IPhO 2011 — Sperimentale — Q2

“Scatola nera” meccanica: un cilindro con una sfera all’interno

Una sferetta, piccola e pesante, di massa $m$ è fissata alla distanza $z$ dalla cima di un lungo cilindro cavo di massa $M$. Sul cilindro sono presenti due serie di buchi; le coppie di buchi corrispondenti stanno su una perpendicolare all’asse del cilindro. Attraverso ciascuna di queste coppie può essere inserito un perno, in modo che l’asse del cilindro appeso stia in un piano verticale. Nella pagina seguente è fornita l’equazione del moto dalla quale ricavare il periodo di tale pendolo.

Si devono effettuare misure non distruttive (similmente a ciò che si fa col pendolo semplice) necessarie per trovare il valore delle seguenti quantità, insieme a una stima dei loro errori:

i. Posizione del centro di massa del “cilindro con la sferetta”. Fare un disegno schematico della disposizione sperimentale usata per misurare il centro di massa. [1.0 punto]

ii. Distanza $z$ (la distanza dalla cima del cilindro al centro di massa del sistema). [3.5 punti]

iii. Rapporto $M/m$. [3.5 punti]

iv. Accelerazione di gravità $g$. [2.0 punti]

Materiale: Un cilindro con fori e una sferetta all’interno, una tavoletta con un perno sottile, un cappuccio di protezione per coprire il perno, un righello, un cronometro, un filo, una matita e del nastro adesivo.

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Notazione (si veda lo schema del pendolo fisico):

• $O$ — punto di sospensione sul perno (fulcro);
• $R$ — distanza dal fulcro al centro di massa del sistema (lato scelto per la sospensione);
• $L$ — lunghezza del cilindro;
• $x_{CM}$ — distanza dalla cima del cilindro al centro di massa del sistema.

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Attenzione: Il perno è appuntito. Quando non viene usato, deve essere protetto con il cappuccio, per sicurezza.

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Informazioni utili:

1. Per questo pendolo fisico,

$\ddot{\theta }=-\frac{(M+m)gR}{I_{CM}+(M+m)R^2}\theta$

da cui il periodo:

$T=2\pi \sqrt{\frac{I_{CM}+(M+m)R^2}{(M+m)gR}}$

dove $I_{CM}$ è il momento d’inerzia del sistema “cilindro con la sferetta” attorno al centro di massa del sistema e $\theta$ è la posizione angolare.

2. Per un lungo cilindro cavo di lunghezza $L$ e massa $M$, il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare all’asse geometrico del cilindro può essere approssimato come:

$I_{CM}^{\text{cil}}\approx \frac{1}{12}M{L}^2$

3. Teorema degli assi paralleli:

$I=I_{CM}+d^2{M}_{\text{tot}}$

dove $d$ è la distanza tra l’asse di rotazione e un asse, parallelo a questo, passante per il centro di massa, e $M_{\text{tot}}$ è la massa totale dell’oggetto.

4. La sfera può essere considerata come una massa puntiforme posizionata in un punto dell’asse geometrico del cilindro.

5. Si assuma che il cilindro sia uniforme e la massa dei tappi posti alle sue estremità sia trascurabile.

p.1 — Schema del cilindro con sfera interna

p.1 — Cilindro su tavoletta e fulcro

p.2 — Foto dell’apparato sperimentale fornito

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Sphere, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Mechanical “Black Box”: A Cylinder with a Sphere Inside

A small, heavy sphere of mass $m$ is fixed at a distance $z$ from the top end of a long hollow cylinder of mass $M$. The cylinder has two sets of holes; corresponding pairs of holes lie along a line perpendicular to the cylinder’s axis. Through each such pair, a pin can be inserted so that when suspended, the cylinder’s axis lies in a vertical plane. On the following page, the equation of motion is provided from which to determine the period of this physical pendulum.

Non-destructive measurements (similar to those performed with a simple pendulum) must be carried out in order to determine the values of the following quantities, along with estimates of their uncertainties:

i. Position of the center of mass of the “cylinder with the small sphere”. Draw a schematic diagram of the experimental setup used to measure the center of mass. [1.0 point]

ii. Distance $z$ (the distance from the top of the cylinder to the center of mass of the system). [3.5 points]

iii. Ratio $M/m$. [3.5 points]

iv. Acceleration due to gravity $g$. [2.0 points]

Materials: A cylinder with holes and a small sphere inside, a flat plate with a thin pin, a protective cap to cover the pin, a ruler, a stopwatch, a string, a pencil, and adhesive tape.

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Notation (see the diagram of the physical pendulum):

• $O$ — pivot point (fulcrum);
• $R$ — distance from the fulcrum to the center of mass of the system (chosen suspension side);
• $L$ — length of the cylinder;
• $x_{CM}$ — distance from the top of the cylinder to the center of mass of the system.

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Warning: The pivot is sharp. When not in use, it must be protected with the cap for safety.

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Useful information:

1. For this physical pendulum,

$\ddot{\theta }=-\frac{(M+m)gR}{I_{CM}+(M+m)R^2}\theta$

from which the period is:

$T=2\pi \sqrt{\frac{I_{CM}+(M+m)R^2}{(M+m)gR}}$

where $I_{CM}$ is the moment of inertia of the system “cylinder with the sphere” about the center of mass of the system and $\theta$ is the angular position.

2. For a long hollow cylinder of length $L$ and mass $M$, the moment of inertia about an axis passing through its center of mass and perpendicular to its geometric axis can be approximated as:

$I_{CM}^{\text{cil}}\approx \frac{1}{12}M{L}^2$

3. Parallel axes theorem:

$I=I_{CM}+d^2{M}_{\text{tot}}$

where $d$ is the distance between the rotation axis and a parallel axis passing through the center of mass, and $M_{\text{tot}}$ is the total mass of the object.

4. The sphere may be considered as a point mass located at a point on the geometric axis of the cylinder.

5. Assume that the cylinder is uniform and that the mass of the end caps placed at its ends is negligible.

p.1 — Diagram of the cylinder with internal sphere

p.1 — Cylinder on a block and pivot

p.2 — Photo of the provided experimental apparatus

Solution: Soluzioni (PDF)