SPhO 2021

A parallel-plate capacitor is shown in the diagram with plate area $A=10.5{\text{cm}}^2$ and plate separation $2d=7.12\text{mm}$. The left half of the gap is filled with material of dielectric constant ${\kappa }_1=21.0$; the top of the right half is filled with material of dielectric constant ${\kappa }_2=42.0$; the bottom of the right half is filled with material of dielectric constant ${\kappa }_3=58.0$. What is the capacitance?

[4 marks]

Fonte: Testo (PDF) — p.2

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Equivalent Circuit Reduction, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor

Il diagramma mostra un condensatore a piastra parallela con superficie $A=10.5{\text{cm}}^2$ e separazione $2d=7.12\text{mm}$. La metà sinistra del vuoto è riempita di materiale di costante dielettrica ${\kappa }_1=21.0$; la metà superiore della metà destra è riempita di materiale di costante dielettrica ${\kappa }_2=42.0$; la parte inferiore della metà destra è riempita di materiale di costante dielettrica ${\kappa }_3=58.0$. Qual è la capacità?

4 punti

Fonte: Testo (PDF) — p.2

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Equivalent Circuit Reduction, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor

In the rectangle shown, the sides have lengths $5.0\text{cm}$ and $15\text{cm}$, $q_1=-5.0\mu \text{C}$, and $q_2=+2.0\mu \text{C}$. With $V=0$ at infinity, what is the electric potential at

• (a) corner $A$ and [1 mark]
• (b) corner $B$? [1 mark]
• (c) How much work is required to move a charge $q_3=+3.0\mu \text{C}$ from $B$ to $A$ along a diagonal of the rectangle? [1 mark]
• (d) Does this work increase or decrease the electric potential energy of the three-charge system? [1 mark]

Is more, less, or the same work required if $q_3$ is moved along a path that is

• (e) inside the rectangle but not on a diagonal and [0.5 marks]
• (f) outside the rectangle? [0.5 marks]

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law, Superposition Principle, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge

Nel rettangolo mostrato, i lati hanno lunghezze $5.0\text{cm}$ e $15\text{cm}$, $q_1=-5.0\mu \text{C}$ e $q_2=+2.0\mu \text{C}$. Con $V=0$ all’infinito, qual è il potenziale elettrico a

• **(a) ** angolo $A$ e [1 segno]
• **(b) ** angolo $B$? [1 punto]
• **(c) ** Quanto lavoro è necessario per spostare una carica $q_3=+3.0\mu \text{C}$ da $B$ a $A$ lungo una diagonale del rettangolo? [1 punto]
• **(d) ** Questo lavoro aumenta o diminuisce l’energia elettrica potenziale del sistema a tre cariche? [1 punto]

È necessario più, meno o lo stesso lavoro se $q_3$ viene spostato lungo un percorso che è

• **(e) ** all’interno del rettangolo ma non su una diagonale e [0,5 punti]
• **(f) ** al di fuori del rettangolo? [0,5 punti]

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law, Superposition Principle, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge

The conducting rod shown in the figure has length $L$ and is being pulled along horizontal, frictionless conducting rails at a constant velocity $\vec{v}$. The rails are connected at one end with a metal strip. A uniform magnetic field $\vec{B}$, directed out of the page, fills the region in which the rod moves. Assume that $L=10\text{cm}$, $v=5.0\text{m/s}$, and $B=1.2\text{T}$. What are the

• (a) magnitude and [1 mark]
• (b) direction (up or down the page) of the emf induced in the rod? [0.5 marks]
• (c) magnitude and [0.5 marks]
• (d) direction of the current in the conducting loop? [0.5 marks]

Assume that the resistance of the rod is $0.40\Omega$ and that the resistance of the rails and metal strip is negligibly small.

• (e) At what rate is thermal energy being generated in the rod? [1 mark]
• (f) What external force on the rod is needed to maintain $\vec{v}$? [1.5 marks]
• (g) At what rate does this force do work on the rod? [1 mark]

Fonte: Testo (PDF) — p.6

Topic: Electromagnetic Induction, Circuits Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod

La canna di conduttoria mostrata nella figura ha una lunghezza $L$ e viene tirata lungo le vie di conduttoria orizzontali senza attrito a velocità costante $\vec{v}$. Le ferrovie sono collegate ad una estremità con una striscia di metallo. Un campo magnetico uniforme $\vec{B}$, diretto fuori dalla pagina, riempie la regione in cui si muove la canna. Supponiamo che $L=10\text{cm}$, $v=5.0\text{m/s}$ e $B=1.2\text{T}$. Che cosa sono

• **(a) ** di magnitudo e [1 marchio]
• **(b) ** direzione (solo o in basso) dell’emf indotto nella canna? [0,5 punti]
• ** c) ** di magnitudo e [0,5 marchi]
• **(d) ** direzione della corrente nel circuito di condotta? [0,5 punti]

Supponiamo che la resistenza della canna sia $0.40\Omega$ e che la resistenza dei binari e della striscia metallica sia trascurabilmente piccola.

• ** (e) ** A che velocità viene generata l’energia termica nella canna? [1 punto]
• **(f) ** Che forza esterna è necessaria sulla canna per mantenere $\vec{v}$? [1,5 punti]
• **(g) ** A che velocità questa forza agisce sulla canna? [1 punto]

Fonte: Testo (PDF) — p.6

Topic: Electromagnetic Induction, Circuits Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod

In the figure shown, after the switch $S$ is closed at time $t=0$, the emf of the source is automatically adjusted to maintain a constant current $I$ through $S$.

• (a) Find the current through the inductor as a function of time. [4 marks]
• (b) At what time is the current through the resistor equal to the current through the inductor? [1 mark]

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Topic: Circuits, Electromagnetic Induction Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Faraday’s Law of Induction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Switch, Inductor, Resistor

Nella figura mostrata, dopo che il interruttore $S$ è chiuso al momento $t=0$, l’emf della fonte viene regolato automaticamente per mantenere una corrente costante $I$ fino a $S$.

• ** a) ** Trova la corrente attraverso l’induttore in funzione del tempo. 4 punti
• **(b) ** A che ora la corrente attraverso la resistenza è uguale alla corrente attraverso l’induttore? [1 punto]

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Topic: Circuits, Electromagnetic Induction Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Faraday’s Law of Induction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Switch, Inductor, Resistor

In the figure shown, a string, tied to a sinusoidal oscillator at $P$ and running over a support at $Q$, is stretched by a block of mass $m$. The separation $L$ between $P$ and $Q$ is $1.20\text{m}$, and the frequency $f$ of the oscillator is fixed at $120\text{Hz}$. The amplitude of the motion at $P$ is small enough for that point to be considered a node. A node also exists at $Q$. A standing wave appears when the mass of the hanging block is $286.1\text{g}$ or $447.0\text{g}$, but not for any intermediate mass. What is the linear density of the string?

[6 marks]

Fonte: Testo (PDF) — p.10

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Block

Nella figura illustrata, una corda, legata ad un oscillatore sinusoidale a $P$ e che attraversa un supporto a $Q$, è estesa da un blocco di massa $m$. La separazione $L$ tra $P$ e $Q$ è $1.20\text{m}$ e la frequenza $f$ dell’oscillatore è fissata a $120\text{Hz}$. L’ampiezza del movimento a $P$ è sufficientemente piccola per considerare quel punto un nodo. Un nodo esiste anche a $Q$. Un’onda in piedi appare quando la massa del blocco appeso è $286.1\text{g}$ o $447.0\text{g}$, ma non per qualsiasi massa intermedia. Qual è la densità lineare della corda?

[6 punti]

Fonte: Testo (PDF) — p.10

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Block

Calculate the minimum kinetic energy an electron must have in order to be constrained within the nucleus, with a typical nuclear radius of $r=6\times 10^{-15}\text{m}$. Assume that the uncertainty of this electron’s position is equal to the nuclear radius $r$. Treat the electron relativistically.

[6 marks]

Fonte: Testo (PDF) — p.12

Topic: Modern-Quantum Physics, Special Relativity Metodi: de Broglie Relation, Relativistic Energy-Momentum, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Electron, Nucleus

Calcolare l’energia cinetica minima che un elettrone deve avere per essere confinato all’interno del nucleo, con un radio nucleare tipico di $r=6\times 10^{-15}\text{m}$. Supponiamo che l’incertezza della posizione di questo elettrone sia pari al raggio nucleare $r$. Tratta l’elettrone in modo relativistico.

[6 punti]

Fonte: Testo (PDF) — p.12

Topic: Modern-Quantum Physics, Special Relativity Metodi: de Broglie Relation, Relativistic Energy-Momentum, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Electron, Nucleus

A small $50\text{g}$ block slides down a frictionless surface through height $h=20\text{cm}$ and then sticks to a uniform rod of mass $100\text{g}$ and length $40\text{cm}$. The rod pivots about point $O$ through angle $\theta$ before momentarily stopping. Find $\theta$.

[10 marks]

Fonte: Testo (PDF) — p.14

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Rod

Un piccolo blocco $50\text{g}$ scorre in superficie senza attrito attraverso l’altezza $h=20\text{cm}$ e si attacca quindi a una barra uniforme di massa $100\text{g}$ e lunghezza $40\text{cm}$. La canna ruota intorno al punto $O$ attraverso un angolo $\theta$ prima di fermarsi momentaneamente. Trova $\theta$.

[10 punti]

Fonte: Testo (PDF) — p.14

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Rod

The figure shows a reversible cycle through which $1.00\text{mol}$ of a monatomic ideal gas is taken. Volume $V_c=8.00V_b$. Process $bc$ is an adiabatic expansion, with $p_b=10.0\text{atm}$ and $V_b=1.00\times 10^{-3}{\text{m}}^3$. For the cycle, find

• (a) the energy added to the gas as heat, [3 marks]
• (b) the energy leaving the gas as heat, [3 marks]
• (c) the net work done by the gas, and [1 mark]
• (d) the efficiency of the cycle. [1 mark]

Fonte: Testo (PDF) — p.17

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas

La figura mostra un ciclo reversibile attraverso il quale viene assorbito $1.00\text{mol}$ di un gas ideale monatomo. Volume $V_c=8.00V_b$. Il processo $bc$ è un’espansione adiabatica, con $p_b=10.0\text{atm}$ e $V_b=1.00\times 10^{-3}{\text{m}}^3$. Per il ciclo, trovare

• **(a) ** l’energia aggiunta al gas in calore, [3 punti]
• **(b) ** l’energia che lascia il gas in calore, [3 punti]
• **(c) ** il lavoro netto svolto dal gas, e [1 punto]
• **(d) ** l’efficienza del ciclo. [1 punto]

Fonte: Testo (PDF) — p.17

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas

An ideal massless spring with spring constant $k=10{\text{N m}}^{-1}$ and unstretched length $L=0.5\text{m}$ is attached to point $O$ on the axis of a disc. It has a point mass $m=1\text{kg}$ attached at $L_1=0.2\text{m}$ of the unstretched spring. The spring is stretched and the other end is attached to point $A$ on the edge of the disc at $R_0=1\text{m}$. The point mass is constrained to move radially only. The disc can rotate around the axis at a constant angular frequency $\omega$. Take $t=0\text{s}$ when $OA$ is horizontal and $A$ is to the right and the disc is rotating anti-clockwise. Although some air resistance will help the system achieve a steady state, you may assume that air resistance is negligible in your working.

• (a) If the disc is horizontal and $\omega =0$, derive an expression for the effective spring constant $k_t$ in terms of the given parameters. [5 marks]
• (b) If the disc is horizontal and rotating at constant angular velocity $\omega$, derive an expression for $r_0$, the equilibrium position of the mass. [5 marks]
• (c) If the disc is at an angle $\phi =0.4\text{rad}$ from the horizontal, what is the lowest angular frequency $\omega$ where the point mass can just about reach the edge of the disc at a steady state? [5 marks]

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Disk

Un molle ideale senza massa con costante molle $k=10{\text{N m}}^{-1}$ e lunghezza non allungata $L=0.5\text{m}$ è fissato al punto $O$ sull’asse di un disco. Ha una massa puntaria $m=1\text{kg}$ fissata a $L_1=0.2\text{m}$ della molla non allungata. La molla è allungata e l’altra estremità è attaccata al punto $A$ sul bordo del disco a $R_0=1\text{m}$. La massa puntaria è limitata a muoversi solo in radial. Il disco può ruotare attorno all’asse a una frequenza angolare costante $\omega$. Prendi $t=0\text{s}$ quando $OA$ è orizzontale e $A$ è a destra e il disco ruota in senso antiorario. Sebbene una certa resistenza all’aria aiuti il sistema a raggiungere uno stato di stabilità, si può presumere che la resistenza all’aria sia trascurabile nel vostro lavoro.

• **(a) ** Se il disco è orizzontale e $\omega =0$, derivare un’espressione per la costante di molla effettiva $k_t$ in termini di parametri dati. 5 punti
• **(b) ** Se il disco è orizzontale e ruota a velocità angolare costante $\omega$, derivare un’espressione per $r_0$, la posizione di equilibrio della massa. 5 punti
• **(c) ** Se il disco è all’angolo $\phi =0.4\text{rad}$ dall’orizzontale, qual è la frequenza angolare $\omega$ più bassa in cui la massa puntaria può raggiungere quasi il bordo del disco in stato di stabilità? 5 punti

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Disk

Consider Young’s double slit experiment as shown in the below figure (a). Monochromatic light is being used. Further assume that the screen distance $\ell$ is much larger than the slit separation $d$ (Figure (b)).

• (a) Under what condition does Young’s experiment show an interference pattern? [0.5 marks]
• (b) Determine the conditions for obtaining constructive and destructive interference. [2 marks]
• (c) Determine the distance $\Delta y$ between adjacent fringes (maxima), assuming that $\theta$ (Figure (b)) is small. [2 marks]
• (d) Determine the intensity $I$ of the diffraction pattern’s maxima. You may use $\sin \alpha +\sin \beta =2\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )$. [4.5 marks]

Fonte: Testo (PDF) — p.24

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit, Screen

Considerate l’esperimento di Young su due fessure come mostrato nella figura (a) di seguito. Si utilizza una luce monocromatica. Supponiamo inoltre che la distanza dello schermo $\ell$ sia molto maggiore della separazione fra fessure $d$ (Figura (b)).

In che condizione l’esperimento di Young mostra un modello di interferenza? [0,5 punti]

• **(b) ** Determinare le condizioni per ottenere interferenze costruttive e distruttive. [2 punti]
• **(c) ** Determina la distanza $\Delta y$ tra i margini adiacenti (maxima), supponendo che $\theta$ (Figura (b)) sia piccola. [2 punti]
• **(d) ** Determina l’intensità $I$ dei massimi del modello di diffrazione. È possibile utilizzare $\sin \alpha +\sin \beta =2\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )$. [4,5 punti]

Fonte: Testo (PDF) — p.24

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit, Screen