IPhO 2011

2. Una bolla di sapone elettrificata

Una bolla di sapone sferica con raggio $R_0$, densità dell’aria all’interno ${\rho }_i$ e temperatura interna $T_i$, è circondata da aria con densità ${\rho }_e$, pressione atmosferica $P_0$ e temperatura $T_e$. La pellicola di sapone ha tensione superficiale $g$, densità ${\rho }_s$ e spessore $t$. Assumere ${\rho }_s\gg t$. La massa e la tensione superficiale del sapone non cambiano con la temperatura.

Ad un incremento $dA$ dell’area della superficie di ciascuna interfaccia sapone-aria è associato un contributo $dE=gdA$ all’energia immagazzinata nella superficie, dove $g$ è la tensione superficiale della pellicola di sapone.

2.1 Trovare il rapporto $\frac{{\rho }_i{T}_i}{{\rho }_e{T}_e}$ in funzione di $g$, $P_0$ e $R_0$.

[1.7 punti]

2.2 Trovare il valore numerico di $\frac{{\rho }_i{T}_i}{{\rho }_e{T}_e}-1$ usando $g=0.0250\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$, $R_0=1.00\mathrm{cm}$ e $P_0=1.013\times 10^5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-2}$.

[0.4 punti]

2.3 Supponiamo che l’aria interna sia inizialmente più calda di quella esterna. Trovare il minimo valore numerico che deve avere $T_i$ se vogliamo che la bolla non scenda nell’aria ferma. Si usi $T_e=300\mathrm{K}$, ${\rho }_e=1.30\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, ${\rho }_s=1000\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, $t=100\mathrm{nm}$ e $g=9.80\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

[2.0 punti]

Dopo un po’ di tempo dalla formazione, la bolla sarà in equilibrio termico con l’ambiente. In aria ferma, questa bolla scenderà naturalmente verso il suolo.

2.4 Trovare la minima velocità $u$ che deve avere una corrente d’aria ascensionale per impedire alla bolla, in equilibrio termico con l’ambiente, di cadere al suolo. Esprimere la soluzione in funzione di ${\rho }_e$, $R_0$, $g$ e del coefficiente di viscosità dell’aria, $\eta$. Potete assumere che la velocità sia bassa in modo da poter applicare la legge di Stokes, e assumere che il raggio all’equilibrio termico sia $R_0$. La forza di attrito espressa dalla legge di Stokes è:

$F=6\pi \eta R_{0}u$

[1.6 punti]

2.5 Calcolare il valore numerico di $u$ usando $\eta =1.8\times 10^{-5}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$.

[0.4 punti]

---

I calcoli precedenti suggeriscono che i termini dovuti alla tensione superficiale $g$ influiscono molto poco sull’accuratezza del risultato. Da qui in avanti, potete trascurare i contributi della tensione superficiale.

2.6 Se ora questa bolla sferica viene elettrizzata uniformemente con una carica totale $q$, si trovi un’equazione che descriva il nuovo raggio $R_1$ in funzione di $R_0$, $P_0$, $q$ e della costante dielettrica del vuoto ${\epsilon }_0$.

[2.0 punti]

2.7 Si supponga che la carica totale sia piccola (cioè che sia $\frac{q^2}{{\epsilon }_0{R}_1^3}\ll P_0$) e che la bolla subisca solo un piccolo aumento del raggio; si trovi $\Delta R$ dove $R_1=R_0+\Delta R$. Si ricordi che $(1+x{)}^n\approx 1+nx$ dove $x\ll 1$.

[0.7 punti]

2.8 Quale valore deve avere questa carica $q$, in funzione di $t$, ${\rho }_s$, ${\rho }_e$, $R_0$, $P_0$, affinché la bolla resti sospesa in equilibrio nell’aria ferma? Calcolare anche il valore numerico di $q$. La costante dielettrica del vuoto è ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$.

[1.2 punti]

Topic: Fluid Mechanics, Electrostatics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Electric Potential Method, Free-Body Diagram, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.1

2. Una bolla di sapone elettrificata

Una bolla di sapone sferica con raggio $R_0$, densità dell’aria intera ${\rho }_i$ e temperatura interna $T_i$, è circondata dell’aria con densità ${\rho }_e$, pressione atmosferica $P_0$ e temperatura $T_e$. La pellicola di sapone ha tensione superficiale $g$, densità ${\rho }_s$ e spessore $t$. Supponiamo ${\rho }_s\gg t$. La massa e la tensione superficiale del sapone non cambia con la temperatura.

Ad un incremento $dA$ dell’area della superficie di ciascuna interfaccia sapone-aria è associato un contributo $dE=gdA$ di tutta l’energia immagazzinata nella superficie, dove $g$ è la tensione superficiale della pellicola di sapone.

2.1 Trovare il rapporto $\frac{{\rho }_i{T}_i}{{\rho }_e{T}_e}$ in funzione di $g$, $P_0$ e $R_0$.

**[1,7 punti] **

**2.2 ** Trovare il valore numerico di $\frac{{\rho }_i{T}_i}{{\rho }_e{T}_e}-1$ utilizzando $g=0.0250\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$, $R_0=1.00\mathrm{cm}$ e $P_0=1.013\times 10^5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-2}$.

**[0,4 punti] **

2.3 Supponiamo che l’aria interna sia inizialmente più calda di quella esterna. Trovare il minimo valore numerico che deve avere $T_i$ se vogliamo che la bolla non scenda nell’aria ferma. Si usi $T_e=300\mathrm{K}$, ${\rho }_e=1.30\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, ${\rho }_s=1000\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, $t=100\mathrm{nm}$ e $g=9.80\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

**[2,0 punti] **

Dopo un po’ di tempo dalla formazione, la bolla sarà in equilibrio termico con l’ambiente. In aria ferma, questa bolla scenderà naturalmente verso il suolo.

2.4 Trovare la minima velocità $u$ che deve avere una corrente d’aria ascensionale per impedire alla bolla, in equilibrio termico con l’ambiente, di cadere al suolo. Esprimere la soluzione in funzione di ${\rho }_e$, $R_0$, $g$ e del coefficiente di viscosità dell’aria, $\eta$. Si può supporre che la velocità sia bassa in modo da poter applicare la legge di Stokes, e si suppone che il raggio di tutto l’equilibrio termico sia $R_0$. La forza di attrito espressa dalla legge di Stokes è:

$F=6\pi \eta R_{0}u$

**[1,6 punti] **

2.5 Calcolare il valore numerico di $u$ usando $\eta =1.8\times 10^{-5}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$.

**[0,4 punti] **

---

I calcoli precedenti suggeriscono che i termini dovuti alla tensione superficiale $g$ influiscono molto poco sull’accuratezza del risultato. In questo caso, potete trascurare i contributi della tensione superficiale.

2.6 Se ora questa bolla sferica viene elettrizzata uniformemente con una carica totale $q$, si trovi un’equazione che descriva il nuovo raggio $R_1$ in funzione di $R_0$, $P_0$, $q$ e della costante dielettrica del vuoto ${\epsilon }_0$.

**[2,0 punti] **

2.7 Si supponga che la carica totale sia piccola (cioè che sia $\frac{q^2}{{\epsilon }_0{R}_1^3}\ll P_0$) e che la bolla subisca solo un piccolo aumento del raggio; si trovi $\Delta R$ dove $R_1=R_0+\Delta R$. Si ricordi che $(1+x{)}^n\approx 1+nx$ dove $x\ll 1$.

**[0,7 punti] **

2.8 Quale valore deve avere questa carica $q$, in funzione di $t$, ${\rho }_s$, ${\rho }_e$, $R_0$, $P_0$, affinché la bolla resti sospesa in equilibrio nell’aria ferma? Calcolare anche il valore numerico di $q$. La costante dielettrica del vuoto è ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$.

**[1.2 punti] **

Topic: Fluid Mechanics, Electrostatics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Electric Potential Method, Free-Body Diagram, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.1