Russia 1992

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RuPho final round, 11 grade. Translations and solutions Nicov Stefan Octomber 2021 1 Problems 1992 11.1 A small ball is suspended from a beam on a thin weightless thread of length l = 0, 1m. At what minimal speed v0 we should launch the ball in the horizontal direction so that it hits the beam at the suspension point? 11.2 Suppose that a future spaceship can withstand any thermal and mechanical overload. Find the minimal period of revolution around Sun (and arguments why this period is minimal) knowing that the angular size of the Sun, seen from Earth, is $\alpha$ = 9, 3 $\cdot 10-3$ radians. 11.3 In a thermally isolated cylinder, the piston of which is held stationary by two identical masses, there is 1 mole of monatomic ideal gas. The initial temperature of the gas is T0. There is no pressure outside the cylinder. How will the temperature of the gas change if we remove one of the masses, and after a certain time, we put it back? 11.4 Consider the setup of three small identical metal balls arranged in a regular triangle. The entire system is in a vacuum. The balls are alternately connected one time at a time to a remote conductor, the potential of which is kept constant. As a result, the first ball has a charge Q1, the second ball has a charge Q2. Find the charge of the third ball. 11.5 The mass of Charon, the recently discovered satellite of Pluto, is 8 times less than the mass of the planet. Pluto and Charon revolve in circular orbits around a common center of mass, and they look at each other all the time, i.e. the system rotates as a single rigid body. The distance between the centers of the planet and the satellite is R = 19640 km, Charon’s radius is r = 593 km. Determine the relative difference in the acceleration of gravity on Charon at the point closest to Pluto and at the point farthest from it. 11.6 One of the thermocouple junctions is at room temperature T1 = 300K, and the other is in a thermally isolated vessel with ice at temperature T2 = 273K. The power developed by the thermocouple is released on the resistance of the heater, which is placed in another thermally insulated vessel containing water. Estimate the rise in water temperature by the time the ice melts. The mass of ice and water is the same. Specific heat of water c = 4200 J/(kg K) and latent heat of letting ice is $\lambda$ = 335000 J/kg.] 11.7 A charged particle, moving in a plane perpendicular to a long uniformly charged wire, flies past this wire, deviating from the original direction by a small angle $\alpha$. Find this angle if the kinetic energy of the particle when it enters the field of the wire is W, it’s charge is e, linear charge density of the wire is q. The field at a distance R from the long wire is E = q $2\pi ϵ0R$. 11.8 A coil of a thin wire, in the shape of a square, has an inductance L1. A loop of the same wire running along the edges of the cube, as shown in the second figure, has an inductance L2. Find the inductance of the coil in the third figure if it’s made from the same wire. The coils in the figures are highlighted. 1

11.9 The half-cylinder is made of an optically transparent material with a radially variable refractive index n. The dependence of n on the radius r is shown on the graph in coordinates ln n and ln r r0 where r0 = 1 cm. Using this dependence, find the radii of the semicircles, along which a thin beam of light can propagate when it normally falls on the flat surface of the half-cylinder. 2

2 Solutions (Partial) 11.1 The tension of the thread is T = mg cos $\alpha$ + mv2 l and it becomes zero when cos $\alpha$ = $-v2$ gl Writing the energy conservation, we find that mv2 0 2 = mv2 2

• mgl(1 $-cos\alpha$) or equivalently cos $\alpha$ = $-v2$ 0 $-2gl$ 3gl Next, the ball moves to the suspension point on a parabola: x = $-v$ cos $\text{alphat}$ y + v sin $\text{alphat}-gt2$ 2 = 0 where x = l sin $\alpha$ and y = $-l$ cos $\alpha$. Then we find two equations for the flight time t. t = v sin $\alpha$ + p v2 sin2 $\alpha -2gl$ cos $\alpha$ g t = $-l$ v tan $\alpha$ Equating them, and using the fact that $-gl$ cos $\alpha$ = v2 we get v sin $\alpha$ + p v2 sin2 $\alpha$ + 2v2 = v sin $\alpha$ 1 $-sin2\alpha$ . The solution is sin2 $\alpha$ = 2 3, or v0 = q gl(2 + ​

3. $\approx 1.93$ m/s. 11.2 From Kepler’s third law, we know that T 2 1 a3 1 = T 2 2 a3 2 . Then, of course, the minimum period of revolution will be in a circular orbit around the Sun with the radius equal to that of the Sun itself. RS = $\alpha$ 2 RE where RE is Earth-Sun distance, RS is Sun’s radius. Putting all this together, we get Tmin = TE( $\alpha$ 2 ) 3 2 where TE = 1 year is Earth’s period of revolution. 3

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Gravitation Metodi: Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, Beam, Piston, Gas, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.1

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Rufo, ultimo round, 11° grado. Traduzioni e soluzioni Nicov Stefan Ottobre 2021 1 Problemi 1992 11.1 Una piccola palla è sospesa da un raggio su un filo sottile senza peso di lunghezza l = 0, 1 m. Al minimo velocità v0 dovremmo lanciare la palla in direzione orizzontale in modo che colpisca il fascio alla sospensione

• Il punto? 11.2 Supponiamo che una futura nave spaziale possa resistere a qualsiasi sovraccarico termico e meccanico. Trova il minimo Il periodo di rivoluzione intorno al Sole (e argomentazioni perché questo periodo è minimo) sapendo che il dimensione del Sole, vista dalla Terra, è $\alpha$ = 9, 3 $\cdot 10-3$ radiani. 11.3 In un cilindro isolato termicamente, il cui pistone è tenuto fermo da due masse identiche, si trova 1 mol di gas ideale monatomo. La temperatura iniziale del gas è di T0. Non c’ è pressione fuori . il cilindro. Come cambierà la temperatura del gas se rimuoviamo una delle masse, e dopo un
• Un certo momento, lo rimettiamo? 11.4 Considerate l’impostazione di tre piccole palle di metallo identiche disposte in un triangolo regolare. L’intero sistema
• E’ nel vuoto. Le palle sono collegate alternativamente una volta alla volta a un conduttore remoto, il potenziale di cui è mantenuto costante. Di conseguenza, la prima palla ha una carica Q1, la seconda palla ha una carica Q2. Trova la carica della terza palla. 11.5 La massa di Carone, il satellite di Plutone recentemente scoperto, è 8 volte inferiore a quella del pianeta. Plutone e Carone ruotano in orbite circolari intorno a un comune centro di massa, e si guardano l’uno all’altro
• l’intero tempo, cioè. il sistema ruota come un unico corpo rigido. La distanza tra i centri del pianeta e il satellite è R = 19640 km, il raggio di Charons è r = 593 km. Determina la differenza relativa di l’accelerazione della gravità su Charon nel punto più vicino a Plutone e nel punto più lontano da esso. 11.6 Una delle giunzioni del termopare è a temperatura ambiente T1 = 300K, e l’altra è in una recipiente isolato con ghiaccio a temperatura T2 = 273K. La potenza sviluppata dalla termoparta viene rilasciata sulla resistenza del riscaldatore, che viene inserito in un altro recipiente termicamente isolato contenente acqua. Calcola l’aumento della temperatura dell’acqua quando il ghiaccio si scioglierà. La massa del ghiaccio e dell’acqua è la stessa. Calore specifico dell’acqua c = 4200 J/kg K) e calore latente del ghiaccio è $\lambda$ = 335000 J/kg.] 11.7 Una particella carica, che si muove in piano perpendicolare a un lungo filo carico uniforme, passa fili, che si allontanano dalla direzione originale con un angolo piccolo $\alpha$. Trova questo angolo se l’energia cinetica di la particella quando entra nel campo del filo è W, la sua carica è e, la densità di carica lineare del filo è q. Il campo a distanza R dal filo lungo è E = q $2\pi ϵ0R$. 11.8 Una bobina di filo sottile, a forma di quadrato, ha un’induttanza L1. Un ciclo dello stesso filo che corre lungo i bordi del cubo, come mostrato nella seconda figura, ha un’induttanza L2. Trova l’induttanza della bobina della terza figura se è fatta dello stesso filo. Le bobine delle figure sono evidenziate. 1

11.9 La semicilindro è costituita da un materiale otticamente trasparente con un indice di rifrazione radialmente variabile n. La dipendenza di n dal raggio r è mostrata sul grafico nelle coordinate ln n e ln r r0 dove r0 = 1 cm. Usando questa dipendenza, trovi i raggi dei semicircoli, lungo i quali un sottile fascio di luce può propagarsi quando normalmente cade sulla superficie piana del semicilindro. 2

2 Soluzioni (parziali) 11.1 La tensione del filo è T = mg cos $\alpha$ + mv2 l e diventa zero quando cos $\alpha$ = $-v2$ gl Scrivendo la risparmio energetico, troviamo che mv2 0 2 = mv2 2

• mgl(1 $-cos\alpha$) o equivalenti cos $\alpha$ = $-v2$ 0 $-2gl$ 3gl Successivamente, la palla si sposta al punto di sospensione su una parabola: x = $-v$ cos $\text{alphat}$ Y + v sin $\text{alphat}-gt2$ 2 = 0 in cui x = l sin $\alpha$ e y = $-l$ cos $\alpha$. Quindi troviamo due equazioni per il tempo di volo t. t = v sin $\alpha$ + p V2 sin2 $\alpha -2gl$ cos $\alpha$ g t = $-l$ v tan $\alpha$ Equazionandoli, e usando il fatto che cos $-gl$ $\alpha$ = v2 otteniamo v sin $\alpha$ + p V2 sin2 $\alpha$ + 2v2 = v sin $\alpha$ 1 $-sin2\alpha$ . La soluzione è sin2 $\alpha$ = 2 3, or v0 = q gl(2 + ​

3. $\approx 1.93$ m/s. 11.2 Dalla terza legge di Kepler, sappiamo che T 2 1 a3 1 = T 2 2 a3 2 . In questo caso, naturalmente, il periodo minimo di rivoluzione essere in orbita circolare attorno al Sole con raggio uguale a quello del Sole stesso. RS = $\alpha$ 2 RE dove RE è la distanza Terra-Sol, RS è il raggio del Sole. Putting all this together, we get Tmin = TE( $\alpha$ 2 ) 3 2 dove TE = 1 anno è il periodo di rivoluzione della Terra. 3

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Gravitation Metodi: Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, Beam, Piston, Gas, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.1