OII 1997 2° Livello Teorica — reg97 (2 files merged).pdf

Gara Regionale del 22 febbraio 1997 — Parte Prima (10 quesiti, 4 punti ciascuno).

Quesito 1. Un oggetto pesante è legato ad un filo inestensibile di lunghezza $\ell =2\text{ m}$ fissato ad un supporto. Il filo viene teso orizzontalmente e l’oggetto lasciato cadere. Se la tensione massima sopportabile è $210\text{ N}$, quale può essere la massima massa dell’oggetto senza che il filo si strappi? ($g=10{\text{ m s}}^{-2}$)

Quesito 2. Una macchina termica ideale opera tra $T_c>T_f$. Si vuole aumentare $\Delta T$ la differenza di temperatura, o aumentando $T_c$ (con $T_f$ costante) o diminuendo $T_f$ (con $T_c$ costante). L’aumento di rendimento è lo stesso nei due casi? Giustificare.

Quesito 3. Una particella con carica $q=2\text{ pC}$ si divide in due parti. Determinare (modulo, direzione, verso) le forze elettrostatiche su ciascuna parte, quando sono a distanza $1\text{ mm}$ nel vuoto, se su una è $q_1=+3\text{ pC}$.

Quesito 4. Onde sonore di frequenza costante sono riflesse da uno schermo piano perpendicolare. Allontanando lo schermo si osserva un massimo a $22,5\text{ cm}$ dal microfono e, dopo altri dieci massimi, un massimo a $36,5\text{ cm}$. Determinare la lunghezza d’onda.

Quesito 5. Un raggio incide con angolo $75°$ nel centro di una faccia di un prisma cubico di vetro ($n=1,5$). Determinare da quale faccia e con quale angolo emerge il raggio.

Quesito 6. Un’asta omogenea $LM$ di massa $1,0\text{ kg}$ e lunga $40\text{ cm}$ è incernierata in $L$ e può ruotare in un piano verticale; all’altro estremo è retta da una molla fissata in $X$. All’equilibrio l’asta forma $30°$ con l’orizzontale e $90°$ con l’asse della molla. Calcolare l’allungamento della molla ($k=250{\text{ N m}}^{-1}$).

Quesito 7. Tre resistori $R_1>R_2>R_3$ vanno connessi (uno in serie al parallelo degli altri due) per ottenere la massima resistenza equivalente. Mostrare come inserirli e spiegare il motivo.

Quesito 8. Uno specchio concavo produce un’immagine reale ingrandita 4 volte se l’oggetto è a $12,5\text{ cm}$ dal centro ottico. In quale altra posizione l’oggetto dà un’immagine con lo stesso ingrandimento?

Quesito 9. In aria secca si ha scarica se il campo supera la rigidità dielettrica $E_0=20{\text{ kV cm}}^{-1}$. Qual è la massima carica su una sfera di raggio $r=100\text{ m}$? (${\epsilon }_r=1,00$)

Quesito 10. Un oggetto cade da altezza $h$ e, simultaneamente, un altro viene lanciato da terra verso l’alto sulla stessa verticale con velocità $v_0$. Qual è la condizione perché si scontrino prima che il secondo ritorni a terra?

Topic: Newtonian Mechanics, Thermodynamics, Electrostatics, Oscillations & Waves, Geometric Optics, Circuits, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Kirchhoff’s Laws, Snell’s Law, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Coulomb’s Law, Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Heat Engine, Prism, Rod, Spring, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Regional competition of 22 February 1997 Part One (10 questions, 4 points each).

Quesito 1. Un oggetto pesante è legato ad un filo inestensibile di lunghezza $\ell =2\text{ m}$ fissato ad un supporto. The wire is stretched horizontally and the object dropped. If the maximum tolerable voltage is $210\text{ N}$, what is the maximum mass of the object without the wire tearing? ($g=10{\text{ m s}}^{-2}$)

Quesito 2. Una macchina termica ideale opera tra $T_c>T_f$. The temperature difference is to be increased by $\Delta T$, or increased by $T_c$ (with $T_f$ constant) or decreased by $T_f$ (with $T_c$ constant). Is the increase in yield the same in both cases? Justify it.

Quesito 3. Una particella con carica $q=2\text{ pC}$ si divide in due parti. Determine (module, direction, direction) the electrostatic forces on each side when they are $1\text{ mm}$ in the vacuum, if on one is $q_1=+3\text{ pC}$.

Quesito 4. Onde sonore di frequenza costante sono riflesse da uno schermo piano perpendicolare. If the screen is removed, a maximum of $22,5\text{ cm}$ from the microphone is observed and, after ten more maxims, a maximum of $36,5\text{ cm}$. Determine the wavelength.

Quesito 5. Un raggio incide con angolo $75°$ nel centro di una faccia di un prisma cubico di vetro ($n=1,5$). Determine from which side and angle the beam emerges.

Quesito 6. Un’asta omogenea $LM$ di massa $1,0\text{ kg}$ e lunga $40\text{ cm}$ è incernierata in $L$ e può ruotare in un piano verticale; all’altro estremo è retta da una molla fissata in $X$. At equilibrium the axis shall be $30°$ with the horizontal and $90°$ with the spring axis. Calculate the length of the spring ($k=250{\text{ N m}}^{-1}$).

Quesito 7. Tre resistori $R_1>R_2>R_3$ vanno connessi (uno in serie al parallelo degli altri due) per ottenere la massima resistenza equivalente. Show them how to insert them and explain why.

Quesito 8. Uno specchio concavo produce un’immagine reale ingrandita 4 volte se l’oggetto è a $12,5\text{ cm}$ dal centro ottico. In what other position does the object give an image with the same magnification?

Question 9. In dry air discharge is performed if the field exceeds dielectric stiffness $E_0=20{\text{ kV cm}}^{-1}$. What is the maximum charge on a sphere of radius $r=100\text{ m}$? (${\epsilon }_r=1,00$)

Question 10. One object falls from a height $h$ and at the same time another object is thrown from the ground upwards on the same vertical with speed $v_0$. What’s the condition for them to collide before the second one returns to the ground?

Topic: Newtonian Mechanics, Thermodynamics, Electrostatics, Oscillations & Waves, Geometric Optics, Circuits, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Kirchhoff’s Laws, Snell’s Law, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Coulomb’s Law, Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Heat Engine, Prism, Rod, Spring, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Due palline di ugual raggio e di masse $m_1=5,0\text{ g}$ e $m_2=20\text{ g}$ sono collegate da un filo inestensibile di massa trascurabile. Il sistema cade verticalmente in aria con $m_2$ più in basso. Dopo aver percorso una certa distanza viene ripreso con una macchina fotografica di focale $f=100\text{ mm}$ posta a $\ell =15\text{ m}$ dal piano di caduta. Davanti all’obiettivo ruota un disco con otto fori a velocità $\omega =3,0{\text{ giri s}}^{-1}$, producendo immagini distanziate di $d=3,0\text{ mm}$ sulla pellicola.

Schema ottico: le posizioni $A$ e $B$ del sistema in caduta (piano a distanza $\ell$) vengono proiettate attraverso l’obiettivo nelle immagini $C$ e $D$ sulla pellicola (a distanza focale $f$), separate di $d$.

1. Determinare la velocità di caduta del sistema.
2. Assumendo la resistenza dell’aria proporzionale al quadrato della velocità, determinare la tensione del filo e il coefficiente di proporzionalità.
3. Determinare la massima velocità che avrebbe raggiunto $m_2$ cadendo da sola.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Two balls of equal radius and mass $m_1=5,0\text{ g}$ and $m_2=20\text{ g}$ are connected by an unstretched wire of negligible mass. The system falls vertically into the air with $m_2$ lower. After a certain distance, it is taken with a $f=100\text{ mm}$ focal camera set to $\ell =15\text{ m}$ from the fall plane. A disc with eight holes rotates in front of the lens at $\omega =3,0{\text{ giri s}}^{-1}$ speed, producing distant images of $d=3,0\text{ mm}$ on the film.

Optical scheme: the positions $A$ and $B$ of the falling system (distance plane $\ell$) are projected through the lens in the images $C$ and $D$ onto the film (focal distance $f$), separated from $d$.

1. Determine the rate of system failure.
2. Assuming the air resistance is proportional to the square of the velocity, determine the wire voltage and the coefficient of proportionality.
3. Determinare la massima velocità che avrebbe raggiunto $m_2$ cadendo da sola.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Un cilindro chiuso da un pistone mobile contiene elio. Con una trasformazione lenta rappresentata da una retta nel piano $P$-$V$, l’elio passa dallo stato $A$ ($P_A=40\text{ kPa}$, $V_A=3{\text{ dm}}^3$, $T_A=300\text{ K}$) allo stato $B$ ($P_B=150\text{ kPa}$, $V_B=1{\text{ dm}}^3$).

1. Determinare la temperatura nello stato $B$.
2. Determinare la massima temperatura raggiunta durante la trasformazione e la pressione corrispondente.
3. Determinare il calore scambiato dal gas con l’esterno durante la trasformazione.
4. Il gas è riportato da $B$ ad $A$ con isocora seguita da isobara: determinare il lavoro utile del ciclo.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A cylinder closed by a moving piston contains helium. With a slow transformation represented by a right in the plane $P$-$V$, helium passes from the state $A$ ($P_A=40\text{ kPa}$, $V_A=3{\text{ dm}}^3$, $T_A=300\text{ K}$) to the state $B$ ($P_B=150\text{ kPa}$, $V_B=1{\text{ dm}}^3$).

1. Determine the temperature in the state $B$.
2. Determine the maximum temperature reached during processing and the corresponding pressure.
3. Determine the heat exchanged by the gas with the outside during processing.
4. The gas is returned from $B$ to $A$ with isocora followed by isobars: determining the useful work of the cycle.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una carica con densità uniforme $\rho =3,54\times 10^{-5}{\text{ C m}}^{-3}$ è limitata da due superfici piane parallele a distanza $2a=5,0\text{ cm}$.

1. In quali punti dello spazio il campo elettrico è nullo?
2. Determinare l’espressione analitica del campo elettrico e rappresentarlo graficamente in funzione della distanza dal piano mediano.
3. Un protone si dirige perpendicolarmente contro la distribuzione: qual è la minima energia per emergere dall’altra parte? Con quanta energia emerge?

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Symmetry Argument, Energy Conservation Method, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A charge with uniform density $\rho =3,54\times 10^{-5}{\text{ C m}}^{-3}$ is limited by two parallel flat surfaces at a distance $2a=5,0\text{ cm}$.

1. Where in space is the electric field zero?
2. Determine the analytical expression of the electric field and represent it graphically in relation to the distance from the median plane.
3. A proton is moving perpendicular to the distribution: what is the least energy to emerge from the other side? How much energy does it produce?

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Symmetry Argument, Energy Conservation Method, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)