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Problem 1. The mass of a horizontally placed wheel of radius $R$ mounted on a vertical axis O (see figure) is equal to $m$ and is uniformly distributed on its boundary. Rubber threads of stiffness $k$ and $3 k$ are fixed at points A and B lying on the same diameter. The other ends of the threads are attached to the vertical wall. In the state of equilibrium the segment AB is parallel to the wall, the threads are neither sagging nor deformed, the distance between them is $2 R$ Figure 1: Problem 1 A. Let the disk be able to rotate, without friction, around the axis. Determine the period of small oscillations of the disk. B. The axis rotates clockwise with a sufficiently large constant angular velocity. The friction between the axle and the wheel is dry. The maximum moment of frictional forces acting on the wheel is $M_{0}$ such that $M_{0} ≪ k R^{2}$ . At first the wheel is held while the threads remain unstretched, then the wheel is released. B1) How long after that will the angular velocity of the wheel become maximum? What will be this maximum velocity? B2) How will the answer change if the axis rotates counterclockwise instead?

Topic: Oscillations & Waves, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wheel, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1. La massa di una ruota di raggio $R$ posizionata orizzontalmente montata su un asse verticale O (vedere figura) è uguale a $m$ ed è uniformemente distribuito sul suo confine. Fabbricazioni di gomma di rigidità $k$ e $3 k$ sono fissati ai punti A e B dello stesso diametro. Le altre estremità dei fili sono attaccate

Al muro verticale. In stato di equilibrio il segmento AB è parallelo al muro, i fili sono non si abbatte né si deforma, la distanza tra loro è $2 R$ Figura 1: Problema 1 A. Lasciate che il disco possa ruotare, senza attrito, attorno all’asse. Determina il periodo di oscillazioni del disco. B. L’asse ruota in senso orario con una velocità angolare costante sufficientemente grande. La frizione tra l’asse e la ruota sono asciugati. Il momento massimo delle forze di attrito che agiscono sulla ruota è $M_{0}$ di tipo $M_{0} ≪ k R^{2}$ . All’inizio la ruota viene tenuta mentre i fili rimangono allenti, poi la ruota
E’ rilasciato. B1) Quanto tempo dopo la velocità angolare della ruota diventerà massima? Che cosa sarà
Questa velocità massima? B2) Come cambierà la risposta se invece l’asse ruota in senso contrario all’orologio?

Problem 2. The heat machine of the room which works as a split-system operates on the inverse Carnot cycle, and it can be assumed that the room and outdoor temperatures correspond to the temperatures on the isotherms of the cycle.In summer, when the temperature outside the window is $+ 27^{\circ} C$ . The split system, working in air conditioning mode (as a refrigeration unit), keeps the room temperature at $+ 17^{\circ} C$ and consumes from the power grid an average power $N_{1}$ . At the beginning of winter, when the temperature outside drops to $- 3^{\circ} C$ , the split system switches to heat pump mode and maintains the same room temperature of $+ 17^{\circ} C$ as in the summer, by consuming average power $N_{2}$ .We can assume that the heat flow (through the windows and walls) is proportional to the temperature difference between the room and outside, with same coefficient of proportionality in summer and winter. Find the ratio of powers $n = N_{2} / N_{1}$

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Heat Engine Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema 2. La macchina termico della stanza che funziona come sistema di scissione opera sul Carnot inverso La temperatura del ambiente e dell’aria esterna corrispondono alle temperature in isotermi del ciclo.In estate, quando la temperatura fuori dalla finestra è $+ 27^{\circ} C$ . Il sistema split, che funziona in modalità aria condizionata (come unità di refrigerazione), mantiene la temperatura ambiente a $+ 17^{\circ} C$ e consuma dalla rete elettrica una potenza media $N_{1}$ . All’inizio dell’inverno, quando il la temperatura esterna scende a $- 3^{\circ} C$ , il sistema diviso passa alla modalità pompa di calore e mantiene la stessa La temperatura ambiente è di $+ 17^{\circ} C$ come in estate, con un consumo medio di potenza $N_{2}$ . il flusso di calore (attraverso le finestre e le pareti) è proporzionale alla differenza di temperatura tra all’interno e all’esterno, con lo stesso coefficiente di proporzionalità in estate e in inverno. Trova il rapporto di potenze $n = N_{2} / N_{1}$

Problem 3. The Schlieren method is often used to photograph optical inhomogeneities in transparent media. In the picture below you can see the hot air streams generated by the flame of a gas burner and flowing around the human palm. The Schlieren method can be implemented according to the scheme Figure 2: Problem 2 shown in the figure below. Two thin lenses L1 and L2 are placed such that their optical axes coincide with each other. At the focus of one lens, F1 is a point light source, and in the focal plane of the other lens, point F2 is a Foucault knife- a large opaque screen K with a sharp edge protruding above the level of the optical axis at a short distance $h$ . The focal plane of the camera lens coincides with the focal plane of the lens L2. Figure 3: Problem 2 A. Let a prism with a small refractive angle $φ$ and refractive index $n$ . At what values of $h$ , would the only gray background be visible in the picture? B. A prism is replaced by a plane-parallel plate (see fig. above) of thickness $d$ and and length $H$ such that $d ≪ H$ whose refractive index linearly depends on the coordinate $y$ : $n (y) = n_{0} (1 + α y / H)$ , the values $α ≪ 1$ and $n_{0}$ are considered to be known. At what values of $h$ in this case will only the gray background be visible in the photo? C. Explain briefly (in two or three sentences) why in the picture at the beginning of the problem, palm and burner are dark and the air currents are light, and also why all the images are visible on the background of a gray circle

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Snell’s Law, Thin Lens & Mirror Equation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lens, Prism, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 3. Il metodo di Schlieren è spesso usato per fotografare le inomogeneità ottiche in

I media. Nella foto qui sotto si possono vedere i flussi di aria calda generati dalla fiamma di un bruciatore di gas e che circondano la palma umana. Il metodo Schlieren può essere applicato secondo il regime Figura 2: Problema 2 Il numero di persone che hanno ricevuto il certificato di Due lenti sottili L1 e L2 sono posizionate in modo tale che i loro assi ottici coincidano
Un’altra volta. Al centro di una lente, F1 è una fonte di luce puntata, e nel piano focale dell’altra L’obiettivo, punto F2 è un coltello Foucault- un grande schermo opaco K con un bordo tagliente che si protrae sopra il livello di un’asse ottica a breve distanza $h$ . Il piano focale della lente della fotocamera coincide con il focale piano dell’obiettivo L2. Figura 3: Problema 2 A. Lasciate un prisma con un angolo di rifrazione piccolo $φ$ e un indice di rifrazione $n$ . A quali valori di $h$ , l’unico sfondo grigio è visibile nella foto? B. Un prisma viene sostituito da una piastra parallela a piano (vedi figura. di spessore $d$ e di lunghezza $H$ di tipo tale che $d ≪ H$ il cui indice di rifrazione dipenda linearmente dalla coordinata $y$ : $n (y) = n_{0} (1 + α y / H)$ , i valori $α ≪ 1$ e $n_{0}$ sono considerati conosciuti. A quali valori di $h$ in questo caso sarà visibile solo lo sfondo grigio nella foto? C. Spiegare brevemente (in due o tre frasi) perché nella foto all’inizio del problema, Le palme e il burner sono scure e le correnti d’aria sono leggere, e anche perché tutte le immagini sono visibili sulla sfondo di un cerchio grigio

Problem 4. A battery with an EMF $ε$ , whose internal resistance can be assumed to be zero, is charged in the circuit shown in the figure. A diode bridge consists of perfect diodes that open at zero voltage. A Figure 5: Problem 3 coil with inductance $L$ is placed in the region of a periodically varying magnetic $B (t)$ . We can assume that the resistance of the coil and connecting wires is concentrated in a resistor of resistance $R$ . The coil is wound on a core in the form of a hollow cylinder with cross section $S$ and contains $N$ turns. The outer radius of the coil is slightly different from the inner radius.The induction of the magnetic field $B (t)$ created by external sources is directed along the axis of the coil. We can assume that the field inside the core is homogeneous. A fragment of the dependence of field induction on time is shown in the graph below. The constants $B_{0}$ and $τ$ are assumed to be known, and their values are such that the circuit can charge the battery in a finite time. A. It is known that the circuit parameters satisfy the relation $L / R ≪ τ$ . Determine the charge flowing through the battery in time $t_{0}$ . B.Let the resistance $R$ be so small that the condition: $L / R ≫ τ$ is satisfied. Find the average current flowing through the battery after a long time when charging begins.

Topic: Electromagnetic Induction, Circuits Metodi: Faraday’s Law of Induction, Kirchhoff’s Laws, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Battery, Coil, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.3

Il problema 4. Una batteria con un FEM $ε$ , la cui resistenza interna può essere presunta essere zero, è carica nel circuito mostrato nella figura. Un ponte di diodo è costituito da diodi perfetti che si aprono a tensione zero. A Figura 5: Problema 3 la bobina ad induzione $L$ è collocata nella regione di un magnetismo $B (t)$ che varia periodicamente. Possiamo presumere che la resistenza della bobina e dei fili di connessione sia concentrata in una resistenza $R$ . Il la bobina è avvolta su un nucleo in forma di cilindro vuoto con sezione trasversale $S$ e contiene torsioni $N$ . Il Il raggio esterno della bobina è leggermente diverso dal raggio interno. Il $B (t)$ creato da fonti esterne è orientato lungo l’asse della bobina. Possiamo presumere che il campo all’interno del nucleo è omogeneo. Un frammento della dipendenza dell’induzione del campo dal tempo è mostrato in il grafico di seguito. Le costanti $B_{0}$ e $τ$ sono presunte come conosciute e i loro valori sono tali che le Il circuito può caricare la batteria in un tempo finito. A. È noto che i parametri del circuito soddisfano la relazione $L / R ≪ τ$ . Determina il flusso di carica attraverso la batteria in tempo $t_{0}$ . B.La resistenza $R$ deve essere così piccola da soddisfare la condizione: $L / R ≫ τ$ . Trova la corrente media che fluisce attraverso la batteria dopo un lungo periodo di tempo quando inizia la ricarica.

Problem 5. The mechanism by means of which the tilt garage door works is shown in the figure below with the door ABC in the vertical position (closed). Applying the handle at the bottom edge of the door at point A, it is possible to move the door to the horizontal position (open). As the door is lifted, the roller C fixed to the upper edge of the door moves on the horizontal support. In point B (AB = BC = $L$ ) the gate is pivotally connected to a rocker which can rotate around a fixed axis O. At the other end of the yoke is a weight of $m = 25 kg$ . The gate can be thought of as a thin homogeneous plate of mass $M = 30 kg$ . The mass of the beam and the roller, any kind of friction, and the linear dimensions of the roller and can be neglected. The acceleration of free fall and the values of are: $g = 10 m/s^{2}$ , $L = 92 cm$ , $h = 65 cm$ . In the upper position, the gate is fixed with a latch. A. A1) How much force $F_{1}$ , perpendicular to the gate, must be applied to the handle to hold the gate stationary with the rocker horizontal? A2) What is the minimum force $F_{2}$ that must be applied to the handle to keep the gate stationary when the rocker is horizontal? B. Suppose that during a very slow lifting of the gate from the initial vertical position to the final horizontal position, the minimum force required to lift the gate at any given time is applied to the handle. What is the maximum value of $F_{max}$ of this minimum force? C. If you open the latch in the upper position, the gate will start to move downward and the rocker will rotate. Determine the velocity of the bottom point of the gate when it touches the ground. Figure 6: Problem 5

Topic: Rigid Body Statics, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lever Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 5. Il meccanismo con cui funziona la porta di garage a inclinamento è mostrato nella figura seguente con la porta ABC in posizione verticale (chiusa). Applicando la maniglia al bordo inferiore del porta al punto A, è possibile spostare la porta nella posizione orizzontale (aperta). Quando la porta viene sollevata, il rulli C fissato al bordo superiore della porta si muove sul supporto orizzontale. Al punto B (AB = BC) = $L$ ) il cancello è collegato pivotalmente a un rocker che può ruotare attorno ad un asse fisso O. L’altra volta la parte finale del giogo è di peso $m = 25 kg$ . Il cancello può essere pensato come una sottile piastra omogenea di massa $M = 30 kg$ . La massa del fascio e del rulli, qualsiasi tipo di attrito e le dimensioni lineari di un rulli e può essere trascurato. L’accelerazione della caduta libera e i valori di sono: $g = 10 m/s^{2}$ , $L = 92 cm$ , $h = 65 cm$ . Nella posizione superiore, il cancello è fissato con un lucchetto. A. A1) Quanta forza $F_{1}$ , perpendicolare al cancello, deve essere applicata alla maniglia per tenere il cancello

Stazionario con il rocker orizzontale? A2) Qual è la forza minima $F_{2}$ che deve essere applicata alla maniglia per mantenere la porta fermata Quando il rocker è orizzontale? B. Supponiamo che durante un sollevamento molto lento del cancello dalla posizione verticale iniziale alla posizione finale posizioni orizzontali, la forza minima necessaria per sollevare il cancello in un determinato momento è applicata alla
La manovra. Qual è il valore massimo di $F_{max}$ di questa forza minima? C. Se si apre la serratura nella posizione superiore, il cancello inizierà a muoversi verso il basso e il rocker
Si girerà. Determina la velocità del punto inferiore del cancello quando tocca il terreno. Figura 6: Problema 5

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