Figura 5
Pag. 1 di 2 T-2 Q
Il Principio Variazionale (Punteggio Totale: 10) A Il Principio Variazionale in Meccanica Considera il piano orizzontale x-y privo di attrito della Fig. 1. È diviso in due regioni, I and II, da una linea AB di equazione . L’energia potenziale di una particella puntiforme di massa è nella regione I, mentre è nella regione II. La particella è lanciata con velocità dall’origine O, in una direzione che forma l’angolo con l’asse x. Essa raggiunge un punto P nella regione II, viaggiando in essa con una velocità secondo una direzione che forma l’angolo con l’asse x. In tutto T-2 (in tutte le parti del problema) trascura la gravità e gli effetti relativistici.
A1 Ricava un’espressione di in funzione di , e . 0.2 A2 Esprimi in funzione di , e . 0.3
Si definisce una grandezza , chiamata azione; rappresenta uno spostamento infinitesimo lungo la traiettoria per una particella di massa , in moto con velocità e l’integrale si intende esteso al cammino. Per esempio, nel caso di una particella in moto lungo un percorso circolare di raggio , con velocità di modulo costante , l’azione per un giro è . Per una particella di energia costante , si può dimostrare che, fra tutte le possibili traiettorie tra due punti dati, la traiettoria effettiva è quella in cui la grandezza definita sopra assume un valore estremo (minimo oppure massimo). Storicamente, questo caso è noto come Principio di Minima Azione (PMA).
A3 Dal PMA si deduce che la traiettoria di una particella in moto tra due punti dati in una regione con potenziale costante deve essere rettilinea. Supponiamo che i due punti fissi e della Fig. 1 abbiano rispettivamente coordinate e ; il punto di confine nel quale la particella passa dalla regione I alla regione II abbia coordinate Osserva che è fisso e che l’azione dipende soltanto dalla coordinata . Ricava l’espressione dell’azione . Usa il PMA per ricavare la relazione tra e queste coordinate. 1.0 B Il Principio Variazionale in Ottica Un raggio di luce passa da un mezzo I a un mezzo II con indici di rifrazione rispettivamente e . I due mezzi sono separati da una linea parallela all’asse x. Il raggio di luce forma un angolo con l’asse y nel mezzo I e un angolo nel mezzo II (vedi Fig. 2). Per ottenere la traiettoria del raggio, faremo uso di un altro principio variazionale (di minimo o massimo), noto come principio di Fermat del tempo minimo.
B1 Il principio stabilisce che, tra due punti dati, un raggio luminoso si muove lungo un cammino tale che il tempo impiegato tra i due punti risulti un estremo. In base al principio di Fermat, ricava la relazione tra e . 0.5
Nella Fig. 3 è disegnato schematicamente il percorso di un raggio laser che incide orizzontalmente su una soluzione di zucchero, nella quale la concentrazione dello zucchero decresce con l’altezza. Di conseguenza, anche l’indice di rifrazione della soluzione decresce con l’altezza.
B2 Supponi che l’indice di rifrazione dipenda soltanto da . Usa l’equazione ottenuta in B1 per ricavare l’espressione della pendenza del cammino del raggio in funzione dell’indice di rifrazione , corrispondente a , e di . 1.5 B3 Il fascio laser parte dall’origine in direzione orizzontale ed entra nella soluzione zuccherina a un’altezza dal fondo della vaschetta, come si vede nella figura 3. Poni , dove e sono costanti positive. Per la traiettoria effettiva del fascio laser, ricava un’espressione di in funzione di 1.2 Figura 2 Figura 1 Figura 3: Vaschetta con soluzione di zucchero
I II
Pag. 2 di 2 T-2 Q e delle grandezze associate. Puoi usare la relazione: costante, dove ⁄
oppure la relazione:
( ) B4 Ricava il valore di , il punto in cui il fascio luminoso tocca il fondo della vaschetta. Poni cm, , cm (1 cm = 10-2 m). 0.8
C Il Principio Variazionale e la Natura Ondulatoria della Materia Esploreremo ora il rapporto tra il PMA e la natura ondulatoria di una particella in moto. A questo scopo, ammettiamo che una particella che si muova a possa percorrere tutte le possibili traiettorie e cerchiamo una traiettoria che sia il risultato dall’interferenza costruttiva tra le onde di de Broglie.
C1 Posto che una particella descriva un tratto infinitesimale della sua traiettoria, esprimi la variazione della fase della sua onda di de Broglie in funzione della variazione dell’azione e della costante di Planck. 0.6 C2 Riprendi il problema della Parte A in cui la particella passa da a (vedi Fig. 4). Supponiamo di porre una separazione opaca al confine tra le due regioni. In è presente una piccola apertura , di larghezza , tale che e .
Considera due cammini estremi e , in modo che giaccia sulla traiettoria classica discussa nella parte A. Ricava la differenza di fase tra i due cammini, al primo ordine di approssimazione. 1.2 D Interferenza delle Onde Materiali Considera un cannone elettronico collocato in , che invia un fascio collimato di elettroni su una stretta fenditura ; questa è ricavata nella separazione opaca in una posizione così che risulti un percorso rettilineo. è un punto sullo schermo in (vedi Fig. 5). La velocità in I è m s e si ha . Il potenziale in II è tale che la velocità risulti m s . La distanza è di ( ). Trascura l’interazione elettrone-elettrone.
D1 Supponendo che gli elettroni in siano stati accelerati da fermi, calcola il potenziale acceleratore . 0.3 D2 Nella separazione si ricava una seconda fenditura identica a una distanza di nm ( nm m) al di sotto della fenditura (Fig. 5). Indicando con la differenza di fase tra le onde di de Broglie che arrivano nel punto P attraverso le due fenditure F e G, calcola . 0.8 D3 Qual è la minima distanza da P per la quale ci si attende di trovare un valore nullo (zero) nella rivelazione degli elettroni sullo schermo? [Nota: può risultarti utile l’approssimazione ]. 1.2 D4 Il fascio ha una sezione trasversale quadrata di e l’apparato ha una lunghezza di 2 m. Quale deve essere la minima densità di flusso Imin (numero di elettroni per unità di area normale e per unità di tempo) affinché in qualunque istante si abbia, in media, almeno un elettrone nell’apparato? 0.4
Figura 4 Figura 5
215.00 nm
250 mm
p.1 — Piano con regioni I e II, traiettoria
p.1 — Rifrazione tra mezzi n1 e n2
p.1 — Vaschetta con soluzione di zucchero
p.2 — Traiettorie A,B,C,D tra regioni
p.2 — Fronti d’onda inclinati, punti F G
Topic: Modern-Quantum Physics, Geometric Optics, Newtonian Mechanics Metodi: de Broglie Relation, Snell’s Law, Differential Equations, Conservation of Energy, Interference & Diffraction Analysis, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Slit, Screen, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)
Figure 5
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The Variational Principle (Total Score: 10) A The Variational Principle in Mechanics
Consider the frictionless horizontal x-y plane shown in Fig. 1. It is divided into two regions, I and II, by a line AB with equation . The potential energy of a point mass particle of mass is in region I, while it is in region II. The particle is launched from the origin O with velocity , at an angle with respect to the x-axis. It reaches a point P in region II, traveling through it with velocity along a direction forming an angle with the x-axis. Throughout T-2 (in all parts of the problem), neglect gravity and relativistic effects.
A1 Derive an expression for in terms of , and . 0.2
A2 Express in terms of , and . 0.3
A quantity is defined, called action; it represents an infinitesimal displacement along the trajectory for a particle of mass , moving with velocity and the integral is understood to be taken over the path. For example, in the case of a particle moving along a circular path of radius , with constant speed magnitude , the action for one complete revolution is . For a particle with constant energy, it can be shown that among all possible trajectories between two given points, the actual trajectory is the one for which the quantity defined above takes an extreme value (minimum or maximum). Historically, this case is known as the Principle of Least Action (PLA).
A3 From the Principle of Least Action (PLA), it follows that the trajectory of a particle moving between two given points in a region with constant potential must be straight. Suppose the two fixed points in Fig. 1 have coordinates respectively and ; let the boundary point at which the particle passes from region I to region II have coordinates . Note that is fixed and that the action depends only on the coordinate . Derive the expression for the action . Use the PLA to derive the relation between and these coordinates.
1.0
B The Variational Principle in Optics A light ray passes from medium I to medium II, with refractive indices respectively and . The two media are separated by a line parallel to the x-axis. The light ray forms an angle with the y-axis in medium I and an angle in medium II (see Fig. 2). To determine the ray’s trajectory, we will use another variational principle (minimum or maximum), known as Fermat’s Principle of Least Time.
B1 The principle states that, between two given points, a light ray travels along a path such that the time taken between the points is an extremum. Based on Fermat’s Principle, derive the relation between and .
0.5
In Fig. 3, a schematic representation of the path of a laser beam incident horizontally on a sugar solution is shown, in which the sugar concentration decreases with height. Consequently, the refractive index of the solution also decreases with height.
B2 Assume that the refractive index depends only on . Use the equation obtained in B1 to derive an expression for the slope of the ray path as a function of the refractive index , corresponding to , and . 1.5
B3 The laser beam starts from the origin in a horizontal direction and enters the sugar solution at a height above the bottom of the container, as shown in Figure 3. Set , where and are positive constants. For the actual trajectory of the laser beam, derive an expression for in terms of 1.2 Figure 2 Figure 1 Figure 3: Container with sugar solution
I II
Page 2 of 2 T-2 Q and the associated quantities. You may use the relation: constant, where ⁄
or alternatively the relation:
( )
B4 Derive the value of , the point at which the light beam touches the bottom of the container. Set cm, , cm (1 cm = 10⁻² m). 0.8
C The Principle of Least Action and the Wave Nature of Matter We will now explore the relationship between the PMA and the wave nature of a moving particle. To this end, assume that a particle moving at may traverse all possible trajectories and seek the trajectory resulting from constructive interference between de Broglie waves.
C1 Given that a particle traverses an infinitesimal segment of its trajectory, express the change in phase of its de Broglie wave as a function of the change in action and Planck’s constant. 0.6
C2 Return to the problem of Part A, where the particle moves from point a to point b (see Fig. 4). Suppose an opaque barrier is placed at the boundary between the two regions. In region II there is a small opening of width d, such that d ≪ λ and d ≪ L (where λ is the de Broglie wavelength and L is a characteristic length scale).
Consider two extreme paths, γ₁ and γ₂, such that γ₁ lies along the classical trajectory discussed in Part A. Derive the phase difference between these two paths, to first-order approximation. 1.2
D Interference of Matter Waves Consider an electron cannon located at point S, emitting a collimated beam of electrons toward a narrow slit F. The slit is made in the opaque barrier at such a position that it results in a straight path from S to F. Let P be a point on the screen (see Fig. 5). The electron velocity in region I is v₁ = 1.0 × 10⁶ m s⁻¹, and the de Broglie wavelength is λ₁ = 7.3 × 10⁻¹⁰ m. The potential in region II is such that the electron velocity becomes v₂ = 5.0 × 10⁵ m s⁻¹. The distance from the slit F to point P is L = 1.0 m (assume L ≫ d). Neglect electron-electron interactions.
D1 Assuming the electrons in s were accelerated from rest, calculate the accelerating potential. 0.3
D2 In the separation a second slit identical to the first is created at a distance of nm (nm m) below the first slit (Fig. 5). Denoting by the phase difference between the de Broglie waves arriving at point P through the two slits F and G, calculate . 0.8
D3 What is the minimum distance from P for which a zero (null) value in electron detection on the screen is expected? [Note: you may find it useful to use the approximation ] 1.2
D4 The beam has a square cross-section of and the apparatus has a length of 2 m. What must be the minimum flux density Imin (number of electrons per unit normal area and per unit time) such that, on average, at least one electron is present in the apparatus at any given instant? 0.4
Figure 4 Figure 5
215.00 nm
250 mm
p.1 — Plane with regions I and II, trajectory
p.1 — Refraction between media n1 and n2
p.1 — Container with sugar solution
p.2 — Trajectories A, B, C, D between regions
p.2 — Inclined wavefronts, points F and G
Solution: Soluzioni (PDF)