IPhO 2015 — Teorica — T3

1. Massa molecolare $M_w=0.270{\text{kg mol}}^{-1}$

p.2 — Fig-IV urto neutrone-moderatore nel laboratorio

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1. The molecular weight $M_w=0.270{\text{kg mol}}^{-1}$

The test chemical is a chemical compound with a molecular formula of 0.3 μm.

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2. Densità $\rho =1.060\times 10^4{\text{kg m}}^{-3}$

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2. Density $\rho =1.060\times 10^4{\text{kg m}}^{-3}$

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3. Punto di fusione $T_m=3.138\times 10^3$ K

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3. Melting point $T_m=3.138\times 10^3$ K

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4. Conduttività termica $\lambda =3.280{\text{W m}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

A1 Considera la seguente reazione di fissione di un atomo fermo di ${}^{235}$U , che assorbe un neutrone di energia cinetica trascurabile, ${}^{235}\text{U}+{}^1\text{n}\to {}^{94}\text{Zr}+{}^{140}\text{Ce}+2{}^1\text{n}+\Delta E$ Stima l’energia totale di fissione $\Delta E$ (in MeV) che viene rilasciata. Le masse nucleari sono: $m{(}^{235}\text{U})=235.044$ u; $m{(}^{94}\text{Zr})=93.9063$ u; $m{(}^{140}\text{Ce})=139.905$ u; $m{(}^1\text{n})=1.00867$ u con $1\text{u}=931.502{\text{MeV c}}^{-2}$. Trascura lo sbilanciamento di carica. 0.8 A2 Stima il numero $N$ di atomi di ${}^{235}$U per unità di volume presenti nel composto UO${}_2$. 0.5 A3 Assumi che la densità del flusso dei neutroni sia $\phi =2.000\times 10^{18}{\text{m}}^{-2}{\text{s}}^{-1}$ e sia uniforme nel combustibile. La sezione d’urto di fissione (area efficace del nucleo bersaglio) di un nucleo di ${}^{235}$U è ${\sigma }_f=5.400\times 10^{-26}{\text{m}}^2$. Se lo 80.00% dell’energia di fissione è disponibile come calore, stima il tasso $Q$ (in W m${}^{-3}$) di produzione di calore per unità di volume nell’elemento di combustibile. $1\text{MeV}=1.602\times 10^{-13}$ J. 1.2 A4 La differenza di temperatura nello stato di equilibrio tra il centro ($T_c$) e la superficie ($T_s$) dell’elemento di combustibile si può esprimere come $T_c-T_s=kF(Q,a,\lambda )$, dove $k=1/4$ è una costante adimensionale e $a$ è il raggio dell’elemento di combustibile. Ricava $F(Q,a,\lambda )$ usando l’analisi dimensionale. Ricorda che $\lambda$ è la conduttività termica del composto UO${}_2$. 0.5 Disegno schematico di un Reattore Nucleare (NR) Fig-I: Vista ingrandita di una barra di combustibile (1-elementi di combustibile) Fig-II: Vista del NR (2-Barre di combustibile) Fig-III: Vista dall’alto del NR (3-Disposizione quadrata delle barre di combustibile e 4-Percorsi tipici dei neutroni). Sono mostrati solo gli elementi significativi per il problema (p.e. non compaiono le barre di controllo e il refrigerante). Fig-I Fig-II Fig-III

A5 La temperatura desiderata del refrigerante è $5.770\times 10^2$ K. Stima il limite superiore $a_u$ del raggio $a$ dell’elemento di combustibile. 1.0

B Il Moderatore Considera l’urto elastico bidimensionale tra un neutrone di massa 1 u e un atomo moderatore di massa $A$ u. Prima della collisione gli atomi moderatori sono considerati fermi nel sistema di riferimento del laboratorio (LF). Siano ${\vec{v}}_b$ e ${\vec{v}}_a$ le velocità del neutrone nel riferimento LF, rispettivamente prima e dopo l’urto. Sia ${\vec{v}}_m$ la velocità del sistema di riferimento del centro di massa (CM) rispetto al riferimento LF e $\theta$ sia l’angolo di diffusione del neutrone nel riferimento CM. Tutte le particelle coinvolte nell’urto si muovono a velocità non relativistiche.

B1 Nella Fig-IV è mostrato schematicamente l’urto nel riferimento LF, dove ${\theta }_L$ rappresenta l’angolo di diffusione. Disegna schematicamente l’urto visto nel sistema di riferimento del CM. Segna nella figura le velocità delle particelle 1, 2 e 3 esprimendole in funzione di ${\vec{v}}_b$, ${\vec{v}}_a$ e ${\vec{v}}_m$. Indica l’angolo di diffusione $\theta$.

1.0 B2 Esprimi $v$ e $V$, i moduli delle velocità del neutrone e dell’atomo moderatore nel riferimento del CM dopo l’urto, in funzione di $A$ e . 1.0 B3 Ricava un’espressione per $G(\alpha ,\theta )=E_a/E_b$ , dove $E_b$ e $E_a$ sono le energie cinetiche del neutrone, nel riferimento del laboratorio LF, rispettivamente prima e dopo l’urto, e $\alpha \equiv [(A-1)/(A+1){]}^2$. 1.0 B4 Assumi che la precedente espressione valga per la molecola di D${}_2$O. Calcola la massima perdita frazionale possibile di energia del neutrone $f_l\equiv \frac{E_b-E_a}{E_b}$, nel caso del moderatore di D${}_2$O (20 u). 0.5

C

Il Reattore Nucleare Per far funzionare il reattore nucleare NR (in uno stato stazionario) con un dato flusso costante di neutroni $\psi$, la perdita di neutroni deve essere compensata da un eccesso di produzione dei neutroni nel reattore. Per un reattore di geometrica cilindrica il tasso di perdita è $k_1[(2.405/R{)}^2+(\pi /H{)}^2]\psi$ e il tasso di eccesso di produzione è $k_2\psi$. Le costanti $k_1$ e $k_2$ dipendono dalle proprietà del materiale del reattore NR.

C1 Considera un reattore NR con $k_1=1.021\times 10^{-2}$ m e $k_2=8.787\times 10^{-3}{\text{m}}^{-1}$. Considerando che per un dato volume il tasso di perdita deve essere reso minimo per un’efficiente utilizzazione del combustibile, ricava le dimensioni del reattore NR in condizione di stato stazionario. 1.5 C2 Le barre di combustibile sono disposte in uno schema quadrato (Fig-III) in cui le barre di combustibile più vicine distano 0.286 m. Il raggio efficace di una barra di combustibile (quello che avrebbe se fosse solida) vale $3.617\times 10^{-2}$ m. Stima il numero di barre di combustibile $F_n$ presenti nel reattore e la massa $M$ di UO${}_2$ necessaria per far funzionare il reattore NR nello stato stazionario. 1.0

Urto nel riferimento del laboratorio 1-Neutrone prima dell’urto 2-Neutrone dopo l’urto 3-Atomo moderatore prima dell’urto 4-Atomo moderatore dopo l’urto 1 3 Fig-IV 2 4

${\vec{v}}_a$

${\vec{v}}_b$ ${\theta }_L$

p.1 — Schema reattore: barra, elemento combustibile, sezione cilindrica

Topic: Nuclear & Particle Physics, Thermodynamics, Conservation of Momentum Metodi: Mass-Energy Equivalence, Dimensional Analysis, Conservation of Energy, Conservation of Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Nucleus, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

4. Thermal Conductivity $\lambda =3.280{\text{W m}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

A1 Consider the following fission reaction of a stationary atom of ${}^{235}$U, which absorbs a neutron with negligible kinetic energy: ${}^{235}\text{U}+{}^1\text{n}\to {}^{94}\text{Zr}+{}^{140}\text{Ce}+2{}^1\text{n}+\Delta E$ Estimate the total fission energy $\Delta E$ (in MeV) released. The nuclear masses are: $m{(}^{235}\text{U})=235.044$ u; $m{(}^{94}\text{Zr})=93.9063$ u; $m{(}^{140}\text{Ce})=139.905$ u; $m{(}^1\text{n})=1.00867$ u, with $1\text{u}=931.502{\text{MeV c}}^{-2}$. Neglect charge imbalance.

0.8

A2 Estimate the number $N$ of atoms of ${}^{235}$U per unit volume present in the compound UO${}_2$.

0.5

A3 Assume that the neutron flux density is $\phi =2.000\times 10^{18}{\text{m}}^{-2}{\text{s}}^{-1}$ and is uniform throughout the fuel. The fission cross-section (effective area of the target nucleus) of a ${}^{235}$U nucleus is ${\sigma }_f=5.400\times 10^{-26}{\text{m}}^2$. If 80.00% of the fission energy is available as heat, estimate the heat production rate $Q$ (in W m${}^{-3}$) per unit volume in the fuel element. $1\text{MeV}=1.602\times 10^{-13}$ J.

1.2

A4 The temperature difference in steady state between the center ($T_c$) and surface ($T_s$) of the fuel element can be expressed as $T_c-T_s=kF(Q,a,\lambda )$, where $k=1/4$ is a dimensionless constant and $a$ is the radius of the fuel element. Derive $F(Q,a,\lambda )$ using dimensional analysis. Recall that $\lambda$ is the thermal conductivity of the UO${}_2$ compound.

0.5

Schematic diagram of a Nuclear Reactor (NR) Fig-I: Enlarged view of a fuel rod (1-fuel elements) Fig-II: View of the NR (2-fuel rods) Fig-III: Top view of the NR (3-square arrangement of fuel rods and 4-typical neutron paths). Only the relevant elements for the problem are shown (e.g. control rods and coolant are not depicted). Fig-I Fig-II Fig-III

A5 The desired temperature of the coolant is $5.770\times 10^2$ K. Estimate the upper limit $a_u$ of the radius $a$ of the fuel element. 1.0

B The Moderator Consider a two-dimensional elastic collision between a neutron of mass 1 u and a moderator atom of mass $A$ u. Before the collision, the moderator atoms are assumed to be at rest in the laboratory frame (LF). Let ${\vec{v}}_b$ and ${\vec{v}}_a$ be the neutron’s velocity in the LF, respectively before and after the collision. Let ${\vec{v}}_m$ be the velocity of the center-of-mass (CM) reference frame relative to the LF, and let $\theta$ be the neutron’s scattering angle in the CM frame. All particles involved in the collision move at non-relativistic speeds.

B1 In Fig-IV, a schematic representation of the collision in the LF is shown, where ${\theta }_L$ denotes the scattering angle. Draw schematically the collision as seen in the CM reference frame. Mark on the figure the velocities of particles 1, 2, and 3, expressing them in terms of ${\vec{v}}_b$, ${\vec{v}}_a$, and ${\vec{v}}_m$. Indicate the scattering angle $\theta$.

1.0 B2 Express $v$ and $V$, the magnitudes of the velocities of the neutron and moderator atom in the center-of-mass reference frame after the collision, as functions of $A$ and .

1.0 B3 Derive an expression for $G(\alpha ,\theta )=E_a/E_b$, where $E_b$ and $E_a$ are the kinetic energies of the neutron in the laboratory frame LF, respectively before and after the collision, and $\alpha \equiv [(A-1)/(A+1){]}^2$.

1.0 B4 Assume the previous expression holds for the D${}_2$O molecule. Calculate the maximum possible fractional energy loss of the neutron $f_l\equiv \frac{E_b-E_a}{E_b}$, in the case of a D${}_2$O moderator (20 u).

0.5

C

The Nuclear Reactor To operate the nuclear reactor NR (in a steady state) with a given constant neutron flux $\psi$, neutron losses must be compensated by an excess of neutron production within the reactor. For a cylindrical-geometry reactor, the loss rate is $k_1[(2.405/R{)}^2+(\pi /H{)}^2]\psi$ and the excess production rate is $k_2\psi$. The constants $k_1$ and $k_2$ depend on the properties of the reactor material NR.

C1 Consider a NR reactor with $k_1=1.021\times 10^{-2}$ m and $k_2=8.787\times 10^{-3}{\text{m}}^{-1}$. Given that for a given volume the loss rate must be minimized for efficient fuel utilization, derive the reactor dimensions in steady-state condition. 1.5

C2 The fuel rods are arranged in a square pattern (Fig-III), with the closest distance between adjacent fuel rods being 0.286 m. The effective radius of a fuel rod (the radius it would have if solid) is $3.617\times 10^{-2}$ m. Estimate the number of fuel rods $F_n$ present in the reactor and the mass $M$ of UO${}_2$ required to operate the NR reactor in steady state. 1.0

Collision in the laboratory reference frame 1—Neutron before collision 2—Neutron after collision 3—Moderator atom before collision 4—Moderator atom after collision 1 3 Fig-IV 2 4

${\vec{v}}_a$

${\vec{v}}_b$ ${\theta }_L$

p.1 — Reactor schematic: rod, fuel element, cylindrical cross-section

Solution: Soluzioni (PDF)