Argentina 2016

Problema 1 La carrera de los autos locos. En la figura se muestra una pista de carreras que forma un lazo; el objetivo del juego es que los autos la recorran sin despegarse de ella. La pista circular tiene un radio de $0,5\text{m}$ y una masa de $0,8\text{kg}$; la masa del auto es de $0,2\text{kg}$.

Suponiendo que la pista está fija al piso, que no existe rozamiento entre el auto y la pista y que el auto ingresa a la pista con cierta velocidad:

a) Grafique las fuerzas que actúan sobre el auto en los puntos A, B , C y D.

b) Determine la mínima velocidad con la que el auto debe ingresar al lazo (punto A) para poder recorrer toda la pista sin despegarse de ella.

Si el auto ingresa al lazo con una velocidad de $10\text{m/s}$:

c) Calcule la velocidad del auto en los puntos B, C y D.

d) Calcule el impulso que se le aplica al auto entre los puntos A y B.

NOTA: considere la aceleración de la gravedad: $g=10{\text{m/s}}^2$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Impulse-Momentum Theorem, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema 1 La corsa delle auto folle. Nella figura è mostrata una pista di corse che forma un lacciamento; l’obiettivo del gioco è che le auto la percorrono senza lasciarla. La pista circolare ha un raggio di $0,5\text{m}$ e una massa di $0,8\text{kg}$; la massa della vettura è di $0,2\text{kg}$.

Supponiamo che la pista sia fissa sul pavimento, che non ci sia laccio tra la macchina e la pista e che la macchina entra in pista a una certa velocità:

a) Grafica le forze che agiscono sull’auto nei punti A, B, C e D.

b) Determina la velocità minima con cui la macchina deve entrare nel lacciamento (punto) A) per poter percorrere l’intera pista senza decollare.

Se la macchina entra in lacciata a una velocità $10\text{m/s}$:

c) Calcolare la velocità della macchina nei punti B, C e D.

d) Calcolare la forza che viene applicata alla macchina tra i punti A e B.

NOTA: considera l’accelerazione della gravità: $g=10{\text{m/s}}^2$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Impulse-Momentum Theorem, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.1

The problem is 1 The crazy car race. The figure shows a race track that forms a loop; the object of the game is I’m afraid cars are running around without getting off of it. The circular track has a radius of $0,5\text{m}$ and a mass of $0,8\text{kg}$; the mass of the car is $0,2\text{kg}$.

Assuming the track is fixed to the floor, there’s no friction between the car and the track and the car enters the track at a certain speed:

(a) Graph the forces acting on the car at points A, B, C and D.

(b) Determine the minimum speed at which the car must enter the loop (point) (a) to be able to walk the entire track without taking off.

If the car enters the lane at $10\text{m/s}$:

(c) Calculate the speed of the car at points B, C and D.

(d) Calculate the impulse applied to the car between points A and B.

NOTE: consider the acceleration of gravity: $g=10{\text{m/s}}^2$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Impulse-Momentum Theorem, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2 Niebla. La niebla está formada por pequeñas gotas de agua que se encuentran suspendidas en el aire. Estas gotas son tan pequeñas que pueden permanecer suspendidas por lapsos de tiempo muy largos y, en la práctica, se puede considerar que no precipitan. Una manera de formar una niebla es enfriar el aire hasta alcanzar una humedad relativa del 100%, condición que se conoce como saturación. A partir de esta condición, si el enfriamiento continúa, el vapor de agua comienza a condensar, formando las gotas de agua. Para entender este proceso, primero debemos entender el sistema sobre el cual se forma la niebla, y luego el proceso termodinámico que da lugar a su formación. El sistema que debemos considerar (aire) está formado por una mezcla de gases. En general, se considera al aire formado por aire seco (nitrógeno, oxígeno, dióxido de carbono, etc.) y vapor de agua. La presión total ($p$) de este sistema (aire seco + vapor de agua) es $p=p_{as}+p_v$, donde $p_{as}$ es la presión parcial del aire seco y $p_v$ es la presión parcial del vapor de agua. NOTA: La presión parcial de cada componente de una mezcla de gases, se define como la presión que tendría cada uno de esos componentes de la mezcla si ocupara el mismo volumen de la mezcla, a la misma temperatura, en ausencia de los demás componentes.

La cantidad de vapor de agua presente en una unidad de volumen de aire, se expresa mediante el parámetro humedad relativa, que está definido como:

$HR=100\frac{{\rho }_v}{{\rho }_s}(1)$

donde ${\rho }_v$ es la densidad de vapor de agua presente y ${\rho }_s$ es la densidad de saturación de vapor de agua. Esta densidad de saturación de vapor de agua expresa la máxima cantidad de vapor de agua, por unidad de volumen de aire, que puede contener el aire en ausencia de agua líquida a una dada temperatura. Por lo tanto, ${\rho }_s$ es la cantidad de vapor de agua para que un sistema formado por agua líquida y vapor de agua, a la misma temperatura, estén en equilibrio.

Si se considera al vapor de agua como un gas ideal y, bajo la hipótesis de que el volumen específico del vapor de agua es mucho mayor que el del líquido, el valor de ${\rho }_s$ se puede obtener usando la ecuación de Clausius-Clapeyron:

$p_s(T)=p_0\exp \left[-\frac{l_v{M}_v}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right](2)$

donde $p_s$ es la presión de saturación de vapor de agua, $l_v$ es el calor latente de vaporización, $M_v$ es la masa molar del vapor de agua, $R$ es la constante universal de los gases y exp representa la función exponencial (cuya función inversa es el logaritmo natural que se representa por ln). La ecuación (2) se representa en la figura 1.

a) Demuestre que, si se considera al vapor de agua como un gas ideal, la humedad relativa puede expresarse como:

$HR=100\frac{p_v}{p_s}(3)$

b) Si a las 20hs se mide una humedad relativa de 60% y una temperatura de $20{}^{\circ }\text{C}$, ¿Cual es la presión parcial del vapor de agua, $p_v$, en el aire?

Considere al aire seco como un gas ideal con una masa molar: $M_{as}=28,97{\text{g mol}}^{-1}$.

c) Si la presión atmosférica $p$ es igual a $1000\text{hPa}$, ¿Cuál es la densidad del aire seco ${\rho }_{as}$?

d) ¿A qué temperatura el aire alcanzará el estado de saturación (es decir HR=100%)? A esta temperatura se la conoce como temperatura de rocío $T_R$.

Durante la noche, el aire próximo a la superficie terrestre, se enfría; ya que pierde calor por radiación y conducción. Este enfriamiento de todo el sistema (aire seco + vapor de agua) se puede considerar, hasta tanto alcance la condición de saturación, como un proceso isobárico. Cuando se alcanza la temperatura de rocío, y si continúa el enfriamiento del aire, se forma la niebla (es decir, se condensa agua). Una vez formada la niebla, la presión parcial de vapor de agua es la presión de saturación a la temperatura en que se encuentre el sistema.

Si a la salida del sol (6 hs) se registra la temperatura mínima del aire con un valor de $11,0{}^{\circ }\text{C}$

e) Represente, en el gráfico provisto en la hoja de respuesta, el proceso de enfriamiento y formación de niebla. Datos y constantes

Parámetro	Valor	Unidad
$p_0$	$6,11$	hPa
$T_0$	$0,01$	${}^{\circ }\text{C}$
$l_v$	$2,5\times 10^6$	${\text{J kg}}^{-1}$
$M_v$	$18,02$	${\text{g mol}}^{-1}$
$R$	$8,314472$	${\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
${\rho }_w$	$1$	${\text{g cm}}^{-3}$
$M_{as}$	$28,97$	${\text{g mol}}^{-1}$
$c$	$1004$	${\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Figura 1: Presión de saturación de vapor de agua en función de la temperatura.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Droplet, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2 Nebbia. La nebbia è formata da piccole gocce d’acqua che si trovano sospese nell’aria. Queste gocce sono così piccole che possono rimanere sospese per intervalli di tempo molto lunghi e, in pratica, si può considerare che non precipitino. Un modo per formare una nebbia è raffreddare l’aria fino a raggiungere un’umidità relativa del 100%, condizione nota come saturazione. A partire da questa condizione, se il raffreddamento continua, il vapore acqueo inizia a condensare, formando le gocce d’acqua. Per comprendere questo processo, dobbiamo prima comprendere il sistema sul quale si forma la nebbia, e poi il processo termodinamico che dà luogo alla sua formazione. Il sistema che dobbiamo considerare (aria) è formato da una miscela di gas. In generale, si considera l’aria formata da aria secca (azoto, ossigeno, anidride carbonica, ecc.) e vapore acqueo. La pressione totale ($p$) di questo sistema (aria secca + vapore acqueo) è $p=p_{as}+p_v$, dove $p_{as}$ è la pressione parziale dell’aria secca e $p_v$ è la pressione parziale del vapore acqueo. NOTA: La pressione parziale di ciascun componente di una miscela di gas è definita come la pressione che ciascuno di tali componenti della miscela avrebbe se occupasse lo stesso volume della miscela, alla stessa temperatura, in assenza degli altri componenti.

La quantità di vapore acqueo presente in un’unità di volume d’aria è espressa mediante il parametro umidità relativa, definito come:

$HR=100\frac{{\rho }_v}{{\rho }_s}(1)$

dove ${\rho }_v$ è la densità di vapore acqueo presente e ${\rho }_s$ è la densità di saturazione del vapore acqueo. Questa densità di saturazione del vapore acqueo esprime la massima quantità di vapore acqueo, per unità di volume d’aria, che l’aria può contenere in assenza di acqua liquida a una data temperatura. Pertanto, ${\rho }_s$ è la quantità di vapore acqueo affinché un sistema formato da acqua liquida e vapore acqueo, alla stessa temperatura, sia in equilibrio.

Se si considera il vapore acqueo come un gas ideale e, sotto l’ipotesi che il volume specifico del vapore acqueo sia molto maggiore di quello del liquido, il valore di ${\rho }_s$ si può ottenere usando l’equazione di Clausius-Clapeyron:

$p_s(T)=p_0\exp \left[-\frac{l_v{M}_v}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right](2)$

dove $p_s$ è la pressione di saturazione del vapore acqueo, $l_v$ è il calore latente di vaporizzazione, $M_v$ è la massa molare del vapore acqueo, $R$ è la costante universale dei gas e exp rappresenta la funzione esponenziale (la cui funzione inversa è il logaritmo naturale che si rappresenta con ln). L’equazione (2) è rappresentata nella figura 1.

a) Dimostrare che, se si considera il vapore acqueo come un gas ideale, l’umidità relativa può essere espressa come:

$HR=100\frac{p_v}{p_s}(3)$

b) Se alle 20hs si misura un’umidità relativa del 60% e una temperatura di $20{}^{\circ }\text{C}$, Qual è la pressione parziale del vapore acqueo, $p_v$, nell’aria?

Si consideri l’aria secca come un gas ideale con una massa molare: $M_{as}=28,97{\text{g mol}}^{-1}$.

c) Se la pressione atmosferica $p$ è uguale a $1000\text{hPa}$, qual è la densità dell’aria secca ${\rho }_{as}$?

d) A quale temperatura l’aria raggiungerà lo stato di saturazione (cioè UR=100%)? Questa temperatura è nota come temperatura di rugiada $T_R$.

Durante la notte, l’aria vicino alla superficie terrestre si raffredda, poiché perde calore per irraggiamento e conduzione. Questo raffreddamento dell’intero sistema (aria secca + vapore acqueo) può essere considerato, finché non raggiunge la condizione di saturazione, come un processo isobaro. Quando si raggiunge la temperatura di rugiada, e se il raffreddamento dell’aria continua, si forma la nebbia (cioè si condensa l’acqua). Una volta formata la nebbia, la pressione parziale del vapore acqueo è la pressione di saturazione alla temperatura in cui si trova il sistema.

Se al sorgere del sole (6 h) si registra la temperatura minima dell’aria con un valore di $11,0{}^{\circ }\text{C}$

e) Rappresentare, nel grafico fornito nel foglio di risposta, il processo di raffreddamento e formazione della nebbia. Dati e costanti

Parametro	Valore	Unità
$p_0$	$6,11$	hPa
$T_0$	$0,01$	${}^{\circ }\text{C}$
$l_v$	$2,5\times 10^6$	${\text{J kg}}^{-1}$
$M_v$	$18,02$	${\text{g mol}}^{-1}$
$R$	$8,314472$	${\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
${\rho }_w$	$1$	${\text{g cm}}^{-3}$
$M_{as}$	$28,97$	${\text{g mol}}^{-1}$
$c$	$1004$	${\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Figura 1: Pressione di saturazione del vapore acqueo in funzione della temperatura.

Problem 2 Fog. Fog is formed by small water droplets that are suspended in the air. These droplets are so small that they can remain suspended for very long periods of time and, in practice, can be considered not to precipitate. One way to form fog is to cool the air until it reaches a relative humidity of 100%, a condition known as saturation. From this condition, if cooling continues, the water vapor begins to condense, forming water droplets. To understand this process, we must first understand the system on which the fog forms, and then the thermodynamic process that gives rise to its formation. The system we must consider (air) is formed by a mixture of gases. In general, air is considered to be formed by dry air (nitrogen, oxygen, carbon dioxide, etc.) and water vapor. The total pressure ($p$) of this system (dry air + water vapor) is $p=p_{as}+p_v$, where $p_{as}$ is the partial pressure of the dry air and $p_v$ is the partial pressure of the water vapor. NOTE: The partial pressure of each component of a gas mixture is defined as the pressure that each of those components of the mixture would have if it occupied the same volume of the mixture, at the same temperature, in the absence of the other components.

The amount of water vapor present in a unit volume of air is expressed by the relative humidity parameter, which is defined as:

$HR=100\frac{{\rho }_v}{{\rho }_s}(1)$

where ${\rho }_v$ is the density of water vapor present and ${\rho }_s$ is the saturation density of water vapor. This saturation density of water vapor expresses the maximum amount of water vapor, per unit volume of air, that the air can contain in the absence of liquid water at a given temperature. Therefore, ${\rho }_s$ is the amount of water vapor for a system made up of liquid water and water vapor, at the same temperature, to be in equilibrium.

If water vapor is considered an ideal gas and, under the hypothesis that the specific volume of water vapor is much greater than that of the liquid, the value of ${\rho }_s$ can be obtained using the Clausius-Clapeyron equation:

$p_s(T)=p_0\exp \left[-\frac{l_v{M}_v}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right](2)$

where $p_s$ is the saturation pressure of water vapor, $l_v$ is the latent heat of vaporization, $M_v$ is the molar mass of water vapor, $R$ is the universal gas constant and exp represents the exponential function (whose inverse function is the natural logarithm denoted by ln). Equation (2) is represented in figure 1.

a) Show that, if water vapor is considered an ideal gas, the relative humidity can be expressed as:

$HR=100\frac{p_v}{p_s}(3)$

b) If at 8 pm a relative humidity of 60% and a temperature of $20{}^{\circ }\text{C}$ are measured, What is the partial pressure of water vapor, $p_v$, in the air?

Consider dry air as an ideal gas with a molar mass: $M_{as}=28,97{\text{g mol}}^{-1}$.

c) If the atmospheric pressure $p$ is equal to $1000\text{hPa}$, what is the density of dry air ${\rho }_{as}$?

d) At what temperature will the air reach the saturation state (that is, RH=100%)? This temperature is known as the dew point $T_R$.

During the night, the air near the Earth’s surface cools, since it loses heat by radiation and conduction. This cooling of the entire system (dry air + water vapor) can be considered, as long as it does not reach the saturation condition, as an isobaric process. When the dew point temperature is reached, and if the cooling of the air continues, fog forms (that is, water condenses). Once the fog has formed, the partial pressure of water vapor is the saturation pressure at the temperature at which the system is.

If at sunrise (6 a.m.) the minimum air temperature is recorded with a value of $11,0{}^{\circ }\text{C}$

e) Represent, on the graph provided on the answer sheet, the process of cooling and fog formation. Data and constants

Parameter	Value	Unit
$p_0$	$6,11$	hPa
$T_0$	$0,01$	${}^{\circ }\text{C}$
$l_v$	$2,5\times 10^6$	${\text{J kg}}^{-1}$
$M_v$	$18,02$	${\text{g mol}}^{-1}$
$R$	$8,314472$	${\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
${\rho }_w$	$1$	${\text{g cm}}^{-3}$
$M_{as}$	$28,97$	${\text{g mol}}^{-1}$
$c$	$1004$	${\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Figure 1: Saturation pressure of water vapor as a function of temperature.

Problema 3 Los circuitos y sus simetrías. Un ingeniero electrónico juega con el diseño de circuitos eléctricos, que presentan cierta simetría. El primer circuito que diseña se muestra en la siguiente figura. Llamando $I_1$ e $I_2$ a las corrientes que circulan por AB y AC respectivamente:

a) Demuestre que las corrientes que circulan por BD y CD son $I_2$ e $I_1$, respectivamente.

b) Determine las corrientes que circulan por BC y DA en términos de $I_1$ e $I_2$.

c) Determine las corrientes $I_1$ e $I_2$ sabiendo que $R=10$ y $E=20\text{V}$.

d) Determine la resistencia equivalente $R_{eq}$ del circuito.

Si la resistencia en BC es reemplazada por una resistencia variable, $R_X$, que puede tomar valores entre $0$ y $1\times 10^{10}$ :

e) Determine el posible rango de valores de la resistencia equivalente del circuito. Suponga que cuando $R_X$ toma su máximo valor, éste puede considerarse infinito.

Entusiasmado, el ingeniero construye el siguiente bloque de resistencias:

f) Si $R=10\Omega$, determine la resistencia entre los puntos $A_1$ y $A_2$.

Ayuda

La suma de las corrientes que entran en un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del nodo.

La suma algebraica de las caídas de potencial, en todos los elementos de cualquier malla cerrada, debe ser cero.

Prueba Experimental - Nivel 1

Propiedades mecánicas de una banda elástica. Introducción El estudio de la deformación que sufre un material elástico, cuando se le aplica una fuerza externa, es de gran importancia para el estudio de algunas de sus propiedades físicas. Un material polimérico es un material elástico formado por cadenas de moléculas muy largas, unidas por enlaces químicos en algunos puntos.

Cuando se ejerce una fuerza en los extremos de un material polimérico, estas cadenas comienzan a modificar su disposición, generando una respuesta distinta a la dada por la ley de Hook.

Sin fuerza aplicada Con fuerza aplicada En particular, una banda elástica es un material polimérico y que frente a la aplicación de una fuerza externa responde, en un rango acotado de longitudes, a la siguiente expresión:

$F=A\sigma \text{donde}\sigma =\frac{l}{l_0}(1)$

En esta expresión $l_0$ es la longitud de la banda elástica cuando no tiene aplicada ninguna fuerza externa, $l$ es su longitud cuando tiene aplicada una fuerza externa $F$, y $A$ es una constante característica del material que depende de la temperatura.

Objetivo: Determinar experimentalmente el valor de $A$

Elementos disponibles

• 16 masas de aproximadamente $25\text{g}$ cada una
• 1 porta-pesas
• 1 base con regla fija donde se cuelga la banda elástica (Ver Figura).
• 1 banda elástica
• 1 balanza
• Papel milimetrado

Datos adicionales: Aceleración de la gravedad: $g=(9,79\pm 0,01){\text{m s}}^{-2}$ Masa de los anillos de aluminio: $m=(0,70\pm 0,01)\text{g}$

Procedimiento Debido a que este es un experimento en el que efectuamos sobre la banda elástica un proceso irreversible, hay que realizar todo el procedimiento con mucho cuidado.

1. Mida la longitud $l_0$ de la banda de goma.

2. Coloque el porta-pesas y vaya agregando pesas. Las pesas deben agregarse cuidadosamente, sin retirar las que se habían colocado previamente; tome todas las precauciones para que en el proceso de agregar las pesas no se modifique bruscamente la longitud de la banda de goma: ni estirándose ni acortándose. Para cada nueva pesa colocada espere, al menos 1 minuto, para realizar la correspondiente medida de la longitud de la banda de goma.

3. Repita el punto anterior hasta agregar, aproximadamente, $400\text{g}$ en masas.

Consignas

1. Informe el valor medido de $l_0$.
2. Haga una tabla con los valores de $l$, $m$ y $\sigma$.
3. Grafique $m$ en función de $\sigma$.
4. Indique en el gráfico el intervalo en donde vale la expresión [1].
5. Ajuste con una recta los datos del intervalo indicado en el punto anterior. Determine el valor de la pendiente de dicha recta.
6. Determine el valor de $A$.

Prueba Teórica - Nivel 2

Topic: Circuits, Elasticity & Materials Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument, Graph Linearization, Stress-Strain Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 3 I circuiti e le loro simmetrie. Un ingegnere elettronico gioca con la progettazione di circuiti elettrici, che presentano una certa simmetria. Il primo circuito che progetta è mostrato nella figura seguente. Chiamando $I_1$ e $I_2$ le correnti che circolano rispettivamente in AB e AC:

a) Dimostrare che le correnti che circolano in BD e CD sono rispettivamente $I_2$ e $I_1$.

b) Determinare le correnti che circolano in BC e DA in termini di $I_1$ e $I_2$.

c) Determinare le correnti $I_1$ e $I_2$ sapendo che $R=10$ e $E=20\text{V}$.

d) Determinare la resistenza equivalente $R_{eq}$ del circuito.

Se la resistenza in BC è sostituita da una resistenza variabile, $R_X$, che può assumere valori tra $0$ e $1\times 10^{10}$ :

e) Determinare il possibile intervallo di valori della resistenza equivalente del circuito. Si supponga che quando $R_X$ assume il suo valore massimo, questo possa essere considerato infinito.

Entusiasta, l’ingegnere costruisce il seguente blocco di resistenze:

f) Se $R=10\Omega$, determinare la resistenza tra i punti $A_1$ e $A_2$.

Aiuto

La somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo.

La somma algebrica delle cadute di potenziale, in tutti gli elementi di qualsiasi maglia chiusa, deve essere zero.

Prova Sperimentale - Livello 1

Proprietà meccaniche di un elastico. Introduzione Lo studio della deformazione che subisce un materiale elastico, quando gli si applica una forza esterna, è di grande importanza per lo studio di alcune delle sue proprietà fisiche. Un materiale polimerico è un materiale elastico formato da catene di molecole molto lunghe, unite da legami chimici in alcuni punti.

Quando si esercita una forza agli estremi di un materiale polimerico, queste catene cominciano a modificare la loro disposizione, generando una risposta diversa da quella data dalla legge di Hooke.

Senza forza applicata Con forza applicata In particolare, un elastico è un materiale polimerico e che di fronte all’applicazione di una forza esterna risponde, in un intervallo limitato di lunghezze, alla seguente espressione:

$F=A\sigma \text{donde}\sigma =\frac{l}{l_0}(1)$

In questa espressione $l_0$ è la lunghezza dell’elastico quando non ha applicata alcuna forza esterna, $l$ è la sua lunghezza quando ha applicata una forza esterna $F$, e $A$ è una costante caratteristica del materiale che dipende dalla temperatura.

Obiettivo: Determinare sperimentalmente il valore di $A$

Elementi disponibili

• 16 masse di circa $25\text{g}$ ciascuna
• 1 portapesi
• 1 base con righello fisso dove si appende l’elastico (Vedi Figura).
• 1 elastico
• 1 bilancia
• Carta millimetrata

Dati aggiuntivi: Accelerazione di gravità: $g=(9,79\pm 0,01){\text{m s}}^{-2}$ Massa degli anelli di alluminio: $m=(0,70\pm 0,01)\text{g}$

Procedura Poiché questo è un esperimento in cui effettuiamo sulla banda elastica un processo irreversibile, bisogna eseguire tutta la procedura con molta attenzione.

1. Misurare la lunghezza $l_0$ della banda di gomma.

2. Collocare il portapesi e aggiungere gradualmente i pesi. I pesi devono essere aggiunti con cura, senza rimuovere quelli che erano stati collocati precedentemente; prendere tutte le precauzioni affinché nel processo di aggiunta dei pesi non si modifichi bruscamente la lunghezza della banda di gomma: né allungandosi né accorciandosi. Per ogni nuovo peso collocato attendere, almeno 1 minuto, per effettuare la corrispondente misura della lunghezza della banda di gomma.

3. Ripetere il punto precedente fino ad aggiungere, approssimativamente, $400\text{g}$ in masse.

Consegne

1. Riportare il valore misurato di $l_0$.
2. Fare una tabella con i valori di $l$, $m$ e $\sigma$.
3. Tracciare il grafico di $m$ in funzione di $\sigma$.
4. Indicare sul grafico l’intervallo in cui vale l’espressione [1].
5. Approssimare con una retta i dati dell’intervallo indicato nel punto precedente. Determinare il valore della pendenza di tale retta.
6. Determinare il valore di $A$.

Prova Teorica - Livello 2

Problem 3 Circuits and their symmetries. An electronics engineer plays with the design of electrical circuits, which present a certain symmetry. The first circuit he designs is shown in the following figure. Calling $I_1$ and $I_2$ the currents flowing through AB and AC respectively:

a) Show that the currents flowing through BD and CD are $I_2$ and $I_1$, respectively.

b) Determine the currents flowing through BC and DA in terms of $I_1$ and $I_2$.

c) Determine the currents $I_1$ and $I_2$ knowing that $R=10$ and $E=20\text{V}$.

d) Determine the equivalent resistance $R_{eq}$ of the circuit.

If the resistance in BC is replaced by a variable resistance, $R_X$, which can take values between $0$ and $1\times 10^{10}$ :

e) Determine the possible range of values of the equivalent resistance of the circuit. Assume that when $R_X$ takes its maximum value, it can be considered infinite.

Excited, the engineer builds the following block of resistors:

f) If $R=10\Omega$, determine the resistance between points $A_1$ and $A_2$.

Help

The sum of the currents entering a node must be equal to the sum of the currents leaving the node.

The algebraic sum of the potential drops, in all the elements of any closed loop, must be zero.

Experimental Test - Level 1

Mechanical properties of an elastic band. Introduction The study of the deformation undergone by an elastic material, when an external force is applied to it, is of great importance for the study of some of its physical properties. A polymeric material is an elastic material made up of chains of very long molecules, joined by chemical bonds at some points.

When a force is exerted on the ends of a polymeric material, these chains begin to modify their arrangement, generating a response different from that given by Hooke’s law.

Without applied force With applied force In particular, an elastic band is a polymeric material and, when an external force is applied, it responds, within a limited range of lengths, according to the following expression:

$F=A\sigma \text{donde}\sigma =\frac{l}{l_0}(1)$

In this expression $l_0$ is the length of the elastic band when no external force is applied to it, $l$ is its length when an external force $F$ is applied to it, and $A$ is a constant characteristic of the material that depends on temperature.

Objective: To determine experimentally the value of $A$

Available elements

• 16 masses of approximately $25\text{g}$ each
• 1 weight holder
• 1 base with a fixed ruler where the elastic band is hung (See Figure).
• 1 elastic band
• 1 balance
• Millimeter graph paper

Additional data: Acceleration of gravity: $g=(9,79\pm 0,01){\text{m s}}^{-2}$ Mass of the aluminum rings: $m=(0,70\pm 0,01)\text{g}$

Procedure Because this is an experiment in which we carry out an irreversible process on the rubber band, the entire procedure must be performed very carefully.

1. Measure the length $l_0$ of the rubber band.

2. Place the weight holder and gradually add weights. The weights must be added carefully, without removing those that had been placed previously; take all precautions so that in the process of adding the weights the length of the rubber band is not abruptly modified: neither stretching nor shortening. For each new weight placed, wait at least 1 minute to carry out the corresponding measurement of the length of the rubber band.

3. Repeat the previous point until adding approximately $400\text{g}$ in masses.

Instructions

1. Report the measured value of $l_0$.
2. Make a table with the values of $l$, $m$ and $\sigma$.
3. Plot $m$ as a function of $\sigma$.
4. Indicate on the graph the interval in which expression [1] is valid.
5. Fit the data of the interval indicated in the previous point with a straight line. Determine the value of the slope of that straight line.
6. Determine the value of $A$.

Theoretical Exam - Level 2

Problema 1 La carrera de los autos locos. En la figura se muestra una pista de carreras que forma un lazo; el objetivo del juego es que los autos la recorran sin despegarse de ella. La pista circular tiene un radio de $0,5\text{m}$ y una masa de $0,8\text{kg}$; la masa del auto es de $0,2\text{kg}$.

Suponiendo que la pista está fija al piso, que no existe rozamiento entre el auto y la pista y que el auto ingresa a la pista con cierta velocidad:

a) Grafique las fuerzas que actúan sobre el auto en los puntos A, B , C y D.

b) Determine la mínima velocidad con la que el auto debe ingresar al lazo (punto A) para poder recorrer toda la pista sin despegarse de ella.

Si el auto ingresa al lazo con una velocidad de $10\text{m/s}$:

c) Calcule la velocidad del auto en los puntos B, C y D.

d) Calcule el impulso que se le aplica al auto entre los puntos A y B.

Ahora se repite el juego pero apoyando la pista sobre una superficie sin rozamiento. Suponiendo que el auto ingresa al lazo (punto A) con una velocidad de $10\text{m/s}$ y que nunca se despega de la pista:

e) Calcule la velocidad del auto y la pista cuando el auto se encuentra en los puntos A, B, C y D.

f) Calcule el trabajo que la pista realiza sobre el auto entre los puntos A y B.

g) Calcule, cuando el auto ha abandonado la pista, la velocidad del auto y de la pista.

NOTA: considere la aceleración de la gravedad: $g=10{\text{m/s}}^2$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6

Il problema 1 La corsa delle auto folle. Nella figura è mostrata una pista di corse che forma un lacciamento; l’obiettivo del gioco è che le auto la percorrono senza lasciarla. La pista circolare ha un raggio di $0,5\text{m}$ e una massa di $0,8\text{kg}$; la massa della vettura è di $0,2\text{kg}$.

Supponiamo che la pista sia fissa sul pavimento, che non ci sia laccio tra la macchina e la pista e che la macchina entra in pista a una certa velocità:

a) Grafica le forze che agiscono sull’auto nei punti A, B, C e D.

b) Determina la velocità minima con cui la macchina deve entrare nel lacciato (punto A) Per poter percorrere l’intero tracciato senza lasciarlo.

Se la macchina entra in lacciata a una velocità $10\text{m/s}$:

c) Calcolare la velocità della macchina nei punti B, C e D.

d) Calcolare la forza che viene applicata alla macchina tra i punti A e B.

Ora si ripete il gioco ma appoggiando la pista su una superficie senza arrugginire. Supponendo che la macchina entri nel lacciamento (punto A) a una velocità $10\text{m/s}$ e che Non si allontana mai dalla pista:

e) Calcolare la velocità della macchina e la pista quando la macchina è in punti A, B, C e D.

f) Calcolare il lavoro svolto sulla pista tra i punti A e B.

g) Calcolare, quando la vettura ha lasciato la pista, la velocità della vettura e della

• C’è un indizio.

NOTA: considera l’accelerazione della gravità: $g=10{\text{m/s}}^2$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6

The problem is 1 The crazy car race. The figure shows a race track that forms a loop; the object of the game is I’m afraid cars are running around without getting off of it. The circular track has a radius of $0,5\text{m}$ and a mass of $0,8\text{kg}$; the mass of the car is $0,2\text{kg}$.

Assuming the track is fixed to the floor, there’s no friction between the car and the track and the car enters the track at a certain speed:

(a) Graph the forces acting on the car at points A, B, C and D.

(b) Determine the minimum speed at which the car must enter the loop (point A) So I can go all the way across the track without taking off.

If the car enters the lane at $10\text{m/s}$:

(c) Calculate the speed of the car at points B, C and D.

(d) Calculate the impulse applied to the car between points A and B.

Now repeat the game but supporting the track on a surface without a scratch. Assuming that the car enters the loop (point A) at a speed of $10\text{m/s}$ and that Never leaves the track:

(e) Calculate the speed of the car and the track when the car is in the points A, B, C and D.

(f) Calculate the work the track does on the car between points A and B.

(g) Calculate, when the car has left the track, the speed of the car and the speed of the

• The lead.

NOTE: consider the acceleration of gravity: $g=10{\text{m/s}}^2$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 2 Niebla. La niebla está formada por pequeñas gotas de agua que se encuentran suspendidas en el aire. Estas gotas son tan pequeñas que pueden permanecer suspendidas por lapsos de tiempo muy largos y, en la práctica, se puede considerar que no precipitan.

Una manera de formar una niebla es enfriar el aire hasta alcanzar una humedad relativa del 100%, condición que se conoce como saturación. A partir de esta condición, si el enfriamiento continúa, el vapor de agua comienza a condensar, formando las gotas de agua.

Para entender este proceso, primero debemos entender el sistema sobre el cual se forma la niebla, y luego el proceso termodinámico que da lugar a su formación.

El sistema que debemos considerar (aire) está formado por una mezcla de gases. En general, se considera al aire formado por aire seco (nitrógeno, oxígeno, dióxido de carbono, etc.) y vapor de agua. La presión total ($p$) de este sistema (aire seco + vapor de agua) es $p=p_{as}+p_v$, donde $p_{as}$ es la presión parcial del aire seco y $p_v$ es la presión parcial del vapor de agua.

NOTA: La presión parcial de cada componente de una mezcla de gases, se define como la presión que tendría cada uno de esos componentes de la mezcla si ocupara el mismo volumen de la mezcla, a la misma temperatura, en ausencia de los demás componentes.

La cantidad de vapor de agua presente en una unidad de volumen de aire, se expresa mediante el parámetro humedad relativa, que está definido como:

$HR=100\frac{{\rho }_v}{{\rho }_s}(1)$

donde ${\rho }_v$ es la densidad de vapor de agua presente y ${\rho }_s$ es la densidad de saturación de vapor de agua. Esta densidad de saturación de vapor de agua expresa la máxima cantidad de vapor de agua, por unidad de volumen de aire, que puede contener el aire en ausencia de agua líquida a una dada temperatura. Por lo tanto, ${\rho }_s$ es la cantidad de vapor de agua para que un sistema formado por agua líquida y vapor de agua, a la misma temperatura, estén en equilibrio.

Si se considera al vapor de agua como un gas ideal y, bajo la hipótesis de que el volumen específico del vapor de agua es mucho mayor que el del líquido, el valor de ${\rho }_s$ se puede obtener usando la ecuación de Clausius-Clapeyron:

$p_s(T)=p_0\exp \left[-\frac{l_v{M}_v}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right](2)$

donde $p_s$ es la presión de saturación de vapor de agua, $l_v$ es el calor latente de vaporización, $M_v$ es la masa molar del vapor de agua, $R$ es la constante universal de los gases y exp representa la función exponencial (cuya función inversa es el logaritmo natural que se representa por ln). La ecuación (2) se representa en la figura 1.

a) Demuestre que, si se considera al vapor de agua como un gas ideal, la humedad relativa puede expresarse como:

$HR=100\frac{p_v}{p_s}(3)$

b) Si a las 20hs se mide una humedad relativa de 60% y una temperatura de $20{}^{\circ }\text{C}$, ¿Cual es la presión parcial del vapor de agua, $p_v$, en el aire?

Considere al aire seco como un gas ideal con una masa molar: $M_{as}=28,97{\text{g mol}}^{-1}$.

c) Si la presión atmosférica $p$ es igual a $1000\text{hPa}$, ¿Cuál es la densidad del aire seco ${\rho }_{as}$?

d) ¿A qué temperatura el aire alcanzará el estado de saturación (es decir HR=100%)? A esta temperatura se la conoce como temperatura de rocío $T_R$. Durante la noche, el aire próximo a la superficie terrestre, se enfría; ya que pierde calor por radiación y conducción. Este enfriamiento de todo el sistema (aire seco + vapor de agua) se puede considerar, hasta tanto alcance la condición de saturación, como un proceso isobárico. Cuando se alcanza la temperatura de rocío, y si continúa el enfriamiento del aire, se forma la niebla (es decir, se condensa agua). Una vez formada la niebla, la presión parcial de vapor de agua es la presión de saturación a la temperatura en que se encuentre el sistema.

Si a la salida del sol (6 hs) se registra la temperatura mínima del aire con un valor de $11,0{}^{\circ }\text{C}$

e) Represente, en el gráfico provisto en la hoja de respuesta, el proceso de enfriamiento y formación de niebla.

f) Si la tasa de enfriamiento del aire durante la noche es de $14,67{\text{J kg}}^{-1}{\text{min}}^{-1}$, estime la hora a la que el aire alcanza la condición de saturación. Suponga que la noche comienza a las 20 hs y que el calor específico del aire a presión constante es $c=1004{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$.

g) ¿Qué masa de vapor $m_c$ se condensó por metro cúbico de aire?

Cuando se forma la niebla, la visibilidad disminuye debido a que las gotas de agua dispersan luz. La intensidad de la luz que atraviesa la niebla disminuye de acuerdo a la siguiente expresión:

$I=I_0\exp (-2NAz)(4)$

donde $A$ es el área transversal de las gotas de agua al haz de radiación, $N$ es la concentración de gotas (número de gotas por unidad de volumen) e $I_0$ es la radiación sin atenuación.

Se observa que la intensidad disminuye al 8% de su valor inicial, cuando el haz de luz atraviesa 100 metros de niebla.

Considerando a todas las gotas como esferas de igual tamaño.

h) ¿Qué tamaño tienen las gotas que forman la niebla y cuál es su concentración?

Datos y constantes

Parámetro	Valor	Unidad
$p_0$	$6,11$	hPa
$T_0$	$0,01$	${}^{\circ }\text{C}$
$l_v$	$2,5\times 10^6$	${\text{J kg}}^{-1}$
$M_v$	$18,02$	${\text{g mol}}^{-1}$
$R$	$8,314472$	${\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
${\rho }_w$	$1$	${\text{g cm}}^{-3}$
$M_{as}$	$28,97$	${\text{g mol}}^{-1}$
$c$	$1004$	${\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Figura 1: Presión de saturación de vapor de agua en función de la temperatura.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory, Wave Optics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Droplet, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 2 Nebbia. La nebbia è formata da piccole gocce d’acqua che si trovano sospese nell’aria. Queste gocce sono così piccole che possono rimanere sospese per intervalli di tempo molto lunghi e, in pratica, si può considerare che non precipitino.

Un modo per formare una nebbia è raffreddare l’aria fino a raggiungere un’umidità relativa del 100%, condizione nota come saturazione. A partire da questa condizione, se il raffreddamento continua, il vapore acqueo inizia a condensare, formando le gocce d’acqua.

Per comprendere questo processo, dobbiamo prima comprendere il sistema sul quale si forma la nebbia, e poi il processo termodinamico che dà luogo alla sua formazione.

Il sistema che dobbiamo considerare (aria) è formato da una miscela di gas. In generale, si considera l’aria formata da aria secca (azoto, ossigeno, anidride carbonica, ecc.) e vapore acqueo. La pressione totale ($p$) di questo sistema (aria secca + vapore acqueo) è $p=p_{as}+p_v$, dove $p_{as}$ è la pressione parziale dell’aria secca e $p_v$ è la pressione parziale del vapore acqueo.

NOTA: La pressione parziale di ciascun componente di una miscela di gas è definita come la pressione che ciascuno di tali componenti della miscela avrebbe se occupasse lo stesso volume della miscela, alla stessa temperatura, in assenza degli altri componenti.

La quantità di vapore acqueo presente in un’unità di volume d’aria è espressa mediante il parametro umidità relativa, definito come:

$HR=100\frac{{\rho }_v}{{\rho }_s}(1)$

dove ${\rho }_v$ è la densità di vapore acqueo presente e ${\rho }_s$ è la densità di saturazione del vapore acqueo. Questa densità di saturazione del vapore acqueo esprime la massima quantità di vapore acqueo, per unità di volume d’aria, che l’aria può contenere in assenza di acqua liquida a una data temperatura. Pertanto, ${\rho }_s$ è la quantità di vapore acqueo affinché un sistema formato da acqua liquida e vapore acqueo, alla stessa temperatura, sia in equilibrio.

Se si considera il vapore acqueo come un gas ideale e, sotto l’ipotesi che il volume specifico del vapore acqueo sia molto maggiore di quello del liquido, il valore di ${\rho }_s$ si può ottenere usando l’equazione di Clausius-Clapeyron:

$p_s(T)=p_0\exp \left[-\frac{l_v{M}_v}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right](2)$

dove $p_s$ è la pressione di saturazione del vapore acqueo, $l_v$ è il calore latente di vaporizzazione, $M_v$ è la massa molare del vapore acqueo, $R$ è la costante universale dei gas ed exp rappresenta la funzione esponenziale (la cui funzione inversa è il logaritmo naturale che si rappresenta con ln). L’equazione (2) è rappresentata nella figura 1.

a) Dimostrate che, se si considera il vapore acqueo come un gas ideale, l’umidità relativa può esprimersi come:

$HR=100\frac{p_v}{p_s}(3)$

b) Se alle 20hs si misura un’umidità relativa del 60% e una temperatura di $20{}^{\circ }\text{C}$, qual è la pressione parziale del vapore acqueo, $p_v$, nell’aria?

Considerate l’aria secca come un gas ideale con una massa molare: $M_{as}=28,97{\text{g mol}}^{-1}$.

c) Se la pressione atmosferica $p$ è uguale a $1000\text{hPa}$, qual è la densità dell’aria secca ${\rho }_{as}$?

d) A quale temperatura l’aria raggiungerà lo stato di saturazione (cioè UR=100%)? Questa temperatura è nota come temperatura di rugiada $T_R$. Durante la notte, l’aria vicino alla superficie terrestre si raffredda, poiché perde calore per irraggiamento e conduzione. Questo raffreddamento dell’intero sistema (aria secca + vapore acqueo) può essere considerato, finché non raggiunge la condizione di saturazione, come un processo isobaro. Quando si raggiunge la temperatura di rugiada, e se il raffreddamento dell’aria continua, si forma la nebbia (cioè si condensa acqua). Una volta formata la nebbia, la pressione parziale del vapore acqueo è la pressione di saturazione alla temperatura in cui si trova il sistema.

Se al sorgere del sole (6 h) si registra la temperatura minima dell’aria con un valore di $11,0{}^{\circ }\text{C}$

e) Rappresentare, nel grafico fornito nel foglio di risposta, il processo di raffreddamento e formazione della nebbia.

f) Se il tasso di raffreddamento dell’aria durante la notte è di $14,67{\text{J kg}}^{-1}{\text{min}}^{-1}$, stimare l’ora in cui l’aria raggiunge la condizione di saturazione. Supporre che la notte inizi alle 20 h e che il calore specifico dell’aria a pressione costante sia $c=1004{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$.

g) Quale massa di vapore $m_c$ si è condensata per metro cubo d’aria?

Quando si forma la nebbia, la visibilità diminuisce perché le gocce d’acqua diffondono la luce. L’intensità della luce che attraversa la nebbia diminuisce secondo la seguente espressione:

$I=I_0\exp (-2NAz)(4)$

dove $A$ è l’area trasversale delle gocce d’acqua rispetto al fascio di radiazione, $N$ è la concentrazione di gocce (numero di gocce per unità di volume) e $I_0$ è la radiazione senza attenuazione.

Si osserva che l’intensità diminuisce all’8% del suo valore iniziale, quando il fascio di luce attraversa 100 metri di nebbia.

Considerando tutte le gocce come sfere di uguale dimensione.

h) Quali dimensioni hanno le gocce che formano la nebbia e qual è la loro concentrazione?

Dati e costanti

Parametro	Valore	Unità
$p_0$	$6,11$	hPa
$T_0$	$0,01$	${}^{\circ }\text{C}$
$l_v$	$2,5\times 10^6$	${\text{J kg}}^{-1}$
$M_v$	$18,02$	${\text{g mol}}^{-1}$
$R$	$8,314472$	${\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
${\rho }_w$	$1$	${\text{g cm}}^{-3}$
$M_{as}$	$28,97$	${\text{g mol}}^{-1}$
$c$	$1004$	${\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Figura 1: Pressione di saturazione del vapore acqueo in funzione della temperatura.

Problem 2 Fog. Fog is formed by small water droplets that are suspended in the air. These droplets are so small that they can remain suspended for very long periods of time and, in practice, can be considered as not precipitating.

One way to form fog is to cool the air until it reaches a relative humidity of 100%, a condition known as saturation. From this condition, if cooling continues, the water vapor begins to condense, forming water droplets.

To understand this process, we must first understand the system on which the fog forms, and then the thermodynamic process that gives rise to its formation.

The system we must consider (air) is made up of a mixture of gases. In general, air is considered to be made up of dry air (nitrogen, oxygen, carbon dioxide, etc.) and water vapor. The total pressure ($p$) of this system (dry air + water vapor) is $p=p_{as}+p_v$, where $p_{as}$ is the partial pressure of the dry air and $p_v$ is the partial pressure of the water vapor.

NOTE: The partial pressure of each component of a gas mixture is defined as the pressure that each of those components of the mixture would have if it occupied the same volume of the mixture, at the same temperature, in the absence of the other components.

The amount of water vapor present in a unit volume of air is expressed by the relative humidity parameter, which is defined as:

$HR=100\frac{{\rho }_v}{{\rho }_s}(1)$

where ${\rho }_v$ is the density of water vapor present and ${\rho }_s$ is the saturation density of water vapor. This saturation density of water vapor expresses the maximum amount of water vapor, per unit volume of air, that the air can contain in the absence of liquid water at a given temperature. Therefore, ${\rho }_s$ is the amount of water vapor for a system made up of liquid water and water vapor, at the same temperature, to be in equilibrium.

If water vapor is considered an ideal gas and, under the hypothesis that the specific volume of water vapor is much greater than that of the liquid, the value of ${\rho }_s$ can be obtained using the Clausius-Clapeyron equation:

$p_s(T)=p_0\exp \left[-\frac{l_v{M}_v}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right](2)$

where $p_s$ is the saturation pressure of water vapor, $l_v$ is the latent heat of vaporization, $M_v$ is the molar mass of water vapor, $R$ is the universal gas constant and exp represents the exponential function (whose inverse function is the natural logarithm denoted by ln). Equation (2) is represented in figure 1.

a) Show that, if water vapor is considered an ideal gas, the relative humidity can be expressed as:

$HR=100\frac{p_v}{p_s}(3)$

b) If at 20hs a relative humidity of 60% and a temperature of $20{}^{\circ }\text{C}$ are measured, What is the partial pressure of water vapor, $p_v$, in the air?

Consider dry air as an ideal gas with a molar mass: $M_{as}=28,97{\text{g mol}}^{-1}$.

c) If the atmospheric pressure $p$ is equal to $1000\text{hPa}$, what is the density of dry air ${\rho }_{as}$?

d) At what temperature will the air reach the saturation state (that is, RH=100%)? This temperature is known as the dew point $T_R$. During the night, the air near the Earth’s surface cools; since it loses heat by radiation and conduction. This cooling of the entire system (dry air + water vapor) can be considered, as long as it does not reach the saturation condition, as an isobaric process. When the dew point temperature is reached, and if the cooling of the air continues, fog forms (that is, water condenses). Once the fog has formed, the partial pressure of water vapor is the saturation pressure at the temperature at which the system is.

If at sunrise (6 a.m.) the minimum air temperature is recorded with a value of $11,0{}^{\circ }\text{C}$

e) Represent, on the graph provided in the answer sheet, the process of cooling and fog formation.

f) If the cooling rate of the air during the night is $14,67{\text{J kg}}^{-1}{\text{min}}^{-1}$, estimate the time at which the air reaches the saturation condition. Assume that the night begins at 8 p.m. and that the specific heat of the air at constant pressure is $c=1004{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$.

g) What mass of vapor $m_c$ condensed per cubic meter of air?

When fog forms, visibility decreases because the water droplets scatter light. The intensity of light passing through the fog decreases according to the following expression:

$I=I_0\exp (-2NAz)(4)$

where $A$ is the cross-sectional area of the water droplets to the radiation beam, $N$ is the droplet concentration (number of droplets per unit volume) and $I_0$ is the radiation without attenuation.

It is observed that the intensity decreases to 8% of its initial value when the light beam passes through 100 meters of fog.

Considering all droplets as spheres of equal size.

h) What size are the droplets that make up the fog and what is their concentration?

Data and constants

Parameter	Value	Unit
$p_0$	$6,11$	hPa
$T_0$	$0,01$	${}^{\circ }\text{C}$
$l_v$	$2,5\times 10^6$	${\text{J kg}}^{-1}$
$M_v$	$18,02$	${\text{g mol}}^{-1}$
$R$	$8,314472$	${\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
${\rho }_w$	$1$	${\text{g cm}}^{-3}$
$M_{as}$	$28,97$	${\text{g mol}}^{-1}$
$c$	$1004$	${\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Figure 1: Saturation vapor pressure of water as a function of temperature.

Problema 3 Los circuitos y sus simetrías. Un ingeniero electrónico juega con el diseño de circuitos eléctricos, que presentan cierta simetría. El primer circuito que diseña se muestra en la siguiente figura.

Llamando $I_1$ e $I_2$ a las corrientes que circulan por AB y AC respectivamente:

a) Demuestre que las corrientes que circulan por BD y CD son $I_2$ e $I_1$, respectivamente.

b) Determine las corrientes que circulan por BC y DA en términos de $I_1$ e $I_2$.

c) Determine las corrientes $I_1$ e $I_2$ sabiendo que $R=10$ y $E=20\text{V}$.

d) Determine la resistencia equivalente $R_{eq}$ del circuito.

Si la resistencia en BC es reemplazada por una resistencia variable, $R_X$, que puede tomar valores entre $0$ y $1\times 10^{10}$ : e) Determine el posible rango de valores de la resistencia equivalente del circuito. Suponga que cuando $R_X$ toma su máximo valor, éste puede considerarse infinito.

Entusiasmado, el ingeniero construye el siguiente bloque de resistencias:

g) Si $R=10\Omega$, determine la resistencia entre los puntos $A_1$ y $A_2$.

Luego agrega un segundo bloque.

h) Determine la resistencia entre $A_3$ y $A_4$.

Finalmente, el ingeniero se da cuenta que puede agregar un número muy grande de estos bloques y formar lo que se conoce como red escalera. Como muestra la figura a continuación, esta red escalera tiene una resistencia $r$.

En esta etapa, agregar un bloque extra no produce una diferencia significativa de la resistencia de la red escalera, con respecto a la resistencia $r$ entre $A_{n-1}$ y $A_n$.

i) Considerando la figura siguiente, determine la resistencia entre O y P cuando un bloque extra es agregado a la red escalera a la izquierda de $A_{n-1}$, $A_n$.

j) Use el resultado anterior para encontrar la resistencia equivalente de una escalera infinita hecha de estos bloques. Prueba Experimental - Nivel 2

Propiedades mecánicas de una banda elástica. Introducción El estudio de la deformación que sufre un material elástico, cuando se le aplica una fuerza externa, es de gran importancia para el estudio de algunas de sus propiedades físicas. Un material polimérico es un material elástico formado por cadenas de moléculas muy largas, unidas por enlaces químicos en algunos puntos.

Cuando se ejerce una fuerza en los extremos de un material polimérico, estas cadenas comienzan a modificar su disposición, generando una respuesta distinta a la dada por la ley de Hook.

En particular, una banda elástica es un material polimérico y que frente a la aplicación de una fuerza externa responde, en un rango acotado de longitudes, a la siguiente expresión:

$F=A\sigma \text{donde}\sigma =\frac{l}{l_0}(1)$

En esta expresión $l_0$ es la longitud de la banda elástica cuando no tiene aplicada ninguna fuerza externa, $l$ es su longitud cuando tiene aplicada una fuerza externa $F$, y $A$ es una constante característica del material que depende de la temperatura.

Otra característica de estos materiales, es que su longitud depende de si éste se estaba estirando o comprimiendo. Es decir, la longitud que adquiere la banda elástica depende si uno aumenta el modulo de la fuerza externa o si la disminuye.

Si se grafica la fuerza aplicada en función de la longitud adquirida por la banda elástica, cuando el módulo de la fuerza aumenta y cuando esta disminuye, se observa que las curvas no coinciden. A esto se le llama histéresis y este comportamiento se debe a la energía que es almacenada en la banda elástica cuando se realiza trabajo sobre ella.

Objetivo: Determinar experimentalmente el valor de $A$ y el trabajo realizado sobre una banda elástica.

Elementos disponibles

• 16 masas de aproximadamente $25\text{g}$ cada una
• 1 porta-pesas
• 1 base con regla fija donde se cuelga la banda elástica (Ver Figura).
• 1 banda elástica
• 1 balanza
• Papel milimetrado Sin fuerza aplicada Con fuerza aplicada Datos adicionales: Aceleración de la gravedad: $g=(9,79\pm 0,01){\text{m s}}^{-2}$ Masa de los anillos de aluminio: $m=(0,70\pm 0,01)\text{g}$

Procedimiento Debido a que este es un experimento en el que efectuamos sobre la banda elástica un proceso irreversible, hay que realizar todo el procedimiento con mucho cuidado.

4. Mida la longitud $l_0$ de la banda de goma.

5. Coloque el porta-pesas y vaya agregando pesas. Las pesas deben agregarse cuidadosamente, sin retirar las que se habían colocado previamente; tome todas las precauciones para que en el proceso de agregar las pesas no se modifique bruscamente la longitud de la banda de goma: ni estirándose ni acortándose. Para cada nueva pesa colocada espere, al menos 1 minuto, para realizar la correspondiente medida de la longitud de la banda de goma.

6. Repita el punto anterior hasta agregar, aproximadamente, $400\text{g}$ en masas.

7. Comience a quitar de a una las masas y mida las correspondientes longitudes de la banda hasta no dejar ninguna masa colgada. Cuando retire las masas, tome los mismos cuidados que al agregarlas.

Consignas 7. Informe el valor medido de $l_0$. 8. Haga una tabla con los valores de $l$, $m$ y $\sigma$. 9. Grafique $m$ en función de $\sigma$. 10. Indique en el gráfico el intervalo en donde vale la expresión [1]. 11. Ajuste con una recta los datos del intervalo indicado en el punto anterior. Determine el valor de la pendiente de dicha recta. 12. Determine el valor de $A$. 13. Grafique los valores de $m$ en función de $l$ para la carga y descarga. 14. Calcule la energía que queda almacenada en la banda de goma. Dicha energía es proporcional al área encerrada en la curva de histéresis.

Topic: Circuits, Elasticity & Materials Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument, Differential Equations, Graph Linearization Competenze: Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 3 I circuiti e le loro simmetrie. Un ingegnere elettronico gioca con la progettazione di circuiti elettrici, che presentano una certa simmetria. Il primo circuito che progetta è mostrato nella figura seguente.

Chiamando $I_1$ e $I_2$ le correnti che circolano rispettivamente in AB e AC:

a) Dimostrare che le correnti che circolano in BD e CD sono rispettivamente $I_2$ e $I_1$.

b) Determinare le correnti che circolano in BC e DA in termini di $I_1$ e $I_2$.

c) Determinare le correnti $I_1$ e $I_2$ sapendo che $R=10$ e $E=20\text{V}$.

d) Determinare la resistenza equivalente $R_{eq}$ del circuito.

Se la resistenza in BC viene sostituita da una resistenza variabile, $R_X$, che può assumere valori tra $0$ e $1\times 10^{10}$ : e) Determinare il possibile intervallo di valori della resistenza equivalente del circuito. Si supponga che quando $R_X$ assume il suo valore massimo, questo possa essere considerato infinito.

Entusiasta, l’ingegnere costruisce il seguente blocco di resistenze:

g) Se $R=10\Omega$, determinare la resistenza tra i punti $A_1$ e $A_2$.

Poi aggiunge un secondo blocco.

h) Determinare la resistenza tra $A_3$ e $A_4$.

Infine, l’ingegnere si rende conto che può aggiungere un numero molto grande di questi blocchi e formare quella che è nota come rete a scala. Come mostra la figura seguente, questa rete a scala ha una resistenza $r$.

In questa fase, aggiungere un blocco extra non produce una differenza significativa della resistenza della rete a scala, rispetto alla resistenza $r$ tra $A_{n-1}$ e $A_n$.

i) Considerando la figura seguente, determinare la resistenza tra O e P quando un blocco extra viene aggiunto alla rete a scala a sinistra di $A_{n-1}$, $A_n$.

j) Usare il risultato precedente per trovare la resistenza equivalente di una scala infinita fatta di questi blocchi. Prova Sperimentale - Livello 2

Proprietà meccaniche di una banda elastica. Introduzione Lo studio della deformazione che subisce un materiale elastico, quando gli viene applicata una forza esterna, è di grande importanza per lo studio di alcune delle sue proprietà fisiche. Un materiale polimerico è un materiale elastico formato da catene di molecole molto lunghe, unite da legami chimici in alcuni punti.

Quando si esercita una forza agli estremi di un materiale polimerico, queste catene cominciano a modificare la loro disposizione, generando una risposta diversa da quella data dalla legge di Hook.

In particolare, una banda elastica è un materiale polimerico e che di fronte all’applicazione di una forza esterna risponde, in un intervallo limitato di lunghezze, alla seguente espressione:

$F=A\sigma \text{donde}\sigma =\frac{l}{l_0}(1)$

In questa espressione $l_0$ è la lunghezza della banda elastica quando non è applicata alcuna forza esterna, $l$ è la sua lunghezza quando è applicata una forza esterna $F$, e $A$ è una costante caratteristica del materiale che dipende dalla temperatura.

Un’altra caratteristica di questi materiali è che la loro lunghezza dipende dal fatto che esso si stesse allungando o comprimendo. Cioè, la lunghezza che acquisisce la banda elastica dipende dal fatto che si aumenti o si diminuisca il modulo della forza esterna.

Se si rappresenta graficamente la forza applicata in funzione della lunghezza acquisita dalla banda elastica, quando il modulo della forza aumenta e quando questo diminuisce, si osserva che le curve non coincidono. Questo è chiamato isteresi e questo comportamento è dovuto all’energia che viene immagazzinata nella banda elastica quando si compie lavoro su di essa.

Obiettivo: Determinare sperimentalmente il valore di $A$ e il lavoro compiuto su una banda elastica.

Elementi disponibili

• 16 masse di circa $25\text{g}$ ciascuna
• 1 portapesi
• 1 base con righello fisso dove si appende la banda elastica (Vedi Figura).
• 1 banda elastica
• 1 bilancia
• Carta millimetrata Senza forza applicata Con forza applicata Dati aggiuntivi: Accelerazione di gravità: $g=(9,79\pm 0,01){\text{m s}}^{-2}$ Massa degli anelli di alluminio: $m=(0,70\pm 0,01)\text{g}$

Procedimento Poiché questo è un esperimento in cui effettuiamo sulla banda elastica un processo irreversibile, bisogna eseguire tutto il procedimento con molta attenzione.

4. Misurare la lunghezza $l_0$ della fascia di gomma.

5. Collocare il portapesi e aggiungere gradualmente i pesi. I pesi devono essere aggiunti con cura, senza togliere quelli che erano stati collocati precedentemente; prendere tutte le precauzioni affinché nel processo di aggiunta dei pesi non si modifichi bruscamente la lunghezza della fascia di gomma: né allungandosi né accorciandosi. Per ogni nuovo peso collocato attendere, almeno 1 minuto, per effettuare la corrispondente misura della lunghezza della fascia di gomma.

6. Ripetere il punto precedente fino ad aggiungere, approssimativamente, $400\text{g}$ in masse.

7. Cominciare a togliere una alla volta le masse e misurare le corrispondenti lunghezze della fascia fino a non lasciare nessuna massa appesa. Quando si tolgono le masse, prendere le stesse precauzioni che nell’aggiungerle.

Consegne 7. Riportare il valore misurato di $l_0$. 8. Fare una tabella con i valori di $l$, $m$ e $\sigma$. 9. Tracciare il grafico di $m$ in funzione di $\sigma$. 10. Indicare sul grafico l’intervallo in cui vale l’espressione [1]. 11. Approssimare con una retta i dati dell’intervallo indicato nel punto precedente. Determinare il valore della pendenza di tale retta. 12. Determinare il valore di $A$. 13. Tracciare il grafico dei valori di $m$ in funzione di $l$ per il carico e lo scarico. 14. Calcolare l’energia che rimane immagazzinata nella fascia di gomma. Tale energia è proporzionale all’area racchiusa nella curva di isteresi.

Problem 3 Circuits and their symmetries. An electronics engineer plays with the design of electrical circuits, which present a certain symmetry. The first circuit he designs is shown in the following figure.

Calling $I_1$ and $I_2$ the currents flowing through AB and AC respectively:

a) Show that the currents flowing through BD and CD are $I_2$ and $I_1$, respectively.

b) Determine the currents flowing through BC and DA in terms of $I_1$ and $I_2$.

c) Determine the currents $I_1$ and $I_2$ knowing that $R=10$ and $E=20\text{V}$.

d) Determine the equivalent resistance $R_{eq}$ of the circuit.

If the resistance in BC is replaced by a variable resistance, $R_X$, which can take values between $0$ and $1\times 10^{10}$: e) Determine the possible range of values of the equivalent resistance of the circuit. Assume that when $R_X$ takes its maximum value, it can be considered infinite.

Excited, the engineer builds the following block of resistors:

g) If $R=10\Omega$, determine the resistance between points $A_1$ and $A_2$.

Then he adds a second block.

h) Determine the resistance between $A_3$ and $A_4$.

Finally, the engineer realizes that he can add a very large number of these blocks and form what is known as a ladder network. As shown in the following figure, this ladder network has a resistance $r$.

At this stage, adding an extra block does not produce a significant difference in the resistance of the ladder network, with respect to the resistance $r$ between $A_{n-1}$ and $A_n$.

i) Considering the following figure, determine the resistance between O and P when an extra block is added to the ladder network to the left of $A_{n-1}$, $A_n$.

j) Use the previous result to find the equivalent resistance of an infinite ladder made of these blocks. Experimental Test - Level 2

Mechanical properties of an elastic band. Introduction The study of the deformation undergone by an elastic material, when an external force is applied to it, is of great importance for the study of some of its physical properties. A polymeric material is an elastic material formed by chains of very long molecules, joined by chemical bonds at some points.

When a force is exerted on the ends of a polymeric material, these chains begin to modify their arrangement, generating a response different from that given by Hooke’s law.

In particular, an elastic band is a polymeric material and, when an external force is applied, it responds, within a limited range of lengths, to the following expression:

$F=A\sigma \text{donde}\sigma =\frac{l}{l_0}(1)$

In this expression $l_0$ is the length of the elastic band when no external force is applied to it, $l$ is its length when an external force $F$ is applied to it, and $A$ is a constant characteristic of the material that depends on the temperature.

Another characteristic of these materials is that their length depends on whether it was being stretched or compressed. That is, the length acquired by the elastic band depends on whether one increases the modulus of the external force or decreases it.

If the applied force is plotted as a function of the length acquired by the elastic band, when the modulus of the force increases and when it decreases, it is observed that the curves do not coincide. This is called hysteresis and this behavior is due to the energy that is stored in the elastic band when work is done on it.

Objective: To determine experimentally the value of $A$ and the work done on an elastic band.

Available elements

• 16 masses of approximately $25\text{g}$ each
• 1 weight holder
• 1 base with a fixed ruler where the elastic band is hung (See Figure).
• 1 elastic band
• 1 balance
• Millimeter paper Without applied force With applied force Additional data: Acceleration of gravity: $g=(9,79\pm 0,01){\text{m s}}^{-2}$ Mass of the aluminum rings: $m=(0,70\pm 0,01)\text{g}$

Procedure Since this is an experiment in which we carry out an irreversible process on the elastic band, the entire procedure must be carried out very carefully.

4. Measure the length $l_0$ of the rubber band.

5. Place the weight holder and gradually add weights. The weights must be added carefully, without removing those that had been placed previously; take all precautions so that in the process of adding the weights the length of the rubber band is not abruptly modified: neither stretching nor shortening. For each new weight placed, wait at least 1 minute to carry out the corresponding measurement of the length of the rubber band.

6. Repeat the previous point until adding approximately $400\text{g}$ in masses.

7. Begin removing the masses one at a time and measure the corresponding lengths of the band until no mass is left hanging. When removing the masses, take the same precautions as when adding them.

Instructions 7. Report the measured value of $l_0$. 8. Make a table with the values of $l$, $m$ and $\sigma$. 9. Plot $m$ as a function of $\sigma$. 10. Indicate on the graph the interval where expression [1] holds. 11. Fit the data of the interval indicated in the previous point with a straight line. Determine the value of the slope of said line. 12. Determine the value of $A$. 13. Plot the values of $m$ as a function of $l$ for loading and unloading. 14. Calculate the energy that remains stored in the rubber band. Said energy is proportional to the area enclosed in the hysteresis curve.