Argent 2015

Globo meteorológico. Aunque parezca simple programar el lanzamiento de un globo meteorológico, comparado con el lanzamiento de un satélite, es necesario hacer una diagramación correcta pues es muy importante el equipamiento que lleva suspendido como la información que se desea obtener. Debido a que resolver el problema real es complejo, te desafío a que hagamos algunos cálculos preliminares, lo cual implicará realizar algunas aproximaciones para simplificar los cálculos, que nos permitan estimar el comportamiento del globo meteorológico. Un globo meteorológico, usualmente construido de látex y lleno con hidrógeno (H $_{2}$ ) por su bajo costo, se utiliza para elevar equipamiento que permite medir distintos parámetros de interés meteorológico en función de la altura (presión, temperatura, humedad relativa, velocidad y dirección del viento, concentración de ozono, etc.). Debido a que la presión atmosférica disminuye con la altura el globo aumenta su volumen hasta que se rompe, lo que determina la altura máxima que alcanzará. Puede llegar aproximadamente a una altura de $30000 m$ y en algunos casos alcanzar alturas del orden de $50000 m$ .

Para los cálculos vamos a suponer que el globo que utilizaremos tiene forma esférica y que el gas en su interior (H $_{2}$ ) se comporta como un gas ideal, el cual está sometido a la presión atmosférica y a la presión que le ejerce el globo. La presión que ejerce el globo sobre el gas depende del radio $r$ que tiene el globo y puede aproximarse por

$P (r) = K [\frac{r _{0}}{r} - (\frac{r _{0}}{r})^{7}]$

donde $K$ es una constante que depende del globo y $r_{0}$ es su radio interno cuando no está inflado.

Los datos que disponemos para realizar los cálculos son:

Presión atmosférica: $97000 Pa$
Temperatura ambiente: $17^{\circ} C$
$K = 80000 N/m^{2}$
$r_{0} = 10 cm$
Densidad del latex: $0, 96 g/cm^{3}$
Espesor de la pared del globo desinflado: $1, 5 mm$
Densidad del aire: $1.29 kg/m^{3}$
Masa molar del H $_{2}$ : $2 g/mol$
Masa del equipamiento suspendido: $440 g$

a) Calcule cuántos moles de H $_{2}$ contiene el globo cuando se lo infla hasta un diámetro interno de $1 m$ .

B. Determine el peso total del globo inflado
C. Calcule el empuje que se ejerce sobre el globo en el momento de lanzarlo.
D. Calcule cuál es la fuerza neta aplicada sobre el globo meteorológico (incluido el equipamiento) al momento de lanzarlo. e) Determine la aceleración del globo al momento de lanzarlo.

Sabemos que cuando el globo asciende el aire le ejerce un rozamiento (fuerza viscosa) cuyo módulo para una esfera es $F_{v} = 6 π R η v$ , donde $R$ es el radio de la esfera, $η$ es la viscosidad del aire y $v$ es la velocidad del globo.

f) Calcule cuál es la velocidad límite que alcanzaría el globo en su ascenso (sólo teniendo en cuenta los parámetros al momento del lanzamiento)

Si el mínimo espesor de la pared del globo para que el globo no se rompa es $0, 02 mm$ . g) Calcule cuál es el radio del globo justo antes de explotar.

Constantes que le pueden ser de utilidad: $R = 8.31 J/(mol K)$ $η = 1, 71 \cdot 1 0^{- 5} Pa\cdots$ $g = 10 m/s^{2}$

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

Un pallone meteorologico. Anche se sembra semplice programmare il lancio di un globo La meteorologia, rispetto al lancio di un satellite, è È necessario fare un diagramma corretto perché è molto importante l’apparecchiatura che porta sospesa come le informazioni che si vuole ottenere. Perché risolvere il problema reale è complesso, Ti sfido a fare qualche calcolo preliminare, che La Commissione ha adottato una proposta di regolamento che prevede che le misure di Calcoli che ci permettono di stimare il comportamento del globo

Meteorologia. Un globo meteorologico, di solito costruito da látex y lleno con hidrógeno (H $_{2}$ ) por su bajo costo, se utiliza para Alzare l’equipaggiamento che permette di misurare diversi parametri di interesse meteorologico in funzione dell’altezza (pressione, temperatura, umidità relativa, velocità e direzione del vento, concentrazione di ozono, ecc.). Poiché la pressione atmosferica diminuisce con L’altezza del globolo aumenta il suo volume fino a quando non si rompe, che determina la massima altezza che raggiungerà. Può arrivare circa a un’altezza di $30000 m$ e in alcuni casi raggiungere alti del ordine $50000 m$ .

Per i calcoli, supponiamo che il pallone che useremo abbia una forma sferica e che il gas all’interno (H $_{2}$ ) si comporta come un gas ideale, che è sottoposto alla la pressione atmosferica e la pressione che il globo esercita su di lei. La pressione esercitata dal globo Il gas dipende dal raggio $r$ del globolo e può avvicinarsi per

$P (r) = K [\frac{r _{0}}{r} - (\frac{r _{0}}{r})^{7}]$

dove $K$ è una costante che dipende dal globo e $r_{0}$ è il suo raggio interno quando non è gonfiato.

I dati disponibili per effettuare i calcoli sono:

Pressione atmosferica: $97000 Pa$
Temperatura ambiente: $17^{\circ} C$
$K = 80000 N/m^{2}$
$r_{0} = 10 cm$
Densità del lattice: $0, 96 g/cm^{3}$
Spessore della parete del globo deflato: $1, 5 mm$
Densità dell’aria: $1.29 kg/m^{3}$
Massa molare di H $_{2}$ : $2 g/mol$
Massa di apparecchiatura sospesa: $440 g$

a) Calcolare quanti molli di H $_{2}$ contengono il pallone quando viene inflato fino a un diametro interno di $1 m$ .

B. Determina il peso totale del globolo gonfiato
C. Calcola la spinta che si esercita sul pallone al momento del lancio.
D. Calcola la forza netta applicata sul globo meteorologico (inclusi i Equipaggiamento) al momento del lancio. e) Determina l’accelerazione del pallone al momento del lancio.

Sappiamo che quando il pallone sale l’aria lo stringe. il cui modulo per una sfera è $F_{v} = 6 π R η v$ , dove $R$ è il raggio della sfera, $η$ è la viscosità dell’aria e $v$ è la velocità del globolo.

f) Calcola la velocità limite che il globo raggiungerebbe durante la sua ascesa (solo considerando i parametri al momento del lancio)

Se il minimo spessore del muro del pallone per non rompere il pallone è $0, 02 mm$ . g) Calcolare il raggio del pallone appena prima di esplodere.

Costanti che possono essere utili: $R = 8.31 J/(mol K)$ $η = 1, 71 \cdot 1 0^{- 5} Pa\cdots$ $g = 10 m/s^{2}$

The weather balloon. Although it seems simple to program a balloon launch The weather forecast, compared to a satellite launch, is It is necessary to make a correct diagram because it is very important the equipment you carry suspended as information is You want to get it. Because solving the real problem is complex, I challenge you to do some preliminary calculations, which The Commission will be able to take a number of steps to simplify the Calculations, which allow us to estimate the behavior of the globe The weather. A weather balloon, usually constructed of Latex and hydrogen-filled (H $_{2}$ ) for its low cost, is used for The first is the use of a high-speed railway system. the meteorological interest based on altitude (pressure, temperature, relative humidity, wind speed and direction, concentration of ozone, etc.). Because the atmospheric pressure decreases with The height the balloon increases its volume until it breaks, which determines the maximum height it will reach. He can come. approximately $30000 m$ and in some cases reaching heights of the order $50000 m$ .

For the calculations, let’s assume that the balloon we’re going to use is spherical and The gas inside (H $_{2}$ ) behaves as an ideal gas, which is subject to the atmospheric pressure and the pressure exerted on the balloon. The pressure exerted by the balloon The gas is dependent on the radius $r$ of the balloon and can be approximated by

$P (r) = K [\frac{r _{0}}{r} - (\frac{r _{0}}{r})^{7}]$

where $K$ is a constant that depends on the balloon and $r_{0}$ is its inner radius when it is not inflated.

The data we have available for calculations are:

Air pressure: $97000 Pa$
Room temperature: $17^{\circ} C$
$K = 80000 N/m^{2}$
$r_{0} = 10 cm$
Density of latex: $0, 96 g/cm^{3}$
Wall thickness of the deflated balloon: $1, 5 mm$
Air density: $1.29 kg/m^{3}$
Molar mass of H $_{2}$ : $2 g/mol$
Mass of suspended equipment: $440 g$

(a) Calculate how many moles of H $_{2}$ the balloon contains when inflated to a diameter interno de $1 m$ .

B. Determine the total weight of the inflated balloon
C. Calculate the thrust exerted on the balloon at the time of launch.
D. Calculate the net force applied to the weather balloon (including the The Commission has already decided to adopt a new proposal for a directive on the protection of the environment. (e) Determine the acceleration of the balloon at the time of launch.

We know that when the balloon rises the air exerts a friction. cuyo módulo para una esfera es $F_{v} = 6 π R η v$ , donde $R$ es el radio de la esfera, $η$ es la The viscosity of the air and $v$ is the velocity of the balloon.

f) Calculate the maximum speed the balloon would reach in its ascent (only (having regard to the parameters at launch)

If the minimum wall thickness of the balloon to prevent the balloon from breaking is $0, 02 mm$ . (g) Calculate the radius of the balloon just before it explodes.

Constants that may be useful: $R = 8.31 J/(mol K)$ $η = 1, 71 \cdot 1 0^{- 5} Pa\cdots$ $g = 10 m/s^{2}$

Diseño de un vehículo eléctrico. En los últimos años ha habido un gran auge en la fabricación de automóviles eléctricos. Casi todas las marcas más importantes tienen modelos ya a la venta o modelos diseñados para el futuro. Las prestaciones de algunos de ellos son extraordinarias. Sin embargo la historia del automóvil eléctrico para nada es una historia que comenzó en los últimos años. Por el contrario en las dos primeras décadas del siglo XX hubo una proliferación de modelos de automóviles eléctricos, llegando en muchos casos a avances notables. El objetivo del presente problema es estudiar, desde el punto de vista de la física, algunas cuestiones mecánicas y eléctricas en el diseño de un automóvil eléctrico antiguo. Las características generales del vehículo son: i) Motor eléctrico de CC, $24$ Volts y $1 HP$ de potencia. La máxima velocidad de giro del eje del motor es $1750 RPM$ (revoluciones por minuto). ii) La masa del vehículo es de $400 kg$ . iii) El vehículo posee una transmisión a cadena, formada por un piñón de $6 cm$ de diámetro, montado sobre el eje del motor, y una corona de $24 cm$ , montada sobre el eje trasero del vehículo. El esquema de la transmisión se muestra en la figura 1. La foto de la figura 2 muestra esta transmisión para el caso de un vehículo Baker de 1907. La corona está montada de forma tal que tracciona sobre los dos semiejes traseros, y por lo tanto sobre las dos ruedas traseras. iv) La distancia entre los ejes del vehículo es $L = 175 cm$ y la posición del centro de masa está dada por las coordenadas $x_{1} = 75 cm$ y $h = 85 cm$ (ver figura 3). v) El vehículo tiene tres velocidades hacia adelante, controladas a través de resistencias – como se muestra en el diagrama de la figura 4 – y marcha atrás. Con el uso de esas resistencias, y de acuerdo a la posición de las llaves $L_{1}$ , $L_{2}$ y $L_{3}$ , se logra que las velocidades de giro del eje del motor sean: 1a marcha --- 1/3 de la velocidad máxima de giro del eje del motor; 2a marcha --- 2/3 de la velocidad máxima de giro del eje; 3a marcha --- velocidad máxima de giro del eje, es decir $1750 RPM$ . vi) Las ruedas de este vehículo son de $75 cm$ de diámetro y de masa $m = 35 kg$ cada una. Considérelas como un cilindro macizo.

I.- Diseño Mecánico a) Calcule la fuerza que ejerce el pavimento sobre cada una de las ruedas delanteras ( $F_{z 1}$ ) y sobre cada una de las ruedas traseras ( $F_{z 2}$ ), cuando el vehículo está en reposo. Suponga que el peso del vehículo se distribuye de tal forma que las fuerzas sobre las ruedas traseras son iguales entre sí, y las fuerzas sobre las ruedas delanteras son iguales entre sí. Ver figura 3. b) Encuentre expresiones para estas fuerzas, $F_{z 1}$ y $F_{z 2}$ , cuando el vehículo tiene una aceleración $a_{x}$ , a lo largo del eje $x$ . Para este cálculo tenga presente que el vehículo es de tracción trasera. c) Teniendo en cuenta los datos provistos en las características del vehículo, calcule el torque capaz de entregar el motor. Aquí tenga presente que $1 HP$ corresponde a $0.764 Kilowatts$ . d) Calcule el torque que la corona transmite a las ruedas traseras. e) Calcule la aceleración máxima que pueden proveer el motor y la transmisión instalados en el vehículo.

Datos a tener en cuenta: i) El momento de inercia, de un cilindro macizo de radio $b$ y masa $m$ , a lo largo del eje del cilindro es: $I = \frac{1}{2} m b^{2}$

ii) En el punto f) desprecie el momento de inercia del eje que une las ruedas traseras.

iii) Suponga que sobre ninguna parte mecánica móvil del vehículo hay rozamiento.

II.- Diseño eléctrico. f) Calcule la máxima intensidad de corriente que debe proveer la batería del vehículo. g) La figura 4 muestra el diagrama eléctrico de la caja de comando de nuestro auto eléctrico. Calcule los valores de las resistencias $R_{1}$ y $R_{2}$ para lograr las velocidades indicadas en las características generales del vehículo, Suponga que las revoluciones del motor es directamente proporcional a la corriente eléctrica que por él circula.

Topic: Rotational Dynamics, Circuits, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Kirchhoff’s Laws, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Gear, Wheel, Battery, Resistor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.4

Progettazione di un veicolo elettrico. Negli ultimi anni c’è stato un grande aumento nella produzione di auto elettriche. Quasi tutte le principali marche hanno già modelli in vendita o modelli progettati per il futuro. I risultati di alcuni di loro sono straordinari. Senza Tuttavia la storia dell’auto elettrica per niente è una storia che ha avuto inizio nel negli ultimi anni. Al contrario, nei primi due decenni del XX secolo c’è stata una La diffusione dei modelli di auto elettriche, in molti casi con progressi notevoli. L’obiettivo del problema è quello di studiare, dal punto di vista della fisica, alcune questioni meccaniche ed elettriche nel design di un’auto elettrica

Antico. Le caratteristiche generali del veicolo sono: (i) Motore elettrico CC, $24$ Volts e $1 HP$ potenza. La velocità massima di rotazione del L’asse del motore è $1750 RPM$ (rivoluzioni al minuto). (ii) La massa del veicolo è $400 kg$ . (iii) Il veicolo è dotato di una trasmissione a catena, costituita da un pignone $6 cm$ di diametro montato sull’asse del motore e una corona $24 cm$ montata sul il rear axle del veicolo. Il schema della trasmissione è mostrato in figura 1. La Foto di figura 2 mostra questa trasmissione per il caso di un veicolo Baker di

La corona è montata in modo tale che traccia sulle due semie le spalle, e quindi sulle due ruote posteriori. iv) La distanza tra gli assi del veicolo è $L = 175 cm$ e la posizione del centro di massa è data dalle coordinate $x_{1} = 75 cm$ e $h = 85 cm$ (vedere figura 3). v) Il veicolo ha tre velocità in avanti, controllate attraverso resistenze come mostrato nel diagramma di figura 4 e retrocesso. Con l’uso di tali resistenze, e secondo la posizione delle chiavi $L_{1}$ , $L_{2}$ e $L_{3}$ , si Il motore può ottenere velocità di rotazione dell’asse motore di: 1° marcia --- 1/3 della velocità di rotazione motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore velocità massima di rotazione dell’asse del motore; 2a corsa --- 2/3 della velocità 3a rotazione --- velocità massima di rotazione dell’asse, cioè $1750 RPM$ . vi) Le ruote di questo veicolo sono $75 cm$ di diametro e $m = 35 kg$ di massa per ciascuna

Uno. Considerateli come un cilindro massiccio.

I. Disegno meccanico a) Calcolare la forza esercitata dal pavimento su ciascuna delle ruote anteriori ( $F_{z 1}$ ) e su ciascuna delle ruote posteriori ( $F_{z 2}$ ), quando il veicolo è in Riposo. Supponiamo che il peso del veicolo sia distribuito in modo tale che le forze sulle ruote posteriori sono uguali tra loro, e le forze sulle ruote Le facce sono uguali. Vedi figura 3. b) Trova espressioni per queste forze, $F_{z 1}$ e $F_{z 2}$ , quando il veicolo ha una forza di Accelerazione $a_{x}$ , lungo l’asse $x$ . Per questo calcolo, si noti che il veicolo È a trazione posteriore. (c) Considerando i dati forniti nelle caratteristiche del veicolo, calcolare la coppia che può produrre il motore. Si noti che $1 HP$ corrisponde a $0.764 Kilowatts$ . d) Calcolare la torsione che la corona trasmette alle ruote posteriori. e) Calcolare l’accelerazione massima che il motore e la trasmissione possono fornire installati nel veicolo.

Dati da tenere conto: (i) Il momento di inerzia di un cilindro massiccio di radio $b$ e di massa $m$ , lungo il l’asse del cilindro è: $I = \frac{1}{2} m b^{2}$

(ii) al punto (f) disprezza il momento di inerzia dell’asse che unisce le ruote

Le sue sedute.

(iii) Supponi che non vi sia lacerazione su nessuna parte meccanica mobile del veicolo.

II. Progettazione elettrica. f) Calcolare la massima intensità di corrente che deve essere fornita dalla batteria del veicolo. g) La figura 4 mostra il diagramma elettrico del comando della nostra auto elettrico. Calcolare i valori delle resistenze $R_{1}$ e $R_{2}$ per ottenere le velocità Le caratteristiche generali del veicolo sono indicate: La velocità di rotazione del motore è direttamente proporzionale al corrente elettrica che per

E’ in circolazione.

Design of an electric vehicle. In recent years there has been a huge boom in the manufacture of electric cars. Almost all major brands have models already on sale or models Designed for the future. The performance of some of them is extraordinary. Without However the history of the electric car for nothing is a story that began in the In recent years. On the contrary, in the first two decades of the 20th century there was a The proliferation of electric car models, in many cases leading to advances in the The two are remarkable. The aim of this problem is to study, from the point of view of the Physics, some mechanical and electrical issues in the design of an electric car old. The general characteristics of the vehicle are: (i) Electric motor of DC, $24$ Volts and $1 HP$ power. The maximum speed of rotation of the The engine axis is $1750 RPM$ (revolution per minute). (ii) The mass of the vehicle is $400 kg$ . (iii) The vehicle has a chain transmission, consisting of a $6 cm$ piston diameter, mounted on the engine axle, and a crown of $24 cm$ , mounted on the engine axle the rear axle of the vehicle. The transmission scheme is shown in Figure 1. La image in Figure 2 shows this transmission for the case of a Baker vehicle from 1907. The crown is mounted in such a way that it traces over the two semis rear wheels, and therefore on the two rear wheels. (iv) The distance between the axles of the vehicle is $L = 175 cm$ and the position of the centre of the vehicle mass is given by the coordinates $x_{1} = 75 cm$ and $h = 85 cm$ (see Figure 3). (v) The vehicle has three forward speeds, controlled by means of resistance as shown in Figure 4 and backwards. With the use of these resistors, and according to the position of the keys $L_{1}$ , $L_{2}$ and $L_{3}$ , is achieves the engine axle rotational speeds of: 1st gear --- 1/3 of the engine axle Maximum speed of engine axle rotation; 2nd gear --- 2/3 of the speed maximum axle turn; 3rd gear --- maximum axle turn speed, i.e. $1750 RPM$ . (vi) The wheels of this vehicle are $75 cm$ in diameter and $m = 35 kg$ in mass each. One of them. Consider them a massive cylinder.

I. Mechanical design (a) Calculate the force exerted by the pavement on each of the front wheels ( $F_{z 1}$ ) and on each rear wheel ( $F_{z 2}$ ) when the vehicle is in I’m going to rest. Suppose that the vehicle weight is distributed in such a way that the forces The rear wheels are equal to each other, and the forces on the wheels are equal to each other. The front is equal to each other. See figure 3. (b) Find expressions for these forces, $F_{z 1}$ and $F_{z 2}$ , when the vehicle has a The acceleration $a_{x}$ , along the $x$ axis. For this calculation, please note that the vehicle It’s rear-wheel drive. (c) Taking into account the data provided in the vehicle characteristics, calculate the the torque capable of delivering the engine. Please note that $1 HP$ corresponds to $0.764 Kilowatts$ . (d) Calculate the torque that the crown transmits to the rear wheels. (e) Calculate the maximum acceleration that the engine and transmission can provide installed in the vehicle.

Data to be taken into account: (i) The moment of inertia of a mass cylinder with radius $b$ and mass $m$ , along the The axis of the cylinder is: $I = \frac{1}{2} m b^{2}$

(ii) In point (f) disregard the moment of inertia of the axle joining the wheels The backs.

(iii) Assume that no moving mechanical part of the vehicle is bruised.

II. Electrical design. (f) Calculate the maximum current intensity to be supplied by the vehicle battery. g) Figure 4 shows the electrical diagram of the control box of our car electrical. Calculate the resistance values $R_{1}$ and $R_{2}$ to achieve the speeds The vehicle’s general characteristics are indicated. The engine rotations are directly proportional to the electric current that He’s circulating.

Hagamos danzar a los imanes de los núcleos. Los núcleos de los átomos poseen una propiedad física cuántica, sin análogo clásico, denominada espín nuclear. Una particularidad del espín nuclear es que, ante la presencia de un campo magnético estático y homogéneo $B_{0}$ , se comportan como si fueran pequeños imanes con un momento magnético $μ = γ ℏ I$ , donde $I$ es el “vector cuántico” momento angular del espín nuclear, $γ$ la constante geomagnética del núcleo y $ℏ$ la constante de Planck dividido $2 π$ . Al valor del espín nuclear se lo denota por la letra $I$ y se llama número cuántico de espín. Excepto por el hecho que la proyección de $I$ en la dirección del campo magnético externo, ver Figura 1, adopta solo ciertos valores discretos (cuantificación) el comportamiento del momento magnético de los espines se puede modelar por las reglas del electromagnetismo clásico. Vamos a tratar con núcleos de Hidrógeno (protones), que son muy abundantes en el cuerpo humano. Para estos núcleos $I = 1/2$ . La proyección de $I$ sobre el eje $z$ , toma para el caso del protón, dos valores $m = + 1/2$ y $m = - 1/2$ . Esto quiere decir que tendremos algunos espines con su proyección sobre la dirección del eje $z$ apuntado paralelos al campo externo y otros apuntado antiparalelos al campo externo. Por cuestiones energéticas tendremos mas espines apuntando paralelos al campo $B_{0}$ que antiparalelos al campo $B_{0}$ . Esto dará origen a una magnetización neta en la dirección de $B_{0}$ , ver Figura 1.

La magnetización total que surge de los espines nucleares de la muestra, es una cantidad vectorial y está dada por

$M = \sum_{i} μ_{i} (ec. 1)$

donde $μ_{i}$ es el momento magnético del núcleo $i$ . Usando que $μ_{i} = γ ℏ I_{i}$ , la magnetización de la muestra se puede escribir como

$M = γ ℏ J (ec. 2)$

donde $J = \sum_{i} I_{i}$ es el momento angular total de espín de la muestra. Si la muestra se coloca en presencia de un campo magnético $B_{0}$ uniforme, como es el caso de un experimento de Resonancia Magnética Nuclear (RMN), se ejerce un torque $T_{M}$ sobre el vector magnetización donde el torque está dado por

$T_{M} = M \times B_{0} (ec. 3)$

Se puede mostrar que la magnetización precesa (movimiento de trompo) alrededor del campo magnético a una frecuencia angular constante de módulo

$ω = γ B_{0} (ec. 4)$

(ver Figura 2).

La expresión de la magnetización inducida por los espines nucleares de protones a temperatura ambiente ( $T_{a}$ ) es

$M = \frac{μ _{0} γ ^{2} ℏ ^{2} n}{4 k _{B} T _{a}} B_{0} = 4.04 \times 1 0^{- 9} B_{0} (ec. 5)$

Donde $n$ es el número de espines nucleares de protones por unidad de volumen, $μ_{0}$ la permeabilidad magnética del vacío, $k_{B}$ la constante de Boltzmann y $T_{a}$ la temperatura ambiente en K. La unidad de $M$ es el Tesla ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ). En un experimento de RMN se usa sacar del equilibrio la magnetización $M$ mediante la aplicación de un campo magnético alterno $B_{1}$ perpendicular al campo externo $B_{0}$ . Este campo $B_{1}$ se aplica durante unos pocos microsegundos. La situación luego de aplicar este campo $B_{1}$ es la que se muestra en la Figura 3. Entonces la magnetización $M$ girará alrededor del campo $B_{0}$ en el plano xy.

Para detectar la señal generada por los núcleos en un experimento de RMN se coloca una bobina, digamos a lo largo del eje x, de modo que esta detecte la variación de flujo de campo magnético a través de ella, generada por la magnetización rotante $M$ en el plano xy. En nuestro caso particular la magnitud de la magnetización a lo largo del eje de la bobina tendrá una dependencia temporal dada por la ecuación 6

$M (t) = M_{0} sen (ω t) (ec. 6)$

con $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz). Para simplificar los cálculos supondremos que $M (t)$ varía linealmente con el tiempo, es decir aproximamos la función seno por una función diente de sierra, ver Figura 4.

Asumiendo que la relación entre campo magnético y magnetización está dado por

$B_{M} = M (ec. 7)$

y el valor máximo de $M$ a lo largo de la bobina es $M = 6.06 \times 1 0^{- 9} T$ ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ).

a) A partir de la ecuación 5 encuentre el valor de $B_{0}$ .

b) Determine el periodo de $M (t)$ (ecuación 6).

El circuito resonante La bobina utilizada en un experimento de RMN forma parte de un circuito eléctrico, que en su forma más simple puede ser descrito por un circuito tipo RLC serie. c) Encuentre una expresión para la impedancia compleja de un circuito RLC serie, recuerde que $Z_{L} = iω L$ , $Z_{R} = R$ y $Z_{C} = - i / (ω C)$ . Donde $i$ es la unidad imaginaria.

Se dice que un circuito RLC está en resonancia cuando la frecuencia de trabajo es tal que la parte imaginaria de $Z$ es cero.

d) Asumiendo que para nuestro circuito es: $C = 10 pF$ (p = pico $= 1 \times 1 0^{- 12}$ ), $R = 50 ohm$ y la frecuencia de trabajo $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz) encuentre el valor de $L$ .

La relajación En RMN existen parámetros físicos que cuantifican el retorno al equilibrio de la magnetización $M$ generada por los núcleos. Uno de ellos es la constante de relajación $T_{2}$ . Esta constante es utilizada para diferenciar entre tejido biológico sano y tejido biológico enfermo. Para obtener el valor de esta constante se hacen experimentos donde se observa el decaimiento temporal de la magnetización. En esos experimentos la dependencia temporal de la magnetización es como lo indica la ecuación 7.

$M (t) = M_{0} exp (- \frac{t}{T _{2}}) (ec. 7)$

En las gráficas siguientes se muestran dos mediciones experimentales de esos decaimientos. Los valores son reproducidos en la Tabla 1.

Tabla 1: Experimentos de relajación $T_{2}$ de la magnetización

tiempo (ms)	Paciente 1 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)	Paciente 2 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)
0,0	$11 \pm 1$	$12 \pm 1$
111,1	$6, 5 \pm 0, 6$	$7, 0 \pm 0, 7$
222,2	$5, 4 \pm 0, 5$	$4, 7 \pm 0, 5$
333,3	$2, 3 \pm 0, 5$	$1, 7 \pm 0, 3$
444,4	$2, 0 \pm 0, 4$	$0, 3 \pm 0, 5$
555,6	$1, 2 \pm 0, 2$	$0, 3 \pm 0, 5$
666,7	$0, 7 \pm 0, 3$	$0, 21 \pm 0, 08$
777,7	$0, 6 \pm 0, 2$	$0, 13 \pm 0, 05$
888,8	$0, 3 \pm 0, 1$	$0, 05 \pm 0, 02$
1000,0	$0, 20 \pm 0, 08$	$0, 03 \pm 0, 01$

e) Obtenga a partir de los datos experimentales los valores de $T_{2}$ para ambos tipo de tejidos. Recuerde que el tiempo $t^{'}$ para el cual la magnetización ha decaído a un 37% de su valor inicial es $t^{'} = T_{2}$ .

f) Sabiendo que $T_{2}$ para tejido sano es $T_{2} > 220 ms$ y para tejido enfermo es $T_{2} < 220 ms$ , indique cuál de las curvas corresponde al tejido sano y cual al tejido enfermo.

Instancia Nacional Prueba Experimental Nivel 1

Péndulo de Torsión.

Introducción. Un péndulo de torsión consiste de un cuerpo suspendido de un alambre o de un resorte. Cuando se hace girar el cuerpo, alrededor del eje del alambre, experimentará un torque que tiende hacerlo volver a la posición de equilibrio. Si se deja libre al cuerpo este comenzará a oscilar alrededor de la posición de equilibrio. Para pequeñas amplitudes el periodo del péndulo de torsión es:

$T = 2 π \frac{I}{K} (1)$

Donde $I$ es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de rotación y $K$ es la constante de torsión del alambre o resorte.

Si el cuerpo es como el de la figura, constituido por un cilindro vertical, el cual es atravesado por una varilla roscada, y dos masas puntuales ( $M$ ) el momento de inercia será:

$I = I_{a} + 2 M d^{2} (2)$

Donde $I_{a}$ es el momento de inercia del cilindro atravesado por la varilla roscada y $M d^{2}$ es el momento de inercia de cada una de las masas cilíndricas de bronce que se encuentran a una distancia $d$ del eje de rotación.

Objetivo. Determinar experimentalmente la relación entre $T^{2}$ y $d^{2}$ para un péndulo de torsión.

Elementos disponibles.

Péndulo de torsión
2 masas de bronce de ---- g
Cronómetro
Regla
Papel milimetrado

Procedimiento.

Nivele la base con los tornillos para que el cilindro de aluminio no toque las paredes del hueco en la base de madera.
Mida el periodo del péndulo sin masas.
Coloque las masas en la varilla roscada como se muestra en la Figura 1.
Mida la distancia $d$ y el período de oscilación.
Repita el punto 4 para distintos valores de $d$ .

Consignas.

Topic: Magnetism, Circuits, Modern-Quantum Physics Metodi: Faraday’s Law of Induction, Equivalent Circuit Reduction, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Coil, Resistor, Capacitor, Nucleus, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.6

Facciamo danzare i magneti dei nuclei. I nuclei degli atomi possiedono una proprietà fisica quantistica, senza analogo classico, chiamata spin nucleare. Una particolarità dello spin nucleare è che, in presenza di un campo magnetico statico e omogeneo $B_{0}$ , si comportano come se fossero piccoli magneti con un momento magnetico $μ = γ ℏ I$ , dove $I$ è il “vettore quantistico” momento angolare dello spin nucleare, $γ$ la costante geomagnetica del nucleo e $ℏ$ la costante di Planck divisa per $2 π$ . Il valore dello spin nucleare si indica con la lettera $I$ e si chiama numero quantico di spin. Eccetto per il fatto che la proiezione di $I$ nella direzione del campo magnetico esterno, vedi Figura 1, assume solo certi valori discreti (quantizzazione), il comportamento del momento magnetico degli spin si può modellare con le regole dell’elettromagnetismo classico. Tratteremo nuclei di Idrogeno (protoni), che sono molto abbondanti nel corpo umano. Per questi nuclei $I = 1/2$ . La proiezione di $I$ sull’asse $z$ assume, nel caso del protone, due valori $m = + 1/2$ e $m = - 1/2$ . Questo significa che avremo alcuni spin con la loro proiezione sulla direzione dell’asse $z$ diretta parallela al campo esterno e altri diretti antiparalleli al campo esterno. Per ragioni energetiche avremo più spin diretti paralleli al campo $B_{0}$ che antiparalleli al campo $B_{0}$ . Questo darà origine a una magnetizzazione netta nella direzione di $B_{0}$ , vedi Figura 1.

La magnetizzazione totale che deriva dagli spin nucleari del campione è una quantità vettoriale ed è data da

$M = \sum_{i} μ_{i} (ec. 1)$

dove $μ_{i}$ è il momento magnetico del nucleo $i$ . Usando che $μ_{i} = γ ℏ I_{i}$ , la magnetizzazione del campione si può scrivere come

$M = γ ℏ J (ec. 2)$

dove $J = \sum_{i} I_{i}$ è il momento angolare totale di spin del campione. Se il campione viene posto in presenza di un campo magnetico $B_{0}$ uniforme, come nel caso di un esperimento di Risonanza Magnetica Nucleare (RMN), si esercita un momento torcente $T_{M}$ sul vettore magnetizzazione, dove il momento torcente è dato da

$T_{M} = M \times B_{0} (ec. 3)$

Si può mostrare che la magnetizzazione precede (moto di trottola) attorno al campo magnetico a una frequenza angolare costante di modulo

$ω = γ B_{0} (ec. 4)$

(vedi Figura 2).

L’espressione della magnetizzazione indotta dagli spin nucleari dei protoni a temperatura ambiente ( $T_{a}$ ) è

$M = \frac{μ _{0} γ ^{2} ℏ ^{2} n}{4 k _{B} T _{a}} B_{0} = 4.04 \times 1 0^{- 9} B_{0} (ec. 5)$

Dove $n$ è il numero di spin nucleari dei protoni per unità di volume, $μ_{0}$ la permeabilità magnetica del vuoto, $k_{B}$ la costante di Boltzmann e $T_{a}$ la temperatura ambiente in K. L’unità di $M$ è il Tesla ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ). In un esperimento di RMN si usa portare fuori dall’equilibrio la magnetizzazione $M$ mediante l’ applicazione di un campo magnetico alternato $B_{1}$ perpendicolare al campo esterno $B_{0}$ . Questo campo $B_{1}$ si applica per pochi microsecondi. La situazione dopo l’applicazione di questo campo $B_{1}$ è quella mostrata nella Figura 3. Allora la magnetizzazione $M$ ruoterà attorno al campo $B_{0}$ nel piano xy.

Per rilevare il segnale generato dai nuclei in un esperimento di RMN si pone una bobina, diciamo lungo l’asse x, in modo che essa rilevi la variazione del flusso di campo magnetico attraverso di essa, generata dalla magnetizzazione rotante $M$ nel piano xy. Nel nostro caso particolare il modulo della magnetizzazione lungo l’asse della bobina avrà una dipendenza temporale data dall’equazione 6

$M (t) = M_{0} sen (ω t) (ec. 6)$

con $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz). Per semplificare i calcoli supporremo che $M (t)$ vari linearmente con il tempo, cioè approssimiamo la funzione seno con una funzione a dente di sega, vedi Figura 4.

Assumendo che la relazione tra campo magnetico e magnetizzazione sia data da

$B_{M} = M (ec. 7)$

e il valore massimo di $M$ lungo la bobina è $M = 6.06 \times 1 0^{- 9} T$ ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ).

a) A partire dall’equazione 5 trova il valore di $B_{0}$ .

b) Determina il periodo di $M (t)$ (equazione 6).

Il circuito risonante La bobina utilizzata in un esperimento di RMN fa parte di un circuito elettrico, che nella sua forma più semplice può essere descritto da un circuito di tipo RLC serie. c) Trova un’espressione per l’impedenza complessa di un circuito RLC serie, ricorda che $Z_{L} = iω L$ , $Z_{R} = R$ e $Z_{C} = - i / (ω C)$ . Dove $i$ è l’unità immaginaria.

Si dice che un circuito RLC è in risonanza quando la frequenza di lavoro è tale che la parte immaginaria di $Z$ è zero.

d) Assumendo che per il nostro circuito sia: $C = 10 pF$ (p = pico $= 1 \times 1 0^{- 12}$ ), $R = 50 ohm$ e la frequenza di lavoro $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz) trova il valore di $L$ .

Il rilassamento Nella RMN esistono parametri fisici che quantificano il ritorno all’equilibrio della magnetizzazione $M$ generata dai nuclei. Uno di essi è la costante di rilassamento $T_{2}$ . Questa costante è utilizzata per distinguere tra tessuto biologico sano e tessuto biologico malato. Per ottenere il valore di questa costante si eseguono esperimenti in cui si osserva il decadimento temporale della magnetizzazione. In tali esperimenti la dipendenza temporale della magnetizzazione è come indica l’equazione 7.

$M (t) = M_{0} exp (- \frac{t}{T _{2}}) (ec. 7)$

Nei grafici seguenti sono mostrate due misure sperimentali di tali decadimenti. I valori sono riprodotti nella Tabella 1.

Tabella 1: Esperimenti di rilassamento $T_{2}$ della magnetizzazione

tempo (ms)	Paziente 1 — Intensità di magnetizzazione ( $1 0^{- 9}$ T)	Paziente 2 — Intensità di magnetizzazione ( $1 0^{- 9}$ T)
0,0	$11 \pm 1$	$12 \pm 1$
111,1	$6, 5 \pm 0, 6$	$7, 0 \pm 0, 7$
222,2	$5, 4 \pm 0, 5$	$4, 7 \pm 0, 5$
333,3	$2, 3 \pm 0, 5$	$1, 7 \pm 0, 3$
444,4	$2, 0 \pm 0, 4$	$0, 3 \pm 0, 5$
555,6	$1, 2 \pm 0, 2$	$0, 3 \pm 0, 5$
666,7	$0, 7 \pm 0, 3$	$0, 21 \pm 0, 08$
777,7	$0, 6 \pm 0, 2$	$0, 13 \pm 0, 05$
888,8	$0, 3 \pm 0, 1$	$0, 05 \pm 0, 02$
1000,0	$0, 20 \pm 0, 08$	$0, 03 \pm 0, 01$

e) Ottieni a partire dai dati sperimentali i valori di $T_{2}$ per entrambi i tipi di tessuto. Ricorda che il tempo $t^{'}$ per cui la magnetizzazione è decaduta al 37% del suo valore iniziale è $t^{'} = T_{2}$ .

f) Sapendo che $T_{2}$ per il tessuto sano è $T_{2} > 220 ms$ e per il tessuto malato è $T_{2} < 220 ms$ , indica quale delle curve corrisponde al tessuto sano e quale al tessuto malato.

Fase Nazionale Prova Sperimentale Livello 1

Pendolo di Torsione.

Introduzione. Un pendolo di torsione consiste in un corpo sospeso a un filo o a una molla. Quando si fa ruotare il corpo attorno all’asse del filo, esso sperimenterà un momento torcente che tende a farlo tornare nella posizione di equilibrio. Se si lascia libero il corpo, esso comincerà a oscillare attorno alla posizione di equilibrio. Per piccole ampiezze il periodo del pendolo di torsione è:

$T = 2 π \frac{I}{K} (1)$

Dove $I$ è il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione e $K$ è la costante di torsione del filo o della molla.

Se il corpo è come quello della figura, costituito da un cilindro verticale, attraversato da un’asta filettata, e da due masse puntiformi ( $M$ ), il momento d’inerzia sarà:

$I = I_{a} + 2 M d^{2} (2)$

Dove $I_{a}$ è il momento d’inerzia del cilindro attraversato dall’asta filettata e $M d^{2}$ è il momento d’inerzia di ciascuna delle masse cilindriche di bronzo che si trovano a una distanza $d$ dall’asse di rotazione.

Obiettivo. Determinare sperimentalmente la relazione tra $T^{2}$ e $d^{2}$ per un pendolo di torsione.

Elementi disponibili.

Pendolo di torsione
2 masse di bronzo da ---- g
Cronometro
Righello
Carta millimetrata

Procedimento.

Livella la base con le viti in modo che il cilindro di alluminio non tocchi le pareti della cavità nella base di legno.
Misura il periodo del pendolo senza masse.
Colloca le masse sull’asta filettata come mostrato nella Figura 1.
Misura la distanza $d$ e il periodo di oscillazione.
Ripeti il punto 4 per diversi valori di $d$ .

Consegne.

Let’s dance the magnets of the cores. The nuclei of atoms have a quantum physical property, with no classical analogues, The nuclear spine. The nuclear spine is characterized by the fact that, in the face of the the presence of a static and homogeneous magnetic field $B_{0}$ , behave as if were small magnets with a magnetic moment $μ = γ ℏ I$ , where $I$ is the vector Quantum angular moment of the nuclear spin, $γ$ the geomagnetic constant of the nucleus and $ℏ$ The Planck constant divided by $2 π$ . The value of the nuclear spin is indicated by the letter $I$ and It’s called the spin quantum number. Except for the fact that the projection of $I$ in the The direction of the external magnetic field, see Figure 1, takes only certain values The magnetic moment behaviour of the spines is You can model by the rules of classical electromagnetism. We’re going to deal with hydrogen nuclei (protons), which are very abundant in the human body. For these cores $I = 1/2$ . The projection of $I$ on the $z$ axis, takes for the proton case, dos valores $m = + 1/2$ y $m = - 1/2$ . This means we’ll have some thorns with your projection on the direction of the $z$ axis pointed parallel to the external field and other counterparts to the external field. For energy reasons we will have more thorns pointing parallels to the $B_{0}$ field that are anti-parallels to the $B_{0}$ field. This will give origin of net magnetisation in the direction of $B_{0}$ , see Figure 1 is shown.

The total magnetization that arises from the nuclear spines in the sample is a vector quantity and is given by

$M = \sum_{i} μ_{i} (ec. 1)$

where $μ_{i}$ is the magnetic moment of the core $i$ . Using $μ_{i} = γ ℏ I_{i}$ , the magnetization of the sample can be written as

$M = γ ℏ J (ec. 2)$

where $J = \sum_{i} I_{i}$ is the total angular moment of spin of the sample. If the sample is puts in the presence of a uniform magnetic field $B_{0}$ , as is the case with a experimento de Resonancia Magnética Nuclear (RMN), se ejerce un torque $T_{M}$ sobre el magnetization vector where the torque is given by

$T_{M} = M \times B_{0} (ec. 3)$

It can be shown that the magnetization precesses (tube movement) around the magnetic field at a constant angular frequency of the module

$ω = γ B_{0} (ec. 4)$

(see Figure 2).

The expression of the magnetization induced by the proton nuclear spines to The ambient temperature ( $T_{a}$ ) is

$M = \frac{μ _{0} γ ^{2} ℏ ^{2} n}{4 k _{B} T _{a}} B_{0} = 4.04 \times 1 0^{- 9} B_{0} (ec. 5)$

Where $n$ is the number of proton nuclear spins per unit volume, $μ_{0}$ is the The magnetic permeability of the vacuum, $k_{B}$ the Boltzmann constant and $T_{a}$ the temperature environment in K. The unit of $M$ is the Tesla ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ). In an MRI experiment, the magnetization $M$ is used to remove the magnetization from the equilibrium by aplicación de un campo magnético alterno $B_{1}$ perpendicular al campo externo $B_{0}$ . This one The $B_{1}$ field is applied for a few microseconds. The situation after application This $B_{1}$ field is the one shown in Figure 3. Then the magnetization $M$ will rotate around the $B_{0}$ field in the xy plane.

To detect the signal generated by the cores in an MRI experiment, a coil, let’s say along the x-axis, so that it detects the flow variation magnetic field through it, generated by the rotating magnetization $M$ at the plane xy. In our particular case the magnitude of the magnetization along the axis of the coil will have a temporary dependence given by equation 6

$M (t) = M_{0} sen (ω t) (ec. 6)$

with $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz). To simplify the calculations, we will assume that $M (t)$ varies linearly over time, is So we’re going to approximate the sinus function by a saw tooth function, see Figure 4.

Assuming that the magnetic field-magnetization relationship is given by

$B_{M} = M (ec. 7)$

and the maximum value of $M$ along the coil is $M = 6.06 \times 1 0^{- 9} T$ ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ).

(a) From equation 5, find the value of $B_{0}$ .

(b) Determine the period of $M (t)$ (e.g. equation 6).

Resonance circuit The coil used in an MRI experiment is part of an electrical circuit, which In its simplest form it can be described by a series RLC type circuit. (c) Find an expression for the complex impedance of a serial RLC circuit, recuerde que $Z_{L} = iω L$ , $Z_{R} = R$ y $Z_{C} = - i / (ω C)$ . Where $i$ is the imaginary unit.

An RLC circuit is said to be in resonance when the working frequency is such that that the imaginary part of $Z$ is zero.

d) Assuming that for our circuit it is: $C = 10 pF$ (p = peak $= 1 \times 1 0^{- 12}$ ), The frequency of the working $R = 50 ohm$ and the working $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz) Find the value of $L$ .

Relaxation In MRI there are physical parameters that quantify the return to equilibrium of the Magnetization $M$ generated by the cores. Uno de ellos es la constante de relajación $T_{2}$ . This constant is used to differentiate between healthy biological tissue and biological tissue. I’m sick of it. To get the value of this constant, experiments are done where It observes the temporary decay of the magnetization. In these experiments, the The time dependence of magnetization is as shown by equation 7.

$M (t) = M_{0} exp (- \frac{t}{T _{2}}) (ec. 7)$

The following graphs show two experimental measurements of these decay. The values are shown in Table 1.

Table 1: Relaxation experiments of the magnetisation $T_{2}$

tiempo (ms)	Paciente 1 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)	Paciente 2 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)
0,0	$11 \pm 1$	$12 \pm 1$
111,1	$6, 5 \pm 0, 6$	$7, 0 \pm 0, 7$
222,2	$5, 4 \pm 0, 5$	$4, 7 \pm 0, 5$
333,3	$2, 3 \pm 0, 5$	$1, 7 \pm 0, 3$
444,4	$2, 0 \pm 0, 4$	$0, 3 \pm 0, 5$
555,6	$1, 2 \pm 0, 2$	$0, 3 \pm 0, 5$
666,7	$0, 7 \pm 0, 3$	$0, 21 \pm 0, 08$
777,7	$0, 6 \pm 0, 2$	$0, 13 \pm 0, 05$
888,8	$0, 3 \pm 0, 1$	$0, 05 \pm 0, 02$
1000,0	$0, 20 \pm 0, 08$	$0, 03 \pm 0, 01$

(e) Get from the experimental data the values of $T_{2}$ for both types of tissues. Remember that the time $t^{'}$ for which the magnetization has fallen to a 37% of its initial value is $t^{'} = T_{2}$ .

(f) Knowing that $T_{2}$ for healthy tissue is $T_{2} > 220 ms$ and for diseased tissue is $T_{2} < 220 ms$ , indicate which of the curves corresponds to healthy tissue and which to tissue I’m sick of it.

National court The test shall be carried out in accordance with the following conditions: Level 1

Torsion pendulum.

I’ll give you an introduction. A torsion pendulum consists of a suspended body of a wire or spring. When the body is rotated around the wire axis, it will experience torque which tends to bring it back to the equilibrium position. If you let this body go free It will begin to oscillate around the equilibrium position. For small amplitudes the The torsion pendulum period is:

$T = 2 π \frac{I}{K} (1)$

Where $I$ is the torque of the body with respect to the rotating axis and $K$ is the torque of the body with respect to the axis of rotation. The wire or spring torque constant.

If the body is like the figure, consisting of a vertical cylinder, which is through a threaded rod, and two point masses ( $M$ ) the moment of inertia shall be:

$I = I_{a} + 2 M d^{2} (2)$

Where $I_{a}$ is the moment of inertia of the cylinder through the threaded rod and $M d^{2}$ is The moment of inertia of each of the cylindrical masses of bronze found at a distance $d$ from the rotating axis.

Goal. Experimentally determine the ratio between $T^{2}$ and $d^{2}$ for a torsion pendulum.

Available items.

Torsion pendulum
2 copper masses of ---- g
The time-meter
The rule .
Millimeter paper

The procedure.

Level the base with the screws so that the aluminium cylinder does not touch the walls The hole in the wooden base.
Measure the period of the pendulum without mass.
Place the masses on the threaded rod as shown in Figure 1.
Measure the distance $d$ and the oscillation period.
Repeat point 4 for different values of $d$ .

You’re giving up.

$P (r) = K [\frac{r _{0}}{r} - (\frac{r _{0}}{r})^{7}]$

donde $K$ es una constante que depende del globo y $r_{0}$ es su radio interno cuando no está inflado.

Los datos que disponemos para realizar los cálculos son:

Presión atmosférica: $97000 Pa$
Temperatura ambiente: $17^{\circ} C$
$K = 80000 N/m^{2}$
$r_{0} = 10 cm$
Densidad del latex: $0, 96 g/cm^{3}$
Espesor de la pared del globo desinflado: $1, 5 mm$
Densidad del aire: $1.29 kg/m^{3}$
Masa molar del H $_{2}$ : $2 g/mol$
Masa del equipamiento suspendido: $440 g$

a) Calcule cuántos moles de H $_{2}$ contiene el globo cuando se lo infla hasta un diámetro interno de $1 m$ .

B. Determine el peso total del globo inflado
C. Calcule el empuje que se ejerce sobre el globo en el momento de lanzarlo.
D. Calcule cuál es la fuerza neta aplicada sobre el globo meteorológico (incluido el equipamiento) al momento de lanzarlo. e) Determine la aceleración del globo al momento de lanzarlo.

f) Calcule cuál es la velocidad límite que alcanzaría el globo en su ascenso (sólo teniendo en cuenta los parámetros al momento del lanzamiento)

Si el mínimo espesor de la pared del globo para que el globo no se rompa es $0, 02 mm$ . g) Calcule cuál es el radio del globo justo antes de explotar. h) Suponiendo que el gas en su ascenso ha sufrido una expansión adiabática, determine cuál sería la temperatura del gas en el interior del globo justo antes de explotar. i) Si el instrumental indica que la temperatura externa es de $- 60^{\circ} C$ ¿es válida la suposición del punto anterior? j) Suponiendo que la temperatura del gas en el interior del globo justo antes de explotar es igual a la externa, determine la presión del gas en el interior del globo.

Sabiendo que la presión atmosférica varía con la altura de acuerdo a la expresión

$P_{a t} (h) = P_{o} e^{- α h}$

donde $P_{o}$ es la presión atmosférica a nivel del piso y $α = 0, 116 Km^{- 1}$

k) calcule la máxima altura que alcanza el globo antes de estallar.

Constantes que le pueden ser de utilidad: $R = 8.31 J/(mol K)$ $η = 1, 71 \cdot 1 0^{- 5} Pa\cdots$ $g = 10 m/s^{2}$ $γ = c_{p} / c_{v} = 7/5$

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.17

Meteorologia. Un globo meteorologico, di solito costruito da látex y lleno con hidrógeno (H $_{2}$ ) por su bajo costo, se utiliza para Alzare l’equipaggiamento che permette di misurare diversi parametri di interesse meteorologico in funzione dell’altezza (pressione, temperatura, umidità relativa, velocità e direzione del vento, concentrazione di ozono, ecc.). Poiché la pressione atmosferica diminuisce con L’altezza del globolo aumenta il suo volume fino a quando non si rompe, che determina la massima altezza che raggiungerà. Può arrivare circa a un’altezza di $30000 m$ e in alcuni casi raggiungere alti del ordine $50000 m$ .

$P (r) = K [\frac{r _{0}}{r} - (\frac{r _{0}}{r})^{7}]$

dove $K$ è una costante che dipende dal globo e $r_{0}$ è il suo raggio interno quando non è gonfiato.

I dati disponibili per effettuare i calcoli sono:

Pressione atmosferica: $97000 Pa$
Temperatura ambiente: $17^{\circ} C$
$K = 80000 N/m^{2}$
$r_{0} = 10 cm$
Densità del lattice: $0, 96 g/cm^{3}$
Spessore della parete del globo deflato: $1, 5 mm$
Densità dell’aria: $1.29 kg/m^{3}$
Massa molare di H $_{2}$ : $2 g/mol$
Massa di apparecchiatura sospesa: $440 g$

a) Calcolare quanti molli di H $_{2}$ contengono il pallone quando viene inflato fino a un diametro interno di $1 m$ .

B. Determina il peso totale del globolo gonfiato
C. Calcola la spinta che si esercita sul pallone al momento del lancio.
D. Calcola la forza netta applicata sul globo meteorologico (inclusi i Equipaggiamento) al momento del lancio. e) Determina l’accelerazione del pallone al momento del lancio.

f) Calcola la velocità limite che il globo raggiungerebbe durante la sua ascesa (solo considerando i parametri al momento del lancio)

Se il minimo spessore del muro del pallone per non rompere il pallone è $0, 02 mm$ . g) Calcolare il raggio del pallone appena prima di esplodere. h) Supponendo che il gas in salita abbia subito un’espansione adiabatica, determinare quale sarebbe la temperatura del gas all’interno del globo appena prima di esplodere. (i) Se l’instrumento indica che la temperatura esterna è $- 60^{\circ} C$ , la temperatura esterna è valida.

la supposizione del punto precedente? j) Supponendo che la temperatura del gas all’interno del globo appena prima di esplodere è uguale all’esterno, determina la pressione del gas all’interno del globo.

Sapendo che la pressione atmosferica varia con l’altezza in base all’espressione

$P_{a t} (h) = P_{o} e^{- α h}$

dove $P_{o}$ è la pressione atmosferica a livello di pavimento e $α = 0, 116 Km^{- 1}$

k) Calcolare la massima altezza raggiunta dal pallone prima di esplodere.

Costanti che possono essere utili: $R = 8.31 J/(mol K)$ $η = 1, 71 \cdot 1 0^{- 5} Pa\cdots$ $g = 10 m/s^{2}$ $γ = c_{p} / c_{v} = 7/5$

The weather balloon. Although it seems simple to program a balloon launch The weather forecast, compared to a satellite launch, is It is necessary to make a correct diagram because it is very important the equipment you carry suspended as information is You want to get it. Because solving the real problem is complex, I challenge you to do some preliminary calculations, which The Commission will take a number of steps to simplify the Calculations, which allow us to estimate the behavior of the globe The weather. A weather balloon, usually constructed of Latex and hydrogen-filled (H $_{2}$ ) for its low cost, is used for The first is the use of a high-speed railway system. the meteorological interest based on altitude (pressure, temperature, relative humidity, wind speed and direction, concentration of ozone, etc.). Because the atmospheric pressure decreases with The height the balloon increases its volume until it breaks, which determines the maximum height it will reach. He can come. approximately $30000 m$ and in some cases reaching heights of the order $50000 m$ .

$P (r) = K [\frac{r _{0}}{r} - (\frac{r _{0}}{r})^{7}]$

where $K$ is a constant that depends on the balloon and $r_{0}$ is its inner radius when it is not inflated.

The data we have available for calculations are:

Air pressure: $97000 Pa$
Room temperature: $17^{\circ} C$
$K = 80000 N/m^{2}$
$r_{0} = 10 cm$
Density of latex: $0, 96 g/cm^{3}$
Wall thickness of the deflated balloon: $1, 5 mm$
Air density: $1.29 kg/m^{3}$
Molar mass of H $_{2}$ : $2 g/mol$
Mass of suspended equipment: $440 g$

(a) Calculate how many moles of H $_{2}$ the balloon contains when inflated to a diameter interno de $1 m$ .

B. Determine the total weight of the inflated balloon
C. Calculate the thrust exerted on the balloon at the time of launch.
D. Calculate the net force applied to the weather balloon (including the The Commission has already decided to adopt a new proposal for a directive on the protection of the environment. (e) Determine the acceleration of the balloon at the time of launch.

f) Calculate the maximum speed the balloon would reach in its ascent (only (having regard to the parameters at launch)

If the minimum wall thickness of the balloon to prevent the balloon from breaking is $0, 02 mm$ . (g) Calculate the radius of the balloon just before it explodes. (h) Assuming that the gas in its rise has undergone adiabatic expansion, determine what the temperature of the gas inside the balloon would be just before I’m going to explode. (i) If the instrument indicates that the external temperature is $- 60^{\circ} C$ , is the the assumption of the previous point? (j) Assuming that the temperature of the gas inside the balloon just before explode is equal to the outside, determines the gas pressure inside the balloon.

Knowing that the atmospheric pressure varies with height according to the expression

$P_{a t} (h) = P_{o} e^{- α h}$

where $P_{o}$ is the floor-level atmospheric pressure and $α = 0, 116 Km^{- 1}$

(k) calculate the maximum height the balloon reaches before it explodes.

Constants that may be useful: $R = 8.31 J/(mol K)$ $η = 1, 71 \cdot 1 0^{- 5} Pa\cdots$ $g = 10 m/s^{2}$ $γ = c_{p} / c_{v} = 7/5$

Las características generales del vehículo son: i) Motor eléctrico de CC, $24$ Volts y $1 HP$ de potencia. La máxima velocidad de giro del eje del motor es $1750 RPM$ (revoluciones por minuto). ii) La masa del vehículo es de $400 kg$ . iii) El vehículo posee una transmisión a cadena, formada por un piñón de $6 cm$ de diámetro, montado sobre el eje del motor, y una corona de $24 cm$ , montada sobre el eje trasero del vehículo. El esquema de la transmisión se muestra en la figura 1. La foto de la figura 2 muestra esta transmisión para el caso de un vehículo Baker de 1907. La corona está montada de forma tal que tracciona sobre los dos semiejes traseros, y por lo tanto sobre las dos ruedas traseras. iv) La distancia entre los ejes del vehículo es $L = 175 cm$ y la posición del centro de masa está dada por las coordenadas $x_{1} = 75 cm$ y $h = 85 cm$ (ver figura 3). v) El vehículo tiene tres velocidades hacia adelante, controladas a través de resistencias – como se muestra en el diagrama de la figura 4 – y marcha atrás. Con el uso de esas resistencias, y de acuerdo a la posición de las llaves $L_{1}$ , $L_{2}$ y $L_{3}$ , se logra que las velocidades de giro del eje del motor sean: 1a marcha --- 1/3 de la velocidad máxima de giro del eje del motor; 2a marcha --- 2/3 de la velocidad máxima de giro del eje; 3a marcha --- velocidad máxima de giro del eje, es decir $1750 RPM$ . vi) Las ruedas de este vehículo son de $75 cm$ de diámetro y de masa $m = 35 kg$ cada una. Considérelas como un cilindro macizo.

I.- Diseño Mecánico a) Calcule la fuerza que ejerce el pavimento sobre cada una de las ruedas delanteras ( $F_{z 1}$ ) y sobre cada una de las ruedas traseras ( $F_{z 2}$ ), cuando el vehículo está en reposo. Suponga que el peso del vehículo se distribuye de tal forma que las fuerzas sobre las ruedas traseras son iguales entre sí, y las fuerzas sobre las ruedas delanteras son iguales entre sí. Ver figura 3. b) Encuentre expresiones para estas fuerzas, $F_{z 1}$ y $F_{z 2}$ , cuando el vehículo tiene una aceleración $a_{x}$ , a lo largo del eje $x$ . Para este cálculo tenga presente que el vehículo es de tracción trasera. c) Calcule la aceleración máxima posible para este vehículo, sin que las ruedas traseras comiencen a patinar. Suponga que el coeficiente de fricción entre los neumáticos y el pavimento es $μ = 1$ . d) Teniendo en cuenta los datos provistos en las características del vehículo, calcule el torque capaz de entregar el motor. Aquí tenga presente que $1 HP$ corresponde a $0.764 Kilowatts$ . e) Calcule el torque que la corona transmite a las ruedas traseras. f) Calcule la aceleración máxima que pueden proveer el motor y la transmisión instalados en el vehículo. g) Compare esta aceleración con la obtenida en el punto c) y en base a este resultado, diga si el vehículo ha sido diseñado correctamente o no.

Datos a tener en cuenta: iv) El momento de inercia, de un cilindro macizo de radio $b$ y masa $m$ , a lo largo del eje del cilindro es: $I = \frac{1}{2} m b^{2}$

v) En el punto f) desprecie el momento de inercia del eje que une las ruedas traseras.

vi) Suponga que sobre ninguna parte mecánica móvil del vehículo hay rozamiento.

II.- Diseño eléctrico. h) Calcule la máxima intensidad de corriente que debe proveer la batería del vehículo. i) La figura 4 muestra el diagrama eléctrico de la caja de comando de nuestro auto eléctrico. Calcule los valores de las resistencias $R_{1}$ y $R_{2}$ para lograr las velocidades indicadas en las características generales del vehículo, Suponga que las revoluciones del motor es directamente proporcional a la corriente eléctrica que por él circula.

Antico.

Le caratteristiche generali del veicolo sono: (i) Motore elettrico CC, $24$ Volts e $1 HP$ potenza. La velocità massima di rotazione del L’asse del motore è $1750 RPM$ (rivoluzioni al minuto). (ii) La massa del veicolo è $400 kg$ . (iii) Il veicolo è dotato di una trasmissione a catena, costituita da un pignone $6 cm$ di diametro montato sull’asse del motore e una corona $24 cm$ montata sul il rear axle del veicolo. Il schema della trasmissione è mostrato in figura 1. La Foto di figura 2 mostra questa trasmissione per il caso di un veicolo Baker di 1907. La corona è montata in modo tale che traccia sulle due semie le spalle, e quindi sulle due ruote posteriori. iv) La distanza tra gli assi del veicolo è $L = 175 cm$ e la posizione del centro di massa è data dalle coordinate $x_{1} = 75 cm$ e $h = 85 cm$ (vedere figura 3). v) Il veicolo ha tre velocità in avanti, controllate attraverso resistenze come mostrato nel diagramma di figura 4 e retrocesso. Con l’uso di tali resistenze, e secondo la posizione delle chiavi $L_{1}$ , $L_{2}$ e $L_{3}$ , si Il motore può ottenere velocità di rotazione dell’asse motore di: 1° marcia --- 1/3 della velocità di rotazione motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore motore velocità massima di rotazione dell’asse del motore; 2a corsa --- 2/3 della velocità 3a rotazione --- velocità massima di rotazione dell’asse, cioè $1750 RPM$ . vi) Le ruote di questo veicolo sono $75 cm$ di diametro e $m = 35 kg$ di massa per ciascuna

Uno. Considerateli come un cilindro massiccio.

I. Disegno meccanico a) Calcolare la forza esercitata dal pavimento su ciascuna delle ruote anteriori ( $F_{z 1}$ ) e su ciascuna delle ruote posteriori ( $F_{z 2}$ ), quando il veicolo è in Riposo. Supponiamo che il peso del veicolo sia distribuito in modo tale che le forze sulle ruote posteriori sono uguali tra loro, e le forze sulle ruote Le facce sono uguali. Vedi figura 3. b) Trova espressioni per queste forze, $F_{z 1}$ e $F_{z 2}$ , quando il veicolo ha una forza di Accelerazione $a_{x}$ , lungo l’asse $x$ . Per questo calcolo, si noti che il veicolo È a trazione posteriore. c) Calcolare la massima velocità possibile per questo veicolo, senza che le ruote le sue posteriori iniziano a pattinare. Supponiamo che il coefficiente di attrito tra i pneumatici e pavimento $μ = 1$ . d) Considerando i dati forniti nelle caratteristiche del veicolo, calcolare la coppia che può produrre il motore. Si noti che $1 HP$ corrisponde a $0.764 Kilowatts$ . e) Calcolare la torsione che la corona trasmette alle ruote posteriori. f) Calcolare la massima accelerazione che il motore e la trasmissione possono fornire installati nel veicolo. g) Compare questa accelerazione con quella ottenuta al punto (c) e sulla base di questo risultato, dire se il veicolo è stato progettato correttamente o meno.

Dati da tenere conto: iv) Il momento di inerzia di un cilindro massiccio di radio $b$ e di massa $m$ , lungo il l’asse del cilindro è: $I = \frac{1}{2} m b^{2}$

(v) al punto (f) disprezza il momento di inerzia dell’asse che unisce le ruote

Le sue sedute.

(vi) Supponiamo che non ci sia lacerazione su nessuna parte meccanica mobile del veicolo.

II. Progettazione elettrica. h) Calcolare la massima intensità di corrente che deve essere fornita dalla batteria del veicolo. i) La figura 4 mostra il diagramma elettrico del comando della nostra auto elettrico. Calcolare i valori delle resistenze $R_{1}$ e $R_{2}$ per ottenere le velocità Le caratteristiche generali del veicolo sono indicate: La velocità di rotazione del motore è direttamente proporzionale al corrente elettrica che per

E’ in circolazione.

The general characteristics of the vehicle are: (i) Electric motor of DC, $24$ Volts and $1 HP$ power. The maximum speed of rotation of the The engine axis is $1750 RPM$ (revolution per minute). (ii) The mass of the vehicle is $400 kg$ . (iii) The vehicle has a chain transmission, consisting of a $6 cm$ piston diameter, mounted on the engine axle, and a crown of $24 cm$ , mounted on the engine axle the rear axle of the vehicle. The transmission scheme is shown in Figure 1. La image in Figure 2 shows this transmission for the case of a Baker vehicle from 1907. The crown is mounted in such a way that it traces over the two semis rear wheels, and therefore on the two rear wheels. (iv) The distance between the axles of the vehicle is $L = 175 cm$ and the position of the centre of the vehicle mass is given by the coordinates $x_{1} = 75 cm$ and $h = 85 cm$ (see Figure 3). (v) The vehicle has three forward speeds, controlled by means of resistance as shown in Figure 4 and backwards. With the use of these resistors, and according to the position of the keys $L_{1}$ , $L_{2}$ and $L_{3}$ , is achieves the engine axle rotational speeds of: 1st gear --- 1/3 of the engine axle Maximum speed of engine axle rotation; 2nd gear --- 2/3 of the speed maximum axle turn; 3rd gear --- maximum axle turn speed, i.e. $1750 RPM$ . (vi) The wheels of this vehicle are $75 cm$ in diameter and $m = 35 kg$ in mass each. One of them. Consider them a massive cylinder.

I. Mechanical design (a) Calculate the force exerted by the pavement on each of the front wheels ( $F_{z 1}$ ) and on each rear wheel ( $F_{z 2}$ ) when the vehicle is in I’m going to rest. Suppose that the vehicle weight is distributed in such a way that the forces The rear wheels are equal to each other, and the forces on the wheels are equal to each other. The front is equal to each other. See figure 3. (b) Find expressions for these forces, $F_{z 1}$ and $F_{z 2}$ , when the vehicle has a The acceleration $a_{x}$ , along the $x$ axis. For this calculation, please note that the vehicle It’s rear-wheel drive. (c) Calculate the maximum acceleration possible for this vehicle, without the wheels The rear ends start to skate. Suppose that the friction coefficient between the The tyre and pavement is $μ = 1$ . (d) Taking into account the data provided in the vehicle characteristics, calculate the the torque capable of delivering the engine. Please note that $1 HP$ corresponds to $0.764 Kilowatts$ . (e) Calculate the torque that the crown transmits to the rear wheels. (f) Calculate the maximum acceleration that the engine and transmission can provide installed in the vehicle. (g) Compare this acceleration with that obtained under point (c) and based on this result, tell me if the vehicle has been properly designed or not.

Data to be taken into account: (iv) The moment of inertia of a mass cylinder with a radius $b$ and mass $m$ , along the The axis of the cylinder is: $I = \frac{1}{2} m b^{2}$

(v) In point (f) disregard the moment of inertia of the axle joining the wheels The backs.

(vi) Assume that no moving mechanical part of the vehicle is bruised.

II. Electrical design. (h) Calculate the maximum current intensity to be supplied by the vehicle battery. (i) Figure 4 shows the electrical diagram of the control box of our car electrical. Calculate the resistance values $R_{1}$ and $R_{2}$ to achieve the speeds The vehicle’s general characteristics are indicated. The engine rotations are directly proportional to the electric current that He’s circulating.

La magnetización total que surge de los espines nucleares de la muestra, es una cantidad vectorial y está dada por

$M = \sum_{i} μ_{i} (ec. 1)$

donde $μ_{i}$ es el momento magnético del núcleo $i$ . Usando que $μ_{i} = γ ℏ I_{i}$ , la magnetización de la muestra se puede escribir como

$M = γ ℏ J (ec. 2)$

$T_{M} = M \times B_{0} (ec. 3)$

Se puede mostrar que la magnetización precesa (movimiento de trompo) alrededor del campo magnético a una frecuencia angular constante de módulo

$ω = γ B_{0} (ec. 4)$

(ver Figura 2).

La expresión de la magnetización inducida por los espines nucleares de protones a temperatura ambiente ( $T_{a}$ ) es

$M = \frac{μ _{0} γ ^{2} ℏ ^{2} n}{4 k _{B} T _{a}} B_{0} = 4.04 \times 1 0^{- 9} B_{0} (ec. 5)$

$M (t) = M_{0} sen (ω t) (ec. 6)$

Asumiendo que la relación entre campo magnético y magnetización está dado por

$B_{M} = M (ec. 7)$

y el valor máximo de $M$ a lo largo de la bobina es $M = 6.06 \times 1 0^{- 9} T$ ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ).

a) A partir de la ecuación 5 encuentre el valor de $B_{0}$ .

b) Determine el periodo de $M (t)$ (ecuación 6).

c) Calcule la fuerza electromotriz inducida (fem), debido a la variación temporal de $M$ a lo largo del eje de la bobina. Considere una bobina de forma cilíndrica de 4 vueltas y $0.01 m$ de diámetro. Calcule la fem durante 1/4 del período inicial mostrado en la Figura 4.

Recuerde que la fuerza electromotriz inducida, en una espira de área $A$ , es el cociente, con signo menos, entre el cambio del flujo de campo magnético sobre el área de la espira, y el intervalo de tiempo en que ese cambio ocurre.

El circuito resonante La bobina utilizada en un experimento de RMN forma parte de un circuito eléctrico, que en su forma más simple puede ser descrito por un circuito tipo RLC serie.

d) Encuentre una expresión para la impedancia compleja de un circuito RLC serie, recuerde que $Z_{L} = iω L$ , $Z_{R} = R$ y $Z_{C} = - i / (ω C)$ . Donde $i$ es la unidad imaginaria.

Se dice que un circuito RLC está en resonancia cuando la frecuencia de trabajo es tal que la parte imaginaria de $Z$ es cero.

e) Asumiendo que para nuestro circuito es: $C = 10 pF$ (p = pico $= 1 \times 1 0^{- 12}$ ), $R = 50 ohm$ y la frecuencia de trabajo $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz) encuentre el valor de $L$ .

$M (t) = M_{0} exp (- \frac{t}{T _{2}}) (ec. 7)$

En las gráficas siguientes se muestran dos mediciones experimentales de esos decaimientos. Los valores son reproducidos en la Tabla 1.

Tabla 1: Experimentos de relajación $T_{2}$ de la magnetización

tiempo (ms)	Paciente 1 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)	Paciente 2 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)
0,0	$11 \pm 1$	$12 \pm 1$
111,1	$6, 5 \pm 0, 6$	$7, 0 \pm 0, 7$
222,2	$5, 4 \pm 0, 5$	$4, 7 \pm 0, 5$
333,3	$2, 3 \pm 0, 5$	$1, 7 \pm 0, 3$
444,4	$2, 0 \pm 0, 4$	$0, 3 \pm 0, 5$
555,6	$1, 2 \pm 0, 2$	$0, 3 \pm 0, 5$
666,7	$0, 7 \pm 0, 3$	$0, 21 \pm 0, 08$
777,7	$0, 6 \pm 0, 2$	$0, 13 \pm 0, 05$
888,8	$0, 3 \pm 0, 1$	$0, 05 \pm 0, 02$
1000,0	$0, 20 \pm 0, 08$	$0, 03 \pm 0, 01$

f) Obtenga a partir de los datos experimentales los valores de $T_{2}$ para ambos tipo de tejidos.

g) Estime una incerteza para $T_{2}$ en ambos casos. Exprese los valores de $T_{2}$ con sus respectivas incertezas. Recuerde que $Δ (ln (M)) = Δ M / M$ .

h) Sabiendo que $T_{2}$ para tejido sano es $T_{2} > 220 ms$ y para tejido enfermo es $T_{2} < 220 ms$ , indique cuál de las curvas corresponde al tejido sano y cual al tejido enfermo.

Sugerencia: Obtenga el valor de $T_{2}$ linealizando los datos de la Tabla 1 y encontrando en forma gráfica la recta que mejor represente a los datos experimentales.

Alternativamente: El tiempo $t^{'}$ para el cual la magnetización ha decaído a un 37% de su valor inicial es $t^{'} = T_{2}$ .

Instancia Nacional Prueba Experimental Nivel 2

Péndulo de Torsión.

$T = 2 π \frac{I}{K} (1)$

Donde $I$ es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de rotación y $K$ es la constante de torsión del alambre o resorte.

Si el cuerpo es como el de la figura, constituido por un cilindro vertical, el cual es atravesado por una varilla roscada, y dos masas puntuales ( $M$ ) el momento de inercia será:

$I = I_{a} + 2 M d^{2} (2)$

Donde $I_{a}$ es el momento de inercia del cilindro atravesado por la varilla roscada.

Topic: Magnetism, Circuits, Modern-Quantum Physics Metodi: Faraday’s Law of Induction, Equivalent Circuit Reduction, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Coil, Resistor, Capacitor, Nucleus, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.20

La magnetizzazione totale che deriva dagli spin nucleari del campione è una quantità vettoriale ed è data da

$M = \sum_{i} μ_{i} (ec. 1)$

dove $μ_{i}$ è il momento magnetico del nucleo $i$ . Usando che $μ_{i} = γ ℏ I_{i}$ , la magnetizzazione del campione si può scrivere come

$M = γ ℏ J (ec. 2)$

$T_{M} = M \times B_{0} (ec. 3)$

Si può mostrare che la magnetizzazione precede (moto di trottola) attorno al campo magnetico a una frequenza angolare costante di modulo

$ω = γ B_{0} (ec. 4)$

(vedi Figura 2).

L’espressione della magnetizzazione indotta dagli spin nucleari dei protoni a temperatura ambiente ( $T_{a}$ ) è

$M = \frac{μ _{0} γ ^{2} ℏ ^{2} n}{4 k _{B} T _{a}} B_{0} = 4.04 \times 1 0^{- 9} B_{0} (ec. 5)$

$M (t) = M_{0} sen (ω t) (ec. 6)$

Assumendo che la relazione tra campo magnetico e magnetizzazione sia data da

$B_{M} = M (ec. 7)$

e il valore massimo di $M$ lungo la bobina è $M = 6.06 \times 1 0^{- 9} T$ ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ).

a) A partire dall’equazione 5 trova il valore di $B_{0}$ .

b) Determina il periodo di $M (t)$ (equazione 6).

c) Calcola la forza elettromotrice indotta (fem), dovuta alla variazione temporale di $M$ lungo l’asse della bobina. Considera una bobina di forma cilindrica di 4 spire e $0.01 m$ di diametro. Calcola la fem durante 1/4 del periodo iniziale mostrato nella Figura 4.

Ricorda che la forza elettromotrice indotta, in una spira di area $A$ , è il quoziente, con segno meno, tra la variazione del flusso di campo magnetico sull’area della spira e l’intervallo di tempo in cui tale variazione avviene.

Il circuito risonante La bobina utilizzata in un esperimento di RMN fa parte di un circuito elettrico, che nella sua forma più semplice può essere descritto da un circuito di tipo RLC serie.

d) Trova un’espressione per l’impedenza complessa di un circuito RLC serie, ricorda che $Z_{L} = iω L$ , $Z_{R} = R$ e $Z_{C} = - i / (ω C)$ . Dove $i$ è l’unità immaginaria.

Si dice che un circuito RLC è in risonanza quando la frequenza di lavoro è tale che la parte immaginaria di $Z$ è zero.

e) Assumendo che per il nostro circuito sia: $C = 10 pF$ (p = pico $= 1 \times 1 0^{- 12}$ ), $R = 50 ohm$ e la frequenza di lavoro $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz) trova il valore di $L$ .

$M (t) = M_{0} exp (- \frac{t}{T _{2}}) (ec. 7)$

Nei grafici seguenti sono mostrate due misure sperimentali di tali decadimenti. I valori sono riprodotti nella Tabella 1.

Tabella 1: Esperimenti di rilassamento $T_{2}$ della magnetizzazione

tempo (ms)	Paziente 1 — Intensità di magnetizzazione ( $1 0^{- 9}$ T)	Paziente 2 — Intensità di magnetizzazione ( $1 0^{- 9}$ T)
0,0	$11 \pm 1$	$12 \pm 1$
111,1	$6, 5 \pm 0, 6$	$7, 0 \pm 0, 7$
222,2	$5, 4 \pm 0, 5$	$4, 7 \pm 0, 5$
333,3	$2, 3 \pm 0, 5$	$1, 7 \pm 0, 3$
444,4	$2, 0 \pm 0, 4$	$0, 3 \pm 0, 5$
555,6	$1, 2 \pm 0, 2$	$0, 3 \pm 0, 5$
666,7	$0, 7 \pm 0, 3$	$0, 21 \pm 0, 08$
777,7	$0, 6 \pm 0, 2$	$0, 13 \pm 0, 05$
888,8	$0, 3 \pm 0, 1$	$0, 05 \pm 0, 02$
1000,0	$0, 20 \pm 0, 08$	$0, 03 \pm 0, 01$

f) Ottieni a partire dai dati sperimentali i valori di $T_{2}$ per entrambi i tipi di tessuto.

g) Stima un’incertezza per $T_{2}$ in entrambi i casi. Esprimi i valori di $T_{2}$ con le rispettive incertezze. Ricorda che $Δ (ln (M)) = Δ M / M$ .

h) Sapendo che $T_{2}$ per il tessuto sano è $T_{2} > 220 ms$ e per il tessuto malato è $T_{2} < 220 ms$ , indica quale delle curve corrisponde al tessuto sano e quale al tessuto malato.

Suggerimento: Ottieni il valore di $T_{2}$ linearizzando i dati della Tabella 1 e trovando graficamente la retta che meglio rappresenta i dati sperimentali.

In alternativa: Il tempo $t^{'}$ per cui la magnetizzazione è decaduta al 37% del suo valore iniziale è $t^{'} = T_{2}$ .

Fase Nazionale Prova Sperimentale Livello 2

Pendolo di Torsione.

$T = 2 π \frac{I}{K} (1)$

Dove $I$ è il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione e $K$ è la costante di torsione del filo o della molla.

Se il corpo è come quello della figura, costituito da un cilindro verticale, attraversato da un’asta filettata, e da due masse puntiformi ( $M$ ), il momento d’inerzia sarà:

$I = I_{a} + 2 M d^{2} (2)$

Dove $I_{a}$ è il momento d’inerzia del cilindro attraversato dall’asta filettata.

Let’s dance the magnets of the cores. The nuclei of atoms have a quantum physical property, with no classical analogues, The nuclear spine. The nuclear spine is characterized by the fact that, in the face of the the presence of a static and homogeneous magnetic field $B_{0}$ , behave as if were small magnets with a magnetic moment $μ = γ ℏ I$ , where $I$ is the vector The quantum angular moment of the nuclear spin, $γ$ the geomagnetic constant of the nucleus and $ℏ$ The Planck constant divided by $2 π$ . The value of the nuclear spindle is indicated by the letter $I$ and It’s called the spin quantum number. Except for the fact that the projection of $I$ in the The direction of the external magnetic field, see Figure 1, takes only certain values The magnetic moment behaviour of the spines is You can model by the rules of classical electromagnetism. We’re going to deal with hydrogen nuclei (protons), which are very They’re abundant in the human body. For these cores $I = 1/2$ . The projection of $I$ over the $z$ axis, takes for the proton case, two The values $m = + 1/2$ and $m = - 1/2$ shall be reported. This means we’ll have some thorns with his projection. on the direction of the $z$ axis pointed parallel to the external field; and Other anti-parallel targets to the outer field. By questions We’ll have more spines pointing parallel to the field. $B_{0}$ which are counterparts to the $B_{0}$ field. This will give rise to a The net magnetization in the direction of $B_{0}$ , see Figure 1.

The total magnetization that arises from the nuclear spines in the sample is a vector quantity and is given by

$M = \sum_{i} μ_{i} (ec. 1)$

where $μ_{i}$ is the magnetic moment of the core $i$ . Using $μ_{i} = γ ℏ I_{i}$ , the magnetization of the sample can be written as

$M = γ ℏ J (ec. 2)$

$T_{M} = M \times B_{0} (ec. 3)$

It can be shown that the magnetization precesses (tube movement) around the magnetic field at a constant angular frequency of the module

$ω = γ B_{0} (ec. 4)$

(see Figure 2).

The expression of the magnetization induced by the proton nuclear spines to The ambient temperature ( $T_{a}$ ) is

$M = \frac{μ _{0} γ ^{2} ℏ ^{2} n}{4 k _{B} T _{a}} B_{0} = 4.04 \times 1 0^{- 9} B_{0} (ec. 5)$

$M (t) = M_{0} sen (ω t) (ec. 6)$

Assuming that the magnetic field-magnetization relationship is given by

$B_{M} = M (ec. 7)$

and the maximum value of $M$ along the coil is $M = 6.06 \times 1 0^{- 9} T$ ( $1 Tesla = 1 V\cdots/m^{2}$ ).

(a) From equation 5, find the value of $B_{0}$ .

(b) Determine the period of $M (t)$ (equation 6).

(c) Calculate the induced electromotive force (fem) due to the time variation of $M$ to along the coil axis. Consider a cylindrical coil of 4 turns and $0.01 m$ in diameter. Calculate the fem for 1/4 of the initial period shown in the Figure 4 is shown.

Remember that the induced electromotive force, in a spindle of $A$ area, is the coefficient, with less sign, between the change in the magnetic field flow over the area of the breath, and the time interval in which that change occurs.

Resonance circuit The coil used in an MRI experiment is part of an electrical circuit, which In its simplest form it can be described by a series RLC type circuit.

(d) Find an expression for the complex impedance of a serial RLC circuit, recuerde que $Z_{L} = iω L$ , $Z_{R} = R$ y $Z_{C} = - i / (ω C)$ . Where $i$ is the imaginary unit.

An RLC circuit is said to be in resonance when the working frequency is such that that the imaginary part of $Z$ is zero.

e) Assuming that for our circuit it is: $C = 10 pF$ (p = peak $= 1 \times 1 0^{- 12}$ ), The frequency of the working $R = 50 ohm$ and the working $ω = 64.2 \times 2 π$ MHz (MHz $= 1 \times 1 0^{6}$ Hz) Find the value of $L$ .

$M (t) = M_{0} exp (- \frac{t}{T _{2}}) (ec. 7)$

The following graphs show two experimental measurements of these decay. The values are shown in Table 1.

Table 1: Relaxation experiments of the magnetisation $T_{2}$

tiempo (ms)	Paciente 1 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)	Paciente 2 — Intensidad de magnetización ( $1 0^{- 9}$ T)
0,0	$11 \pm 1$	$12 \pm 1$
111,1	$6, 5 \pm 0, 6$	$7, 0 \pm 0, 7$
222,2	$5, 4 \pm 0, 5$	$4, 7 \pm 0, 5$
333,3	$2, 3 \pm 0, 5$	$1, 7 \pm 0, 3$
444,4	$2, 0 \pm 0, 4$	$0, 3 \pm 0, 5$
555,6	$1, 2 \pm 0, 2$	$0, 3 \pm 0, 5$
666,7	$0, 7 \pm 0, 3$	$0, 21 \pm 0, 08$
777,7	$0, 6 \pm 0, 2$	$0, 13 \pm 0, 05$
888,8	$0, 3 \pm 0, 1$	$0, 05 \pm 0, 02$
1000,0	$0, 20 \pm 0, 08$	$0, 03 \pm 0, 01$

(f) Get from the experimental data the values of $T_{2}$ for both types of tissues.

(g) Estimate an uncertainty for $T_{2}$ in both cases. Express the values of $T_{2}$ with their the uncertainties involved. Remember that $Δ (ln (M)) = Δ M / M$ .

h) Knowing that $T_{2}$ for healthy tissue is $T_{2} > 220 ms$ and for diseased tissue is $T_{2} > 220 ms$ $T_{2} < 220 ms$ , indicate which curve corresponds to healthy tissue and which to tissue I’m sick of it.

Suggestion: Get the value of $T_{2}$ by linearising the data in Table 1 and finding in The graph of the straight line that best represents the experimental data.

Alternatively: The time $t^{'}$ for which the magnetisation has fallen to 37% of its The initial value is $t^{'} = T_{2}$ .

National court The test shall be carried out in accordance with the following conditions: Level 2

Torsion pendulum.

$T = 2 π \frac{I}{K} (1)$

Where $I$ is the torque of the body with respect to the rotating axis and $K$ is the torque of the body with respect to the axis of rotation. The wire or spring torque constant.

If the body is like the figure, consisting of a vertical cylinder, which is through a threaded rod, and two point masses ( $M$ ) the moment of inertia shall be:

$I = I_{a} + 2 M d^{2} (2)$

Where $I_{a}$ is the moment of inertia of the cylinder through the threaded rod.

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