Russia 2019

Problem 1. On a smooth horizontal table lies a dumbbell, consisting of two point-sized balls having masses $m_{1}$ and $m_{2}$ connected by a light rigid (rod deformation can be considered small compared to its size) rod of length $L$ . At time $t = 0$ , a constant horizontal force $F$ begins to act on the ball of mass $m_{1}$ . The vector of the applied force always makes the same acute angle $α$ with the rod (see Figure 1). Consider that in such a motion, the angular acceleration of the rod remains constant. At some time $τ$ from the beginning of the motion, the rod turned out to be completely unstressed for an instant (i.e., neither compressed nor stretched).

Find the angular velocity $ω$ of the rotation of the rod at time $τ$ .
Find the angular acceleration of the rod $\frac{d ω}{d t}$ .
What is the time interval $t = τ$ ?
Find the angle the rod has rotated by at time $t = τ$ . Figure 1: Problem 1

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Ball, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1. Su un tavolo orizzontale liscio si trova un manubrio, costituito da due palle di dimensioni puntine che le masse $m_{1}$ e $m_{2}$ collegate da una luce rigida (la deformazione della canna può essere considerata piccola rispetto alla sua dimensione) la canna di lunghezza $L$ . Al tempo $t = 0$ , una forza orizzontale costante $F$ inizia ad agire sulla sfera di massa $m_{1}$ . Il vettore della forza applicata produce sempre lo stesso angolo acuto $α$ con la canna (vedere figura 1). Si consideri che in tale movimento l’accelerazione angolare della canna rimane costante. In un certo momento $τ$ all’inizio del movimento, la canna si è rivelata completamente distaccata per un istante (cioè, né compresso né esteso.

Trova la velocità angolare $ω$ della rotazione della canna al tempo $τ$ .
Trova l’accelerazione angolare della canna $\frac{d ω}{d t}$ .
Qual è l’intervallo temporale $t = τ$ ?
Trova l’angolo in cui la canna ha girato a tempo $t = τ$ . Figura 1: Problema 1

Problem 2. Two small particles with the same masses $m$ and opposite charges $q$ and $- q$ move without friction along narrow straight channels intersecting at right angles located in the horizontal plane (see Figure 2). In the process of motion, the distance between the particles remains unchanged and equal to $R$ at all times. Find the total kinetic energy of the particles.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Vector Decomposition, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema 2. Due piccole particelle con la stessa massa $m$ e cariche opposte $q$ e $- q$ si muovono senza attrito lungo stretti canali dritti che si intersecano ad angoli retti situati nel piano orizzontale (vedere Figura 2). Nel processo di movimento, la distanza tra le particelle rimane invariata ed è uguale a $R$ in ogni momento. Trova l’energia cinetica totale delle particelle.

Problem 3. In Lord Kelvin’s archived notes, the description of a cyclic process over a fixed amount of mono-atomic ideal gas was found (see Figure 3). From time to time, the ink faded, and information about the direction of some processes was lost. Information about what was plotted on the abscissa was also faded. It is now only known that one of the following quantities is present on the x-axis: volume, pressure, temperature or density, and the scale of this quantity may be in any units. The molar heat capacity of gas $C$ is plotted along the ordinate. Find the maximum possible efficiency of this cycle. Figure 3: Problem 3

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 3. Nelle note archiviate di Lord Kelvin, la descrizione di un processo ciclico su una quantità fissa Il gas ideale monoatomico è stato trovato (vedi figura 3). Di tanto in tanto, l’inchiostro svanì, e le informazioni La direzione di alcuni processi è stata persa. Le informazioni su cosa è stato tracciato sull’abcissa anche svanito. Ora è noto solo che una delle seguenti quantità è presente sull’asse x: volume, la pressione, la temperatura o la densità, e la scala di questa quantità può essere in qualsiasi unità. Il calore molare la capacità di gas $C$ è tracciata lungo l’ordinato. Trova la massima efficienza possibile di questo ciclo. Figura 3: Problema 3

Problem 4. A thin flat diamond-shaped dielectric plate with side $a$ and an acute angle $6 0^{\circ}$ is charged uniformly with a surface charge density $σ$ . The potential at the top of the sharp corner (the acute angle) of the rhombus is equal to $ϕ_{1}$ , and the potential at the top of the obtuse angle is $ϕ_{2}$ (see first object in Figure 4). The thin plate in the form of a dielectric is cut from equilateral triangle $△ A B C$ with side $2 a$ is charged with the same surface charge density (as shown).

Determine the potential at point C of the triangular plate.
Determine the potential at point D lying on the middle of the side of the triangular plate. Now the right triangle is removed from the triangular plate ABC with side $a$ (see third object in Figure 4). Call this triangular plate ”holey”.
Determine the potential at point D’ of the “holey” plate.
Determine the potential at point C’ of the ”holey” plate. Note: All plates are removed from each other and other bodies. Figure 4: Problem 4

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Superposition Principle, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 4. Si carica una piastra dielettrica piatta in forma di diamante sottile, con lato $a$ e angolo acuto $6 0^{\circ}$ uniforme con una densità di carica superficiale $σ$ . Il potenziale in cima all’angolo acuto di un’angolazione romba è uguale a $ϕ_{1}$ , e il potenziale in cima all’angolo obtuso è $ϕ_{2}$ (vedi primo oggetto in Figura 4). La piastra sottile sotto forma di dielettro è tagliata da un triangolo equilaterale $△ A B C$ con lato $2 a$ è caricato con la stessa densità di carica superficiale (come mostrato).

Determinare il potenziale al punto C della piastra triangolare.
Determinare il potenziale al punto D situato nel centro del lato della piastra triangolare. Ora il triangolo retto viene rimosso dalla piastra triangolare ABC con lato $a$ (vedi terzo oggetto in Figura 4). Chiami questa piastra triangolare “holey”.
Determinare il potenziale al punto D della piastra holey.
Determinare il potenziale al punto C della piastra holey. Nota: Tutte le placche vengono rimosse l’una dall’altra e dagli altri corpi. Figura 4: Problema 4

Problem 5. An infinite grid with identical square cells is assembled from identical resistors. A current $I$ flows into node A from the outside as shown. Estimate the current strength in the BC link with an error of no more than 10%. Prove that the error in your calculation does not exceed 10%. Figure 5: Problem 5

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Resistor, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 5. Una griglia infinita con celle quadrate identiche è assemblata da resistori identici. Un corrente $I$ scorre nel nodo A dall’esterno come mostrato. Calcolare la forza corrente nel collegamento BC con un errore non superiore al 10%. Prove che l’errore nel calcolo non supera il 10%. Figura 5: Problema 5

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