OII 1997 2° Livello Teorica

Gara Regionale del 22 febbraio 1997 — Parte Prima (10 quesiti, 4 punti ciascuno).

Quesito 1. Un oggetto pesante è legato ad un filo inestensibile di lunghezza $\ell =2\text{ m}$ fissato ad un supporto. Il filo viene teso orizzontalmente e l’oggetto lasciato cadere. Se la tensione massima sopportabile è $210\text{ N}$, quale può essere la massima massa dell’oggetto senza che il filo si strappi? ($g=10{\text{ m s}}^{-2}$)

Quesito 2. Una macchina termica ideale opera tra $T_c>T_f$. Si vuole aumentare $\Delta T$ la differenza di temperatura, o aumentando $T_c$ (con $T_f$ costante) o diminuendo $T_f$ (con $T_c$ costante). L’aumento di rendimento è lo stesso nei due casi? Giustificare.

Quesito 3. Una particella con carica $q=2\text{ pC}$ si divide in due parti. Determinare (modulo, direzione, verso) le forze elettrostatiche su ciascuna parte, quando sono a distanza $1\text{ mm}$ nel vuoto, se su una è $q_1=+3\text{ pC}$.

Quesito 4. Onde sonore di frequenza costante sono riflesse da uno schermo piano perpendicolare. Allontanando lo schermo si osserva un massimo a $22,5\text{ cm}$ dal microfono e, dopo altri dieci massimi, un massimo a $36,5\text{ cm}$. Determinare la lunghezza d’onda.

Quesito 5. Un raggio incide con angolo $75°$ nel centro di una faccia di un prisma cubico di vetro ($n=1,5$). Determinare da quale faccia e con quale angolo emerge il raggio.

Quesito 6. Un’asta omogenea $LM$ di massa $1,0\text{ kg}$ e lunga $40\text{ cm}$ è incernierata in $L$ e può ruotare in un piano verticale; all’altro estremo è retta da una molla fissata in $X$. All’equilibrio l’asta forma $30°$ con l’orizzontale e $90°$ con l’asse della molla. Calcolare l’allungamento della molla ($k=250{\text{ N m}}^{-1}$).

Quesito 7. Tre resistori $R_1>R_2>R_3$ vanno connessi (uno in serie al parallelo degli altri due) per ottenere la massima resistenza equivalente. Mostrare come inserirli e spiegare il motivo.

Quesito 8. Uno specchio concavo produce un’immagine reale ingrandita 4 volte se l’oggetto è a $12,5\text{ cm}$ dal centro ottico. In quale altra posizione l’oggetto dà un’immagine con lo stesso ingrandimento?

Quesito 9. In aria secca si ha scarica se il campo supera la rigidità dielettrica $E_0=20{\text{ kV cm}}^{-1}$. Qual è la massima carica su una sfera di raggio $r=100\text{ m}$? (${\epsilon }_r=1,00$)

Quesito 10. Un oggetto cade da altezza $h$ e, simultaneamente, un altro viene lanciato da terra verso l’alto sulla stessa verticale con velocità $v_0$. Qual è la condizione perché si scontrino prima che il secondo ritorni a terra?

Topic: Newtonian Mechanics, Thermodynamics, Electrostatics, Oscillations & Waves, Geometric Optics, Circuits, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Kirchhoff’s Laws, Snell’s Law, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Coulomb’s Law, Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Heat Engine, Prism, Rod, Spring, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Regional Competition of 22 February 1997 — Part One (10 questions, 4 points each).

Question 1. A heavy object is tied to an inextensible string of length $\ell =2\text{ m}$ fixed to a support. The string is stretched horizontally and the object is let fall. If the maximum tension it can withstand is $210\text{ N}$, what can the maximum mass of the object be without the string breaking? ($g=10{\text{ m s}}^{-2}$)

Question 2. An ideal heat engine operates between $T_c>T_f$. One wants to increase $\Delta T$ the temperature difference, either by increasing $T_c$ (with $T_f$ constant) or by decreasing $T_f$ (with $T_c$ constant). Is the increase in efficiency the same in the two cases? Justify.

Question 3. A particle with charge $q=2\text{ pC}$ splits into two parts. Determine (magnitude, direction, sense) the electrostatic forces on each part, when they are at distance $1\text{ mm}$ in vacuum, if on one it is $q_1=+3\text{ pC}$.

Question 4. Sound waves of constant frequency are reflected by a flat perpendicular screen. Moving the screen away, a maximum is observed at $22,5\text{ cm}$ from the microphone and, after another ten maxima, a maximum at $36,5\text{ cm}$. Determine the wavelength.

Question 5. A ray strikes with angle $75°$ at the center of a face of a cubic glass prism ($n=1,5$). Determine from which face and with what angle the ray emerges.

Problem 6. A uniform rod $LM$ of mass $1,0\text{ kg}$ and length $40\text{ cm}$ is hinged at $L$ and can rotate in a vertical plane; at the other end it is held by a spring fixed at $X$. At equilibrium the rod makes an angle $30°$ with the horizontal and $90°$ with the axis of the spring. Calculate the extension of the spring ($k=250{\text{ N m}}^{-1}$).

Problem 7. Three resistors $R_1>R_2>R_3$ must be connected (one in series with the parallel combination of the other two) to obtain the maximum equivalent resistance. Show how to insert them and explain why.

Problem 8. A concave mirror produces a real image magnified 4 times if the object is at $12,5\text{ cm}$ from the optical center. At what other position does the object give an image with the same magnification?

Problem 9. In dry air there is a discharge if the field exceeds the dielectric strength $E_0=20{\text{ kV cm}}^{-1}$. What is the maximum charge on a sphere of radius $r=100\text{ m}$? (${\epsilon }_r=1,00$)

Problem 10. An object falls from a height $h$ and, simultaneously, another is launched from the ground upward along the same vertical with speed $v_0$. What is the condition for them to collide before the second returns to the ground?

Solution: Soluzioni (PDF)

Due palline di ugual raggio e di masse $m_1=5,0\text{ g}$ e $m_2=20\text{ g}$ sono collegate da un filo inestensibile di massa trascurabile. Il sistema cade verticalmente in aria con $m_2$ più in basso. Dopo aver percorso una certa distanza viene ripreso con una macchina fotografica di focale $f=100\text{ mm}$ posta a $\ell =15\text{ m}$ dal piano di caduta. Davanti all’obiettivo ruota un disco con otto fori a velocità $\omega =3,0{\text{ giri s}}^{-1}$, producendo immagini distanziate di $d=3,0\text{ mm}$ sulla pellicola.

Schema ottico: le posizioni $A$ e $B$ del sistema in caduta (piano a distanza $\ell$) vengono proiettate attraverso l’obiettivo nelle immagini $C$ e $D$ sulla pellicola (a distanza focale $f$), separate di $d$.

1. Determinare la velocità di caduta del sistema.
2. Assumendo la resistenza dell’aria proporzionale al quadrato della velocità, determinare la tensione del filo e il coefficiente di proporzionalità.
3. Determinare la massima velocità che avrebbe raggiunto $m_2$ cadendo da sola.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Two balls of equal radius and mass $m_1=5,0\text{ g}$ and $m_2=20\text{ g}$ are connected by an unstretched wire of negligible mass. The system falls vertically into the air with $m_2$ lower. After a certain distance, it is taken with a $f=100\text{ mm}$ focal camera set to $\ell =15\text{ m}$ from the fall plane. A disc with eight holes rotates in front of the lens at $\omega =3,0{\text{ giri s}}^{-1}$ speed, producing distant images of $d=3,0\text{ mm}$ on the film.

Optical scheme: the positions $A$ and $B$ of the falling system (distance plane $\ell$) are projected through the lens in the images $C$ and $D$ onto the film (focal distance $f$), separated from $d$.

1. Determine the rate of system failure.
2. Assuming the air resistance is proportional to the square of the velocity, determine the wire voltage and the coefficient of proportionality.
3. Determinare la massima velocità che avrebbe raggiunto $m_2$ cadendo da sola.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Un cilindro chiuso da un pistone mobile contiene elio. Con una trasformazione lenta rappresentata da una retta nel piano $P$-$V$, l’elio passa dallo stato $A$ ($P_A=40\text{ kPa}$, $V_A=3{\text{ dm}}^3$, $T_A=300\text{ K}$) allo stato $B$ ($P_B=150\text{ kPa}$, $V_B=1{\text{ dm}}^3$).

1. Determinare la temperatura nello stato $B$.
2. Determinare la massima temperatura raggiunta durante la trasformazione e la pressione corrispondente.
3. Determinare il calore scambiato dal gas con l’esterno durante la trasformazione.
4. Il gas è riportato da $B$ ad $A$ con isocora seguita da isobara: determinare il lavoro utile del ciclo.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A cylinder closed by a moving piston contains helium. With a slow transformation represented by a right in the plane $P$-$V$, helium passes from the state $A$ ($P_A=40\text{ kPa}$, $V_A=3{\text{ dm}}^3$, $T_A=300\text{ K}$) to the state $B$ ($P_B=150\text{ kPa}$, $V_B=1{\text{ dm}}^3$).

1. Determine the temperature in the state $B$.
2. Determine the maximum temperature reached during processing and the corresponding pressure.
3. Determine the heat exchanged by the gas with the outside during processing.
4. The gas is returned from $B$ to $A$ with isocora followed by isobars: determining the useful work of the cycle.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una carica con densità uniforme $\rho =3,54\times 10^{-5}{\text{ C m}}^{-3}$ è limitata da due superfici piane parallele a distanza $2a=5,0\text{ cm}$.

1. In quali punti dello spazio il campo elettrico è nullo?
2. Determinare l’espressione analitica del campo elettrico e rappresentarlo graficamente in funzione della distanza dal piano mediano.
3. Un protone si dirige perpendicolarmente contro la distribuzione: qual è la minima energia per emergere dall’altra parte? Con quanta energia emerge?

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Symmetry Argument, Energy Conservation Method, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A charge with uniform density $\rho =3,54\times 10^{-5}{\text{ C m}}^{-3}$ is limited by two parallel flat surfaces at a distance $2a=5,0\text{ cm}$.

1. Where in space is the electric field zero?
2. Determine the analytical expression of the electric field and represent it graphically in relation to the distance from the median plane.
3. A proton is moving perpendicular to the distribution: what is the least energy to emerge from the other side? How much energy does it produce?

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Symmetry Argument, Energy Conservation Method, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)