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“Scatola nera” meccanica: un cilindro con una sfera all’interno

Una sferetta, piccola e pesante, di massa $m$ è fissata alla distanza $z$ dalla cima di un lungo cilindro cavo di massa $M$. Sul cilindro sono presenti due serie di buchi; le coppie di buchi corrispondenti stanno su una perpendicolare all’asse del cilindro. Attraverso ciascuna di queste coppie può essere inserito un perno, in modo che l’asse del cilindro appeso stia in un piano verticale. Nella pagina seguente è fornita l’equazione del moto dalla quale ricavare il periodo di tale pendolo.

Si devono effettuare misure non distruttive (similmente a ciò che si fa col pendolo semplice) necessarie per trovare il valore delle seguenti quantità, insieme a una stima dei loro errori:

i. Posizione del centro di massa del “cilindro con la sferetta”. Fare un disegno schematico della disposizione sperimentale usata per misurare il centro di massa. [1.0 punto]

ii. Distanza $z$ (la distanza dalla cima del cilindro al centro di massa del sistema). [3.5 punti]

iii. Rapporto $M/m$. [3.5 punti]

iv. Accelerazione di gravità $g$. [2.0 punti]

Materiale: Un cilindro con fori e una sferetta all’interno, una tavoletta con un perno sottile, un cappuccio di protezione per coprire il perno, un righello, un cronometro, un filo, una matita e del nastro adesivo.

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Notazione (si veda lo schema del pendolo fisico):

• $O$ — punto di sospensione sul perno (fulcro);
• $R$ — distanza dal fulcro al centro di massa del sistema (lato scelto per la sospensione);
• $L$ — lunghezza del cilindro;
• $x_{CM}$ — distanza dalla cima del cilindro al centro di massa del sistema.

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Attenzione: Il perno è appuntito. Quando non viene usato, deve essere protetto con il cappuccio, per sicurezza.

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Informazioni utili:

1. Per questo pendolo fisico,

$\ddot{\theta }=-\frac{(M+m)gR}{I_{CM}+(M+m)R^2}\theta$

da cui il periodo:

$T=2\pi \sqrt{\frac{I_{CM}+(M+m)R^2}{(M+m)gR}}$

dove $I_{CM}$ è il momento d’inerzia del sistema “cilindro con la sferetta” attorno al centro di massa del sistema e $\theta$ è la posizione angolare.

2. Per un lungo cilindro cavo di lunghezza $L$ e massa $M$, il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare all’asse geometrico del cilindro può essere approssimato come:

$I_{CM}^{\text{cil}}\approx \frac{1}{12}M{L}^2$

3. Teorema degli assi paralleli:

$I=I_{CM}+d^2{M}_{\text{tot}}$

dove $d$ è la distanza tra l’asse di rotazione e un asse, parallelo a questo, passante per il centro di massa, e $M_{\text{tot}}$ è la massa totale dell’oggetto.

4. La sfera può essere considerata come una massa puntiforme posizionata in un punto dell’asse geometrico del cilindro.

5. Si assuma che il cilindro sia uniforme e la massa dei tappi posti alle sue estremità sia trascurabile.

p.1 — Schema del cilindro con sfera interna

p.1 — Cilindro su tavoletta e fulcro

p.2 — Foto dell’apparato sperimentale fornito

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Sphere, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

“Black Box” mechanical: a cylinder with a sphere inside

A small, heavy sphere of $m$ mass is fixed at $z$ distance from the top of a long cylinder cable of $M$ mass. The cylinder has two sets of holes; the corresponding pair of holes are perpendicular to the cylinder’s axis. A spindle can be inserted through each of these pairs, so that the axis of the suspended cylinder is in a vertical plane. The following page gives the equation of the motion from which to derive the period of this pendulum.

The following quantities must be measured in a non-destructive manner (as with a simple pendulum) and their error estimates must be used:

i. **Place of the centre of mass ** of the ‘sphere cylinder’. Draw a schematic drawing of the experimental arrangement used to measure the centre of mass. [1.0 punto]

ii. Distance $z$ (the distance from the top of the cylinder to the centre of mass of the system). [3.5 punti]

The Commission shall adopt implementing acts. Rapporto $M/m$. [3.5 punti]

iv. Accelerazione di gravità $g$. [2.0 punti]

Materiale: Un cilindro con fori e una sferetta all’interno, una tavoletta con un perno sottile, un cappuccio di protezione per coprire il perno, un righello, un cronometro, un filo, una matita e del nastro adesivo.

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Notes (see the physical pendulum scheme):

• $O$ suspension point on the spine (focal);
• $R$ distance from the centre of mass of the system (side chosen for suspension);
• $L$ length of cylinder;
• $x_{CM}$ distance from the top of the cylinder to the centre of mass of the system.

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Attenzione: Il perno è appuntito. When not in use, it must be protected by a hood for safety.

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Informazioni utili:

1. For this physical pendulum,

$\ddot{\theta }=-\frac{(M+m)gR}{I_{CM}+(M+m)R^2}\theta$

from which the period:

$T=2\pi \sqrt{\frac{I_{CM}+(M+m)R^2}{(M+m)gR}}$

where $I_{CM}$ is the moment of inertia of the ‘sphere cylinder’ system around the centre of mass of the system and $\theta$ is the angular position.

2. For a long cable cylinder of length $L$ and mass $M$, the moment of inertia with respect to a passing axis for its centre of mass and perpendicular to the geometric axis of the cylinder may be approximated as:

$I_{CM}^{\text{cil}}\approx \frac{1}{12}M{L}^2$

3. Teorema degli assi paralleli:

$I=I_{CM}+d^2{M}_{\text{tot}}$

where $d$ is the distance between the axis of rotation and an axis parallel to it passing through the centre of mass, and $M_{\text{tot}}$ is the total mass of the object.

4. The sphere can be considered as a pointed mass positioned at a point on the geometric axis of the cylinder.

5. It is assumed that the cylinder is uniform and the mass of the caps at its ends is negligible.

p.1 Interior spherical cylinder design

**p.1 ** Cylinder on board and core

**p.2 ** Photo of the experimental apparatus supplied

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Sphere, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)