Russia 2020

Problem 1. Oscillations Inside The Pipe (10 points) A small body is located inside a horizontally oriented pipe of radius $R$ , rotating with a certain angular velocity around its axis of symmetry. In the equilibrium position, the body is located below the pipe axis, at a distance of $0.8 R$ vertically from it. Find the period of small oscillations of the body in a plane perpendicular to the pipe’s axis. Note: For small angle $δ$ and any angle $α$ , you can assume that $sin (α + δ) = sin α + δ cos α$ , and $cos (α + δ) = cos α - δ sin α$ .

Topic: Rotational Dynamics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1. Oscillazioni all’interno del tubo (10 punti) Un piccolo corpo si trova all’interno di un tubo orizzontale di raggio $R$ , che ruota con una certa velocità angolare intorno al il suo asse di simmetria. In posizione di equilibrio, il corpo si trova sotto l’asse del tubo, a una distanza di $0.8 R$ verticalmente

E’ stato un’altra cosa. Trova il periodo di piccole oscillazioni del corpo in un piano perpendicolare all’asse del tubo. Nota: per un angolo piccolo $δ$ e per qualsiasi angolo $α$ , si può supporre che $sin (α + δ) = sin α + δ cos α$ e $cos (α + δ) = cos α - δ sin α$ .

Problem 2. Table With Thin Legs (12 points) There is a table on a horizontal floor. The tabletop and the floor can be considered as absolutely solid; however, the legs are obeying Hooke’s law for vertical deformations. Figure 1: Problem 2 An object with mass 24 kg is placed on the table so that the center of the mass of the system is located at point $A$ (see Figure 1, top view). By how much will the pressure on the table legs: $Δ F_{1}$ , $Δ F_{2}$ , $Δ F_{3}$ and $Δ F_{4}$ change? The numbering of table legs is according to Figure 1.

Topic: Rigid Body Statics, Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Hooke’s Law, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema 2. Tavola con gambe sottili (12 punti) C’è un tavolo su un pavimento orizzontale. La tavola e il pavimento possono essere considerati assolutamente solidi; tuttavia, Le gambe seguono la legge di Hooke per le deformazioni verticali. Figura 1: Problema 2 Un oggetto di massa di 24 kg viene posizionato sulla tavola in modo che il centro della massa del sistema sia situato al punto $A$ (vedere Figura 1, vista in alto). Quanto cambierà la pressione sulle gambe del tavolo: $Δ F_{1}$ , $Δ F_{2}$ , $Δ F_{3}$ e $Δ F_{4}$ ? Numerizzazione La misurazione di un’aumento di peso di un peso di circa un milione di euro è conforme alla figura 1.

Problem 3. Water-Steam-Water (14 points) A certain amount of heat is given to water with mass $m = 180$ g, at constant pressure $p = 1 0^{5}$ Pa, so that all of the water becomes steam and its temperature rises up to $T_{1} = 105^{\circ} C$ . Afterwards, the steam expands adiabatically and comes to saturation point, after which it condenses. The graph of the dependence of the pressure of saturated water vapor on temperature is shown in the figure below. Figure 2: Problem 3 Considering the changes in steam parameters during adiabatic expansion to be small, determine the approximate temperature of water at the beginning of condensation. What is the total work done by steam between heating (for evaporation) and cooling (for condensation)? The molar heat capacity of steam at constant volume is $C_{V} = 3 R$ . Note: Note that for small changes in pressure and volume this approximation is valid: $Δ (p V) = (Δ p) V + p (Δ V)$

Topic: Thermodynamics, Conservation of Energy Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 3. Acqua-vapore-acqua (14 punti) Una certa quantità di calore viene data all’acqua di massa $m = 180$ g, a pressione costante $p = 1 0^{5}$ Pa, in modo che tutta la massa di l’acqua diventa vapore e la sua temperatura sale fino a $T_{1} = 105^{\circ} C$ . In seguito, il vapore si espandono adiabaticamente e arriva al punto di saturazione, dopo di che si condensa. Il grafico della dipendenza della pressione del vapore idrico saturo La temperatura è indicata nella figura seguente. Figura 2: Problema 3 Considerando che i cambiamenti dei parametri di vapore durante l’espansione adiabatica sono piccoli, si determina la temperatura approssimativa dell’acqua all’inizio della condensazione. Qual è il lavoro totale svolto dal vapore tra il riscaldamento (per l’evaporazione) e il raffreddamento (per la condensazione)? Il calore molare la capacità di vapore a volume costante è $C_{V} = 3 R$ . Nota: Si noti che per piccole variazioni di pressione e volume questa approssimazione è valida: $Δ (p V) = (Δ p) V + p (Δ V)$

Problem 4. Caustics (18 points) A Caustic is defined as the envelope of rays that do not intersect at one point. In this case, the caustic is a curve that is tangent to all rays reflected from one surface or refracted at some interface. The light intensity near caustics increases, so the caustic curves are clearly visible to the naked eye and in photographs.

The gray curve in the figure is a caustic formed after a beam of parallel rays is reflected by a cylindrical surface $M$ ; the radius of surface being $R$ . Determine the distance from axis of the cylinder, i.e. point $O$ , to the vertex of the caustic, point $A$ , namely distance $O A$ , as well as the distance $P A$ . $O O_{1}$ is the axis of symmetry and $P_{1} P_{2}$ is the tangent line to the caustic. (4 points) Figure 3: Problem 4
A point source illuminating a cylindrical surface of radius $R$ is located at a distance $a = 4 R$ from point $O$ on the axis of symmetry of the $O O_{1}$ system. Determine the distance from point $O$ to the vertex of the caustic formed by the reflected rays. (4 points) The glass with water in it is illuminated using a lantern. In each picture the light beam makes a different angle $α$ with the horizontal surface of table as showin in Diagrams 1 and 2. In Diagram 1, the glass is photographed from above (the optical axis of the objective is perpendicular to the bottom of the glass), and it is illuminated from the right. In Diagram 2, the lens axis deviates slightly from the perpendicular.
This part is about the situation shown in picture 1. The angle $α$ is about $4 5^{\circ}$ . Near the bottom of the glass, there is a curve with two peaks, which corresponds to the situation in the first part. In the figure, the peaks are marked using squares. Explain the observed pattern. (3 points)
This part is about situation shown in Diagram 2. The radius of the base of the glass is $R = 8$ cm. The lantern is located at a distance $a \approx 10 R$ from the axis of the glass. The angle $α$ can be considered small. Outside the glass, the caustic is visible, formed by the rays passing through the glass. Determine the approximate distance from the glass to the top of the caustic (to the top of the ”cone”). The refractive index of water is $n \approx 1.33$ . (6 points)

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Snell’s Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Mirror, Lens, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 4. Caustica (18 punti) Una caustica è definita come l’envelope di raggi che non si intersecano in un punto. In questo caso, la caustica è una curva che è tangente a tutti i raggi riflessi da una superficie o refrattato ad una interfaccia. L’intensità luminosa vicino alla caustica Le curve caustiche sono visibili a occhio nudo e nelle fotografie.

La curva grigia della figura è una caustica formata dopo che un fascio di raggi paralleli è riflesso da una superficie cilindrica $M$ ; il raggio di superficie è $R$ . Determinare la distanza dall’asse del cilindro, ovvero punto $O$ , fino alla verticale della punto $A$ , vale a dire la distanza $O A$ , nonché la distanza $P A$ . $O O_{1}$ è l’asse di simmetria e $P_{1} P_{2}$ è il linea tangente alla caustica. (4 punti) Figura 3: Problema 4
Una sorgente di punto che illumina una superficie cilindrica di raggio $R$ si trova a una distanza $a = 4 R$ dal punto $O$ sul asse di simmetria del sistema $O O_{1}$ . Determinare la distanza dal punto $O$ alla vertica della caustica formata da i raggi riflessi. (4 punti) Il vetro con acqua è illuminato con una lanterna. In ogni immagine il fascio luminoso fa un angolo diverso $α$ con la superficie orizzontale della tabella come mostrato nei diagrammi 1 e 2. Il grafico 1 mostra il vetro fotografato da In questo caso, il punto di riferimento è il punto di riferimento.

Sì, certo. Nel diagramma 2, l’asse della lente si devia leggermente dalla perpendicolare.

Questa parte parla della situazione mostrata nella figura 1. L’angolo $α$ è di circa $4 5^{\circ}$ . Vicino al fondo del vetro, lì è una curva con due picchi, che corrisponde alla situazione nella prima parte. Nella figura, le vette sono segnate usando quadrati. Spiegate il modello osservato. (3 punti)
Questa parte riguarda la situazione mostrata nel diagramma 2. Il raggio di radius della base del vetro è $R = 8$ cm. La lanterna è situato a una distanza $a \approx 10 R$ dall’asse del vetro. L’angolo $α$ può essere considerato piccolo. Fuori dal vetro, la caustica è visibile, formata dai raggi che passano attraverso il vetro. Determina la distanza approssimativa da vetro verso la parte superiore della castica (verso la parte superiore del cono). L’indice di rifrazione dell’acqua è $n \approx 1.33$ . (6 punti)

Problem 5. Thermal Inductor (18 points) The Peltier element consists of two plates, separated by a large number of semiconductor blocks ,and it converts electrical energy into heat. It can also work in reverse mode – to generate EMF because of temperature difference between the plates. The second figure schematically shows a device based on a Peltier element. The bottom plate is in contact with Figure 4: Problem 5 a heat reservoir, a large body whose temperature $T_{r}$ can be considered constant. The upper plate is in contact with a body with heat capacity $C$ and temperature $T$ , which changes over time. A superconducting coil with inductance $L$ is connected between ends of the element. Initially, $T = T_{0}$ , $T_{0} > T_{r}$ . Figure 5: Problem 5 Under these conditions, the upper body gives the element during the time $Δ t$ the amount of heat $Δ Q = α T I Δ t$ , where $α$ is a constant coefficient, $I$ is the current through the element. The positive direction of current is the direction from ”plus” to ”minus”. In this case, the Peltier element generates an EMF, which is equal to $ε = α (T - T_{r})$ . The polarity of the generated EMF (for $T > T_{r}$ ) is shown in the figure. The resistance of the Peltier element is $R$ . It turns out in this system the periodic change in $T (t)$ and $I (t)$ is possible. In this problem we will investigate the fluctuations at various values of parameters: $T_{r}$ , $T_{0}$ , $C$ , $α$ , $R$ which are considered to be known. the initial current in the circuit is zero: $I (0) = 0$ . The temperature difference between the body and the reservoir can be considered small: $∣ T - T_{r} ∣ ≪ T_{r}$ at any time.

Let us consider an idealized, fantastic case, when the resistance $R$ is equal to zero and there is no heat transfer between the heat reservoir and the body due to heat conduction. 1a) Find the differential equation for $I (t)$ . (2 points) 1b) Transform the equation taking into account $∣ T - T_{r} ∣ ≪ T_{r}$ and find the frequency $ω_{0}$ of oscillations of the current. (3 points) 1c) Find the dependence of temperature of the body on time: $T (t)$ . (1 point)
Physically the case described in part 1 is not feasible. Consider the parameters of the system that are close to reality. Let the resistance of the element $R$ be known, the power of heat transfer from the body to the reservoir is determined by the relation $P = k (T - T_{r})$ , where $k$ is a known constant, heat is conducted uniformly between the plates. In this case oscillations will be damped. 2a) Find the differential equation for $I (t)$ . (3 points) 2b) Show that the nonlinear terms are proportional to $I^{2}$ and $I \dot{I}$ (here dot shows the time derivative) in the differential equation from 2a) can be neglected. Thus transform the equation into $\ddot{I} + 2 γ \dot{I} + ω^{2} I = 0$ (equation for damped oscillations). Find the constants $γ$ and $ω$ in terms of given values. (4 points) 2c) Assuming damping is weak $(γ^{2} ≪ ω^{2})$ , find the relative change in current amplitude $\frac{Δ I _{max}}{I _{max}}$ over one time period. Express your answer in terms of $γ$ and $ω$ . (3 points)
The purpose of this device when it was first invented was to measure the heat capacity of bodies accurately. Parameters $T_{r}$ , $α$ , $k$ , $R$ , $L$ are known, they have been measured before accurately. The experimenter has electrical measuring instruments, an oscilloscope and an alternating voltage generator, the frequency of which can be changed over a wide range. Describe in short a possible experimental design. (2 points)

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetic Induction, Thermodynamics Metodi: Differential Equations, Simple Harmonic Motion Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 5. Induttore termico (18 punti) L’elemento Peltier è costituito da due piastre, separate da un gran numero di blocchi semiconduttori, e converte energia in calore. Inoltre, può funzionare in modalità inversa per generare EMF a causa della differenza di temperatura tra le

Le piastre. La seconda figura mostra schematicamente un dispositivo basato su un elemento Peltier. La piastra inferiore è in contatto con Figura 4: Problema 5 un serbatoio di calore, un corpo grande la cui temperatura $T_{r}$ può essere considerata costante. La parte superiore della piastra è in contatto con un corpo con capacità termico $C$ e temperatura $T$ , che cambia nel tempo. Una bobina superconduttrice con induttanza $L$ è collegati tra le estremità dell’elemento. Inizialmente $T = T_{0}$ , $T_{0} > T_{r}$ . Figura 5: Problema 5 In queste condizioni, la parte superiore del corpo dà all’elemento durante il tempo $Δ t$ la quantità di calore $Δ Q = α T I Δ t$ , dove $α$ è un coefficiente costante, $I$ è la corrente attraverso l’elemento. La direzione positiva della corrente è la direzione da

a minus. In questo caso, l’elemento Peltier genera un FEM, pari a $ε = α (T - T_{r})$ . La polarità di la FEM generata (per $T > T_{r}$ ) è indicata nella figura. La resistenza dell’elemento Peltier è $R$ . In questo sistema si risulta che è possibile modificare periodicamente $T (t)$ e $I (t)$ . In questo problema esamineremo le fluttuazioni a vari valori dei parametri: $T_{r}$ , $T_{0}$ , $C$ , $α$ , $R$ che sono considerati noti. la corrente iniziale in il circuito è zero: $I (0) = 0$ . La differenza di temperatura tra il corpo e il serbatoio può essere considerata piccola: $∣ T - T_{r} ∣ ≪ T_{r}$ in qualsiasi momento.

Consideriamo un caso idealizzato, fantastico, quando la resistenza $R$ è uguale a zero e non c’è trasferimento di calore tra il serbatoio di calore e il corpo a causa della conduzione del calore. 1a) Trova l’equazione differenziale per $I (t)$ . (2 punti) 1b) Trasformare l’equazione tenendo conto di $∣ T - T_{r} ∣ ≪ T_{r}$ e trovare la frequenza $ω_{0}$ delle oscillazioni del corrente. (3 punti) 1c) Trova la dipendenza della temperatura del corpo nel tempo: $T (t)$ . 1 punto)
Fisicamente il caso descritto nella parte 1 non è fattibile. Considerate i parametri del sistema che sono vicini a La realtà. Se si conosce la resistenza dell’elemento $R$ , la potenza di trasferimento del calore dal corpo al serbatoio è determinato dalla relazione $P = k (T - T_{r})$ , dove $k$ è una costante nota, il calore si effettua uniformemente tra le

Le piastre. In questo caso le oscillazioni saranno attenuate. 2a) Trova l’equazione differenziale per $I (t)$ . (3 punti) 2b) Indicare che i termini non lineari sono proporzionali a $I^{2}$ e $I \dot{I}$ (qui il punto mostra la derivata temporale) nel L’equazione differenziale di 2a) può essere trascurata. Quindi trasforma l’equazione in $\ddot{I} + 2 γ \dot{I} + ω^{2} I = 0$ (equazione per oscillazioni umede). Trova le costanti $γ$ e $ω$ in termini di dati. (4 punti) 2c) Supponendo che l’ammortizzazione sia debole $(γ^{2} ≪ ω^{2})$ , si trova la variazione relativa dell’ampiezza corrente $\frac{Δ I _{max}}{I _{max}}$ in una sola volta
Il periodo. Esprimere la risposta in termini di $γ$ e $ω$ . (3 punti)

Quando fu inventato per la prima volta, questo dispositivo aveva lo scopo di misurare con precisione la capacità termico dei corpi. I parametri $T_{r}$ , $α$ , $k$ , $R$ , $L$ sono noti, sono stati precedentemente misurati con precisione. L’esperimentatore ha un’energia elettrica strumenti di misurazione, osciloscopo e generatore di tensione alternata, la cui frequenza può essere modificata su un’ampia gamma. Descrivi brevemente un possibile progetto sperimentale. (2 punti)

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