Russia 2019

Problem 1. A ball that’s rolling on a vertical wall sometimes seems to have a bizarre behaviour. Golf players are often frustrated by the movement of a ball that just grazes the hole. To simplify the quantitative analysis, the proposed model consists of the following hypotheses: • the golf ball is considered homogeneous, with mass $m$ and radius $r$ ; • the hole is perfectly cylindrical, of radius $R$ and depth $h$ , measured with respect to the ground; • the ball rolls without slipping before entering the hole, and it continues to do so on the hole’s wall; • while the ball moves inside the hole, it remains in contact with the wall; • the ball enters the hole grazingly; its initial velocity is tangent to the hole’s wall and its magnitude is $v_{0}$ . The figure depicts the ball somewhere on the hole’s wall. The azimuthal displacement of the ball is measured by the angle $ϕ$ , the angular velocity of the ball around the vertical axis of symmetry of the hole is $Ω$ , and the unit vectors of the radial, azimuthal and vertical directions are $\overset{r}{^}$ , $\hat{ϕ}$ , $\overset{z}{^}$ , respectively. Under these assumptions, determine: A. the expression of the vertical component of the angular velocity of the ball, $ω_{z}$ , when it rolls without slipping on the hole’s wall, as well as the expression of the azimuthal component of the friction force between the hole and the wall; (2.40 p)

B. the expression of $Ω$ , the angular velocity of the ball around the vertical axis of symmetry of the hole; (0.40 p) C. the expression of the normal reaction force with which the hole’s wall acts upon the ball, during its rolling motion on the wall; (0.40 p) D. the vertical position $z (t)$ of the ball as a function of time, after it enters the hole; (4.60 p) E. the expression which gives the minimum value of $v_{0}$ such that the ball immediately exits the hole; (1.00 p) F. the mathematical condition which $μ$ (the coefficient of friction between the ball and the hole) has to satisfy, such that the ball never slips. (1.20 p) The value of the gravitational acceleration, $g$ , is known. Notes:

The derivative of the product of two functions, $f (x)$ and $g (x)$ , is $\frac{d}{d x} (f g) = \frac{df}{d x} g + f \frac{d g}{d x}$ ;
The time-derivatives of the unit vectors depicted in the figure are $\frac{d r ^}{d t} = Ω \hat{ϕ}$ , $\frac{d ϕ ^}{d t} = - Ω \overset{r}{^}$ and $\frac{d z ^}{d t} = 0$ . Proposed by conf. univ. dr. Sebastian POPESCU, Faculty of Physics, ”Alexandru Ioan Cuza” University, Ias,i

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1. Una palla che ruota su un muro verticale a volte sembra avere un comportamento bizzarro. I giocatori di golf sono spesso frustrati dal movimento di una palla che solo rassa il buco. Per semplificare il L’analisi quantitativa, il modello proposto è costituito dalle seguenti ipotesi: • la palla da golf è considerata omogenea, con massa $m$ e raggio $r$ ; • il buco è perfettamente cilindrico, di raggio $R$ e profondità $h$ , misurato rispetto al suolo; • la palla ruota senza scivolare prima di entrare nel buco e continua a farlo sulla parete del buco; • mentre la palla si muove all’interno del buco, rimane in contatto con il muro; • la palla entra nel buco in modo pascolare; la sua velocità iniziale è tangente alla parete del buco e alla sua grandezza is $v_{0}$ . La figura raffigura la palla da qualche parte sulla parete del buco. Il spostamento azimuthal della palla è misurata con l’angolo $ϕ$ , la velocità angolare della palla attorno all’asse verticale di simmetria del il buco è $Ω$ e i vettori unitari delle direzioni radial, azimuthal e verticale sono $\overset{r}{^}$ , $\hat{ϕ}$ e $\overset{z}{^}$ , rispettivamente. In base a queste ipotesi, determinare: A. l’espressione della componente verticale della velocità angolare della palla, $ω_{z}$ , quando si ruota La forma di espressione della componente azimuthal della la forza di attrito tra il buco e la parete; (2.40 p)

B. l’espressione di $Ω$ , la velocità angolare della palla intorno all’asse verticale di simmetria del buco; (0.40 p) C. l’espressione della forza di reazione normale con cui la parete del foro agisce sulla palla, durante il suo movimento rotondo sulla parete; (0.40 p) D. la posizione verticale $z (t)$ della palla in funzione del tempo dopo che essa entra nel buco; (4.60 p) E. l’espressione che dà il valore minimo di $v_{0}$ in modo tale che la palla esci immediatamente dal buco; (1.00 p) F. la condizione matematica che $μ$ (il coefficiente di attrito tra la palla e il buco) ha per soddisfare, in modo che la palla non scivoli mai. (1.20 p) Il valore dell’accelerazione gravitazionale, $g$ , è noto. Nota:

La derivata del prodotto di due funzioni, $f (x)$ e $g (x)$ , è $\frac{d}{d x} (f g) = \frac{df}{d x} g + f \frac{d g}{d x}$ ;
Le derivate temporali dei vettori unitari raffigurati nella figura sono $\frac{d r ^}{d t} = Ω \hat{ϕ}$ , $\frac{d ϕ ^}{d t} = - Ω \overset{r}{^}$ e $\frac{d z ^}{d t} = 0$ . Proposto da conf. - Univ. dr. Sebastian POPESCU, Facoltà di Fisica, Alexandru Ioan Cuza Università, Ias, i

Problem 2. An ideal heat engine has two sources of finite thermal capacity $C = 500$ J/K, with initial temperatures $T_{H} = 625$ K and $T_{C} = 289$ K. The power of the engine decreases exponentially in time according to the law $P = P_{0} e^{- k τ}$ , where $P_{0} = 960$ W is the initial power, and $τ$ is the time elapsed. A. Calculate the temperatures of the two sources, when the engine ceases to function. (2.5 p) B. Calculate the total work done by the engine. (1.5 p) C. Calculate the time required for the power of engine to halve. (2.5 p) D. Calculate the time required for the efficiency of engine to halve. (2 p) E. Calculate the time required for the temperature difference between the sources to halve. (1.5 p) Proposed by asist. cerc. dr. Gabriel PASCU and lect. univ. dr. Adrian NECULAE, Faculty of Physics, West University of Timis,oara

Topic: Thermodynamics, Conservation of Energy Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Differential Equations, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Heat Engine Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 2. Un motore termico ideale ha due fonti di capacità termico finita $C = 500$ J/K, con iniziale Temperature $T_{H} = 625$ K e $T_{C} = 289$ K. La potenza del motore diminuisce esponenzialmente nel tempo secondo la legge $P = P_{0} e^{- k τ}$ , dove $P_{0} = 960$ W è la potenza iniziale e $τ$ è il tempo trascorso. A. Calcolare le temperature delle due fonti, quando il motore cessa di funzionare. (2.5 p) B. Calcolare il lavoro totale svolto dal motore. (1.5 p) C. Calcolare il tempo necessario per ridurre la potenza del motore alla metà. (2.5 p) D. Calcolare il tempo necessario per ridurre di metà l’efficienza del motore. (2 p) E. Calcolare il tempo necessario per ridurre di metà la differenza di temperatura tra le fonti. (1.5 p) Proposto da Assist. Cerco. dr. Gabriel PASCU e lezione. - Univ. dr. Adrian NECULAE, Facoltà di Fisica, Università Occidentale di Timis, Oara

Problem 3. An experiment analyzed thoroughly during the past two decades is known in the scientific community by the name of ”jumping ring”, first presented in 1887. The analysis of this experiment lead to the emergence of dozens of demonstrative clips, as well as a few scientific articles. The basic scheme of the experiment requires the presence of a coil with an iron core (which is longer than the coil itself), coupled to a voltage source and positioned such that its symmetry axis is vertical. The coil has circular loops, and the iron core has a circular cross section of exterior diameter $D$ . A conducting, non-magnetic ring of interior diameter $D$ , exterior diameter $D + 2 x$ , thickness $H$ and density $ρ$ is placed above the coil, such that it is concentric with the coil and its iron core. The ring can move vertically without friction. Under certain circumstances, the ring suddenly jumps, more or less.

Topic: Electromagnetic Induction, Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Coil, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 3. Un esperimento analizzato approfonditamente negli ultimi due decenni è noto nel campo scientifico comunità denominata jumping ring, presentata per la prima volta nel 1887. L’analisi di questo esperimento La Commissione ha inoltre adottato una proposta di direttiva che, in base alle disposizioni del regolamento (CE) n. La base Il progetto di esperimento richiede la presenza di una bobina con un nucleo di ferro (che è più lungo della la bobina stessa), accoppiata a una fonte di tensione e posizionata in modo tale che il suo asse di simmetria sia verticale. La bobina ha un ciclo circolare e il nucleo di ferro ha una sezione trasversale circolare di diametro esterno $D$ . Un direttore, si inserisce un anello non magneto di diametro interno $D$ , diametro esterno $D + 2 x$ , spessore $H$ e densità $ρ$ sopra la bobina, in modo che sia concentrica con la bobina e il suo nucleo di ferro. L’ anello può muoversi verticalmente senza attrito. In certe circostanze, l’anello salta improvvisamente, più o meno.

Task 1 (3.5 p): A. Find the mass of the ring (0.5 p) B. Considering that the coil is connected to a DC voltage source and a switch, analyze the movement of the ring right after the switch is closed, explaining the cause of the phenomenon. (2.0 p) C. What happens if the ring has a small gap, as depicted in the second figure? (1.0 p)

Topic: Electromagnetic Induction, Magnetism Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Coil, Switch, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3

Teste 1 (3.5 p): A. Trova la massa dell’ anello (0.5 p) B. Considerando che la bobina è collegata a una fonte di tensione a corrente continua e a un interruttore, analizzare il movimento di un anello subito dopo la chiusura del interruttore, spiegando la causa del fenomeno. (2.0 p) C. Cosa succede se l’anello ha un piccolo gap, come è raffigurato nella seconda figura? (1.0 p)

Task 2 (3.5 p): Considering that the coil is now connected to an AC voltage source of angular frequency $ω$ analyze the difference in the behaviour of the ring after the switch is closed, in the following two situations: D. The iron core causes the magnetic field produced by the coil to be perfectly vertical above the coil (until right below the maximum height of the iron core); (0.5 p)

E. The condition stated at (D) isn’t satisfied (that is, the magnetic field has a horizontal component as well). (3.0 p) Note: When solving Task 2, you need to take the following cases into account – the ring is (1) purely resistive (2) has an inductance $L$ . In order to motivate what you think it’s going to happen with the ring, calculate the forces that act upon it, as well as the average forces over a period (of the AC source).

Topic: Electromagnetic Induction, Magnetism, Oscillations & Waves Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lorentz Force Analysis, Physical Modeling, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.3

Compito 2 (3.5 p): Considerando che la bobina è ora collegata a una fonte di tensione AC di frequenza angolare $ω$ analizzare la differenza nel comportamento dell’anello dopo la chiusura del cambio, nelle due situazioni seguenti: D. Il nucleo di ferro fa sì che il campo magnetico prodotto dalla bobina sia perfettamente verticale sopra la bobina (fino a poco al di sotto dell’altezza massima del nucleo di ferro); (0.5 p)

E. La condizione indicata a (D) non è soddisfatta (cioè il campo magnetico ha una componente orizzontale)

E’ un’altra cosa. (3.0 p) Nota: quando si risolve il compito 2, è necessario tenere conto dei seguenti casi l’anello è (1) puramente resistente (2) ha un’induttanza $L$ . Per motivare ciò che pensi che succederà con il ring, calcola le forze che agiscono su di esso, nonché le forze medie per un periodo (della fonte di CA).

Task 3 (3.0 p): F. What would differ regarding the behaviour of the ring, if it were held in liquid nitrogen before performing the experiment? (1.0 p) G. Under the circumstances described at (E), it can be observed that if the iron core is sufficiently long, there exists an equilibrium position of the ring at a certain distance above the coil (which is coupled to the AC source). Find the form of the relation between the inductance of the ring and its thickness, if the equilibrium position doesn’t depend on the value of $H$ (assuming that the material of the ring is a very good electrical conductor). (2.0 p) Note: Throughout the problem, air resistance is negligible when analyzing the motion of the ring. Proposed by lect. univ. dr. Mihai VASILESCU, Faculty of Physics, ”Babes,-Bolyai” University, Cluj-Napoca

Topic: Electromagnetic Induction, Magnetism Metodi: Physical Modeling, Energy Conservation Method, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.4

Compito 3 (3.0 p): F. Che cosa differirebbe dal comportamento dell’anello, se fosse stato tenuto in azoto liquido prima di eseguire l’esperimento? (1.0 p) G. In base alle circostanze descritte al punto E, si può osservare che se il nucleo di ferro è sufficientemente L’anello si trova in posizione di equilibrio a una certa distanza sopra la bobina (che è accoppiato alla fonte di CA). Trova la forma della relazione tra l’inductanza dell’anello e lo spessore, se la posizione di equilibrio non dipende dal valore di $H$ (presumendo che il valore di equilibrio sia il materiale dell’anello è un buon conduttore elettrico). (2.0 p) Nota: Durante tutto il problema, la resistenza all’aria è trascurabile quando si analizza il movimento dell’anello. Proposto da lect. - Univ. dr. Mihai VASILESCU, Facoltà di Fisica, Babes, Bolyai University, Cluj-Napoca

Problem 4. Magnetic field appears near moving charges. At a point in space, a magnetic field exerts a force on a moving charge located at that point. An infinitesimally small segment of a conductor (a current $I$ flows through it), of length $d l$ , produces – at a point $P$ located at a distance $r$ from it – a magnetic field of strength (given by the Biot-Savart law) $d B = \frac{μ _{0} I d l \times r}{4 π r ^{3}}$ ; in the plane that passes through point $P$ and is perpendicular to the direction of the conductor $d l$ , the magnetic field lines are circular. The magnetic field has no sources; the field lines are closed. For permanent magnets – objects with magnetic properties – there exists a point through which field lines (which are closed lines) exit the object, called north pole, and a point through which field lines enter the object, called south pole. Permanent magnets are treated - due to their pole description – as dipole structures. By analogy with the electric dipole, a magnetic dipole moment can be defined. The magnetic field has no sources; the field lines are closed. For permanent magnets – objects with magnetic properties – there exists a point through which field lines (which are closed lines) exit the object, called north pole, and a point through which field lines enter the object, called south pole. Permanent magnets are treated - due to their pole description – as dipole structures. By analogy with the electric dipole, a magnetic dipole moment can be defined. The magnetic field generated by a permanent, cylindrical magnet is equivalent – at very large distances – with the magnetic field produced by a circular loop through which a steady current flows. The loop is characterized by its magnetic dipole moment $p_{m}$ . The magnitude of this vector is defined as the product between the intensity $I$ of the current that flows through the loop and its surface area $S$ : $p_{m} = I \cdot S$ . A force $d F = I \cdot d l \times B$ acts upon an infinitesimal segment $d l$ of a conducting wire, through which a current $I$ flows, and which is located at a point where a magnetic field of strength $B$ exists. The change in position of a circular loop in a uniform magnetic field $B$ requires some mechanical work, which represents the change in its potential energy. The potential energy $U$ associated with an object of dipole moment $p_{m}$ has the expression $U = - p_{m} \cdot B$ . If you deem it necessary, you can consider that the equation of motion for damped oscillations, $\overset{x}{¨} + 2 \cdot β \cdot \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} \cdot x = 0$ , has the solution $x (t) = A \cdot exp (- t / τ) \cdot cos (ω \cdot t + ϕ)$ , where $ω = ω_{0}^{2} - β^{2}$ is the angular frequency of the damped oscillations and $τ = 1/ β$ is the damping time. The parameters $A$ , $ϕ$ can be determined from initial conditions.

Topic: Magnetism, Oscillations & Waves Metodi: Biot-Savart Law, Superposition Principle, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Magnet, Magnetic Dipole, Wire, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.4

Il problema 4. Il campo magnetico appare vicino alle cariche in movimento. In un punto nello spazio, un campo magnetico esercita un forza su una carica in movimento situata in quel punto. Un segmento infinitesimalmente piccolo di un conduttore (una corrente $I$ fluisce attraverso di esso), di lunghezza $d l$ , produce in un punto $P$ situato a una distanza $r$ da esso un campo magnetico di forza (dato dal Biot-Savart Legge) $d B = \frac{μ _{0} I d l \times r}{4 π r ^{3}}$ ; nel piano che passa attraverso il punto $P$ e è perpendicolare alla direzione della con conduttore $d l$ , le linee del campo magnetico sono circolari. Il campo magnetico non ha fonti; le linee di campo sono chiuse. Per i magneti permanenti oggetti con proprietà magnetiche esiste un punto attraverso il quale le linee di campo (che sono linee chiuse) usciranno dall’oggetto, chiamato polo nord, e un punto attraverso il quale le linee di campo entrano nell’oggetto, chiamato polo sud. Permanente i magneti vengono trattati - a causa della loro descrizione dei poli come strutture dipoliche. Per analogia con l’elettrico dipolo, un momento di dipolo magnetico può essere definito. Il campo magnetico non ha fonti; le linee di campo sono chiuse. Per i magneti permanenti oggetti con proprietà magnetiche esiste un punto attraverso il quale le linee di campo (che sono linee chiuse) usciranno dall’oggetto, chiamato polo nord, e un punto attraverso il quale le linee di campo entrano nell’oggetto, chiamato polo sud. Permanente i magneti vengono trattati - a causa della loro descrizione dei poli come strutture dipoliche. Per analogia con l’elettrico dipolo, un momento di dipolo magnetico può essere definito. Il campo magnetico generato da un magnete permanente e cilindrico è equivalente a distanze molto grandi al campo magnetico prodotto da un ciclo circolare attraverso il quale scorre una corrente costante. Il il ciclo è caratterizzato dal suo momento di dipolo magnetico $p_{m}$ . La grandezza di questo vettore è definita come il prodotto tra l’intensità $I$ della corrente che scorre attraverso il circuito e la sua superficie $S$ : $p_{m} = I \cdot S$ . Una forza $d F = I \cdot d l \times B$ agisce su un segmento infinitesimale $d l$ di un filo conduttore, attraverso il quale un flusso di corrente $I$ , e che si trova in un punto in cui esiste un campo magnetico di forza $B$ . Il il cambiamento della posizione di un ciclo circolare in un campo magnetico uniforme $B$ richiede un certo lavoro meccanico, che rappresenta il cambiamento della sua energia potenziale. L’energia potenziale $U$ associata ad un oggetto di il momento di dipole $p_{m}$ ha l’espressione $U = - p_{m} \cdot B$ . Se lo riteni necessario, puoi considerare che l’equazione di movimento per oscillazioni umide, $\overset{x}{¨} + 2 \cdot β \cdot \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} \cdot x = 0$ , ha la soluzione $x (t) = A \cdot exp (- t / τ) \cdot cos (ω \cdot t + ϕ)$ , dove $ω = ω_{0}^{2} - β^{2}$ è la frequenza angolare delle oscillazioni umedezzate e $τ = 1/ β$ è il tempo di umedezione. I parametri $A$ , $ϕ$ possono essere determinati dalle condizioni iniziali.

Task 1: For Task 1, consider a magnetic dipole consisting of a circular current loop. The magnetic moment of this dipole has strength $p_{m}$ . The axis of the dipole is perpendicular to the plane of the loop and it passes right through its center. Because magnetic fields have no sources, the number of field lines that cross any closed three-dimensional surface is null. 1.A. Prove that the strength of the magnetic field created by the dipole at a point $A$ , located on the axis of the dipole at a large distance from its center has the expression $B_{z} = \frac{a p _{m}}{z ^{α}} (1)$ where $z$ represents the coordinate of point $A$ , measured along the axis of the dipole, with respect to its center. Deduce the values of $a$ and $α$ , which appear in the expression from relation (1). Assume that the magnetic dipole is placed in vacuum $(μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} H m^{- 1})$ . (2.0 p) 1.B. Next, consider that the aforementioned magnetic dipole is placed in a magnetic field with axial symmetry, but which is inhomogeneous, whose strength along the $O z$ axis is $B_{z} (z)$ . If the axis of the dipole coincides with the symmetry axis of the magnetic field, prove that the expression of the force that the magnetic field exerts on the dipole is $F_{z} = c \cdot p_{m} \cdot (d B_{z} (z) / d z) (2)$ and determine the value of the constant $c$ . (1.5 p)

Topic: Magnetism Metodi: Biot-Savart Law, Gauss’s Law, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Magnetic Dipole, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.5

La prima operazione: Per la Tarea 1, si consideri un dipolo magnetico costituito da un ciclo di corrente circolare. Il momento magnetico di questo dipolo ha una resistenza $p_{m}$ . L’asse del dipolo è perpendicolare al piano del loop e passa proprio attraverso il suo centro. Poiché i campi magnetici non hanno fonti, il numero di linee di campo che attraversare qualsiasi superficie tridimensionale chiusa è nulla. 1.A. Prove che la forza del campo magnetico creata dal dipolo in un punto $A$ , situato sul L’asse del dipolo a grande distanza dal suo centro ha l’espressione $B_{z} = \frac{a p _{m}}{z ^{α}} (1)$ dove $z$ rappresenta la coordinata del punto $A$ , misurata lungo l’asse del dipolo, rispetto al suo centro. Riduzione dei valori di $a$ e $α$ , che figurano nell’espressione della relazione (1). Supponiamo che il dipolo magnetico sia posto in vuoto $(μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} H m^{- 1})$ . (2.0 p) 1.B. In seguito, si considera che il dipolo magnetico di cui sopra è posizionato in un campo magnetico con simmetria, ma che è inomogenea, la cui forza lungo l’asse $O z$ è $B_{z} (z)$ . Se l’asse di questo dipolo coincide con l’asse di simmetria del campo magnetico, dimostrando che l’espressione di la forza che il campo magnetico esercita sul dipolo è $F_{z} = c \cdot p_{m} \cdot (d B_{z} (z) / d z) (2)$ e determinare il valore della costante $c$ . (1.5 p)

Task 2: In Task 2, you will analyze the oscillations of a permanent, cylindrical magnet of mass $m$ and magnetic dipole moment $p_{m}$ . The magnet is fixed at one end of a spring with constant $k$ . The magnet can oscillate along a horizontal axis, that has the same orientation as the magnetic moment. You will use the letter $ξ$ to denote the elongation of the oscillation. The other end of the spring is fixed. All friction forces are negligible. 2.A. Determine the expression of the angular frequency $ω_{0}$ that corresponds to the small oscillations of the magnet-spring system, in the absence of any external magnetic fields. (0.5 p) Now, consider that a small, metallic disk is placed at a distance $z$ from the equilibrium position of the magnet, in such a way that the symmetry axes of the magnet and the disk coincide (as illustrated in the figure, which isn’t drawn to scale). The disk has radius $R$ and thickness $h$ ( $h ≪ R ≪ z$ ) and is held fixed. The material of the disk has electrical conductivity $σ$ and relative permeability $μ_{r} ≃ 1$ . The magnet is given a small initial displacement from the equilibrium position and is then released, causing it to undergo small, lightly-damped oscillations, described by the law $ξ (t)$ , where $ξ ≪ z$ . 2.B. Deduce the expression of the force $F$ which the metallic disk exerts onto the magnet, that undergoes small, lightly-damped oscillations. Express the result in terms of the speed of the magnet, $v = \frac{d ξ}{d t}$ , and other quantities specified in the problem body. (4.0 p) 2.C. Write the equation of the magnet’s oscillation, under the conditions specified at (2.B.). (1.0 p) 2.D. Deduce the expression for the relative change of the angular frequency, $\frac{Δ ω}{ω _{0}}$ , in the presence of the metallic disk, with respect to the angular frequency of the free oscillation. (1.0 p) ©Proposed by conf. univ. dr. Cristina MIRON and conf. univ. dr. Adrian DAFINEI Problem 5. A. An interferometer with two waves (of the same amplitude) is illuminated with the red radiation of Cadmium, having wavelength $λ_{0} = 6438.8 \overset{˚}{A}$ and spectral linewidth $Δ λ = 1.2 \cdot 1 0^{- 3} \overset{˚}{A}$ . On the frequency scale, the distribution of the spectral intensity of the radiation has a rectangular profile, as depicted in the figure. The difference in optical path between the two waves that interfere at the observation point $M$ is denoted by $L$ , and $p \equiv L / λ_{0}$ is the order of interference at that point.

Express the luminous intensity at point $M$ as $I (M) = 2 I_{0} [1 + V (p) cos (2 π p)]$ and explain - in terms of $λ_{0}$ , $Δ λ$ and $p$ - the significance of the degree of coherence (visibility) $V (p)$ . (1.50 p) 2.A. Determine the coherence length $Δ l$ , defined as the lowest value of the optical path difference for which the fringes of interference completely disappear (can’t be observed anymore). Show that the time of coherence, $Δ t = Δ l / c$ , is equal to the inverse of the frequency band $Δ ν = ν_{2} - ν_{1}$ , that is, $Δ t = 1/Δ ν$ . (1.50 p) 2.B. Determine the maximum value of the order of interference $p$ , such that the visibility $V (p)$ of the observed fringes exceeds 90 %. Take into account that $sin 4 5^{\circ} \approx 0.225 π$ . (0.75 p) B. The experiment is carried out once again. Now, the interferometer is illuminated by a lamp with sodium vapours, which emits two types of radiation of equal intensities ( $I_{0}$ ), of wavelengths $λ_{1} = 5980 \overset{˚}{A}$ and $λ_{2} = 5896 \overset{˚}{A}$ and equal spectral linewidth $δ λ = 0.11 \overset{˚}{A}$ . Let the arithmetic mean of $λ_{1}$ and $λ_{2}$ be $λ_{0}$ .
Express the luminous intensity at point $M$ in a similar manner to (A.1) and determine the corresponding degree of coherence $V (p)$ , in terms of the order of interference $p = L / λ_{0}$ , $λ_{0}$ , $δ λ$ and $Δ λ = λ_{2} - λ_{1}$ . Trace the graph of $V (p)$ (qualitatively). (3.25 p) 2.A. What is the order of interference $p_{0}$ that maximizes the luminous intensity at point $M$ ? (0.50 p) 2.B. What is the order of interference $p_{1}$ such that the luminous intensity at point $M$ halves for the first time, compared to the value it reaches under the circumstances of (B.2.A)? (0.75 p) 2.C. For which order of interference $p_{2}$ does the contrast of the fringes start to increase again, after having decreased continuously? (0.75 p) Proposed by prof. univ. dr. Florea ULIU, University of Craiova.

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetic Induction, Wave Optics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Faraday’s Law of Induction, Interference & Diffraction Analysis, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Magnet, Spring, Disk Fonte: Testo (PDF) — p.5

La seconda missione: Nel compito 2, si analizzeranno le oscillazioni di un magnete cilindrico permanente di massa $m$ e momento di dipolo magnetico $p_{m}$ . Il magnete è fissato ad una estremità di una molla con costante $k$ . Il magnete può oscillarsi lungo un asse orizzontale, che ha lo stesso orientamento del momento magnetico. Lo farai. per indicare l’allungamento dell’oscillazione utilizzare la lettera $ξ$ . L’altra estremità della primavera è fissata. Tutti le forze di attrito sono trascurabili. 2.A. Determinare l’espressione della frequenza angolare $ω_{0}$ che corrisponde alle piccole oscillazioni di sistema di molla magnetica, in assenza di campi magnetici esterni. (0.5 p) Ora, consideriamo che un piccolo disco metallico è posizionato a una distanza $z$ dalla posizione di equilibrio di il magnete, in modo tale che gli assi di simmetria del magnete e del disco coincidano (come illustrato La figura non è stata tracciata in scala). Il disco ha un raggio $R$ e uno spessore $h$ ( $h ≪ R ≪ z$ ) ed è fissato. Il materiale del disco ha una conducibilità elettrica $σ$ e una permeabilità relativa $μ_{r} ≃ 1$ . Il magnete ha una piccola iniziale il spostamento dalla posizione di equilibrio e viene quindi rilasciato, causando le piccole oscillazioni di lieve attenuazione, descritte dalla legge $ξ (t)$ , dove $ξ ≪ z$ . 2.B. Riduzione dell’espressione della forza $F$ che il disco metallico esercita sul magnete, che subisce piccole oscillazioni di lieve attenuamento. Esprimere il risultato in termini di velocità del magnete, $v = \frac{d ξ}{d t}$ e altre quantità specificate nel corpo di problema. (4.0 p) 2.C. Scrivere l’equazione dell’oscillazione del magnete, alle condizioni specificate al punto (2.B.). (1.0 p) 2.D. Riduzione dell’espressione per la variazione relativa della frequenza angolare, $\frac{Δ ω}{ω _{0}}$ , in presenza di il disco metallico, rispetto alla frequenza angolare dell’oscillazione libera. (1.0 p) ©Proposto da conf. - Univ. dr. Cristina MIRON e conf. - Univ. dr. Adrian DAFINEI Problema 5. A. Un interferometro con due onde (di stessa amplitudine) è illuminato con il rosso radiazioni di cadmio, con lunghezza d’onda $λ_{0} = 6438.8 \overset{˚}{A}$ e larghezza di linea spettrale $Δ λ = 1.2 \cdot 1 0^{- 3} \overset{˚}{A}$ . On la scala di frequenza, la distribuzione dell’intensità spettrale della radiazione ha un profilo rettangolare, come illustrato nella figura. La differenza di percorso ottico tra le due onde che interferiscono al punto di osservazione $M$ è indicato da $L$ e $p \equiv L / λ_{0}$ è l’ordine di interferenza in quel punto.

Esprimere l’intensità luminosa al punto $M$ come $I (M) = 2 I_{0} [1 + V (p) cos (2 π p)]$ e spiegare - in i termini $λ_{0}$ , $Δ λ$ e $p$ - la significanza del grado di coerenza (visibilità) $V (p)$ . (1.50 p) 2.A. Determinare la lunghezza di coerenza $Δ l$ , definita come il valore più basso della differenza di percorso ottico per il quale i margini di interferenza scompaiono completamente (non si possono più osservare). Mostrami questo. il tempo di coerenza, $Δ t = Δ l / c$ , è uguale all’inverso della fascia di frequenza $Δ ν = ν_{2} - ν_{1}$ , che è $Δ t = 1/Δ ν$ . (1.50 p) 2.B. Determinare il valore massimo dell’ordine di interferenza $p$ , in modo che la visibilità $V (p)$ della i margini osservati superano il 90%. Tenere conto del valore $sin 4 5^{\circ} \approx 0.225 π$ . (0.75 p) B. L’esperimento viene eseguito ancora una volta. Ora, l’interferometro è illuminato da una lampada con vapori di sodio, che emettono due tipi di radiazioni di uguale intensità ( $I_{0}$ ), di lunghezze d’onda $λ_{1} = 5980 \overset{˚}{A}$ e $λ_{2} = 5896 \overset{˚}{A}$ e larghezza di linea spettrale uguale $δ λ = 0.11 \overset{˚}{A}$ . La media aritmetica di $λ_{1}$ e $λ_{2}$ sia $λ_{0}$ .
Esprimere l’intensità luminosa al punto $M$ in modo simile a (A.1) e determinare il grado di coerenza corrispondente $V (p)$ , in termini di ordine di interferenza $p = L / λ_{0}$ , $λ_{0}$ , $δ λ$ e $Δ λ = λ_{2} - λ_{1}$ . Tracciare il grafico di $V (p)$ (qualitativamente). (3.25 p) 2.A. Qual è l’ordine di interferenza $p_{0}$ che massimizza l’intensità luminosa al punto $M$ ? (0.50 p) 2.B. Qual è l’ordine di interferenza $p_{1}$ tale che l’intensità luminosa al punto $M$ si dimezzi per il per la prima volta rispetto al valore raggiunto nelle circostanze di (B.2.A)? (0.75 p) 2.C. Per quale ordine di interferenza $p_{2}$ il contrasto delle margini inizia a aumentare di nuovo, dopo che sono diminuite continuamente? (0.75 p) Proposto dal prof. - Univ. dr. Florea ULIU, Università di Craiova.

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