OII 1996 2° Livello Teorica — reg96 (2 files merged).pdf

Gara Regionale del 26 febbraio 1996 — Parte Prima. Per ogni risposta corretta e chiaramente motivata vengono assegnati 4 punti.

Quesito 1 (Ottica ondulatoria). Due fenditure parallele distanti $0,20\text{ mm}$ costituiscono due sorgenti coerenti di luce monocromatica. A $200\text{ cm}$ dalle fenditure si trova uno schermo su cui si producono frange di interferenza. Se la separazione tra le frange scure sullo schermo è di $6,3\text{ mm}$, qual è la lunghezza d’onda della luce?

Quesito 2 (Decadimento radioattivo). Un campione di minerale radioattivo mostra un’attività di $180\text{ Bq}$ (180 decadimenti al secondo). Dopo $10$ ore l’attività è scesa a $120\text{ Bq}$. Dopo quanto tempo dalla seconda osservazione l’attività scende ulteriormente a $80\text{ Bq}$?

Quesito 3 (Onde - stroboscopio). Una corda vibra emettendo un suono con frequenza compresa tra la nota ${\text{do}}_2$ ($130,8\text{ Hz}$) e la nota ${\text{do}}_3$ ($261,6\text{ Hz}$). Se la corda viene illuminata con una lampada ad intermittenza, essa appare immobile, formando una sinusoide, sia quando la lampada emette $44$ lampi al secondo sia quando ne emette $55$. Determinare la frequenza del suono emesso dalla corda.

Quesito 4 (Quantità di moto). Un proiettile di massa $m$ viene lanciato con velocità $v_0$ in una direzione che forma un angolo $\alpha$ con l’orizzontale. Il proiettile ricade al suolo alla stessa altezza da cui è partito. Calcolare la variazione del vettore quantità di moto tra l’inizio e la fine del volo in funzione di $m$, $\alpha$ e $v_0$.

Quesito 5 (Elettrostatica). Una sferetta di massa $m=5,0\text{ g}$ viene sospesa con un filo (di massa trascurabile) lungo $50\text{ cm}$, di fronte ad un piano verticale isolante su cui è distribuita uniformemente una carica con densità superficiale $\sigma =7,5\times 10^{-8}{\text{ C m}}^{-2}$. Se, all’equilibrio, la sferetta risulta spostata di $4,2\text{ cm}$ verso il piano, determinare in modulo e segno la carica presente sulla sferetta.

Quesito 6 (Circuiti). Il circuito contiene quattro resistenze, $R_1=R_3=10\Omega$ e $R_2=R_4=40\Omega$. La d.d.p. della batteria, con resistenza interna trascurabile, è $V=12\text{ V}$. Se gli strumenti di misura (voltmetro $V$, amperometro $A$) sono ideali, determinare le loro indicazioni nei due casi in cui l’interruttore $T$ sia: a) aperto; b) chiuso.

Ponte di Wheatstone: $R_1,R_2$ in alto e $R_3,R_4$ in basso, interruttore $T$ al centro del ponte, voltmetro $V$ e batteria $V$ a sinistra, amperometro $A$ nel ramo inferiore.

Quesito 7 (Storia - elettrolisi/Joule). J. P. Joule, in un articolo del 1841, taratò il galvanometro in unità $Q$, dove $1Q$ è la corrente necessaria per dissociare $0,58\text{ g}$ d’acqua in un’ora. Quanto vale l’intensità di corrente di $1Q$ espressa in Ampere?

Quesito 8 (Termodinamica). Per raddoppiare sia la pressione che il volume di una certa quantità di gas perfetto contenuto in un cilindro, una prima volta si segue la trasformazione $A\to B\to C$ e una seconda volta la trasformazione $A\to C$. Determinare il rapporto dei lavori fatti dal gas nei due casi.

Piano $p$-$V$: $A=(V_0,p_0)$, $B=(V_0,2p_0)$, $C=(2V_0,2p_0)$; trasformazione $A\to B\to C$ (isocora poi isobara) e diagonale $A\to C$.

Quesito 9 (Fluidi - tubo a U). Un tubo ad U verticale viene riempito parzialmente di mercurio. In un braccio viene versato un liquido di densità incognita. La superficie libera del mercurio è a $7,7\text{ cm}$ dal fondo, quella del liquido a $23,6\text{ cm}$, la superficie di separazione tra i due liquidi a $6,2\text{ cm}$ dal fondo. La densità del mercurio è $13,5\times 10^3{\text{ kg m}}^{-3}$. Qual è la densità del liquido?

Quesito 10 (Gravitazione). Osservando una cometa si stima che al perielio la distanza dal Sole sia $7,2\times 10^7\text{ km}$ e la velocità $65{\text{ km s}}^{-1}$. Trascurando interazioni con altri corpi celesti, la cometa tornerà ad avvicinarsi al Sole? (Massa del Sole $M=2,0\times 10^{30}\text{ kg}$.)

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves, Nuclear & Particle Physics, Newtonian Mechanics, Electrostatics, Circuits, Thermodynamics, Fluid Mechanics, Gravitation Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Radioactive Decay Law, Conservation of Momentum, Gauss’s Law, Free-Body Diagram, Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Conservation of Energy, Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Slit, Screen, Resistor, Battery, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Regional competition of 26 February 1996 Part One. For each correct and clearly reasoned answer, 4 points are awarded.

Quesito 1 (Ottica ondulatoria). Due fenditure parallele distanti $0,20\text{ mm}$ costituiscono due sorgenti coerenti di luce monocromatica. A $200\text{ cm}$ from the cracks is a screen on which interference fringes are produced. If the separation between the dark edges on the screen is $6,3\text{ mm}$, what is the wavelength of the light?

Quesito 2 (Decadimento radioattivo). Un campione di minerale radioattivo mostra un’attività di $180\text{ Bq}$ (180 decadimenti al secondo). After $10$ hours activity has decreased to $120\text{ Bq}$. How long after the second observation does the activity fall further to $80\text{ Bq}$?

Question 3 (Waves - Stroboscope). A string vibrates by emitting a sound with a frequency between the note ${\text{do}}_2$ ($130,8\text{ Hz}$) and the note ${\text{do}}_3$ ($261,6\text{ Hz}$). If the rope is lit with an intermittent lamp, it appears motionless, forming a sinusoid, both when the lamp emits $44$ flashes per second and when it emits $55$. Determine the frequency of sound emitted by the string.

Question 4 (Motion Quantity). A bullet of mass $m$ is launched at $v_0$ speed in a direction that forms an angle $\alpha$ with the horizontal. The bullet falls to the ground at the same height from which it started. Calculate the variation in the carrier’s engine speed between the start and end of the flight in terms of $m$, $\alpha$ and $v_0$.

Quesito 5 (Elettrostatica). Una sferetta di massa $m=5,0\text{ g}$ viene sospesa con un filo (di massa trascurabile) lungo $50\text{ cm}$, di fronte ad un piano verticale isolante su cui è distribuita uniformemente una carica con densità superficiale $\sigma =7,5\times 10^{-8}{\text{ C m}}^{-2}$. If, at equilibrium, the sphere is shifted $4,2\text{ cm}$ towards the plane, determine the load on the sphere in the form and sign.

Quesito 6 (Circuiti). Il circuito contiene quattro resistenze, $R_1=R_3=10\Omega$ e $R_2=R_4=40\Omega$. La d.d.p. The battery, with negligible internal resistance, is $V=12\text{ V}$. If the measuring instruments (voltmeter $V$, amperometer $A$) are ideal, determine their indications in the two cases where the $T$ switch is: a) open; b) closed.

Wheatstone bridge: $R_1,R_2$ at the top and $R_3,R_4$ at the bottom, switch $T$ at the centre of the bridge, voltmeter $V$ and battery $V$ at the left, ampereometer $A$ at the lower branch.

Quesito 7 (Storia - elettrolisi/Joule). J. P. Joule, in an article from 1841, tarrated the galvanometer in units $Q$, where $1Q$ is the current needed to dissociate $0,58\text{ g}$ of water in one hour. What is the current intensity of $1Q$ expressed in Amps?

Question 8 (thermodynamics). To double both the pressure and volume of a certain amount of perfect gas contained in a cylinder, the first time follows the $A\to B\to C$ transformation and the second time follows the $A\to C$ transformation. Determine the ratio of the work done by the gas in both cases.

Piano $p$-$V$: $A=(V_0,p_0)$, $B=(V_0,2p_0)$, $C=(2V_0,2p_0)$; trasformazione $A\to B\to C$ (isocora poi isobara) e diagonale $A\to C$.

Quesito 9 (Fluidi - tubo a U). Un tubo ad U verticale viene riempito parzialmente di mercurio. A fluid of unknown density is poured into one arm. The free surface of mercury is $7,7\text{ cm}$ from the bottom, that of liquid $23,6\text{ cm}$, the separation surface between the two liquids is $6,2\text{ cm}$ from the bottom. The density of mercury is $13,5\times 10^3{\text{ kg m}}^{-3}$. What’s the density of the liquid?

Quesito 10 (Gravitazione). Osservando una cometa si stima che al perielio la distanza dal Sole sia $7,2\times 10^7\text{ km}$ e la velocità $65{\text{ km s}}^{-1}$. By neglecting interactions with other celestial bodies, will the comet ever get closer to the Sun again? (Mass of the Sun $M=2,0\times 10^{30}\text{ kg}$.)

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves, Nuclear & Particle Physics, Newtonian Mechanics, Electrostatics, Circuits, Thermodynamics, Fluid Mechanics, Gravitation Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Radioactive Decay Law, Conservation of Momentum, Gauss’s Law, Free-Body Diagram, Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Conservation of Energy, Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Slit, Screen, Resistor, Battery, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una strada di grande comunicazione presenta piazzole di sosta prive di corsie di decelerazione/accelerazione; gli automezzi che ripartono devono immettersi direttamente nella corsia di marcia.

Ad un certo istante un automezzo parte da una piazzola, mentre sulla corsia sopraggiunge un secondo veicolo a velocità costante. Quando il primo (con accelerazione costante) raggiunge la velocità del secondo, quest’ultimo si trova ad una distanza di sicurezza. In seguito procedono alla stessa velocità.

1. Rappresentare la situazione con un grafico spazio-tempo $(t,x)$, con origine nel punto in cui il primo veicolo si mette in moto. Si indichino: $a$ accelerazione del primo veicolo; $v$ velocità del secondo; $d$ distanza di sicurezza alla velocità $v$.
2. Determinare, in funzione di $a$, $v$, $d$, la distanza $L$ a cui si trovava il secondo mezzo quando il primo si è messo in moto.
3. Per garantire la sicurezza si vuole fissare un limite di velocità: la visibilità dalle piazzole è almeno $350\text{ m}$, l’accelerazione di un mezzo è $\ge 1,1{\text{ m s}}^{-2}$, la distanza di sicurezza è $\ge 30\text{ m}$. Come deve essere fissato il limite, espresso come multiplo intero di $10\text{ km/h}$?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A high-speed road has no slow-down/acceleration lane; departing cars must enter the lane directly.

At a certain moment a car leaves a lane, while a second vehicle arrives on the lane at constant speed. When the first (constantly accelerating) reaches the speed of the second, the latter is at a safe distance. Later they proceed at the same speed.

1. Representing the situation with a time-space graph $(t,x)$, originating at the point where the first vehicle starts. The following shall be indicated: $a$ acceleration of the first vehicle; $v$ speed of the second; $d$ safety distance at speed $v$.
2. Determine, according to $a$, $v$, $d$, the distance $L$ from which the second half was located when the first half was started.
3. To ensure safety, a speed limit is to be set: visibility from the pitches is at least $350\text{ m}$, the acceleration of a vehicle is $\ge 1,1{\text{ m s}}^{-2}$, the safety distance is $\ge 30\text{ m}$. How is the limit to be set, expressed as an integer multiple of $10\text{ km/h}$?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Umidità relativa e punto di rugiada

L’aria si dice satura di vapor acqueo quando è in equilibrio termodinamico con l’acqua liquida. Si definisce umidità relativa il rapporto tra la massa di vapor acqueo presente in un dato volume d’aria e quella necessaria per saturarlo (espressa in percentuale). Il punto di rugiada è la temperatura sotto la quale il vapore presente diventa saturo e condensa.

[Tabella: densità del vapor saturo (g m−3) in funzione della temperatura (°C): 0→4.85; 2→5.53; 4→6.33; … 10→9.40; 12→10.6; 22→19.3; 24→21.5; valori intermedi forniti.]

1. Un appartamento viene arieggiato con aria esterna a $2°\text{C}$ e umidità relativa $25\%$. Dopo l’equilibrio si chiudono le finestre e si porta la temperatura a $22°\text{C}$. Calcolare l’umidità relativa interna.
2. Quanta acqua occorre far evaporare ($V=270{\text{ m}}^3$, pressione costante) per portare l’umidità relativa al $52\%$?
3. Un bicchiere freddo posto nell’appartamento al $52\%$ presenta condensa: determinare la massima temperatura $T$ della bevanda.

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Relative humidity and dew point

Air is called water vapor saturation when it is in thermodynamic equilibrium with liquid water. The ratio of the water vapor mass in a given volume of air to the volume needed to saturate it (expressed as a percentage) is defined as ** relative humidity**. The ** dew point** is the temperature at which the vapor present becomes saturated and condensed.

The following table shows the temperature of the saturated vapor (g m−3) as a function of temperature (°C): 0→4.85; 2→5.53; 4→6.33; … The following table shows the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the indicators.

1. An apartment is air conditioned with $2°\text{C}$ external air and relative humidity $25\%$. After the balance, the windows are closed and the temperature is brought to $22°\text{C}$. Calculate the relative humidity of the interior.
2. How much water is to be evaporated ($V=270{\text{ m}}^3$, constant pressure) to bring the relative humidity to $52\%$?
3. A cold glass in the $52\%$ apartment is condensed: determine the maximum temperature of the drink $T$.

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Tre sorgenti puntiformi $A$, $B$, $C$ sono su una sbarretta perpendicolare all’asse di una lente sottile convergente di focale $f$, con $AB=BC$. La sorgente $A$ è sull’asse, a distanza $p>f$ dalla lente. In queste condizioni le immagini $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ si raccolgono su uno schermo piano perpendicolare all’asse con $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$.

La sbarretta viene ruotata formando un angolo $\alpha$ con l’asse, mantenendo fissa $A$. Sistema $S$: origine in $A$, asse $X$ lungo l’asse della lente verso di essa, asse $Y$ tale che $B,C$ abbiano ordinata positiva. Siano $(x,y)$ le coordinate di $B$. Si supponga $2x<(p-f)$.

1. Determinare le coordinate $(x^{\prime },y^{\prime })$ dell’immagine $B^{\prime }$ in un sistema $S^{\prime }$ con origine in $A^{\prime }$, asse $X^{\prime }$ lungo l’asse della lente (orientato come $X$), $Y^{\prime }$ opposto a $Y$.
2. Dimostrare che le tre immagini possono essere raccolte sullo stesso schermo, purché ruotato di un angolo $\beta$ con l’asse; determinare $\beta$.
3. Trovare le condizioni per cui $\beta =\alpha$.
4. Mostrare che ora $A^{\prime }{B}^{\prime }\ne B^{\prime }{C}^{\prime }$ e specificare quale segmento è maggiore.

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Three pointed sources $A$, $B$, $C$ are on a bar perpendicular to the axis of a thin convergent lens of focus $f$, with $AB=BC$. The source $A$ is on the axis, at a distance $p>f$ from the lens. In these conditions the images $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ are collected on a flat screen perpendicular to the axis with $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$.

The bar shall be rotated at an angle $\alpha$ with the axis, while maintaining a fixed $A$. System $S$: origin in $A$, axis $X$ along the lens axis to it, axis $Y$ such that $B,C$ have a positive order. The coordinates of $(x,y)$ shall be $B$. Assume that $2x<(p-f)$.

1. Determine the $(x^{\prime },y^{\prime })$ coordinates of the $B^{\prime }$ image in a $S^{\prime }$ system originating in $A^{\prime }$, the $X^{\prime }$ axis along the lens axis (oriented as $X$), $Y^{\prime }$ opposite to $Y$.
2. Demonstrate that the three images can be collected on the same screen, provided that they are rotated at an angle $\beta$ with the axis; determine $\beta$.
3. Find the conditions for which $\beta =\alpha$.
4. Show that $A^{\prime }{B}^{\prime }\ne B^{\prime }{C}^{\prime }$ and specify which segment is greater.

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)