Argentina 2014

Problema 1 Aprovechando el viento La energía eólica supone actualmente una fuente de energía renovable, competitiva con otras fuentes de energía renovables e incluso con las tradicionales no renovables. El aerogenerador transforma energía cinética del viento en energía mecánica (que se evidencia en el giro de las palas del generador) y luego esta energía mecánica se transforma en energía eléctrica. Es decir que tenemos una máquina, que opera en modo generador de energía eléctrica, gracias al giro del eje del rotor del aerogenerador, provocado por la acción del viento sobre las palas.

a) Si las aspas del generador tienen una longitud de 20m calcule cual es el área que barren cuando giran. b) Suponiendo que la velocidad del viento es de 30km/h calcule cuál es el volumen de aire por unidad de tiempo que pasa a través del área circular calculada en la consigna a). c) Sabiendo que la densidad del aire es de $1,2{\text{kg/m}}^3$ calcule la potencia del viento (energía por unidad de tiempo) que incide sobre el generador. d) Si el generador tiene una eficiencia teórica del 48% para transformar energía cinética del viento en energía de rotación del generador, determine la energía por unidad de tiempo (potencia), que el generador absorbe de la energía eólica. e) Calcule velocidad del viento en la parte posterior del generador. f) Se denota con la letra griega a un parámetro importante en los generadores. Su valor corresponde a la relación que existe entre la velocidad en los extremos de las palas y la velocidad del viento incidente. En generadores de tres palas la potencia óptima (48%) se obtiene cuando vale 7. Calcule la velocidad que tiene el extremo de las palas cuando se genera la potencia óptima. g) Calcule la aceleración centrípeta de los extremos de las palas. h) Calcule la velocidad angular del rotor. OAF 2014 - 4 Problema No1: Aprovechando el viento (NIVEL 1) Hoja de Respuestas (Exprese todas las respuestas en el sistema MKS)

Puntaje a) Valor del área

b) Volumen de aire por unidad de tiempo

c) Potencia del viento

d) Potencia absorbida por el generador.

e) Velocidad del viento

f) Velocidad del extremo de las palas

g) Aceleración del extremo de las palas

h) Velocidad angular del rotor OAF 2014 - 5

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 1 Sfruttando il vento L’energia eolica è attualmente una fonte di energia rinnovabile. La competitività con le altre fonti di energia rinnovabili e anche con le tradizionali non rinnovabili. Il generatore aereo trasforma l’energia cinetica del Il vento a energia meccanica (evidente nel giro delle pale del E poi questa energia meccanica viene trasformata in energia elettrica. Es dire che abbiamo una macchina, che opera in modo generatore di energia La velocità di funzionamento del rotore del generatore aereo è determinata dalla l’azione del vento sulle pale.

a) Se le foglie del generatore hanno una lunghezza di 20 m calcola quale è il zona che si spazza quando si gira. b) Supponendo che la velocità del vento sia di 30 km/h calcoli quale sia il volume di aria per unità di tempo che passa attraverso l’area circolare calcolata in lettera a). c) Sapendo che la densità dell’aria è $1,2{\text{kg/m}}^3$ calcola la potenza del vento (energia per unità di tempo) che incide sul generatore. d) Se il generatore ha un’efficienza teorica del 48% per trasformare energia cinetica del vento in energia di rotazione del generatore, determina l’energia per unità di tempo (potenza), che il generatore assorbe l’energia eolica. e) Calcolare la velocità del vento nella parte posteriore del generatore. (f) Indicare con la lettera greca un parametro importante nei Generatori. Il suo valore corrisponde al rapporto esistente tra la velocità alle estremità delle pale e velocità del vento Incidente. In tre generatori a sciala la potenza ottimale (48%) è si ottiene quando vale 7. Calcola la velocità che ha l’estremità di quando si genera la potenza ottimale. g) Calcolare l’accelerazione centripeta delle estremità delle palle. h) Calcolare la velocità angolare del rotore. OAF 2014 - 4 Problema n.1: sfruttare il vento (NIVEL 1) Pagina delle risposte (Esprimi tutte le risposte nel sistema MKS)

Punteggio a) Valore dell’area

b) Volumi di aria per unità di tempo

c) Potenza del vento

d) Potenza assorbita dal generatore.

e) Velocità del vento

f) Velocità dell’estremità delle pale

g) Accelerazione dell’estremità delle palle

h) Velocità angolare del rotore OAF 2014 - 5

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 1 Taking advantage of the wind Wind energy is currently a renewable energy source, competitive with other renewable energy sources and even with traditional non-renewable ones. The wind turbine transforms the kinetic energy of the wind into mechanical energy (which is evidenced in the rotation of the generator blades) and then this mechanical energy is transformed into electrical energy. That is to say, we have a machine that operates as an electrical energy generator, thanks to the rotation of the rotor shaft of the wind turbine, caused by the action of the wind on the blades.

a) If the generator blades are 20 m long, calculate the area they sweep when they rotate. b) Assuming the wind speed is 30 km/h, calculate the volume of air per unit time that passes through the circular area calculated in part a). c) Knowing that the air density is $1,2{\text{kg/m}}^3$, calculate the wind power (energy per unit time) that strikes the generator. d) If the generator has a theoretical efficiency of 48% for transforming the kinetic energy of the wind into rotational energy of the generator, determine the energy per unit time (power) that the generator absorbs from the wind energy. e) Calculate the wind speed behind the generator. f) The Greek letter a denotes an important parameter in generators. Its value corresponds to the ratio between the speed at the tips of the blades and the incident wind speed. In three-blade generators, the optimal power (48%) is obtained when it equals 7. Calculate the speed at the tip of the blades when the optimal power is generated. g) Calculate the centripetal acceleration of the tips of the blades. h) Calculate the angular velocity of the rotor. OAF 2014 - 4 Problem No. 1: Taking advantage of the wind (LEVEL 1) Answer Sheet (Express all answers in the MKS system)

Score a) Value of the area

b) Volume of air per unit time

c) Wind power

d) Power absorbed by the generator.

e) Wind speed

f) Speed of the tip of the blades

g) Acceleration of the tip of the blades

h) Angular velocity of the rotor OAF 2014 - 5

Problema 2 Acerca de la línea de flotación… El grado de salinidad de las aguas en diferentes lugares de los océanos no es el mismo. Los marinos experimentados saben de esto y de cómo influye en la línea de flotación de su navío. La densidad de una solución de agua y sal depende de la salinidad de la solución como se muestra en la Figura 1. Figura 1. Dependencia de la densidad del agua con la salinidad.

En la Figura 2 se muestra un plano transversal de un buque. Considere que el mismo comenzó su travesía en algún lugar del océano atlántico próximo al este de Brasil donde hay una salinidad de 36,5 ‰ y la concluyó en algún lugar del océano atlántico próximo a Puerto Santa Cruz, ubicado en la provincia argentina de Santa Cruz donde hay una salinidad de 34 ‰ .

a) Establecer las densidades correspondientes al lugar de salida y al lugar del fin de la travesía.

Calado (Ca) Figura 2: plano transversal de un buque Línea de flotación Agua oceánica buque 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1,024 1,026 1,028 1,030 1,032 1,034

Densidad (${\text{g/cm}}^3$) Salinidad (‰) OAF 2014 - 6 El calado (Ca) es la profundidad que alcanza en el agua la parte sumergida de un barco; esto es, la distancia que separa la superficie del agua (línea de flotación) de la “base” o “fondo” del barco

b) Determinar el calado al final de la travesía si al inicio de la misma era de 12m. Suponer que el buque es como el de la Figura 2. Expresar el resultado con 6 cifras significativas. OAF 2014 - 7 Problema No2: Acerca de la línea de flotación… (NIVEL 1) Hoja de Respuestas Exprese todas las respuestas en el sistema MKS

Puntaje a) densidad correspondiente al lugar de salida

$1028,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

densidad correspondiente al lugar del fin de la travesía $1026,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

2

2 b) calado al final de la travesía $mg=e_i=e_f$ (empujes)

$e_i=C{a}_{i}La{\rho }_i=C{a}_{f}La{\rho }_f=e_f$

$C{a}_f=\frac{{\rho }_i}{{\rho }_f}C{a}_i=12,0234\text{m}$

5

1(cifras) OAF 2014 - 8

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Significant Figures Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2 In merito alla linea di galleggiamento… Il grado di salinità delle acque in diversi luoghi degli oceani non è il

• Proprio così. I marinai esperti sanno di questo e di come influenzano la linea. della flottazione della sua nave. La densità di una soluzione di acqua e sale dipende dalla salinità della Soluzione come mostrato in Figura 1. Figura 1. Dipendenze della densità dell’acqua dalla salinità.

La figura 2 mostra un piano trasversale di una nave. Considerare che il lui stesso ha iniziato il suo viaggio da qualche parte nell’oceano atlantico vicino all’est di Brasile, con una salinità di 36,5 ‰ E l’ha conclusa da qualche parte nel oceano atlantico vicino a Puerto Santa Cruz, situato nella provincia argentina di Santa Cruz , dove c’ è una salinità di 34 ‰ .

a) stabilire le densità corrispondenti al luogo di partenza e al luogo di partenza

• La fine del viaggio.

Caldo (Ca) Figura 2: piano trasversale di una nave Linea di flottazione Acqua oceanica nave 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1,024 1,026 1,028 1,030 1,032 1,034

Densità (${\text{g/cm}}^3$) Salinità (‰) OAF 2014 - 6 Il bacino (Ca) è la profondità che raggiunge nell’acqua la parte immersa di una nave; cioè la distanza che separa la superficie dell’acqua (linea di flottazione) della base o del fondo della nave

b) Determinare il calato alla fine del viaggio se all’inizio del viaggio era de 12m. Supponiamo che la nave sia come quella della Figura 2. Esprimere il E’ stato un risultato di 6 cifre significative. OAF 2014 - 7 Problema n.2: In merito alla linea di galleggiamento… (NIVEL 1) Pagina delle risposte Esprimere tutte le risposte nel sistema MKS

Punteggio a) densità corrispondente al luogo di partenza

$1028,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

densità corrispondente al luogo di fine del viaggio $1026,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

2

2 b) Scalata alla fine del viaggio $mg=e_i=e_f$ (impulsi)

$e_i=C{a}_{i}La{\rho }_i=C{a}_{f}La{\rho }_f=e_f$

$C{a}_f=\frac{{\rho }_i}{{\rho }_f}C{a}_i=12,0234\text{m}$

5

1 (cifre) OAF 2014 - 8

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Significant Figures Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem 2 About the waterline… The degree of salinity of the waters in different places of the oceans is not the same. Experienced sailors know this and how it influences the waterline of their ship. The density of a solution of water and salt depends on the salinity of the solution as shown in Figure 1. Figure 1. Dependence of the density of water on salinity.

Figure 2 shows a cross-section of a ship. Consider that it began its voyage somewhere in the Atlantic Ocean near the east of Brazil where there is a salinity of 36.5 ‰ and concluded it somewhere in the Atlantic Ocean near Puerto Santa Cruz, located in the Argentine province of Santa Cruz where there is a salinity of 34 ‰ .

a) Establish the densities corresponding to the place of departure and the place of the end of the voyage.

Draft (Ca) Figure 2: cross-section of a ship Waterline Ocean water ship 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1.024 1.026 1.028 1.030 1.032 1.034

Density (${\text{g/cm}}^3$) Salinity (‰) OAF 2014 - 6 The draft (Ca) is the depth reached in the water by the submerged part of a ship; that is, the distance that separates the surface of the water (waterline) from the “base” or “bottom” of the ship

b) Determine the draft at the end of the voyage if at the start of the voyage it was 12 m. Assume that the vessel is like the one in Figure 2. Express the result with 6 significant figures. OAF 2014 - 7 Problem No. 2: About the waterline… (LEVEL 1) Answer Sheet Express all answers in the MKS system

Score a) density corresponding to the departure location

$1028,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

density corresponding to the location at the end of the voyage $1026,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

2

2 b) draft at the end of the voyage $mg=e_i=e_f$ (buoyant forces)

$e_i=C{a}_{i}La{\rho }_i=C{a}_{f}La{\rho }_f=e_f$

$C{a}_f=\frac{{\rho }_i}{{\rho }_f}C{a}_i=12,0234\text{m}$

5

1(digits) OAF 2014 - 8

Problema 3 El Pato bebedor. El pato bebedor es un juguete, patentado en 1946, en el cual una figura con forma de pato simula beber de un vaso ubicado al frente. Este juguete es una máquina térmica simple y muy ingeniosa. El pato está hecho de vidrio y consta de dos esferas conectadas por un tubo como se muestra en la figura 1. La esfera inferior, que simula el cuerpo del pato, contiene una sustancia volátil, cuya temperatura de ebullición es cercana a la temperatura ambiente. La esfera superior, que simula la cabeza, está cubierta de un material absorbente. El pato puede rotar alrededor de un eje, el cual está apoyado sobre una estructura que simula las patas del pato. Para iniciar el movimiento se moja la cabeza del pato con agua, y luego de unos momentos, el pato se inclina para beber agua del vaso, luego recupera su posición vertical. Unos segundos después, el pato se inclina nuevamente a beber y repite este movimiento mientras haya agua en el vaso. En la figura 1, se esquematiza el movimiento del pato.

Figura 1. Pato bebedor.

Para entender su funcionamiento, primero tenemos que entender la mecánica del movimiento. En la esfera inferior (cuerpo) coexisten líquido y vapor de la misma sustancia, por lo que para una dada temperatura se tendrá una determinada presión. En la esfera superior (cabeza) sólo hay vapor de dicha sustancia, aunque coexistiendo con el líquido presente en el cuello. Esto es, la presión del vapor en la cabeza estará determinada por su temperatura de coexistencia. Si se establece una pequeña diferencia de temperatura entre la cabeza y el cuerpo del pato, se producirá una diferencia de presión entre ambos recintos. Para contrarrestar esta diferencia de presión, parte del líquido asciende o desciende por el tubo (cuello del pato) hasta que se alcance una situación de equilibrio en la que no fluye más líquido. Esta redistribución de líquido produce un cambio en la posición del centro de masa del pato. Debido a la forma en la que está construido el pato, el cambio en la posición del centro de masa tiene asociado un torque tal que produce la oscilación del pato. La diferencia de temperatura entre la cabeza y el cuerpo del pato se establece por la evaporación del agua que moja la cabeza del pato. La provisión de agua que se evapora desde la cabeza se consigue con cada inclinación del pato para beber.

Modelo En la figura 2 se muestra nuestro modelo del pato bebedor.La parte inferior del pato está formada por un cubo de 6 cm de lado y la parte superior (cabeza) por una esfera de 4 cm diámetro. Ambas partes están conectadas por un tubo de 2 cm de diámetro y de 12 cm de largo, medido desde la parte superior del cubo hasta la parte inferior de la cabeza. OAF 2014 - 9 El cubo contiene un líquido cuya temperatura de ebullición es $40^{\circ }\text{C}$ y cuya densidad es $1,336{\text{g cm}}^{-3}$. El resto del pato está lleno del vapor de la misma sustancia que llena el cuerpo. En nuestro modelo se considerará como cuerpo del pato a la porción del cubo llena de líquido y como cuello a la parte del tubo que va desde la superficie del líquido, contenido en el cubo, hasta la parte inferior de la cabeza. Como se muestra en la figura 2, el tubo se extiende hacia el interior del líquido de manera que el vapor contenido en el cubo está aislado del vapor contenido en el resto del pato generando dos recintos con vapor aislados. Sobre la cabeza, el pato tiene un sombrero de 80 g simulado por un cilindro de 4 cm de diámetro y 5 cm de alto. El eje alrededor del cual nuestro pato puede rotar está ubicado a 2 cm por arriba del cubo y es paralelo al plano del dibujo (Ver figura 2). Tanto la masa del vidrio que forma al pato como la masa de vapor contenida en él, son despreciables frente a las masas del sombrero y del líquido contenido en el cubo.

Figura 2. Modelo del Pato bebedor.

Actividades

1. Determinar la masa de líquido contenida en el cubo (Masa del cuerpo, $M_{\text{cuerpo}}$). Considere despreciable la masa del vidrio. OAF 2014 - 10
2. La coexistencia de la fase líquida y gaseosa de cualquier sustancia ocurre a una presión de equilibrio (P) y a una temperatura (T) vinculadas por la ecuación de Clausiuss-Clayperon (Ecuación 1),

$P(T)=P_0\exp \left[-\frac{\Delta h}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right)\right](1)$

donde $P_0=1,013\times 10^5$ Pa, $R=8,3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ es la constante universal de los gases, $\Delta h=28094,5{\text{J mol}}^{-1}$ es la ” variación de entalpía de vaporización molar” de la sustancia y $T_b$ es su temperatura de ebullición en Kelvin.

Determinar la presión en el interior de la cabeza ($P_{\text{cabeza}}$) y del cubo ($P_{\text{cubo}}$) si el pato se encuentra inicialmente a la temperatura ambiente ($T_a$) cuyo valor es $25^{\circ }\text{C}$.

3. Determinar la temperatura de la cabeza ($T_{\text{cabeza}}$) si ésta se moja con 10 mg de agua a temperatura ambiente. Suponga que la humedad ambiente es menor a 100%.

Suponga que todo el calor necesario para evaporar el agua es provisto por la cabeza y que ésta tiene un calor específico efectivo $C=47,5\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$.

Nota: En caso que la humedad ambiente es menor a 100%, el agua se evapora sin necesidad de alcanzar los $100^{\circ }\text{C}$ (temperatura de ebullición del agua). En este caso, la energía necesaria para evaporar un gramo de agua es de 2257 J.

4. Determinar la nueva presión en el interior de la cabeza ($P_{\text{cabeza}}^{\prime }$).

5. Determinar la altura ($h$) del líquido en el cuello, respecto a la superficie del liquido contenido en el cubo, para la nueva presión de equilibrio. Suponga que la temperatura del cuerpo del pato se mantiene constante e igual a la temperatura ambiente.

6. Determinaren cuanto disminuye la altura del líquido en el cubo ($\Delta z$).

7. Determinar la masa de líquido contenida en el cubo ($M_{\text{cuerpo}}^{\prime }$) y en el cuello ($M_{\text{cuello}}$). OAF 2014 - 11 Problema No3: El Pato bebedor. (NIVEL 1) Hoja de Respuestas Exprese todas las respuestas en el sistema MKS

Puntaje 1) $M_{\text{cuerpo}}=$

$P_{\text{cubo}}=$

$P_{\text{cabeza}}=$

$T_{\text{cabeza}}=$

$P_{\text{cabeza}}^{\prime }=$

$h=$

$\Delta z=$

$M_{\text{cuello}}=$

$M_{\text{cuerpo}}^{\prime }=$ OAF 2014 - 12

Instancia Nacional Prueba Experimental Nivel 1 OAF 2014 - 13 La Física del reloj de arena.

Introducción: La materia granular o materia granulada es aquella que está formada por un conjunto de partículas macroscópicas sólidas. El tamaño de estas partículas es tal que la fuerza de interacción dominante entre ellas es la de fricción. Como ejemplos de materia granular se encuentran los granos y semillas, la nieve, la arena, etc.

Dentro del estudio de los medios granulares, existe un capítulo extenso que abarca los problemas del flujo de materia en forma de granos. Este interés se remonta a la antigüedad cuando se usaban, para medir el tiempo, relojes de arena.

En los líquidos que escapan a través de un orificio, el flujo, masa por unidad de tiempo, depende principalmente de la altura del líquido dentro del recipiente. El fenómeno se explica a través del teorema de Torricelli y es debido al aumento de la presión hidrostática en el fondo del recipiente al aumentar la altura del fluido. Sin embargo, en los medios granulares, la presión en el fondo del contenedor deja de incrementarse cuando el material alcanza una altura de aproximadamente dos veces el diámetro del mismo. Por esta razón si un contenedor de materia granular es perforado en su parte inferior, los granos fluirán hacia afuera de tal forma que su flujo es constante.

El flujo f (masa por unidad de tiempo) de un material granular que pasa a través de una abertura de diámetro D bajo la acción del campo gravitatorio terrestre, es:

$f=\frac{m}{t}=\text{cte}$

y depende del diámetro del orificio de acuerdo a la expresión:

$f=A{D}^{(1)}$

donde y A son constantes .

Objetivo: Determinar experimentalmente el flujo f para diferentes diámetros del orificio de salida

Elementos disponibles

• Pie porta botella

• 2 bol con tapa

• 1 kg de arena

• Balanza

• Cronómetro

• Regla

• Cinta de enmascarar

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Sphere, Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 3 L’anatra bevitrice. L’anatra bevitrice è un giocattolo, brevettato nel 1946, in cui una figura a forma di anatra simula di bere da un bicchiere posto davanti. Questo giocattolo è una macchina termica semplice e molto ingegnosa. L’anatra è fatta di vetro e consta di due sfere collegate da un tubo come mostrato nella figura 1. La sfera inferiore, che simula il corpo dell’anatra, contiene una sostanza volatile, la cui temperatura di ebollizione è vicina alla temperatura ambiente. La sfera superiore, che simula la testa, è ricoperta di un materiale assorbente. L’anatra può ruotare attorno a un asse, il quale è appoggiato su una struttura che simula le zampe dell’anatra. Per iniziare il movimento si bagna la testa dell’anatra con acqua, e dopo alcuni momenti, l’anatra si inclina per bere l’acqua dal bicchiere, poi recupera la sua posizione verticale. Qualche secondo dopo, l’anatra si inclina nuovamente a bere e ripete questo movimento finché c’è acqua nel bicchiere. Nella figura 1, è schematizzato il movimento dell’anatra.

Figura 1. Anatra bevitrice.

Per capirne il funzionamento, dobbiamo prima capire la meccanica del movimento. Nella sfera inferiore (corpo) coesistono liquido e vapore della stessa sostanza, per cui per una data temperatura si avrà una determinata pressione. Nella sfera superiore (testa) c’è solo vapore di tale sostanza, sebbene coesista con il liquido presente nel collo. Cioè, la pressione del vapore nella testa sarà determinata dalla sua temperatura di coesistenza. Se si stabilisce una piccola differenza di temperatura tra la testa e il corpo dell’anatra, si produrrà una differenza di pressione tra i due ambienti. Per contrastare questa differenza di pressione, parte del liquido sale o scende attraverso il tubo (collo dell’anatra) finché non si raggiunge una situazione di equilibrio in cui non fluisce più liquido. Questa ridistribuzione del liquido produce un cambiamento nella posizione del centro di massa dell’anatra. A causa della forma in cui è costruita l’anatra, il cambiamento nella posizione del centro di massa ha associato un momento della forza tale da produrre l’oscillazione dell’anatra. La differenza di temperatura tra la testa e il corpo dell’anatra si stabilisce per l’evaporazione dell’acqua che bagna la testa dell’anatra. La provvista d’acqua che evapora dalla testa si ottiene con ogni inclinazione dell’anatra per bere.

Modello Nella figura 2 è mostrato il nostro modello dell’anatra bevitrice. La parte inferiore dell’anatra è formata da un cubo di 6 cm di lato e la parte superiore (testa) da una sfera di 4 cm di diametro. Entrambe le parti sono collegate da un tubo di 2 cm di diametro e di 12 cm di lunghezza, misurata dalla parte superiore del cubo fino alla parte inferiore della testa. OAF 2014 - 9 Il cubo contiene un liquido la cui temperatura di ebollizione è $40^{\circ }\text{C}$ e la cui densità è $1,336{\text{g cm}}^{-3}$. Il resto dell’anatra è pieno del vapore della stessa sostanza che riempie il corpo. Nel nostro modello si considererà come corpo dell’anatra la porzione del cubo piena di liquido e come collo la parte del tubo che va dalla superficie del liquido, contenuto nel cubo, fino alla parte inferiore della testa. Come mostrato nella figura 2, il tubo si estende verso l’interno del liquido in modo che il vapore contenuto nel cubo sia isolato dal vapore contenuto nel resto dell’anatra generando due ambienti con vapore isolati. Sulla testa, l’anatra ha un cappello di 80 g simulato da un cilindro di 4 cm di diametro e 5 cm di altezza. L’asse attorno al quale la nostra anatra può ruotare è situato a 2 cm sopra il cubo ed è parallelo al piano del disegno (Vedi figura 2). Sia la massa del vetro che forma l’anatra sia la massa di vapore contenuta in essa, sono trascurabili rispetto alle masse del cappello e del liquido contenuto nel cubo.

Figura 2. Modello dell’Anatra bevitrice.

Attività

1. Determinare la massa di liquido contenuta nel cubo (Massa del corpo, $M_{\text{cuerpo}}$). Si consideri trascurabile la massa del vetro. OAF 2014 - 10
2. La coesistenza della fase liquida e gassosa di qualsiasi sostanza avviene a una pressione di equilibrio (P) e a una temperatura (T) legate dall’equazione di Clausius-Clapeyron (Equazione 1),

$P(T)=P_0\exp \left[-\frac{\Delta h}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right)\right](1)$

dove $P_0=1,013\times 10^5$ Pa, $R=8,3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ è la costante universale dei gas, $\Delta h=28094,5{\text{J mol}}^{-1}$ è la “variazione di entalpia di vaporizzazione molare” della sostanza e $T_b$ è la sua temperatura di ebollizione in Kelvin.

Determinare la pressione all’interno della testa ($P_{\text{cabeza}}$) e del cubo ($P_{\text{cubo}}$) se l’anatra si trova inizialmente alla temperatura ambiente ($T_a$) il cui valore è $25^{\circ }\text{C}$.

3. Determinare la temperatura della testa ($T_{\text{cabeza}}$) se questa si bagna con 10 mg di acqua a temperatura ambiente. Si supponga che l’umidità ambiente sia inferiore al 100%.

Si supponga che tutto il calore necessario per evaporare l’acqua sia fornito dalla testa e che questa abbia un calore specifico effettivo $C=47,5\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$.

Nota: Nel caso in cui l’umidità ambiente sia inferiore al 100%, l’acqua evapora senza bisogno di raggiungere i $100^{\circ }\text{C}$ (temperatura di ebollizione dell’acqua). In questo caso, l’energia necessaria per evaporare un grammo di acqua è di 2257 J.

4. Determinare la nuova pressione all’interno della testa ($P_{\text{cabeza}}^{\prime }$).

5. Determinare l’altezza ($h$) del liquido nel collo, rispetto alla superficie del liquido contenuto nel cubo, per la nuova pressione di equilibrio. Si supponga che la temperatura del corpo dell’anatra si mantenga costante e uguale alla temperatura ambiente.

6. Determinare di quanto diminuisce l’altezza del liquido nel cubo ($\Delta z$).

7. Determinare la massa di liquido contenuta nel cubo ($M_{\text{cuerpo}}^{\prime }$) e nel collo ($M_{\text{cuello}}$). OAF 2014 - 11 Problema N.3: L’anatra bevitrice. (LIVELLO 1) Foglio delle Risposte Esprimere tutte le risposte nel sistema MKS

Punteggio 1) $M_{\text{cuerpo}}=$

$P_{\text{cubo}}=$

$P_{\text{cabeza}}=$

$T_{\text{cabeza}}=$

$P_{\text{cabeza}}^{\prime }=$

$h=$

$\Delta z=$

$M_{\text{cuello}}=$

$M_{\text{cuerpo}}^{\prime }=$ OAF 2014 - 12

Istanza Nazionale Prova Sperimentale Livello 1 OAF 2014 - 13 La Fisica della clessidra.

Introduzione: La materia granulare o materia granulata è quella formata da un insieme di particelle macroscopiche solide. La dimensione di queste particelle è tale che la forza di interazione dominante tra esse è quella di attrito. Come esempi di materia granulare si trovano i grani e i semi, la neve, la sabbia, ecc.

Nello studio dei mezzi granulari, esiste un ampio capitolo che comprende i problemi del flusso di materia sotto forma di grani. Questo interesse risale all’antichità quando venivano usate, per misurare il tempo, le clessidre.

Nei liquidi che fuoriescono attraverso un orifizio, il flusso, massa per unità di tempo, dipende principalmente dall’altezza del liquido all’interno del recipiente. Il fenomeno si spiega attraverso il teorema di Torricelli ed è dovuto all’aumento della pressione idrostatica sul fondo del recipiente all’aumentare dell’altezza del fluido. Tuttavia, nei mezzi granulari, la pressione sul fondo del contenitore smette di aumentare quando il materiale raggiunge un’altezza di circa due volte il suo diametro. Per questa ragione, se un contenitore di materia granulare viene perforato nella sua parte inferiore, i grani fluiranno verso l’esterno in modo tale che il loro flusso sia costante.

Il flusso f (massa per unità di tempo) di un materiale granulare che passa attraverso un’apertura di diametro D sotto l’azione del campo gravitatorio terrestre, è:

$f=\frac{m}{t}=\text{cte}$

e dipende dal diametro dell’orifizio secondo l’espressione:

$f=A{D}^{(1)}$

dove y A sono costanti.

Obiettivo: Determinare sperimentalmente il flusso f per diversi diametri dell’orifizio di uscita

Elementi disponibili

• Porta bottiglia
• 2 bacinelle con coperchio
• 1 kg di sabbia
• Bilancia
• Cronometro
• Righello
• Nastro adesivo di carta

Problem 3 The drinking duck. The drinking duck is a toy, patented in 1946, in which a figure shaped like a duck simulates drinking from a glass placed in front of it. This toy is a simple and very ingenious heat engine. The duck is made of glass and consists of two spheres connected by a tube as shown in figure 1. The lower sphere, which simulates the duck’s body, contains a volatile substance, whose boiling temperature is close to room temperature. The upper sphere, which simulates the head, is covered with an absorbent material. The duck can rotate around an axis, which is supported on a structure that simulates the duck’s legs. To start the movement, the duck’s head is wetted with water, and after a few moments, the duck tilts to drink water from the glass, then returns to its vertical position. A few seconds later, the duck tilts again to drink and repeats this movement as long as there is water in the glass. In figure 1, the movement of the duck is schematized.

Figure 1. Drinking duck.

To understand how it works, we first have to understand the mechanics of the motion. In the lower sphere (body), liquid and vapor of the same substance coexist, so for a given temperature there will be a determined pressure. In the upper sphere (head) there is only vapor of that substance, although coexisting with the liquid present in the neck. That is, the vapor pressure in the head will be determined by its coexistence temperature. If a small temperature difference is established between the head and the body of the duck, a pressure difference will be produced between the two chambers. To counteract this pressure difference, part of the liquid rises or descends through the tube (the duck’s neck) until an equilibrium situation is reached in which no more liquid flows. This redistribution of liquid produces a change in the position of the duck’s center of mass. Due to the way the duck is built, the change in the position of the center of mass has an associated torque such that it produces the oscillation of the duck. The temperature difference between the head and the body of the duck is established by the evaporation of the water that wets the duck’s head. The supply of water that evaporates from the head is achieved with each tilt of the duck to drink.

Model Figure 2 shows our model of the drinking duck. The lower part of the duck consists of a cube with a side of 6 cm, and the upper part (head) consists of a sphere with a diameter of 4 cm. Both parts are connected by a tube with a diameter of 2 cm and a length of 12 cm, measured from the top of the cube to the bottom of the head. OAF 2014 - 9 The cube contains a liquid whose boiling temperature is $40^{\circ }\text{C}$ and whose density is $1,336{\text{g cm}}^{-3}$. The rest of the duck is filled with the vapor of the same substance that fills the body. In our model, the body of the duck will be considered to be the portion of the cube filled with liquid, and the neck will be considered to be the part of the tube that goes from the surface of the liquid contained in the cube to the bottom of the head. As shown in Figure 2, the tube extends into the interior of the liquid so that the vapor contained in the cube is isolated from the vapor contained in the rest of the duck, generating two chambers with isolated vapor. On its head, the duck has a hat of 80 g simulated by a cylinder with a diameter of 4 cm and a height of 5 cm. The axis around which our duck can rotate is located 2 cm above the cube and is parallel to the plane of the drawing (see Figure 2). Both the mass of the glass that forms the duck and the mass of vapor contained in it are negligible compared with the masses of the hat and of the liquid contained in the cube.

Figure 2. Model of the drinking duck.

Activities

1. Determine the mass of liquid contained in the cube (Mass of the body, $M_{\text{cuerpo}}$). Consider the mass of the glass negligible. OAF 2014 - 10
2. The coexistence of the liquid and gaseous phase of any substance occurs at an equilibrium pressure (P) and at a temperature (T) related by the Clausius-Clapeyron equation (Equation 1),

$P(T)=P_0\exp \left[-\frac{\Delta h}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right)\right](1)$

where $P_0=1,013\times 10^5$ Pa, $R=8,3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ is the universal gas constant, $\Delta h=28094,5{\text{J mol}}^{-1}$ is the “molar enthalpy of vaporization change” of the substance and $T_b$ is its boiling temperature in Kelvin.

Determine the pressure inside the head ($P_{\text{cabeza}}$) and of the cube ($P_{\text{cubo}}$) if the duck is initially at room temperature ($T_a$) whose value is $25^{\circ }\text{C}$.

3. Determine the temperature of the head ($T_{\text{cabeza}}$) if it is wetted with 10 mg of water at room temperature. Assume that the ambient humidity is less than 100%.

Assume that all the heat necessary to evaporate the water is provided by the head and that the head has an effective specific heat $C=47,5\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$.

Note: In case the ambient humidity is less than 100%, the water evaporates without needing to reach $100^{\circ }\text{C}$ (boiling temperature of water). In this case, the energy necessary to evaporate one gram of water is 2257 J.

4. Determine the new pressure inside the head ($P_{\text{cabeza}}^{\prime }$).

5. Determine the height ($h$) of the liquid in the neck, relative to the surface of the liquid contained in the bucket, for the new equilibrium pressure. Assume that the temperature of the duck’s body remains constant and equal to the ambient temperature.

6. Determine by how much the height of the liquid in the bucket decreases ($\Delta z$).

7. Determine the mass of liquid contained in the bucket ($M_{\text{cuerpo}}^{\prime }$) and in the neck ($M_{\text{cuello}}$). OAF 2014 - 11 Problem No. 3: The Drinking Duck. (LEVEL 1) Answer Sheet Express all answers in the MKS system

Score 1) $M_{\text{cuerpo}}=$

$P_{\text{cubo}}=$

$P_{\text{cabeza}}=$

$T_{\text{cabeza}}=$

$P_{\text{cabeza}}^{\prime }=$

$h=$

$\Delta z=$

$M_{\text{cuello}}=$

$M_{\text{cuerpo}}^{\prime }=$ OAF 2014 - 12

National Instance Experimental Test Level 1 OAF 2014 - 13 The Physics of the hourglass.

Introduction: Granular matter or granular material is that which is formed by a set of solid macroscopic particles. The size of these particles is such that the dominant interaction force between them is friction. Examples of granular matter include grains and seeds, snow, sand, etc.

Within the study of granular media, there is an extensive chapter covering the problems of the flow of matter in the form of grains. This interest dates back to antiquity when hourglasses were used to measure time.

In liquids that escape through an orifice, the flow, mass per unit time, depends mainly on the height of the liquid inside the container. The phenomenon is explained through Torricelli’s theorem and is due to the increase in hydrostatic pressure at the bottom of the container as the height of the fluid increases. However, in granular media, the pressure at the bottom of the container stops increasing when the material reaches a height of approximately twice its diameter. For this reason, if a container of granular material is perforated at its lower part, the grains will flow outward in such a way that their flow is constant.

The flow f (mass per unit time) of a granular material that passes through an opening of diameter D under the action of the Earth’s gravitational field is:

$f=\frac{m}{t}=\text{cte}$

and depends on the diameter of the orifice according to the expression:

$f=A{D}^{(1)}$

where and A are constants.

Objective: Experimentally determine the flow f for different diameters of the outlet orifice

Available elements

• Bottle holder stand

• 2 bowls with lid

• 1 kg of sand

• Balance

• Stopwatch

• Ruler

• Masking tape

Problema 1 Aprovechando el viento. La energía eólica supone actualmente una fuente de energía renovable, competitiva con otras fuentes de energía renovables e incluso con las tradicionales no renovables. El aerogenerador transforma energía cinética del viento en energía mecánica (que se evidencia en el giro de las palas del generador) y luego esta energía mecánica se transforma en energía eléctrica. Es decir que tenemos una máquina, que opera en modo generador de energía eléctrica, gracias al giro del eje del rotor del aerogenerador, provocado por la acción del viento sobre las palas.

a) Si las aspas del generador tienen una longitud de 20m calcule cual es el área que barren cuando giran. b) Suponiendo que la velocidad del viento es de 30km/h calcule cuál es el volumen de aire por unidad de tiempo que pasa a través del área circular calculada en la consigna a). c) Sabiendo que la densidad del aire es de $1,2{\text{kg/m}}^3$ calcule la potencia del viento (energía por unidad de tiempo) que incide sobre el generador. d) Si el generador tiene una eficiencia teórica del 48% para transformar energía cinética del viento en energía de rotación del generador, determine la energía por unidad de tiempo (potencia), que el generador absorbe de la energía eólica. e) Calcule velocidad del viento en la parte posterior del generador. f) Se denota con la letra griega a un parámetro importante en los generadores. Su valor corresponde a la relación que existe entre la velocidad en los extremos de las palas y la velocidad del viento incidente. En generadores de tres palas la potencia óptima (48%) se obtiene cuando vale 7. Calcule la velocidad que tiene el extremo de las palas cuando se genera la potencia óptima. g) Calcule la aceleración centrípeta de los extremos de las palas. h) Calcule la velocidad angular del rotor. i) Calcule el torque del generador.

La potencia de la rotación del rotor de la turbina eólica es transferida al generador a través del tren de potencia, es decir, a través del eje principal, la caja multiplicadora y el eje de alta velocidad OAF 2014 - 18 j) Si fuera necesario generar corriente alterna con una frecuencia de 50Hz, calcule la relación de multiplicación que debe tener la caja multiplicadora. k) Suponiendo que sólo el 90% de la energía eólica absorbida se transforma en energía eléctrica y que ésta se genera a una tensión efectiva 13kV calcule cuál es la corriente efectiva que se genera. l) La demanda eléctrica anual del departamento Punilla Córdoba es de aproximadamente $2,5\times 10^{11}$ MWh y la energía eólica anual disponible es de $2,68\times 10^8$ MWh. Calcule qué porcentaje de la energía consumida en el departamento Punilla podrá ser producida por energía eólica. OAF 2014 - 19 Problema No1: Aprovechando el viento (NIVEL 2) Hoja de Respuestas (Exprese todas las respuestas en el sistema MKS)

Puntaje a) Valor del área

b) Volumen de aire por unidad de tiempo

c) Potencia del viento

d) Potencia absorbida por el generador.

e) Velocidad del viento

f) Velocidad del extremo de las palas

g) Aceleración del extremo de las palas

h) Velocidad angular del rotor

i) Torque

j) Relación de multiplicación

k) Corriente efectiva

l) Porcentaje de la energía eléctrica a partir de la energía eólica OAF 2014 - 20

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy, Electromagnetism Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.16

Il problema 1 Sfruttando il vento. L’energia eolica è attualmente una fonte di energia rinnovabile. La competitività con le altre fonti di energia rinnovabili e anche con le tradizionali non rinnovabili. Il generatore aereo trasforma l’energia cinetica del Il vento a energia meccanica (evidente nel giro delle pale del E poi questa energia meccanica viene trasformata in energia elettrica. Es dire che abbiamo una macchina, che opera in modo generatore di energia La velocità di movimento del rotore del generatore aereo è determinata dalla l’azione del vento sulle pale.

a) Se le foglie del generatore hanno una lunghezza di 20 m calcola quale è il zona che si spazza quando si gira. b) Supponendo che la velocità del vento sia di 30 km/h calcoli quale sia il volume di aria per unità di tempo che passa attraverso l’area circolare calcolata in lettera a). c) Sapendo che la densità dell’aria è $1,2{\text{kg/m}}^3$ calcola la potenza del vento (energia per unità di tempo) che incide sul generatore. d) Se il generatore ha un’efficienza teorica del 48% per trasformare energia cinetica del vento in energia di rotazione del generatore, determina l’energia per unità di tempo (potenza), che il generatore assorbe l’energia eolica. e) Calcolare la velocità del vento nella parte posteriore del generatore. (f) Indicare con la lettera greca un parametro importante nei Generatori. Il suo valore corrisponde al rapporto esistente tra la velocità alle estremità delle pale e velocità del vento Incidente. In tre generatori a sciala la potenza ottimale (48%) è si ottiene quando vale 7. Calcola la velocità che ha l’estremità di quando si genera la potenza ottimale. g) Calcolare l’accelerazione centripeta delle estremità delle palle. h) Calcolare la velocità angolare del rotore. i) Calcolare il torque del generatore.

Potenza di rotazione del rotore della turbina il vento viene trasferito al generatore tramite il treno La capacità di trasmissione di un’unità di Cassa moltiplicatrice e asse ad alta velocità OAF 2014 - 18 j) Se necessario generare corrente alternata a frequenza di 50Hz, calcola il rapporto di moltiplicazione che deve avere la cassa moltiplicatore. k) Supponendo che solo il 90% dell’energia eolica assorbita sia che si trasforma in energia elettrica e che essa viene generata a una tensione 13kV effettivamente calcola quale sia il corrente effettivo generato. L’anno di domanda elettrica del dipartimento di Punilla Córdoba è di circa $2,5\times 10^{11}$ MWh e l’energia eolica disponibile annuale è di $2,68\times 10^8$ MWh. Calcolare quale percentuale di energia consumata nel Il settore Punilla può essere prodotto con energia eolica. OAF 2014 - 19 Problema n.1: sfruttare il vento (NIVEL 2) Pagina delle risposte (Esprimi tutte le risposte nel sistema MKS)

Punteggio a) Valore dell’area

b) Volumi di aria per unità di tempo

c) Potenza del vento

d) Potenza assorbita dal generatore.

e) Velocità del vento

f) Velocità dell’estremità delle palle

g) Accelerazione dell’estremità delle palle

h) Velocità angolare del rotore

i) Torque

j) Relazione di moltiplicazione

k) Corrente efficace

l) Percentuale di energia elettrica a partire dall’energia aereo OAF 2014 - 20

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy, Electromagnetism Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.16

Problem 1 Taking advantage of the wind. Wind energy is currently a renewable energy source, competitive with other renewable energy sources and even with traditional non-renewable ones. The wind turbine transforms the kinetic energy of the wind into mechanical energy (which is evidenced in the rotation of the generator blades) and then this mechanical energy is transformed into electrical energy. That is to say, we have a machine that operates as an electrical energy generator, thanks to the rotation of the wind turbine rotor shaft, caused by the action of the wind on the blades.

a) If the generator blades are 20 m long, calculate the area they sweep when they rotate. b) Assuming the wind speed is 30 km/h, calculate the volume of air per unit time that passes through the circular area calculated in part a). c) Knowing that the air density is $1,2{\text{kg/m}}^3$, calculate the wind power (energy per unit time) that strikes the generator. d) If the generator has a theoretical efficiency of 48% for transforming the kinetic energy of the wind into rotational energy of the generator, determine the energy per unit time (power) that the generator absorbs from the wind energy. e) Calculate the wind speed behind the generator. f) The Greek letter a denotes an important parameter in generators. Its value corresponds to the ratio between the speed at the tips of the blades and the speed of the incident wind. In three-bladed generators, the optimal power (48%) is obtained when it equals 7. Calculate the speed at the tip of the blades when the optimal power is generated. g) Calculate the centripetal acceleration of the tips of the blades. h) Calculate the angular velocity of the rotor. i) Calculate the torque of the generator.

The power from the rotation of the wind turbine rotor is transferred to the generator through the drive train, that is, through the main shaft, the gearbox and the high-speed shaft OAF 2014 - 18 j) If it were necessary to generate alternating current with a frequency of 50Hz, calculate the multiplication ratio that the gearbox must have. k) Assuming that only 90% of the absorbed wind energy is transformed into electrical energy and that this is generated at an effective voltage of 13kV, calculate what the effective current generated is. l) The annual electricity demand of the Punilla Córdoba department is approximately $2,5\times 10^{11}$ MWh and the available annual wind energy is $2,68\times 10^8$ MWh. Calculate what percentage of the energy consumed in the Punilla department can be produced by wind energy. OAF 2014 - 19 Problem No. 1: Taking advantage of the wind (LEVEL 2) Answer Sheet (Express all answers in the MKS system)

Score a) Value of the area

b) Volume of air per unit time

c) Power of the wind

d) Power absorbed by the generator.

e) Wind speed

f) Speed of the tip of the blades

g) Acceleration of the tip of the blades

h) Angular velocity of the rotor

i) Torque

j) Multiplication ratio

k) Effective current

l) Percentage of electrical energy from wind energy OAF 2014 - 20

Problema 2 Acerca de la línea de flotación… El grado de salinidad de las aguas en diferentes lugares de los océanos no es el mismo. Los marinos experimentados saben de esto y de cómo influye en la línea de flotación de su navío. La densidad de una solución de agua y sal depende de la salinidad de la solución como se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Dependencia de la densidad del agua con la salinidad.

En la Figura 2 se muestra un plano transversal de un buque. Considere que el mismo comenzó su travesía en algún lugar del océano atlántico próximo al este de Brasil donde hay una salinidad de 36,5 ‰ y la concluyó en algún lugar del océano atlántico próximo a Puerto Santa Cruz, ubicado en la provincia argentina de Santa Cruz donde hay una salinidad de 34 ‰ .

a) Establecer las densidades correspondientes al lugar de salida y al lugar del fin de la travesía.

El calado (Ca) es la profundidad que alcanza en el agua la parte sumergida de un barco; esto es, la distancia que separa la superficie del agua (línea de flotación) de la “base” o “fondo” del barco

Calado (Ca) Figura 2: plano transversal de un buque Línea de flotación Agua oceánica buque 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1,024 1,026 1,028 1,030 1,032 1,034

Densidad (${\text{g/cm}}^3$) Salinidad (‰) OAF 2014 - 21 b) Determinar el calado al final de la travesía si al inicio de la misma era de 12m. Suponer que el buque es como el de la Figura 2. Expresar el resultado con 6 cifras significativas.

Acerca de choques entre barcos. Los viejos lobos de mar, esto es los marinos experimentados, saben perfectamente que los barcos que navegan juntos se atraen entre sí con bastante fuerza. Por esto los capitanes tienen en cuenta este fenómeno cuando maniobran con su buque. Trataremos de entender este fenómeno aplicando el teorema de Bernoulli (ecuación de Bernoulli) y el principio de conservación de la masa. En la Figura 3 pueden verse dos buques iguales que navegan con velocidad v=40km/h uno al lado del otro en aguas tranquilas dejando entre si un “canal” de ancho d=20m; esto es lo mismo que si los dos barcos estuvieran parados y el agua corriese en sentido opuesto “rodeándolos”. Suponer que la salinidad del agua es 34 ‰ :

Figura 3

c) Encontrar la magnitud y el sentido de la velocidad del agua vista desde un sistema de referencia que se mueve a 40km/h, paralelamente a los buques y en el mismo sentido que los buques. Realizar un gráfico explicativo en el que estén las velocidades correspondientes. d) Determinar, en el mismo sistema de referencia, la velocidad del agua que circula entre los buques (canal de ancho d). Suponer que toda el agua que “viene” y fluye a través de la sección “J J ́” que tiene un área $A=Ca\cdot D$ lo hace, al pasar entre los buques, por la sección “KK ́” que tiene un área $A^{\ast }=Ca\cdot d$. Mientras que el agua que circula por el lado “exterior” a los buques no se ve afectada. e) Usando el Principio de Bernoulli, determinar la diferencia de presión que se produce entre ambos lados de cada uno de los buques. f) Determinar la fuerza neta sobre cada buque. Considerar los respetivos largos (L) y líneas de flotación. Suponiendo que mediante maniobras de timón el capitán de uno de los buques puede neutralizar el efecto de esta fuerza si su módulo no supera un valor $F_c$. g) Dar una expresión de la distancia mínima ($d_m$) entre buques, para que no se produzca una colisión.

Datos: L= 294m, a =32m, d=20m, v=40km/h OAF 2014 - 22 Problema No2: Acerca de la línea de flotación… (NIVEL 2) Hoja de Respuestas Exprese todas las respuestas en el sistema MKS

Puntaje a) densidad correspondiente al lugar de salida

$1028,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$ densidad correspondiente al lugar del fin de la travesía $1026,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

2

2 b) calado al final de la travesía $mg=e_i=e_f$ (empujes)

$e_i=C{a}_{i}La{\rho }_i=C{a}_{f}La{\rho }_f=e_f$

$C{a}_f=\frac{{\rho }_i}{{\rho }_f}C{a}_i=12,0234\text{m}$

5

1(cifras) c) velocidad del agua

gráfico explicativo

El agua tiene respecto de tierra velocidad cero ($v_{at}=0$) . El bote tiene respecto de tierra velocidad 40 km/h ($v_{bt}$) .

Se cumple $v_{at}=v_{ab}+v_{bt}$

asi, $v_{ab}=-40\text{km/h}=-11,11\text{m/s}$

1 d) velocidad del agua que circula entre los buques

$CaD{v}_{ab}=Cad{v}_{\text{canal}}$

$v_{\text{canal}}=\frac{D}{d}{v}_{ab}=\frac{52}{20}(-11,11)\frac{\text{m}}{\text{s}}$ 1 $O_t$ $O_b$ $v_{bt}$ OAF 2014 - 23

e) diferencia de presión entre ambos lados de cada uno de los buques

$\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{ab}^2+P_{\text{ext}}=\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{\text{canal}}^2+P_{\text{int}}$ $\Delta P=P_{\text{ext}}-P_{\text{int}}=\frac{{\rho }_f}{2}\left(v_{\text{canal}}^2-v_{ab}^2\right)$ $\Delta P=\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{D}{d}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$\Delta P=364904,8\text{Pa}$

2 f) fuerza neta sobre cada buque.

$F=C{a}_{f}L\Delta P=1289894483,5\text{N}$

1 g) expresión de la distancia mínima ($d_m$) entre buques, para que no se produzca una colisión.

$F_c\ge C{a}_{f}L\Delta P_c=C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{D}{d_m}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$F_c\ge C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{a+d_m}{d_m}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$d_m\ge \frac{a}{{\left[\frac{F_c}{C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{ab}^2}+1\right]}^{1/2}-1}$

2 OAF 2014 - 24

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Bernoulli’s Equation, Continuity Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.19

Problema 2 In merito alla linea di galleggiamento… Il grado di salinità delle acque in diverse zone degli oceani non è il

• Proprio così. I marinai esperti sanno di questo e di come influenzano la linea. della flottazione della sua nave. La densità di una soluzione di acqua e sale dipende dalla salinità della Soluzione come mostrato in Figura 1.

Figura 1. Dipendenze della densità dell’acqua dalla salinità.

La figura 2 mostra un piano trasversale di una nave. Considerare che il lui stesso ha iniziato il suo viaggio da qualche parte nell’oceano atlantico vicino all’est di Brasile, con una salinità di 36,5 ‰ E l’ha conclusa da qualche parte nel oceano atlantico vicino a Puerto Santa Cruz, situato nella provincia argentina di Santa Cruz , dove c’ è una salinità di 34 ‰ .

a) stabilire le densità corrispondenti al luogo di partenza e al luogo di partenza

• La fine del viaggio.

Il bacino (Ca) è la profondità che raggiunge nell’acqua la parte immersa di una nave; cioè la distanza che separa la superficie dell’acqua (linea di flottazione) della base o del fondo della nave

Caldo (Ca) Figura 2: piano trasversale di una nave Linea di flottazione Acqua oceanica nave 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1,024 1,026 1,028 1,030 1,032 1,034

Densità (${\text{g/cm}}^3$) Salinità (‰) OAF 2014 - 21 b) Determinare il calato alla fine del viaggio se all’inizio del viaggio era de 12m. Supponiamo che la nave sia come quella della Figura 2. Esprimere il Con 6 cifre significative.

• Di scontri tra navi. I vecchi lupi marini, i marinai esperti, sapete perfettamente che le navi che navigano insieme si attirano tra loro con abbastanza forte. Per questo i capitano prendono in considerazione questo fenomeno quando Manipolazione con la sua nave. Cercheremo di capire questo fenomeno applicando il teorema di Bernoulli (Equazione di Bernoulli) e il principio della conservazione della massa. Nella Figura 3 si possono vedere due navi uguali che navigano a velocità uguale v=40km/h vicine all’altra in acque tranquille lasciando tra di sé un canale di La larghezza d=20 m; questo è lo stesso che se le due navi fossero ferme e il L’acqua correrebbe in direzione opposta, circondandoli. Supponiamo che la salinità del l’acqua è 34 ‰:

Figura 3

c) Trovare la magnitudo e il senso della velocità dell’acqua vista da un sistema di riferimento che si muove a 40 km/h, parallelo ai Le navi e nello stesso senso che le navi. Realizzare un grafico la velocità di riferimento. d) Determinare, nello stesso sistema di riferimento, la velocità dell’acqua che circola tra le navi (canale di larghezza d). Supponiamo che l’intero Acqua che viene e scorre attraverso la sezione J J che ha un’area $A=Ca\cdot D$ lo hace, al pasar entre los buques, por la sección “KK ́” que ha un’area $A^{\ast }=Ca\cdot d$. Mentre l’acqua che circola da un lato esterno alle navi non è interessato. e) Usando il Principio di Bernoulli, determinare la differenza di pressione che si verifica tra i due lati di ciascuna nave. f) Determinare la forza netta su ciascuna nave. Considerare i relativi lunghe (L) e linee di galleggiamento. Supponendo che con manovre di timone il capitano di una delle navi può neutralizzare l’effetto di questa forza se il modulo non supera un valore $F_c$. g) Esprimere la distanza minima ($d_m$) tra navi, in modo da non si verifica una collisione.

Dati: L=294m, a=32m, d=20m, v=40km/h OAF 2014 - 22 Problema n.2: In merito alla linea di galleggiamento… (NIVEL 2) Pagina delle risposte Esprimere tutte le risposte nel sistema MKS

Punteggio a) densità corrispondente al luogo di partenza

$1028,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$ densità corrispondente al luogo di fine del viaggio $1026,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

2

2 b) Scalata alla fine del viaggio $mg=e_i=e_f$ (impulsi)

$e_i=C{a}_{i}La{\rho }_i=C{a}_{f}La{\rho }_f=e_f$

$C{a}_f=\frac{{\rho }_i}{{\rho }_f}C{a}_i=12,0234\text{m}$

5

1 (cifre) c) velocità dell’acqua

Grafico esplicativo

L’acqua ha velocità zero rispetto alla terra ($v_{at}=0$). La barca ha una velocità di 40 km/h ($v_{bt}$) rispetto alla terra.

Si realizza $v_{at}=v_{ab}+v_{bt}$

in questo modo, $v_{ab}=-40\text{km/h}=-11,11\text{m/s}$

1 d) velocità dell’acqua che circola tra le navi

$CaD{v}_{ab}=Cad{v}_{\text{canal}}$

$v_{\text{canal}}=\frac{D}{d}{v}_{ab}=\frac{52}{20}(-11,11)\frac{\text{m}}{\text{s}}$ 1 $O_t$ $O_b$ $v_{bt}$ OAF 2014 - 23

e) differenzia di pressione tra i due lati di ciascun navi

$\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{ab}^2+P_{\text{ext}}=\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{\text{canal}}^2+P_{\text{int}}$ $\Delta P=P_{\text{ext}}-P_{\text{int}}=\frac{{\rho }_f}{2}\left(v_{\text{canal}}^2-v_{ab}^2\right)$ $\Delta P=\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{D}{d}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$\Delta P=364904,8\text{Pa}$

2 f) forza netta su ogni nave.

$F=C{a}_{f}L\Delta P=1289894483,5\text{N}$

1 g) espressione della distanza minima ($d_m$) tra navi, per che non si verifichi un incidente.

$F_c\ge C{a}_{f}L\Delta P_c=C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{D}{d_m}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$F_c\ge C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{a+d_m}{d_m}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$d_m\ge \frac{a}{{\left[\frac{F_c}{C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{ab}^2}+1\right]}^{1/2}-1}$

2 OAF 2014 - 24

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Bernoulli’s Equation, Continuity Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.19

Problem 2 About the waterline… The degree of salinity of the waters in different places of the oceans is not the same. Experienced sailors know this and how it influences the waterline of their ship. The density of a solution of water and salt depends on the salinity of the solution as shown in Figure 1.

Figure 1. Dependence of water density on salinity.

Figure 2 shows a cross-section of a ship. Consider that it began its voyage somewhere in the Atlantic Ocean near the east of Brazil where there is a salinity of 36.5 ‰ and concluded it somewhere in the Atlantic Ocean near Puerto Santa Cruz, located in the Argentine province of Santa Cruz where there is a salinity of 34 ‰ .

a) Establish the densities corresponding to the place of departure and the place of the end of the voyage.

The draft (Ca) is the depth reached in the water by the submerged part of a ship; that is, the distance that separates the surface of the water (waterline) from the “base” or “bottom” of the ship

Draft (Ca) Figure 2: cross-section of a ship Waterline Ocean water ship 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1.024 1.026 1.028 1.030 1.032 1.034

Density (${\text{g/cm}}^3$) Salinity (‰) OAF 2014 - 21 b) Determine the draft at the end of the voyage if at the beginning of the same it was 12 m. Assume that the ship is like the one in Figure 2. Express the result with 6 significant figures.

About collisions between ships. Old sea wolves, that is, experienced sailors, know perfectly well that ships sailing together attract each other with considerable force. This is why captains take this phenomenon into account when maneuvering their vessel. We will try to understand this phenomenon by applying Bernoulli’s theorem (Bernoulli’s equation) and the principle of conservation of mass. In Figure 3 two identical vessels can be seen sailing at speed v=40km/h side by side in calm waters, leaving between them a “channel” of width d=20m; this is the same as if the two ships were stationary and the water flowed in the opposite direction “around them”. Assume that the salinity of the water is 34 ‰:

Figure 3

c) Find the magnitude and direction of the velocity of the water as seen from a reference frame that moves at 40 km/h, parallel to the ships and in the same direction as the ships. Make an explanatory graph showing the corresponding velocities. d) Determine, in the same reference frame, the velocity of the water flowing between the ships (channel of width d). Assume that all the water that “comes” and flows through the section “J J ́” which has an area $A=Ca\cdot D$ does so, upon passing between the ships, through the section “KK ́” which has an area $A^{\ast }=Ca\cdot d$. Meanwhile, the water flowing on the “outer” side of the ships is not affected. e) Using Bernoulli’s Principle, determine the pressure difference that occurs between both sides of each of the ships. f) Determine the net force on each ship. Consider the respective lengths (L) and waterlines. Assuming that by rudder maneuvers the captain of one of the ships can neutralize the effect of this force if its magnitude does not exceed a value $F_c$. g) Give an expression for the minimum distance ($d_m$) between ships, so that a collision does not occur.

Data: L= 294m, a =32m, d=20m, v=40km/h OAF 2014 - 22 Problem No. 2: About the waterline… (LEVEL 2) Answer Sheet Express all answers in the MKS system

Score a) density corresponding to the departure location

$1028,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$ density corresponding to the location of the end of the voyage $1026,5\frac{\text{Kg}}{{\text{m}}^3}$

2

2 b) draft at the end of the voyage $mg=e_i=e_f$ (buoyancy forces)

$e_i=C{a}_{i}La{\rho }_i=C{a}_{f}La{\rho }_f=e_f$

$C{a}_f=\frac{{\rho }_i}{{\rho }_f}C{a}_i=12,0234\text{m}$

5

1(digits) c) speed of the water

explanatory graph

The water has zero velocity with respect to land ($v_{at}=0$) . The boat has a velocity of 40 km/h with respect to land ($v_{bt}$) .

It holds that $v_{at}=v_{ab}+v_{bt}$

thus, $v_{ab}=-40\text{km/h}=-11,11\text{m/s}$

1 d) speed of the water flowing between the ships

$CaD{v}_{ab}=Cad{v}_{\text{canal}}$

$v_{\text{canal}}=\frac{D}{d}{v}_{ab}=\frac{52}{20}(-11,11)\frac{\text{m}}{\text{s}}$ 1 $O_t$ $O_b$ $v_{bt}$ OAF 2014 - 23

e) pressure difference between both sides of each of the ships

$\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{ab}^2+P_{\text{ext}}=\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{\text{canal}}^2+P_{\text{int}}$ $\Delta P=P_{\text{ext}}-P_{\text{int}}=\frac{{\rho }_f}{2}\left(v_{\text{canal}}^2-v_{ab}^2\right)$ $\Delta P=\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{D}{d}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$\Delta P=364904,8\text{Pa}$

2 f) net force on each ship.

$F=C{a}_{f}L\Delta P=1289894483,5\text{N}$

1 g) expression for the minimum distance ($d_m$) between ships, so that a collision does not occur.

$F_c\ge C{a}_{f}L\Delta P_c=C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{D}{d_m}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$F_c\ge C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}\left({\left(\frac{a+d_m}{d_m}\right)}^2-1\right)v_{ab}^2$

$d_m\ge \frac{a}{{\left[\frac{F_c}{C{a}_{f}L\frac{{\rho }_f}{2}{v}_{ab}^2}+1\right]}^{1/2}-1}$

2 OAF 2014 - 24

Problema 3 El Pato bebedor. El pato bebedor es un juguete, patentado en 1946, en el cual una figura con forma de pato simula beber de un vaso ubicado al frente. Este juguete es una máquina térmica simple y muy ingeniosa. El pato está hecho de vidrio y consta de dos esferas conectadas por un tubo como se muestra en la figura 1. La esfera inferior, que simula el cuerpo del pato, contiene una sustancia volátil, cuya temperatura de ebullición es cercana a la temperatura ambiente. La esfera superior, que simula la cabeza, está cubierta de un material absorbente. El pato puede rotar alrededor de un eje, el cual está apoyado sobre una estructura que simula las patas del pato. Para iniciar el movimiento se moja la cabeza del pato con agua, y luego de unos momentos, el pato se inclina para beber agua del vaso,luego recupera su posición vertical. Unos segundos después, el pato se inclina nuevamente a beber y repite este movimiento mientras haya agua en el vaso. En la figura 1, se esquematiza el movimiento del pato.

Figura 1. Pato bebedor.

Para entender su funcionamiento, primero tenemos que entender la mecánica del movimiento. En la esfera inferior (cuerpo) coexisten líquido y vapor de la misma sustancia, por lo que para una dada temperatura se tendrá una determinada presión. En la esfera superior (cabeza) sólo hay vapor de dicha sustancia, aunque coexistiendo con el líquido presente en el cuello. Esto es, la presión del vapor en la cabeza estará determinada por su temperatura de coexistencia. Si se establece una pequeña diferencia de temperatura entre la cabeza y el cuerpo del pato, se producirá una diferencia de presión entre ambos recintos. Para contrarrestar esta diferencia de presión, parte del líquido asciende o desciende por el tubo (cuello del pato) hasta que se alcance una situación de equilibrio en la que no fluye más líquido. Esta redistribución de líquido produce un cambio en la posición del centro de masa del pato. Debido a la forma en la que está construido el pato, el cambio en la posición del centro de masa tiene asociado un torque tal que produce la oscilación del pato. La diferencia de temperatura entre la cabeza y el cuerpo del pato se establece por la evaporación del agua que moja la cabeza del pato. La provisión de agua que se evapora desde la cabeza se consigue con cada inclinación del pato para beber.

Modelo En la figura 2 se muestra nuestro modelo del pato bebedor.La parte inferior del pato está formada por un cubo de 6 cm de lado y la parte superior (cabeza) por una esfera de 4 cm diámetro. Ambas partes están conectadas por un tubo de 2 cm de diámetro y de 12 cm de largo, medido desde la parte superior del cubo hasta la parte inferior de la cabeza. OAF 2014 - 25 El cubo contiene un líquido cuya temperatura de ebullición es $40^{\circ }\text{C}$ y cuya densidad es $1,336{\text{g cm}}^{-3}$. El resto del pato está lleno del vapor de la misma sustancia que llena el cuerpo. En nuestro modelo se considerará como cuerpo del pato a la porción del cubo llena de líquido y como cuello a la parte del tubo que va desde la superficie del líquido, contenido en el cubo, hasta la parte inferior de la cabeza. Como se muestra en la figura 2, el tubo se extiende hacia el interior del líquido de manera que el vapor contenido en el cubo está aislado del vapor contenido en el resto del pato generando dos recintos con vapor aislados. Sobre la cabeza, el pato tiene un sombrero de 80 g simulado por un cilindro de 4 cm de diámetro y 5 cm de alto. El eje alrededor del cual nuestro pato puede rotar está ubicado a 2 cm por arriba del cubo y es paralelo al plano del dibujo (Ver figura 2). Tanto la masa del vidrio que forma al pato como la masa de vapor contenida en él, son despreciables frente a las masas del sombrero y del líquido contenido en el cubo.

Figura 2. Modelo del Pato bebedor.

Actividades

1. Determinar la masa de líquido contenida en el cubo (Masa del cuerpo, $M_{\text{cuerpo}}$). Considere despreciable la masa del vidrio. OAF 2014 - 26
2. La coexistencia de la fase líquida y gaseosa de cualquier sustancia ocurre a una presión de equilibrio (P) y a una temperatura (T) vinculadas por la ecuación de Clausiuss-Clayperon (Ecuación 1),

$P(T)=P_0\exp \left[-\frac{\Delta h}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right)\right](1)$

donde $P_0=1,013\times 10^5$ Pa, $R=8,3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ es la constante universal de los gases, $\Delta h=28094,5{\text{J mol}}^{-1}$ es la ” variación de entalpía de vaporización molar” de la sustancia y $T_b$ es su temperatura de ebullición en Kelvin.

Determinar la presión en el interior de la cabeza ($P_{\text{cabeza}}$) y del cubo ($P_{\text{cubo}}$) si el pato se encuentra inicialmente a la temperatura ambiente ($T_a$) cuyo valor es $25^{\circ }\text{C}$.

3. Determinar la temperatura de la cabeza ($T_{\text{cabeza}}$) si ésta se moja con 10 mg de agua a temperatura ambiente. Suponga que la humedad ambiente es menor a 100%.

Suponga que todo el calor necesario para evaporar el agua es provisto por la cabeza y que ésta tiene un calor específico efectivo $C=47,5\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$.

Nota: En caso que la humedad ambiente es menor a 100%, el agua se evapora sin necesidad de alcanzar los $100^{\circ }\text{C}$ (temperatura de ebullición del agua). En este caso, la energía necesaria para evaporar un gramo de agua es de 2257 J.

4. Determinar la nueva presión en el interior de la cabeza ($P_{\text{cabeza}}^{\prime }$).

5. Determinar la altura ($h$) del líquido en el cuello, respecto a la superficie del liquido contenido en el cubo, para la nueva presión de equilibrio. Suponga que la temperatura del cuerpo del pato se mantiene constante e igual a la temperatura ambiente.

6. Determinaren cuanto disminuye la altura del líquido en el cubo ($\Delta z$).

7. Determinar la masa de líquido contenida en el cubo ($M_{\text{cuerpo}}^{\prime }$) y en el cuello ($M_{\text{cuello}}$).

8. Determinar la posición inicial del centro de masa del pato respecto del eje de rotación cuando todo el sistema se encuentra a $T_a$.

Ayuda: Para un cuerpo con densidad uniforme, el centro de masa coincide con su centro geométrico.

a) En el esquema mostrado en la hoja de respuesta, señale la posición del centro de masa del cuerpo, de la porción de liquido contenida en el cuello y del sombrero (en el esquema el eje y se encuentra perpendicular a la superficie de la hoja). En la Tabla I, indique las posiciones, respecto del eje de rotación, de cada centro de masa señalado junto con el valor de masa correspondiente.

b) En base al punto anterior, determine la posición del centro de masa del sistema.

9. Determine el modulo ($\tau$) del torque generado por el peso del pato si éste se inclina un ángulo de $5^{\circ }$ respecto a la vertical. Suponga que el ángulo es suficientemente pequeño de modo de poder considerar que la posición del OAF 2014 - 27 centro de masa no cambia debido al desplazamiento del líquido producido por la inclinación.

10. Determine la aceleración angular inicial ($\gamma$) del pato cuando está inclinado $5^{\circ }$ respecto de la vertical.

Ayuda El momento de inercia para un paralelepípedo recto rectangular de masa M respecto de un eje como el mostrado en la figura 3a es,

$I=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

El momento de inercia de un cilindro de masa M respecto de un eje como el mostrado en la figura 3b es,

$I=\frac{1}{12}M(3R^2+L^2)$

Figura 3a. Paralelepípedo recto rectangular, b. Cilindro de masa M

Datos y constantes Parámetro Valor Unidad $P_0$ $1,013\times 10^5$ Pa $\Delta h$ 28094.5 ${\text{J mol}}^{-1}$ R 8.3145 ${\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ $\rho$ 1.336 ${\text{g cm}}^{-3}$ $T_b$ 40 ${}^{\circ }\text{C}$ C 47.5 $\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ $L_v$ 2257 ${\text{kJ kg}}^{-1}$ $c_{\text{agua}}$ 4.1813 ${\text{J g}}^{-1}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ g 9.8 ${\text{m s}}^{-2}$ $T_a$ 25 ${}^{\circ }\text{C}$ $m_{\text{agua}}$ 10 mg m 80 g OAF 2014 - 28 Problema No3: El Pato bebedor. (NIVEL 2) Hoja de Respuestas Exprese todas las respuestas en el sistema MKS

Puntaje 1) $M_{\text{cuerpo}}=$

$P_{\text{cubo}}=$

$P_{\text{cabeza}}=$

$T_{\text{cabeza}}=$

$P_{\text{cabeza}}^{\prime }=$

$h=$

$\Delta z=$

$M_{\text{cuello}}=$

$M_{\text{cuerpo}}^{\prime }=$

8a) Puntaje OAF 2014 - 29 Tabla I Posición del Centro de Masa Masa

x y z

Sombrero

Cuerpo

Líquido contenido en el Cuello

8b) $x_{\text{CM}}=$

$y_{\text{CM}}=$

$z_{\text{CM}}=$

Topic: Thermodynamics, Rotational Dynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Torque & Angular Momentum Analysis, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Sphere, Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.23

Problema 3 Il Patto Bevitore. Il pato bevitore è un giocattolo brevettato nel 1946, in cui una figura con forma di pato simula bere da un bicchiere posto davanti. Questo giocattolo è un Una macchina termico semplice e molto intelligente. Il pato è fatto di vetro e consiste di due sfere collegate da un tubo come mostrato nella figura 1. La sfera inferiore, che simula il corpo del pato, contiene una sostanza volatile, la cui temperatura di ebollizione è vicina alla temperatura di temperatura ambiente. La sfera superiore, che simula la testa, è coperta da un materiale assorbente. Il pato può ruotare attorno ad un asse, che è appoggiato su una struttura che simula le zampe di un pato. Per iniziare il movimento si bagna la testa del pato con acqua, e dopo un po’ di Qualche volta, il pato si penza a bere l’acqua dal bicchiere, poi riprende il suo posizione verticale. Qualche secondo dopo, il pato si inclina di nuovo verso bere e ripetere questo movimento finché c’è acqua nel bicchiere. In figura 1, si schematizza il movimento del pato.

Figura 1. - Pato bevitore.

Per capire come funziona, dobbiamo prima capire la meccanica. del movimento. Nella sfera inferiore (corpo) coesistono liquido e vapore della La sostanza stessa, quindi per una determinata temperatura si avrà una

• una certa pressione. Nella sfera superiore (capella) c’è solo vapore di felicità sostanza, anche se coesistente con il liquido presente nel collo. Questo è, la La pressione del vapore nella testa sarà determinata dalla sua temperatura di Coesistenza. Se si stabilisce una piccola differenza di temperatura tra la la testa e il corpo della zanzara, si produrrà una differenza di pressione tra i due
• Le prese. Per contrastare questa differenza di pressione, parte del liquido sale o scende per il tubo (collo della zanza) fino a che si raggiunge una situazione di equilibrio in cui non scorre più liquido. Questa ridistribuzione del liquido produce un cambiamento nella posizione del centro di massa del pato. A causa della forma in cui che è costruito il pato, il cambiamento nella posizione del centro di massa ha associato a una torsione tale da produrre l’oscillazione del pato. La differenza di temperatura tra la testa e il corpo del pato si stabilisce per l’evaporazione dell’acqua che bagna la testa del pato. Il sistema di approvvigionamento idrico che evapora dalla testa si ottiene con ogni inclinazione del pato per Beviamo.

Modello La figura 2 mostra il nostro modello di pato bevitore. il pato è formato da un cubo di 6 cm sul lato e la parte superiore (capello) da una sfera di 4 cm di diametro. Entrambe le parti sono collegate da un tubo di 2 diametro di 1 cm e lunghezza di 12 cm, misurata dalla parte superiore del cubo fino alla parte inferiore della testa. OAF 2014 - 25 Il cubo contiene un liquido la cui temperatura di ebollizione è $40^{\circ }\text{C}$ e il cui la densità è $1,336{\text{g cm}}^{-3}$. Il resto del pato è pieno di vapore di essa. sostanza che riempie il corpo. Nel nostro modello si considera come corpo di pato la porzione di Cubo pieno di liquido e come collo alla parte del tubo che va dalla superficie del liquido contenuta nel cubo fino alla parte inferiore della

• La testa. Come mostrato in figura 2, il tubo si estende verso l’interno del liquido Il vapore contenuto nel cubo è così isolato dal vapore contenuto nel resto del pato generando due recinti isolati a vapore. Sopra la testa, il pato ha un cappello da 80 g simulato da un cilindro da 4 di diametro di 1 cm e altezza di 5 cm. L’asse intorno al quale il nostro pato può rotare è situato a 2 cm sopra il cubo ed è parallelo al piano del disegno (Vedi figura 2). Sia la massa del vetro che forma il pato che la massa del vapore contenuti in esso, sono dispregiati davanti alle masse del cappello e del liquido contenuto nel cubo.

Figura 2 Modello del Patto Bevitore.

Attività

1. Determinare la massa di liquido contenuta nel cubo (massa del corpo, $M_{\text{cuerpo}}$). Considera dispregiata la massa del vetro. OAF 2014 - 26
2. La coesistenza della fase liquida e gassosa di qualsiasi sostanza si verifica a una pressione di equilibrio (P) e una temperatura (T) legate dall’equazione di Clausiuss-Clayperon (equazione 1),

$P(T)=P_0\exp \left[-\frac{\Delta h}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right)\right](1)$

dove $P_0=1,013\times 10^5$ Pa, $R=8,3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ è la costante universale di i gas, $\Delta h=28094,5{\text{J mol}}^{-1}$ è la ” variazione di entalpia di vaporizzazione “mollar” della sostanza e $T_b$ è la sua temperatura di ebollizione in Kelvin.

Determinazione della pressione all’interno della testa ($P_{\text{cabeza}}$) e del cubo ($P_{\text{cubo}}$) se il pato se encuentra inicialmente a la temperatura ambiente ($T_a$) cuyo valor es $25^{\circ }\text{C}$.

3. Determinazione della temperatura della testa ($T_{\text{cabeza}}$) se si bagna con 10 mg di acqua a temperatura ambiente. Supponiamo che l’umidità ambientale sia inferiore a 100%.

Supponiamo che tutto il calore necessario per evaporare l’acqua sia fornito dalla la testa e che essa abbia un specifico calore efficace $C=47,5\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$.

Nota: se l’umidità ambientale è inferiore al 100%, l’acqua si evapora senza necessità di raggiungere $100^{\circ }\text{C}$ (temperatura di ebollizione dell’acqua). En In questo caso, l’energia necessaria per evaporare un grammo di acqua è di 2257 J.

4. Determinazione della nuova pressione all’interno della testa ($P_{\text{cabeza}}^{\prime }$).

5. Determinare l’altezza ($h$) del liquido nel collo rispetto alla superficie del collo. liquido contenuto nel cubo, per la nuova pressione di equilibrio. Supponiamo che la la temperatura del corpo del pato è costante e uguale alla temperatura ambiente.

6. Determina quanto diminuisce l’altezza del liquido nel cubo ($\Delta z$).

7. Determinazione della massa di liquido contenuta nel cubo ($M_{\text{cuerpo}}^{\prime }$) e nel collo ($M_{\text{cuello}}$).

8. Determinare la posizione iniziale del centro di massa del pato rispetto all’asse di rotazione quando l’intero sistema è a $T_a$.

Aiuto: per un corpo a densità uniforme, il centro di massa coincide con il suo centro geometrico.

(a) Nella scheda mostrata nella scheda di risposta, indicare la posizione del centro di massa del corpo, della porzione di liquido contenuta nel collo e del cappello (in schema l’asse e si trova perpendicolare alla superficie della foglia). In tabella I, indicare le posizioni, per quanto riguarda l’asse di rotazione, di ogni centro di massa indicato, corrispondente al valore di massa.

b) Sulla base del punto precedente, determinare la posizione del centro di massa del sistema.

9. Determina il modulo ($\tau$) della torsione generata dal peso del pato se il peso del pato è inclinare un angolo di $5^{\circ }$ rispetto alla verticale. Supponiamo che l’angolo sia Il punto di vista della Commissione è che la situazione di OAF 2014 - 27 centro di massa non cambia a causa del spostamento del liquido prodotto dalla inclinazione.

10. Determina l’accelerazione angolare iniziale ($\gamma$) del pato quando è inclinato $5^{\circ }$ rispetto alla verticale.

Aiuto Il momento di inerzia per un parallelepipedone retto rettangolare di massa M per un’asse come mostrato in figura 3a è:

$I=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

Il momento di inerzia di un cilindro di massa M rispetto ad un asse come il il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire il numero di persone che hanno ricevuto il numero di persone che hanno ricevuto il permesso di trasferire.

$I=\frac{1}{12}M(3R^2+L^2)$

Figura 3a. Parallepipedone retto rettangolare, b. Cindro di massa M

Datati e costanti Parametro Valore Unità $P_0$ $1,013\times 10^5$ Pa $\Delta h$ 28094.5 ${\text{J mol}}^{-1}$ R 8.3145 ${\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ $\rho$ 1.336 ${\text{g cm}}^{-3}$ $T_b$ 40 ${}^{\circ }\text{C}$ C 47.5 $\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ $L_v$ 2257 ${\text{kJ kg}}^{-1}$ $c_{\text{agua}}$ 4.1813 ${\text{J g}}^{-1}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ g 9.8 ${\text{m s}}^{-2}$ $T_a$ 25 ${}^{\circ }\text{C}$ $m_{\text{agua}}$ 10 mg m 80 g OAF 2014 - 28 Problema numero tre: il pato bevitore. (NIVEL 2) Pagina delle risposte Esprimere tutte le risposte nel sistema MKS

Punteggio 1) $M_{\text{cuerpo}}=$

$P_{\text{cubo}}=$

$P_{\text{cabeza}}=$

$T_{\text{cabeza}}=$

$P_{\text{cabeza}}^{\prime }=$

$h=$

$\Delta z=$

$M_{\text{cuello}}=$

$M_{\text{cuerpo}}^{\prime }=$

8a) Punteggio OAF 2014 - 29 Tabella I Posizione del centro di massa Massa

x y z

Cappello

Corpo

L’acqua contenuto in Il Collo

8b) $x_{\text{CM}}=$

$y_{\text{CM}}=$

$z_{\text{CM}}=$

Topic: Thermodynamics, Rotational Dynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Torque & Angular Momentum Analysis, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Sphere, Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.23

Problem 3 The drinking duck. The drinking duck is a toy, patented in 1946, in which a figure shaped like a duck simulates drinking from a glass placed in front of it. This toy is a simple and very ingenious heat engine. The duck is made of glass and consists of two spheres connected by a tube as shown in figure 1. The lower sphere, which simulates the duck’s body, contains a volatile substance, whose boiling temperature is close to room temperature. The upper sphere, which simulates the head, is covered with an absorbent material. The duck can rotate around an axis, which is supported on a structure that simulates the duck’s legs. To start the movement, the duck’s head is wetted with water, and after a few moments, the duck tilts to drink water from the glass, then returns to its vertical position. A few seconds later, the duck tilts again to drink and repeats this movement as long as there is water in the glass. Figure 1 schematically shows the duck’s movement.

Figure 1. Drinking duck.

To understand how it works, we first have to understand the mechanics of the motion. In the lower sphere (body), liquid and vapor of the same substance coexist, so for a given temperature there will be a determined pressure. In the upper sphere (head) there is only vapor of that substance, although coexisting with the liquid present in the neck. That is, the vapor pressure in the head will be determined by its coexistence temperature. If a small temperature difference is established between the head and the body of the duck, a pressure difference will be produced between the two chambers. To counteract this pressure difference, part of the liquid rises or descends through the tube (the duck’s neck) until an equilibrium situation is reached in which no more liquid flows. This redistribution of liquid produces a change in the position of the duck’s center of mass. Due to the way the duck is built, the change in the position of the center of mass has an associated torque such that it produces the oscillation of the duck. The temperature difference between the head and the body of the duck is established by the evaporation of the water that wets the duck’s head. The supply of water that evaporates from the head is achieved with each tilt of the duck to drink.

Model Figure 2 shows our model of the drinking duck. The lower part of the duck consists of a cube with a side of 6 cm, and the upper part (head) consists of a sphere with a diameter of 4 cm. Both parts are connected by a tube with a diameter of 2 cm and a length of 12 cm, measured from the upper part of the cube to the lower part of the head. OAF 2014 - 25 The cube contains a liquid whose boiling temperature is $40^{\circ }\text{C}$ and whose density is $1,336{\text{g cm}}^{-3}$. The rest of the duck is filled with the vapor of the same substance that fills the body. In our model, the body of the duck will be considered to be the portion of the cube filled with liquid, and the neck will be considered to be the part of the tube that goes from the surface of the liquid contained in the cube to the lower part of the head. As shown in Figure 2, the tube extends into the interior of the liquid so that the vapor contained in the cube is isolated from the vapor contained in the rest of the duck, generating two chambers with isolated vapor. On the head, the duck has a hat of 80 g simulated by a cylinder with a diameter of 4 cm and a height of 5 cm. The axis around which our duck can rotate is located 2 cm above the cube and is parallel to the plane of the drawing (see Figure 2). Both the mass of the glass that forms the duck and the mass of vapor contained in it are negligible compared with the masses of the hat and of the liquid contained in the cube.

Figure 2. Model of the drinking duck.

Activities

1. Determine the mass of liquid contained in the cube (Mass of the body, $M_{\text{cuerpo}}$). Consider the mass of the glass negligible. OAF 2014 - 26
2. The coexistence of the liquid and gaseous phase of any substance occurs at an equilibrium pressure (P) and at a temperature (T) linked by the Clausius-Clapeyron equation (Equation 1),

$P(T)=P_0\exp \left[-\frac{\Delta h}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right)\right](1)$

where $P_0=1,013\times 10^5$ Pa, $R=8,3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ is the universal gas constant, $\Delta h=28094,5{\text{J mol}}^{-1}$ is the “molar enthalpy of vaporization change” of the substance and $T_b$ is its boiling temperature in Kelvin.

Determine the pressure inside the head ($P_{\text{cabeza}}$) and of the cube ($P_{\text{cubo}}$) if the duck is initially at room temperature ($T_a$) whose value is $25^{\circ }\text{C}$.

3. Determine the temperature of the head ($T_{\text{cabeza}}$) if it is wetted with 10 mg of water at room temperature. Assume that the ambient humidity is less than 100%.

Assume that all the heat necessary to evaporate the water is provided by the head and that the head has an effective specific heat $C=47,5\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$.

Note: In case the ambient humidity is less than 100%, the water evaporates without needing to reach the $100^{\circ }\text{C}$ (boiling temperature of water). In this case, the energy necessary to evaporate one gram of water is 2257 J.

4. Determine the new pressure inside the head ($P_{\text{cabeza}}^{\prime }$).

5. Determine the height ($h$) of the liquid in the neck, relative to the surface of the liquid contained in the bucket, for the new equilibrium pressure. Assume that the temperature of the duck’s body remains constant and equal to the ambient temperature.

6. Determine by how much the height of the liquid in the bucket decreases ($\Delta z$).

7. Determine the mass of liquid contained in the bucket ($M_{\text{cuerpo}}^{\prime }$) and in the neck ($M_{\text{cuello}}$).

8. Determine the initial position of the duck’s center of mass relative to the axis of rotation when the entire system is at $T_a$.

Hint: For a body with uniform density, the center of mass coincides with its geometric center.

a) In the diagram shown on the answer sheet, indicate the position of the center of mass of the body, of the portion of liquid contained in the neck, and of the hat (in the diagram the y-axis is perpendicular to the surface of the sheet). In Table I, indicate the positions, relative to the axis of rotation, of each indicated center of mass together with the corresponding mass value.

b) Based on the previous point, determine the position of the center of mass of the system.

9. Determine the magnitude ($\tau$) of the torque generated by the weight of the duck if it tilts an angle of $5^{\circ }$ with respect to the vertical. Assume that the angle is small enough that the position of the OAF 2014 - 27 center of mass can be considered unchanged due to the displacement of the liquid produced by the tilt.

10. Determine the initial angular acceleration ($\gamma$) of the duck when it is tilted $5^{\circ }$ with respect to the vertical.

Help The moment of inertia for a right rectangular parallelepiped of mass M about an axis like the one shown in figure 3a is,

$I=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

The moment of inertia of a cylinder of mass M about an axis like the one shown in figure 3b is,

$I=\frac{1}{12}M(3R^2+L^2)$

Figure 3a. Right rectangular parallelepiped, b. Cylinder of mass M

Data and constants Parameter Value Unit $P_0$ $1,013\times 10^5$ Pa $\Delta h$ 28094.5 ${\text{J mol}}^{-1}$ R 8.3145 ${\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ $\rho$ 1.336 ${\text{g cm}}^{-3}$ $T_b$ 40 ${}^{\circ }\text{C}$ C 47.5 $\text{J}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ $L_v$ 2257 ${\text{kJ kg}}^{-1}$ $c_{\text{agua}}$ 4.1813 ${\text{J g}}^{-1}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ g 9.8 ${\text{m s}}^{-2}$ $T_a$ 25 ${}^{\circ }\text{C}$ $m_{\text{agua}}$ 10 mg m 80 g OAF 2014 - 28 Problem No. 3: The drinking duck. (LEVEL 2) Answer Sheet Express all answers in the MKS system

Score 1) $M_{\text{cuerpo}}=$

$P_{\text{cubo}}=$

$P_{\text{cabeza}}=$

$T_{\text{cabeza}}=$

$P_{\text{cabeza}}^{\prime }=$

$h=$

$\Delta z=$

$M_{\text{cuello}}=$

$M_{\text{cuerpo}}^{\prime }=$

8a) Score OAF 2014 - 29 Table I Position of the Center of Mass Mass

x y z

Hat

Body

Liquid contained in the Neck

8b) $x_{\text{CM}}=$

$y_{\text{CM}}=$

$z_{\text{CM}}=$