Particelle dal Sole
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Particelle dal Sole (Punteggio tot.: 10)
I fotoni provenienti dalla superficie del Sole e i neutrini provenienti dal suo nucleo ci danno informazioni sulle temperature solari e confermano che il Sole brilla grazie a reazioni nucleari. In tutto questo problema, assumi g per la massa del Sole, per il suo raggio, W per la sua luminosità (rapporto tra energia radiante emessa e tempo di emissione) e per la distanza Terra-Sole. Osserva che: (
) st t (
) st t (
) st t
A Radiazione proveniente dal Sole :
A1 Supponi che il Sole emetta radiazione come un corpo nero perfetto. Da questo calcola la temperatura s della superficie solare. 0.3
Lo spettro della radiazione solare si può approssimare bene attraverso la distribuzione di Wien. Secondo questa legge, l’e ergi s lare incidente su una superficie posta sulla Terra, per unità di tempo e per unità di frequenza, , è data da
e s dove indica la frequenza e è l’ re dell su erfi ie r le ll direzione della radiazione incidente. Considera ora una cella solare, costituita da un disco sottile di materiale semiconduttore di area , disposto perpendicolarmente alla direzione dei raggi provenienti dal Sole.
A2 Us d l’ r ssi zi e di Wien, esprimi la potenza radiante solare totale incidente sulla superficie della cella solare, i , in funzione di , , , s e delle costanti fondamentali , , . 0.3 A3 Esprimi il numero di fotoni che incidono sulla superficie della cella solare, per unità di tempo e per unità di intervallo di frequenza, , in funzione di , , , s, e delle costanti fondamentali , , . 0.2
Il materiale semiconduttore della cella solare ha una banda proibita di energia g. Assumiamo il modello seguente: ogni fotone di energia g eccita un elettrone, facendogli attraversare la banda proibita di energia. Dell’energia assorbita dall’elettrone, una quantità g viene utilizzata in uscita mentre il resto viene dissipato termicamente (non è convertito in energia utile).
A4 Poni g g s dove g g. Esprimi la potenza utilizzata in uscita dalla cella, ut, in funzione di g, , , , s e delle costanti fondamentali , , . 1.0 A5 Esprimi il rendimento di questa cella solare in funzione di g. 0.2 A6 Disegna un grafico qualitativo dell’ d e t di in funzione di g. I valori assunti per g e per g devono essere mostrati con chiarezza. Qual è la pendenza di per g e per g ? 1.0 A7 Sia il valore di g per il quale risulta massimo. Ri v l’equ zi e cubica che fornisce . Determina un valore approssimato di u ’ ur tezz di . Da questo valore calcola . 1.0 A8 La banda proibita del silicio puro è g eV. Usando questo valore, calcola il rendimento i di una cella solare di silicio. 0.2 Alla fine del diciannovesimo secolo, Kelvin ed Helmholtz (KH) proposero u ’i tesi er s ieg re e il Sole potesse splendere. Fe er l’i tesi he a partire da una grande nube di materia di massa e di
Page 2 of 2 T-1 Q densità trascurabile, il Sole avesse iniziato a contrarsi con continuità. Lo splendore del Sole sarebbe così dovuto alla liberazione di energia potenziale gravitazionale corrispondente a questa lenta contrazione. A9 Supponiamo che ll’i ter del le la densità della materia sia uniforme. Tr v l’e ergi te zi le gravitazionale totale del Sole oggi, , in funzione di G, and . 0.3 A10 Stima (in anni) il tempo massimo in cui il Sole potrebbe aver brillato, se d l’i tesi di KH e ammettendo che la luminosità del Sole sia rimasta costante in tutto questo periodo. 0.5
Il tempo calcolato sopra non è in accordo l’età del sistema solare ricavata dallo studio dei meteoriti. Ciò mostra che la fonte di energia del Sole non può essere puramente gravitazionale.
B Neutrini dal Sole: Nel 1938, Hans Bethe suggerì che un processo di fusione u le re dell’idr ge i eli nel nucleo del Sole potesse essere la fonte della sua energia. La reazione nucleare complessiva è:
I “neutrini elettronici” prodotti in questa reazione possono essere ritenuti privi di massa. Essi sfuggono dal Sole e la loro rivelazione sulla Terra conferma la presenza di re zi i u le ri ll’i ter del le. In questo problema può essere trascurata l’e ergi tr s rt t d i eutri i.
B1 Calcola la densità del flusso di neutrini in arrivo sulla Terra, , in unità s . L’e ergi liber t nella reazione scritta sopra è . u i he l’e ergi irr di ta dal Sole sia dovuta unicamente a questa reazione. 0.6
Durante il viaggio dal nucleo del Sole alla Terra, alcuni neutrini elettronici si trasformano in altri tipi di neutrino . Il rendimento del rivelatore per i neutrini è 1/6 di quello che si ha per i neutrini . In assenza di conversione tra i neutrini, ci si aspetterebbe di rivelare una media di neutrini ll’ ; invece, per via della conversione, si rivela in realtà una media di neutrini ( e sommati insieme) ll’ .
B2 In funzione di e di , calcola la frazione dei neutrini che si converte in . 0.4
Per rivelare i neutrini si costruiscono grossi rivelatori rie iti d’ qu . Benché le interazioni dei neutrini con la materia siano molto rare, di quando in quando riescono ad espellere qualche elettrone dalle molecole d’ qu del rivel t re. Questi elettroni energetici si u v d lt vel ità ell’ qu , in un processo nel quale emettono radiazione elettromagnetica. Finché la velocità di questi elettroni è maggiore della velocità della luce ell’ qu (che ha indice di rifrazione ), si ha questa emissione caratterizzata da una forma conica, detta radiazione Cherenkov.
B3 Supponi che un elettrone, rimosso da un neutrino, attraversando l’ qu perda energia ad un ritmo costante , che è il rapporto tra l’energia persa e il corrispondente tempo di frenamento. Supponendo che questo elettrone emetta radiazione Cherenkov per un tempo , determina l’e ergi edut quest elettr e dal neutrino ( edut , in funzione di , , n, e e . (C sider l’elettr e ri s ri dell’i ter zi e il neutrino.) 2.0
La fusione di H in He ll’i ter del Sole si sviluppa in più processi con diversi stadi. In uno di questi stadi intermedi si produce un nucleo di e
(avente massa a riposo ). Successivamente, questo nucleo può assorbire un elettrone, dando luogo a un nucleo di Li
(massa a riposo < ) l’e issi e di u e. La reazione nucleare corrispondente è:
Se un nucleo di Be è fermo e ss rbe u elettr e h’ess fermo, il neutrino emesso ha energia . Ma i nuclei di sono in moto termico casuale a causa della temperatura presente nel nucleo del Sole, e si comportano come sorgenti in moto ell’e issi e dei neutrini. Pertanto l’e ergi dei eutri i emessi fluttua, con uno scarto quadratico medio (rms) .
B4 Se = , calcola la velocità quadratica media dei nuclei di Be, e da questa ricava una stima di . (Suggerimento: dipende dal valore quadratico medio del componente della velocità lungo la direzione di osservazione). 2.0
Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics, Nuclear & Particle Physics Metodi: Photon Energy Relation, Calculus-Integration, Newton’s Law of Gravitation, Kinetic Theory of Gases, Relativistic Energy-Momentum, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Photon, Star, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)
Particles from the Sun
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Particles from the Sun (Total score: 10)
Photons originating from the surface of the Sun and neutrinos coming from its core provide us with information about solar temperatures and confirm that the Sun shines due to nuclear reactions. In this entire problem, assume g for the mass of the Sun, for its radius, W for its luminosity (ratio between emitted radiant energy and emission time), and for the Earth-Sun distance. Note that: ( ) st t ( ) st t ( ) st t
A Radiation from the Sun:
A1 Assume that the Sun emits radiation as a perfect black body. Using this, calculate the surface temperature s of the Sun. 0.3
The spectrum of solar radiation can be well approximated by the Wien distribution. According to this law, the radiant energy incident on a surface located on Earth, per unit time and per unit frequency, , is given by
e s where denotes the frequency and is the area of the surface perpendicular to the direction of incident radiation. Now consider a solar cell, consisting of a thin disk made of semiconductor material with area , oriented perpendicular to the direction of incoming rays from the Sun.
A2 Using Wien’s displacement law, express the total solar radiant power incident on the surface of the solar cell, i, as a function of , , , s, and the fundamental constants , , .
0.3
A3 Express the number of photons incident on the surface of the solar cell per unit time and per unit frequency interval, , as a function of , , , s, and the fundamental constants , , .
0.2
The semiconductor material of the solar cell has a band gap energy g. We assume the following model: each photon with energy g excites an electron, causing it to cross the band gap. Of the energy absorbed by the electron, an amount g is used for output, while the remainder is dissipated thermally (and thus not converted into useful energy).
A4 Poni g g s where g g. Express the output power used by the cell, ut, as a function of g, , , , s and the fundamental constants , , .
1.0
A5 Express the efficiency of this solar cell as a function of g.
0.2
A6 Draw a qualitative graph of the d and t of in terms of g. The values assumed for g and for g must be clearly shown. What is the slope of for g and for g?
1.0
A7 Let be the value of g for which is maximized. Derive the cubic equation that gives . Determine an approximate value of u’urtezz of . From this value, calculate .
1.0
A8 The band gap of pure silicon is g eV. Using this value, calculate the efficiency i of a solar cell made of silicon.
0.2
At the end of the nineteenth century, Kelvin and Helmholtz (KH) proposed a hypothesis to explain the Sun’s luminosity. They suggested that, starting from a large cloud of matter with mass and negligible density, the Sun had begun to contract continuously. The Sun’s luminosity would thus be due to the release of gravitational potential energy corresponding to this slow contraction.
A9 Assume that the interior of the Sun has uniform matter density. Derive the total gravitational potential energy of the Sun today, , as a function of G and .
0.3
A10 Estimate (in years) the maximum time during which the Sun could have shone, if the KH hypothesis were correct and assuming that the Sun’s luminosity remained constant throughout this period.
0.5
The time calculated above is inconsistent with the age of the solar system derived from meteorite studies. This shows that the Sun’s energy source cannot be purely gravitational.
B Neutrinos from the Sun: In 1938, Hans Bethe proposed that a nuclear fusion process—specifically the fusion of hydrogen into helium in the Sun’s core—could be the source of its energy. The overall nuclear reaction is:
The “electron neutrinos” produced in this reaction may be considered massless. They escape from the Sun, and their detection on Earth confirms the occurrence of fusion reactions in the solar interior. In this problem, the energy carried by neutrinos may be neglected.
B1 Calculate the density of the incoming neutrino flux on Earth, , in units of s⁻¹. Assume that all energy emitted by the Sun is due solely to this reaction. 0.6
During their journey from the Sun’s core to Earth, some electron neutrinos transform into other types of neutrinos. The detector efficiency for neutrinos is 1/6 that of the efficiency for neutrinos. In the absence of conversion, one would expect to detect an average of neutrinos per second; however, due to the transformation, only an average of (summed together) neutrinos per second are actually detected.
B2 In terms of and , calculate the fraction of neutrinos that convert into . 0.4
To detect neutrinos, large detectors are built filled with water. Although interactions of neutrinos with matter are very rare, occasionally they manage to eject an electron from water molecules in the detector. These energetic electrons travel through the water at high speed, emitting electromagnetic radiation in a process where they radiate. As long as the electrons’ velocity exceeds the speed of light in water (which has a refractive index ), this emission occurs, producing a characteristic conical-shaped radiation known as Cherenkov radiation.
B3 Assume that an electron, ejected by a neutrino, traversing the water loses energy at a constant rate , defined as the ratio between the energy lost and the corresponding stopping time. Assuming this electron emits Cherenkov radiation for a duration , determine the energy imparted to this electron by the neutrino (, in terms of , , n, e and . (Consider energy losses due to the interaction and the neutrino.)
2.0
The fusion of H into He in the Sun’s interior proceeds through multiple processes with various stages. In one such intermediate stage, a nucleus of He (with rest mass ) is produced. Subsequently, this nucleus may capture an electron, resulting in a Li nucleus (with rest mass < ), emitting a neutrino.
The corresponding nuclear reaction is:
If a beryllium nucleus is at rest and the electron is also at rest, the emitted neutrino has energy . However, beryllium nuclei are in random thermal motion due to the temperature present in the Sun’s core, and thus behave as moving sources of neutrinos. Therefore, the energy of emitted neutrinos fluctuates, with a root mean square (rms) deviation.
B4 If = , calculate the root mean square velocity of beryllium nuclei, and from this obtain an estimate of . (Hint: depends on the mean square value of the velocity component along the direction of observation). 2.0
Solution: Soluzioni (PDF)