speed of the light signal is $c=300000\text{km/s}$ and that the speed of sound is $u=330\text{m/s}$. For a diatomic ideal gas the molar heat capacity at constant volume is $C_v=\frac{5}{2}R$. $1\text{atm}=1.01325\times 10^5\text{Pa}$.

Express all your results in units corresponding to the International System.

Problema 3: Un péndulo ingrávido. El día miércoles 24 de agosto de este año, la nave espacial rusa Progress M-112M, despegó desde el cosmódromo de Baikonur en Kazakhstan con destino en la estación espacial internacional (ISS). Sin embargo, luego de 325 s de vuelo el cohete ruso Soyuz-U se apagó de manera imprevista y la carga de varias toneladas con suministros para al ISS se desintegró en la caída. La carga útil destruida, además de alimentos, combustible y suministros para el normal funcionamiento de la ISS, contenía varios experimentos científicos para ser realizados en el espacio. La siguiente nave con suministros, Progress M-13M/Soyuz U, tiene previsto su vuelo recién para el 30 de octubre próximo. Por lo tanto, la tripulación 29 de la ISS en vuelo, compuesta por Sergey Volkov, Michael E. Fossum y Satoshi Furukawa, al no tener como realizar los experimentos previstos, dispone de más tiempo libre. Para entretenerse en sus ahora largos ratos de ocio, la tripulación se dispuso a diseñar un péndulo que funcione en las condiciones de ingravidez en la que se encuentra dentro de la ISS. A tal fin, recuperaron una esfera de material no conductor de radio $R=20\text{cm}$. Al frotarla con una tela sintética, la esfera adquirió una carga eléctrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, la cual puede suponerse que se encuentra homogéneamente distribuida sobre toda la superficie de la esfera. Luego, soldaron una diminuta esfera, de un metal pesado, cuya masa $m=50\text{g}$ era conocida de antemano, a un muy fino alambre inextensible y no conductor de largo $l=2,30\text{m}$. Este hilo, a todo fin práctico, puede considerarse de masa despreciable. Para armar el péndulo, pegaron la esfera cargada en una de las paredes del módulo Columbus, de forma que quedara inmóvil y fijaron el extremo libre del hilo en el punto o, de la pared opuesta, de forma tal que la pequeña esfera metálica queda “casi” tocando la esfera cargada (pero sin contacto) cuando el hilo está completamente estirado, según se muestra en el diagrama (A) de la figura. De esta manera, la distancia entre el punto de sujeción del hilo, o, y el centro de la esfera, c, se mantiene constante igual a $R+l$. Finalmente, para que ambas esferas se atraigan entre sí, transfirieron una carga negativa $q=-1\mu \text{C}$ a la esferita metálica. En uno de los laboratorios de la ISS, disponen de instrumental para transferir la carga deseada de forma controlada.

Preguntas: (a) Calcular la tensión del hilo en la posición de reposo en equilibrio estable. (b) Para calcular el período del péndulo, la primera idea consiste en recordar la similitud entre la ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb. Teniendo en cuenta la relación entre ambas leyes y el hecho de que la aceleración en ambos casos viene definida por la relación $F=ma$, donde $a=g$ en el caso gravitatorio y $a=g_e$ en el caso eléctrico, calcular el valor de la correspondiente aceleración $g_e$ para el caso eléctrico. (c) A partir de la expresión del período de un péndulo simple en el caso gravitatorio, calcular el valor resultante para el correspondiente período del péndulo ingrávido.

Una vez construido el péndulo, los astronautas notaron que el período calculado difería bastante respecto del medido con un cronómetro, el cual resulta bastante más breve. Con buen criterio, Michael E. Fossum, que cuenta con una maestría en Física, concluyó que no se cumplen las condiciones bajo las cuales es válida la fórmula del período de un péndulo simple en el caso del péndulo ingrávido construido. Con el fin de encontrar la expresión correcta para este caso, procedió a realizar los siguientes cálculos que debemos reproducir: (d) Se desplaza la esferita de masa $m$, de manera que el hilo forma un pequeño ángulo $\alpha$ con respecto a la línea $\overline{oc}$. Dibujar un diagrama de cuerpo aislado para la masa $m$, trazando cualitativamente todos los vectores de las fuerzas que actúan sobre ella. (e) En la situación del ítem anterior, escribir la expresión analítica para la intensidad de la fuerza de atracción entre las esferas. (f) Utilizando el diagrama en el esquema (B) de la figura, descomponer los vectores fuerza en componentes a lo largo de la dirección del hilo (componente centrípeta) y perpendicular a esta (componente tangencial). (g) Escribir la segunda ley de Newton correspondiente a la dirección del hilo y a la dirección tangencial, utilizando las componentes calculadas en el ítem anterior. (h) Recordando que la aceleración tangencial, $a$, está relacionada con la aceleración angular, $\gamma$, según $a=l\gamma$, escribir la segunda ley de Newton correspondiente a la dirección tangencial para pequeñas oscilaciones del péndulo; es decir, en primer orden (o lineal) en el ángulo $\alpha$. (i) Escribir la expresión para la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones del péndulo ingrávido. (j) Calcular el valor numérico resultante para el período del péndulo, en el caso particular construido por los astronautas. (k) A partir de la expresión de la frecuencia angular calculada en el ítem (i), ¿qué condición debe cumplirse entre los valores de $R$ y $L$ para obtener el resultado calculado en el ítem (c)? (l) A partir de la expresión de la frecuencia angular calculada en el ítem (i), analizar como es la dependencia de la frecuencia angular en el caso límite en el cual $l\gg R$.

Información útil: (1) La constante de Coulomb es $k=(4\pi {\epsilon }_0{)}^{-1}$, donde ${\epsilon }_0$ es la constante dieléctrica del vacío. Así, $k=9\times 10^9{\text{N m}}^2/{\text{C}}^2$. (2) Las siguientes relaciones trigonométricas son siempre válidas:

$\text{sen}(\alpha +\beta )=\text{sen}(\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\text{sen}(\beta ),$

$\cos (\theta )=\sqrt{1-{\text{sen}}^2(\theta )}.$

(3) Utilizando relaciones trigonométricas en el diagrama del esquema (B) de la figura, resulta:

$\text{sen}(\alpha )=h/l,$

$\text{sen}(\beta )=h/r.$

(4) Usando el teorema del coseno en el diagrama del esquema (B) de la figura, resulta:

$r^2=l^2+(l+R{)}^2-2l(l+R)\cos (\alpha ).$

(5) Si el ángulo $\theta$ es pequeño, y está expresado en radianes, son válidas las siguientes aproximaciones:

$\text{sen}(\theta )\approx \theta ,\cos (\theta )\approx 1-{\theta }^2/2.$

(6) Si $x\ll 1$, entonces es válida la siguiente aproximación:

$\sqrt{1-x^2}\approx 1-x^2/2.$

(7) La ecuación de movimiento de un péndulo para pequeñas oscilaciones, es decir en primer orden (o lineal) en el ángulo $\alpha$, es

$\gamma ={\omega }^2\alpha .$

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Sphere, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problema 3: Un pendolo senza peso. Mercoledì 24 agosto di quest’anno, la navicella spaziale russa Progress M-112M è decollata dal cosmodromo di Baikonur in Kazakistan con destinazione la stazione spaziale internazionale (ISS). Tuttavia, dopo 325 s di volo il razzo russo Soyuz-U si è spento in modo imprevisto e il carico di diverse tonnellate con i rifornimenti per la ISS si è disintegrato nella caduta. Il carico utile distrutto, oltre a cibo, combustibile e rifornimenti per il normale funzionamento della ISS, conteneva diversi esperimenti scientifici da realizzare nello spazio. La successiva navicella con i rifornimenti, Progress M-13M/Soyuz U, ha previsto il suo volo solo per il prossimo 30 ottobre. Pertanto, l’equipaggio 29 della ISS in volo, composto da Sergey Volkov, Michael E. Fossum e Satoshi Furukawa, non avendo modo di realizzare gli esperimenti previsti, dispone di più tempo libero. Per divertirsi nei loro ormai lunghi momenti di ozio, l’equipaggio si mise a progettare un pendolo che funzioni nelle condizioni di assenza di gravità in cui si trova all’interno della ISS. A tal fine, recuperarono una sfera di materiale non conduttore di raggio $R=20\text{cm}$. Strofinandola con un panno sintetico, la sfera acquisì una carica elettrica positiva $Q=2\mu \text{C}$, che si può supporre sia distribuita omogeneamente su tutta la superficie della sfera. Poi, saldarono una minuscola sfera, di un metallo pesante, la cui massa $m=50\text{g}$ era nota in anticipo, a un filo molto sottile inestensibile e non conduttore di lunghezza $l=2,30\text{m}$. Questo filo, a tutti gli effetti pratici, può considerarsi di massa trascurabile. Per assemblare il pendolo, incollarono la sfera carica a una delle pareti del modulo Columbus, in modo che rimanesse immobile, e fissarono l’estremità libera del filo nel punto o, della parete opposta, in modo tale che la piccola sfera metallica rimanga “quasi” toccando la sfera carica (ma senza contatto) quando il filo è completamente teso, come mostrato nel diagramma (A) della figura. In questo modo, la distanza tra il punto di fissaggio del filo, o, e il centro della sfera, c, rimane costante e uguale a $R+l$. Infine, affinché entrambe le sfere si attraggano tra loro, trasferirono una carica negativa $q=-1\mu \text{C}$ alla sferetta metallica. In uno dei laboratori della ISS, dispongono di strumentazione per trasferire la carica desiderata in modo controllato.

Domande: (a) Calcolare la tensione del filo nella posizione di riposo in equilibrio stabile. (b) Per calcolare il periodo del pendolo, la prima idea consiste nel ricordare la somiglianza tra la legge di gravitazione universale di Newton e la legge di Coulomb. Tenendo conto della relazione tra le due leggi e del fatto che l’accelerazione in entrambi i casi è definita dalla relazione $F=ma$, dove $a=g$ nel caso gravitazionale e $a=g_e$ nel caso elettrico, calcolare il valore della corrispondente accelerazione $g_e$ per il caso elettrico. (c) A partire dall’espressione del periodo di un pendolo semplice nel caso gravitazionale, calcolare il valore risultante per il corrispondente periodo del pendolo senza peso.

Una volta costruito il pendolo, gli astronauti notarono che il periodo calcolato differiva parecchio rispetto a quello misurato con un cronometro, il quale risulta bastante più breve. Con buon criterio, Michael E. Fossum, che ha un master in Fisica, concluse che non sono soddisfatte le condizioni sotto le quali è valida la formula del periodo di un pendolo semplice nel caso del pendolo senza peso costruito. Al fine di trovare l’espressione corretta per questo caso, procedette a eseguire i seguenti calcoli che dobbiamo riprodurre: (d) Si sposta la sferetta di massa $m$, in modo che il filo formi un piccolo angolo $\alpha$ rispetto alla linea $\overline{oc}$. Disegnare un diagramma di corpo isolato per la massa $m$, tracciando qualitativamente tutti i vettori delle forze che agiscono su di essa. (e) Nella situazione del punto precedente, scrivere l’espressione analitica per l’intensità della forza di attrazione tra le sfere. (f) Utilizzando il diagramma nello schema (B) della figura, scomporre i vettori forza in componenti lungo la direzione del filo (componente centripeta) e perpendicolari a questa (componente tangenziale). (g) Scrivere la seconda legge di Newton corrispondente alla direzione del filo e alla direzione tangenziale, utilizzando le componenti calcolate nel punto precedente. (h) Ricordando che l’accelerazione tangenziale, $a$, è legata all’accelerazione angolare, $\gamma$, secondo $a=l\gamma$, scrivere la seconda legge di Newton corrispondente alla direzione tangenziale per piccole oscillazioni del pendolo; cioè, al primo ordine (o lineare) nell’angolo $\alpha$. (i) Scrivere l’espressione per la frequenza angolare di piccole oscillazioni del pendolo senza peso. (j) Calcolare il valore numerico risultante per il periodo del pendolo, nel caso particolare costruito dagli astronauti. (k) A partire dall’espressione della frequenza angolare calcolata nel punto (i), quale condizione deve essere soddisfatta tra i valori di $R$ e $L$ per ottenere il risultato calcolato nel punto (c)? (l) A partire dall’espressione della frequenza angolare calcolata nel punto (i), analizzare come dipende la frequenza angolare nel caso limite in cui $l\gg R$.

Informazioni utili: (1) La costante di Coulomb è $k=(4\pi {\epsilon }_0{)}^{-1}$, dove ${\epsilon }_0$ è la costante dielettrica del vuoto. Così, $k=9\times 10^9{\text{N m}}^2/{\text{C}}^2$. (2) Le seguenti relazioni trigonometriche sono sempre valide:

$\text{sen}(\alpha +\beta )=\text{sen}(\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\text{sen}(\beta ),$

$\cos (\theta )=\sqrt{1-{\text{sen}}^2(\theta )}.$

(3) Utilizzando relazioni trigonometriche nel diagramma dello schema (B) della figura, risulta:

$\text{sen}(\alpha )=h/l,$

$\text{sen}(\beta )=h/r.$

(4) Usando il teorema del coseno nel diagramma dello schema (B) della figura, risulta:

$r^2=l^2+(l+R{)}^2-2l(l+R)\cos (\alpha ).$

(5) Se l’angolo $\theta$ è piccolo, ed è espresso in radianti, sono valide le seguenti approssimazioni:

$\text{sen}(\theta )\approx \theta ,\cos (\theta )\approx 1-{\theta }^2/2.$

(6) Se $x\ll 1$, allora è valida la seguente approssimazione:

$\sqrt{1-x^2}\approx 1-x^2/2.$

(7) L’equazione del moto di un pendolo per piccole oscillazioni, cioè al primo ordine (o lineare) nell’angolo $\alpha$, è

$\gamma ={\omega }^2\alpha .$

Problem 3: A weightless pendulum. On Wednesday, August 24 of this year, the Russian spacecraft Progress M-112M lifted off from the Baikonur Cosmodrome in Kazakhstan bound for the International Space Station (ISS). However, after 325 s of flight the Russian Soyuz-U rocket shut down unexpectedly and the several-ton payload of supplies for the ISS disintegrated as it fell. The destroyed payload, besides food, fuel and supplies for the normal operation of the ISS, contained several scientific experiments to be carried out in space. The next supply spacecraft, Progress M-13M/Soyuz U, is scheduled to fly only on October 30. Therefore, the crew 29 of the ISS in flight, composed of Sergey Volkov, Michael E. Fossum and Satoshi Furukawa, having no way to carry out the planned experiments, has more free time. To amuse themselves in their now long leisure hours, the crew set about designing a pendulum that would work under the weightless conditions in which they find themselves inside the ISS. To this end, they retrieved a sphere of non-conducting material of radius $R=20\text{cm}$. By rubbing it with a synthetic cloth, the sphere acquired a positive electric charge $Q=2\mu \text{C}$, which can be assumed to be uniformly distributed over the entire surface of the sphere. Then, they welded a tiny sphere, made of a heavy metal, whose mass $m=50\text{g}$ was known beforehand, to a very fine, inextensible, non-conducting wire of length $l=2,30\text{m}$. This thread, for all practical purposes, can be considered to have negligible mass. To assemble the pendulum, they glued the charged sphere to one of the walls of the Columbus module, so that it remained motionless, and they fixed the free end of the thread at point o, on the opposite wall, in such a way that the small metal sphere is “almost” touching the charged sphere (but without contact) when the thread is completely stretched, as shown in diagram (A) of the figure. In this way, the distance between the attachment point of the thread, o, and the center of the sphere, c, remains constant and equal to $R+l$. Finally, so that the two spheres would attract each other, they transferred a negative charge $q=-1\mu \text{C}$ to the small metal sphere. In one of the ISS laboratories, they have instruments available to transfer the desired charge in a controlled manner.

Questions: (a) Calculate the tension of the thread in the position of rest in stable equilibrium. (b) To calculate the period of the pendulum, the first idea is to recall the similarity between Newton’s law of universal gravitation and Coulomb’s law. Taking into account the relationship between both laws and the fact that the acceleration in both cases is defined by the relation $F=ma$, where $a=g$ in the gravitational case and $a=g_e$ in the electric case, calculate the value of the corresponding acceleration $g_e$ for the electric case. (c) From the expression for the period of a simple pendulum in the gravitational case, calculate the resulting value for the corresponding period of the weightless pendulum.

Once the pendulum was built, the astronauts noticed that the calculated period differed considerably from the one measured with a stopwatch, which is considerably shorter. With good judgment, Michael E. Fossum, who holds a master’s degree in Physics, concluded that the conditions under which the formula for the period of a simple pendulum is valid are not satisfied in the case of the weightless pendulum that was built. In order to find the correct expression for this case, he proceeded to carry out the following calculations, which we must reproduce: (d) The small sphere of mass $m$ is displaced, so that the thread forms a small angle $\alpha$ with respect to the line $\overline{oc}$. Draw a free-body diagram for the mass $m$, qualitatively tracing all the force vectors acting on it. (e) In the situation of the previous item, write the analytical expression for the magnitude of the attractive force between the spheres. (f) Using the diagram in scheme (B) of the figure, decompose the force vectors into components along the direction of the thread (centripetal component) and perpendicular to it (tangential component). (g) Write Newton’s second law corresponding to the direction of the thread and to the tangential direction, using the components calculated in the previous item. (h) Recalling that the tangential acceleration, $a$, is related to the angular acceleration, $\gamma$, according to $a=l\gamma$, write Newton’s second law corresponding to the tangential direction for small oscillations of the pendulum; that is, to first order (or linear) in the angle $\alpha$. (i) Write the expression for the angular frequency of small oscillations of the weightless pendulum. (j) Calculate the resulting numerical value for the period of the pendulum, in the particular case built by the astronauts. (k) From the expression for the angular frequency calculated in item (i), what condition must be satisfied between the values of $R$ and $L$ to obtain the result calculated in item (c)? (l) From the expression for the angular frequency calculated in item (i), analyze how the angular frequency depends in the limiting case in which $l\gg R$.

Useful information: (1) The Coulomb constant is $k=(4\pi {\epsilon }_0{)}^{-1}$, where ${\epsilon }_0$ is the dielectric constant of vacuum. Thus, $k=9\times 10^9{\text{N m}}^2/{\text{C}}^2$. (2) The following trigonometric relations are always valid:

$\text{sen}(\alpha +\beta )=\text{sen}(\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\text{sen}(\beta ),$

$\cos (\theta )=\sqrt{1-{\text{sen}}^2(\theta )}.$

(3) Using trigonometric relations in the diagram of scheme (B) of the figure, it follows that:

$\text{sen}(\alpha )=h/l,$

$\text{sen}(\beta )=h/r.$

(4) Using the law of cosines in the diagram of scheme (B) of the figure, it follows that:

$r^2=l^2+(l+R{)}^2-2l(l+R)\cos (\alpha ).$

(5) If the angle $\theta$ is small, and is expressed in radians, the following approximations are valid:

$\text{sen}(\theta )\approx \theta ,\cos (\theta )\approx 1-{\theta }^2/2.$

(6) If $x\ll 1$, then the following approximation is valid:

$\sqrt{1-x^2}\approx 1-x^2/2.$

(7) The equation of motion of a pendulum for small oscillations, that is, to first order (or linear) in the angle $\alpha$, is

$\gamma ={\omega }^2\alpha .$