Russia 2020

Problem 1. Capacitors (7 points) In the circuit given in the figure, initially the capacitor with a capacity $3C=300\mu \text{F}$ is charged up to $U_0=12$ V , meanwhile the other two capacitors with capacities $C$ and $2C$ are uncharged. The switch P is in the “middle” position. Figure 1: Problem 1 First, the switch is put into position 1 for a small amount of time (much smaller than $RC$), then, into position 2 for a much longer period of time. Find the charges on capacitors after these two procedures are repeated a large number of times. Find the approximate amount of heat dissipated in each of the resistors.

Topic: Circuits, Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Kirchhoff’s Laws, Energy Conservation Method, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Switch, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1. Capacitori (7 punti) Nel circuito indicato nella figura, il condensatore con capacità $3C=300\mu \text{F}$ è inizialmente carico fino a $U_0=12$ V, mentre gli altri due condensatori con capacità $C$ e $2C$ sono scaricati. Il Il switch P è nella posizione medio. Figura 1: Problema 1 In primo luogo, il switch viene messo in posizione 1 per un breve periodo di tempo (molto più piccolo di $RC$), quindi, in posizione 1 La posizione 2 per un periodo molto più lungo. Trova le cariche dei condensatori dopo queste due procedure sono ripetute un gran numero di volte. Trova la quantità approssimativa di calore dissipato in ciascuna delle resistenti.

Topic: Circuits, Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Kirchhoff’s Laws, Energy Conservation Method, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Switch, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problem 2. A Vessel in Ice (8 points) An airtight metallic vessel is filled with a mix of air and water vapour. When placed in a thermostat with melting ice, it starts cooling down. During the process, the measurements are taken with error in temperature $\Delta T=0.5{}^{\circ }\text{C}$ and in pressure $\Delta p=0.05\cdot 10^5$ Pa. Results of these measurements are given in the following table: Figure 2: Problem 2 Find the ratio of the amount of water to the amount of air in the vessel. Also find the density of the gaseous phase at the start and the end of the process. Take into account the fact that the pressure of 1 kPa of saturated water vapour is reached at a temperature of about $7{}^{\circ }\text{C}$. Molar masses of water and air are 18 g/mol and 29 g/mol, respectively.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Container, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema 2. Una nave in ghiaccio (8 punti) Un recipiente metallico a tenuta di aria è riempito di un mix di vapore d’aria e di acqua. Quando viene inserito in un termostato con ghiaccio sciolto, inizia a raffreddarsi. Durante il processo, le misurazioni sono effettuate con errore di temperatura $\Delta T=0.5{}^{\circ }\text{C}$ e di pressione $\Delta p=0.05\cdot 10^5$ Pa. Risultati di queste misurazioni sono riportati nella tabella seguente: Figura 2: Problema 2 Trova il rapporto tra la quantità di acqua e la quantità di aria nella nave. Trova anche la densità di la fase gassosa all’inizio e alla fine del processo. Tenere conto del fatto che la pressione di 1 kPa di vapore di acqua saturo si raggiunge a una temperatura di circa $7{}^{\circ }\text{C}$. Masse molari di acqua e l’aria sono rispettivamente 18 g/mol e 29 g/mol.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Container, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problem 3. Image in a ball (9 points) An observer sees the reflection of the Sun in a polished metallic ball. Angular height of the sun relative to the horizon is $\alpha$ and is equal to the angle between the line of sight and the horizontal normal to the ball. Determine the size of the image of the Sun if the radius of the sphere is $R$ and the angular size of the Sun is $\varphi$ ($\varphi \ll \alpha$). Note - For a small angle $\varphi$ the following approximations are true: $\cos \varphi \approx 1$, $\sin \varphi \approx \varphi$. Figure 3: Problem 3

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Mirror, Star Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 3. Immagine in una palla (9 punti) Un osservatore vede il riflesso del Sole in una palla metallica lucidata. Altezza angolare relativa del sole per l’orizzonte è $\alpha$ ed è uguale all’angolo tra la linea di visione e la normalità orizzontale per la

• La palla. Determina la dimensione dell’immagine del Sole se il raggio di sfera è $R$ e la dimensione angolare di il Sole è $\varphi$ ($\varphi \ll \alpha$). Nota - Per un angolo piccolo $\varphi$ sono valide le seguenti approssimazioni: $\cos \varphi \approx 1$, $\sin \varphi \approx \varphi$. Figura 3: Problema 3

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Mirror, Star Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 4. Models of a Starter (12 points) The figure shows the simplest connecting an electric motor (car starter) to a battery. Figure 4: Problem 4 The circuit parameter $R_M=2\cdot 10^{-2}$ Om regulates the resistance of the motor armature windings, $r$ and $R_0$ are the internal resistance of the battery with EMF $U_0=12$ V and the wires, with $R_0+r=10^{-2}$ Om. It can be assumed that the induced EMF generated by the electric motor is proportional to the angular speed of rotation of the shaft $|{\epsilon }_i|=k\omega$, and the moment of forces acting on the shaft due to the magnetic field is proportional to the current $M=kI$. To simplify the calculations, we assume that the motor shaft is not loaded.

1. Find the voltage $U_{AB}$ across the motor terminals (between points A and B) immediately after the key is closed, as well as the maximum value of the current in the circuit. What is the current at the moment when the angular speed of rotation of the shaft is 75% of its maximum value? (3 points) Another model (Fig. shown below) takes into account the presence of inductance in the structure of the induction motor, $R_l$ is the resistance of the coil of inductance $L$. When being switched on, the key $K_1$ is closed first, and when the current through the coil has reached its steady-state value, the key $K_2$ is closed. Figure 5: Problem 4
2. Assuming that the ratio $\alpha =\frac{R_l}{r+R_0}$ is known ($\alpha >1$), determine the maximum current through the motor in this case. (4 points)
3. When turning off the electric motor (after the angular speed of the shaft has reached a steady state value), first the key $K_1$ is opened. In this case, the voltage across the motor terminals almost instantly increases by $\Delta U_{AB}=2$ V. Determine the parameter $\alpha$ from this data. (3 points) The circuit shown in the third figure here is closest to the real device. The keys are initially open. Switching on the ignition key corresponds to closing the key $K_1$. When the current through the coil $L$ reaches a certain threshold value $I_p$, the key $K_2$ is closed (the magnetic field of the coil pulls in the rod that closes the key $K_2$). Figure 6: Problem 4
4. The inductance of the second coil $L$ and its resistance $R_L$ are such that the following equalities are true: $L=10l$, $R_l=5R_L$. It is known that the value of the current $I_p$ lies between 10 A and 20 A. What is the current through the coil with inductance $l$ at the moment key $K_2$ gets closed? Consider the numerical value of the parameter $\alpha$ to be known from part 3). (2 points)

Topic: Circuits, Electromagnetic Induction, Rotational Dynamics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Faraday’s Law of Induction, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Battery, Coil, Inductor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 4. Modelli di un starter (12 punti) La figura mostra il modo più semplice di collegare un motore elettrico (avvio auto) a una batteria. Figura 4: Problema 4 Il parametro del circuito $R_M=2\cdot 10^{-2}$ Om regola la resistenza dei rivolgimenti dell’armatura del motore, $r$ e $R_0$ sono la resistenza interna della batteria con EMF $U_0=12$ V e dei fili, con $R_0+r=10^{-2}$ Om. Si può presumere che la FEM indotta generata dal motore elettrico sia proporzionale alla velocità angolare di rotazione dell’albero $|{\epsilon }_i|=k\omega$ e il momento delle forze che agiscono sull’albero a causa di il campo magnetico è proporzionale alla corrente $M=kI$. Per semplificare i calcoli, supponiamo che il forno del motore non è carico.

1. Trova la tensione $U_{AB}$ nei terminali del motore (tra i punti A e B) immediatamente dopo la chiave è chiusa, nonché il valore massimo della corrente nel circuito. Qual è la corrente nel momento in cui la velocità angolare di rotazione dell’albero è del 75% del suo valore massimo? (3 punti) Un altro modello (Fig. (indicato in appresso) tiene conto della presenza di inductanza nella struttura di un motore di induzione, $R_l$ è la resistenza della bobina di induzione $L$. Quando viene cambiato su, la chiave $K_1$ viene chiusa prima e quando la corrente attraverso la bobina ha raggiunto lo stato di stabilità valore, la chiave $K_2$ è chiusa. Figura 5: Problema 4
2. Supponendo che il rapporto $\alpha =\frac{R_l}{r+R_0}$ sia noto ($\alpha >1$), determinare la corrente massima attraverso il motore in questo caso. (4 punti)
3. Quando si spegne il motore elettrico (dopo che la velocità angolare dell’albero ha raggiunto una velocità costante) Valore di stato), si apre prima la chiave $K_1$. In questo caso, la tensione attraverso i terminali del motore quasi aumenta istantaneamente di $\Delta U_{AB}=2$ V. Determinare il parametro $\alpha$ da questi dati. (3 punti) Il circuito mostrato nella terza figura è il più vicino al dispositivo reale. Le chiavi sono inizialmente

• Si’, si’. Accendere la chiave di accensione corrisponde a chiudere la chiave $K_1$. Quando la corrente passa la bobina $L$ raggiunge un certo valore soglia $I_p$, la chiave $K_2$ è chiusa (il campo magnetico della bobina trascina la barra che chiude la chiave $K_2$). Figura 6: Problema 4

4. L’inductanza della seconda bobina $L$ e la sua resistenza $R_L$ sono tali che le seguenti equazioni sono veri: $L=10l$, $R_l=5R_L$. È noto che il valore della corrente $I_p$ si trova tra 10 A e 20 A. Qual è la corrente attraverso la bobina con induttanza $l$ nel momento in cui la chiave $K_2$ viene chiusa? Considera il valore numerico del parametro $\alpha$ da conoscere dalla parte 3). (2 punti)

Topic: Circuits, Electromagnetic Induction, Rotational Dynamics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Faraday’s Law of Induction, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Battery, Coil, Inductor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 5. Vacuum Gun (12 points) In the recent years, a device called “Vacuum Gun” has drawn the attention of many enthusiasts who are engaged in scientific and engineering creativity. The polypropylene tube 2 (see the figure below) is tightly closed at one end by a foil plug 3(such that there is no air coming from this side of the tube), and the other end is open to the atmosphere. The difference in pressures accelerates the ping-pong ball 1. The inner diameter of the tube is about the same as the diameter of the ball. There’s an inlet connection 4 near the plug, through which the tube is connected to a vacuum pump. So, the pressure to the right of the ball is always very small, meanwhile the pressure to the left is close to atmospheric pressure which equals $P_0$. Turns out, if the length of the tube is big enough and the quality of pumping is good enough, it’s possible to accelerate the ball to a speed which is enough for the ball to tear apart the foil plug and fly out of the tube. In a video available on internet, it’s shown how a ball flies out of the tube and penetrates empty soda cans which are placed close to the end of the tube. Figure 7: Problem 5

1. In the roughest model we assume that the pressure on the left side is $P_0=10^5$ Pa and on the right side it’s zero. The difference in pressures is constant during the acceleration of the ball. There’s no friction between the inner walls of the tube and the ball. To what maximum speed $v_{\text{max},1}$ can a ball accelerate with mass $M=2.7$ grams and diameter $d=40$ mm in a tube with length $L=2$ meters? (1 point) In a more accurate model we assume that air with mass $m(t)$ located on the left side to the ball also gets accelerated. More and more air from the atmosphere enters the tube and starts moving. It’s also assumed that the left end of the tube has a size approximately about the same as the diameter of the tube. Outside the tube, the air has no speed. Inside the tube, the air moves with a speed equal to the speed of the ball and its density is $\rho$ which is the same as the density of air outside. At the initial state, the position $x$ and the speed of the ball are both equal to zero. Figure 8: Problem 5
2. Find the more accurate maximum speed $v_{\text{max},2}$ to which a ball with same dimensions as in part 1 can be accelerated in a tube the same length as in part 1. You can assume that the time of acceleration of the ball is the same as in part 1. The temperature of air is $T_0=293$ K and the molar mass $\mu$ is 29 g/mole. (3 points)
3. Assuming that only the temperature of air outside the tube $T_0=293$ K and molar mass $\mu =29$ g/mole are known, find the maximum speed the ball can be accelerated to. The length of the tube is assumed to be large.(3 points)
4. The following parameters are given: $M,S,P_0,\rho ,\mu$. Find the formula of dependence of the coordinate $x(t)$ of the ball on time. (4 points) Note:. The following formula, $\Delta (x^2)=2x\Delta x$, can be useful for small changes ($\Delta x\ll x$) in x. It’s interesting that a group of students from Purdue University in USA succeeded in accelerating the ball to a speed $v$ approximately equal to 420 m/s, $M=1.23$ time bigger than the speed of sound by complicating the system a little, so that the ball for table tennis penetrated a table tennis racket. You can find the video by searching the phrase “Purdue Technology students build supersonic ping pong gun”. In this enhanced system, there’s a compressed air cylinder with a de Laval nozzle on the left side of the tube.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation of Momentum, Differential Equations, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Tube, Ball, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 5. Pistola a vuoto (12 punti) Negli ultimi anni, un dispositivo chiamato “Vacum Gun” ha attirato l’attenzione di molti appassionati che La Commissione ha adottato una decisione che prevede che il programma di ricerca e di formazione sia stato adottato in base a un progetto di ricerca. Il tubo di polipropilene 2 (vedere figura seguente) è chiuso strettamente da un’altra parte con un plug di carta 3(in modo che non venga aria da questo lato del tubo), e l’altra estremità è aperta all’atmosfera. La differenza di pressione accelera il ping-pong palla 1. Il diametro interno del tubo è circa lo stesso del diametro della palla. C’è un’entrata connessione 4 vicino al plug, attraverso il quale il tubo è collegato a una pompa a vuoto. Quindi, la pressione a destra della palla è sempre molto piccolo, mentre la pressione a sinistra è vicino all’atmosfera pressione pari a $P_0$. Si scopre che se la lunghezza del tubo è abbastanza grande e la qualità del pompaggio è abbastanza buona, è la velocità della palla è sufficiente a far spaccare il tappo di follia e

• Salta dal tubo. In un video disponibile su internet, è mostrato come una palla vola fuori dal tubo e penetra le lattine vuote di soda che sono posizionate vicino alla fine del tubo. Figura 7: Problema 5

1. Nel modello più grosso supponiamo che la pressione sul lato sinistro è $P_0=10^5$ Pa e sul lato destro Il lato è zero. La differenza di pressione è costante durante l’accelerazione della palla. C’è non vi sono attriti tra le pareti interne del tubo e la palla. A quale velocità massima $v_{\text{max},1}$ può un acceleratore a sfera di massa $M=2.7$ grammi e di diametro $d=40$ mm in un tubo di lunghezza $L=2$

• Metri? 1 punto) In un modello più preciso supponiamo che l’aria con massa $m(t)$ situata sul lato sinistro al La palla si accelera anche. Sempre più aria dall’atmosfera entra nel tubo e inizia
• Si muove. Si presume anche che l’estremità sinistra del tubo abbia una dimensione approssimativamente uguale come il diametro del tubo. Al di fuori del tubo, l’aria non ha velocità. All’interno del tubo, l’aria si muove. con una velocità pari alla velocità della palla e la densità è $\rho$, pari alla densità di aria fuori. Al stato iniziale, la posizione $x$ e la velocità della palla sono entrambi uguali a zero. Figura 8: Problema 5

2. Trova la velocità massima più precisa $v_{\text{max},2}$ a cui una palla con le stesse dimensioni di una parte 1 può essere accelerato in un tubo della stessa lunghezza della parte 1. Si può presumere che il tempo di l’accelerazione della palla è la stessa della parte 1. La temperatura dell’aria è $T_0=293$ K e la temperatura del la massa molare $\mu$ è di 29 g/mole. (3 punti)
3. Supponendo che solo la temperatura dell’aria al di fuori del tubo $T_0=293$ K e la massa molare $\mu =29$ g/mole sono noti, trovare la velocità massima alla quale la palla può essere accelerata. L’intera lunghezza del tubo si presume che sia grande.(3 punti)
4. I seguenti parametri sono indicati: $M,S,P_0,\rho ,\mu$. Trova la formula di dipendenza della coordinata $x(t)$ della palla dal tempo. (4 punti) Nota: La seguente formula, $\Delta (x^2)=2x\Delta x$, può essere utile per piccole modifiche ($\Delta x\ll x$) di x. È interessante notare che un gruppo di studenti della Purdue University negli Stati Uniti è riuscito ad accelerare la la palla a una velocità $v$ di circa 420 m/s, $M=1.23$ di tempo superiore alla velocità del suono di complica un po’ il sistema, così che la palla per il tennis da tavolo penetrò un racket da tavolo. Tu… Potete trovare il video cercando la frase I studenti di Purdue Technology costruiscono ping-pong supersonico

• Una pistola. In questo sistema migliorato, c’è un cilindro di aria compressa con un fumo de Laval sul lato sinistro del tubo.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation of Momentum, Differential Equations, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Tube, Ball, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3