OII na Teorica — TCQsmc-IPhO16 - Theory Q1

Theory Italiano (Italy) Q1-1 Due problemi di Meccanica (10 punti) Prima di iniziare questo problema, leggi le istruzioni di carattere generale fornite a parte. Parte A. Il disco nascosto (3.5 punti) Si consideri un disco solido di legno di raggio $r_1$ e spessore $h_1$. Da qualche parte al suo interno il legno è stato sostituito da un disco di metallo di raggio $r_2$ e spessore $h_2$. Il disco di metallo è posizionato in maniera tale che il suo asse di simmetria $B$ è parallelo all’asse di simmetria $S$ del disco di legno, e si trova alla stessa distanza dalle due facce del disco di legno. Sia $d$ la distanza tra $S$ $B$. La densità del legno è ${\rho }_1$, la densità del metallo è ${\rho }_2>{\rho }_1$. La massa complessiva del disco di legno e del disco di metallo al suo interno è $M$. In questo problema, il disco si trova su un piano in modo che può liberamente ruotare a destra e a sinistra. In Fig. 1 sono mostrate una vista laterale e una vista dall’alto del dispositivo. L’obiettivo di questo problema è di determinare la dimensione e la posizione del disco di metallo. Nel seguito, quando viene richiesto di esprimere il risultato in termini di quantità note, devi sempre assumere che le seguenti grandezze siano note: $r_1,h_1,{\rho }_1,{\rho }_2,M$. (1) L’obiettivo è di determinare $r_2$, $h_2$ e $d$, attraverso misure indirette. S B r1 d r2 S B r1 h1 r2 h2 a) b) Figura 1: a) vista laterale b) vista dall’alto Sia $b$ la distanza tra il centro di massa $C$ dell’intero sistema e l’asse di simmetria $S$ del disco di legno. Allo scopo di determinare questa distanza, progettiamo il seguente esperimento: si collochi il disco di legno su una base orizzontale in modo tale che si trovi in equilibrio stabile. Ora si inclini leggermente la base di un angolo $\Theta$ (vedasi Fig. 2). A causa della presenza dell’attrito statico il cilindro di legno può rotolare liberamente senza slittare. Esso rotolerà di poco verso il basso lungo il piano inclinato e poi si fermerà in una situazione di equilibrio stabile dopo essere ruotato di un angolo $\varphi$ che è possibile misurare.

Theory Italiano (Italy) Q1-2 S $\varphi$ $\Theta$ Figura 2: disco sopra al piano inclinato. A.1 Scrivere un’espressione di $b$ in funzione delle grandezze indicate in (1), dell’angolo $\varphi$ e dell’angolo di inclinazione $\Theta$ del piano inclinato. 0.8pt Da ora in avanti si può assumere che il valore di $b$ sia noto. S $\varphi$ Figura 3: Disco sospeso. Ora si vuole determinare il momento di inerzia $I_S$ del sistema rispetto all’asse di simmetria $S$. Per questo scopo il disco di legno viene sospeso al suo asse di simmetria mediante un’asta rigida. Quindi il disco viene ruotato dalla sua posizione di equilibrio di un piccolo angolo $\varphi$, e lasciato andare. Vedere la figura 3 che mostra il montaggio. Si trova che $\varphi$ descrive un moto periodico di periodo $T$.

Theory Italiano (Italy) Q1-3 A.2 Trovare l’equazione del moto dell’angolo $\varphi$. Esprimere il momento di inerzia $I_S$ del sistema rispetto all’asse di simmetria $S$ in funzione di $T$, $b$ e delle grandezze note indicate in (1). Si può assumere che ci si sposta dalla posizione di equilibrio solamente di piccole quantità cosicché $\varphi$ è sempre molto piccolo. 0.5pt Dai risultati ricavati nelle domande A.1 e A.2, si vuole determinare la geometria e la posizione del disco di metallo interno al disco di legno. A.3 Ricavare un’espressione della distanza $d$ in funzione di $b$ e delle grandezze indicate in (1). Nella tua espressione puoi anche includere le grandezze $r_2$ e $h_2$ come variabili, poiché esse saranno successivamente determinate nella domanda A.5. 0.4pt A.4 Ricavare un’espressione per il momento di inerzia $I_S$ in funzione di $b$ e delle grandezze note indicate in (1). Nella tua espressione puoi anche includere le grandezze $r_2$ e $h_2$ come variabili, poiché esse saranno successivamente determinate nella domanda A.5. 0.7pt A.5 Usando tutti i risultati precedenti, scrivere un’espressione per $h_2$ e $r_2$ in funzione di $b$, $T$ e delle grandezze note indicate in (1). Puoi esprimere $h_2$ come una funzione di $r_2$. 1.1pt Parte B. Stazione Spaziale Rotante (6.5 punti) Alice è un’astronauta che vive in una stazione spaziale. La stazione spaziale è una gigantesca ruota di raggio $R$ che gira intorno al proprio asse, generando in questo modo una gravità artificiale per gli astronauti. Gli astronauti vivono nella parte interna del cerchione della ruota. Possono essere trascurati l’attrazione gravitazionale della stazione spaziale e localmente la curvatura della pavimentazione. B.1 Con quale velocità angolare ${\omega }_{ss}$ la stazione spaziale deve ruotare in modo tale che gli astronauti percepiscano la stessa gravità $g_E$ che percepirebbero sulla superficie terrestre? 0.5pt Alice e il suo amico astronauta Bob hanno una disputa. Bob non crede che si trovino effettivamente dentro una stazione spaziale e ritiene di essere sulla Terra. Alice, usando argomenti di fisica, vuole dimostrare a Bob che si trovano dentro ad una stazione spaziale rotante. A tal fine, appende una massa $m$ ad una molla di costante elastica $k$ e la mette in oscillazione. La massa può oscillare solamente in direzione verticale e non può muoversi in direzione orizzontale. B.2 Assumendo che sulla Terra la gravità sia costante e valga $g_E$, quale sarebbe la frequenza di oscillazione ${\omega }_E$ del sistema misurata da una persona che si trova sulla Terra? 0.2pt B.3 Qual è la frequenza di oscillazione $\omega$ misurata da Alice sulla stazione spaziale? 0.6pt Alice è convinta che il suo esperimento dimostri che si trovano dentro una stazione spaziale rotante. Bob rimane scettico. Egli controbatte che se si prendesse in considerazione la variazione della gravità sulla

Theory Italiano (Italy) Q1-4 superficie terrestre si otterrebbero risultati analoghi. Nel successivo passaggio studieremo se Bob ha ragione. R ${\omega }_{ss}$ Figura 4: Stazione spaziale B.4 Ricava un’espressione per la gravità $g_E(h)$ per piccole altezze $h$ sopra la superficie terrestre e calcola la frequenza di oscillazione ${\tilde{\omega }}_E$ della massa oscillante (un’approssimazione lineare è più che sufficiente). Indica con $R_E$ il raggio della Terra. Trascura la rotazione della Terra. 0.8pt Effettivamente, per questa stazione spaziale Alice trova che il pendolo a molla oscilla con la frequenza prevista da Bob. B.5 Per quale raggio $R$ della stazione spaziale la frequenza di oscillazione $\omega$ è uguale alla frequenza di oscillazione ${\tilde{\omega }}_E$ sulla Terra? Esprimi la tua risposta in funzione di $R_E$. 0.3pt Esasperata dalla testardaggine di Bob, Alice suggerisce un ulteriore esperimento per provare il suo punto di vista. A tal fine sale sulla cima di una torre di altezza $H$ rispetto al pavimento della stazione spaziale e lascia cadere una massa. Questo esperimento può essere spiegato sia nel sistema di riferimento rotante così come in un sistema di riferimento inerziale. In un sistema di riferimento rotante in modo uniforme, gli astronauti percepiscono una forza fittizia ${\vec{F}}_C$ detta forza di Coriolis. La forza ${\vec{F}}_C$ che agisce su un oggetto di massa $m$ che si muove con velocità $\vec{v}$ in un riferimento rotante con velocità angolare costante ${\vec{\omega }}_{ss}$ è data da ${\vec{F}}_C=2m\vec{v}\times {\vec{\omega }}_{ss}.$ (2) In termini di grandezze scalari si ha $F_C=2mv{\omega }_{ss}\sin \varphi ,$ (3)

Theory Italiano (Italy) Q1-5 dove $\varphi$ è l’angolo tra la velocità e l’asse di rotazione. La forza è perpendicolare sia alla velocità $v$ che all’asse di rotazione. Il verso della forza può essere determinato con la regola della mano destra, ma in quello che segue lo puoi scegliere a tuo piacimento. B.6 Calcola la velocità orizzontale $v_x$ e lo spostamento orizzontale $d_x$ (relativo alla base della torre, in direzione perpendicolare alla torre stessa) della massa nell’istante in cui tocca la pavimentazione. Puoi assumere che l’altezza $H$ della torre sia piccola, così che l’accelerazione misurata dagli astronauti sia costante durante la caduta. Inoltre puoi assumere che sia $d_x\ll H$. 1.1pt Per ottenere un buon risultato, Alice decide di condurre questo esperimento da una torre molto più alta della precedente. Con sua sorpresa, la massa tocca la pavimentazione alla base della torre, così che $d_x=0$. B.7 Trova la minima altezza della torre per la quale accade che $d_x=0$. 1.3pt Alice è desiderosa di fare un ultimo tentativo per convincere Bob. Vuole usare il suo precedente oscillatore a molla per mostrare gli effetti della forza di Coriolis. A tal fine modifica il montaggio precedente: attacca la molla a un anello che può scivolare liberamente lungo un’asta orizzontale in direzione $x$ senza attrito. La molla oscilla in direzione $y$. L’asta è parallela alla pavimentazione e perpendicolare all’asse di rotazione della stazione spaziale. Il piano $xy$ è così perpendicolare all’asse di rotazione, con la direzione $y$ che punta diritta verso il centro di rotazione della stazione. y = 0 d Figura 5: Montaggio.

Theory Italiano (Italy) Q1-6 B.8 Alice spinge la massa a distanza $d$ verso il basso rispetto al punto di equilibrio $x=0$, $y=0$, e poi la lascia andare (vedi figura 5).

• Fornisci un’espressione algebrica per $x(t)$ e $y(t)$. Puoi assumere che la quantità ${\omega }_{ss}d$ sia piccola, e trascurare la forza di Coriolis per il moto lungo l’asse $y$.
• Disegna la traiettoria $(x(t),y(t))$, evidenziando tutte le caratteristiche importanti come per esempio l’ampiezza. 1.7pt Alice e Bob continuano a litigare.

p.1 — Disco: vista laterale e dall’alto

p.2 — Disco sopra al piano inclinato

p.2 — Disco sospeso ad asta rigida

p.4 — Stazione spaziale rotante

p.5 — Montaggio molla con anello

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Small-Angle Approximation, Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Disk, Inclined Plane, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Theory Italian (Italy) Q1-1 Two problems of mechanics (10 points) Before you start this problem, read the general instructions provided separately. Part A. The hidden disk (3.5 points) A solid disc of wood of $r_1$ radius and $h_1$ thickness shall be considered. Somewhere inside it the wood has been replaced by a metal disc of $r_2$ radius and $h_2$ thickness. The metal disc is placed in so that its axis of symmetry $B$ is parallel to the axis of symmetry $S$ of the wood disc, and is located at the same distance from the two sides of the wooden disc. The distance between $d$ and $S$ $B$ shall be $d$. The wood density is ${\rho }_1$, The metal density is ${\rho }_2>{\rho }_1$. The total mass of the wood disc and the metal disc at its The internal value is $M$. In this problem, the disk is on a plane so that it can freely rotate to the right and to the right.

• I’m on the left. In Fig. 1 side view and a view from the top of the device are shown. The objective of this problem is to determine the size and position of the metal disc. In the following, when you are asked to express the result in terms of known quantities, you must always Assume that the following quantities are known: $r_1,h_1,{\rho }_1,{\rho }_2,M$. (1) The objective is to determine $r_2$, $h_2$ and $d$, by indirect measurements. S B r1 d r2 S B r1 h1 r2 h2 a) b) Figure 1: (a) side view (b) view from above The distance between the centre of mass of the entire system $C$ and the axis of symmetry of the wood disc $S$ shall be $b$. I ‘m going to So to determine this distance, we’re going to do the following experiment: on a horizontal basis so that it is in stable equilibrium. Now, tilt the base slightly. di un angolo $\Theta$ (vedasi Fig. 2). Due to the presence of static friction the wooden cylinder can roll free without slipping. It will roll slightly down along the slope and then stop in a stable equilibrium situation after rotation at an angle $\varphi$ that can be measured.

Theory Italian (Italy) Q1-2 S $\varphi$ $\Theta$ Figure 2: Disc above the sloping floor. A.1 Write an expression of $b$ according to the quantities indicated in (1), The angle $\varphi$ and the angle of inclination $\Theta$ of the inclined plane. 0.8pt From now on it can be assumed that the value of $b$ is known. S $\varphi$ Figure 3: Disco suspended. Now we want to determine the moment of inertia $I_S$ of the system with respect to the axis of symmetry $S$. That’s why The wood disc shall be suspended to its axis of symmetry by means of a rigid axis. So the record is rotated from its equilibrium position at a small angle $\varphi$, and is released. See the figure 3 showing the assembly. It is found that $\varphi$ describes a periodic motion of $T$ period.

Theory Italian (Italy) Q1-3 A.2 Find the equation of the angle of motion $\varphi$. Esprimere il momento di inerzia $I_S$ The system with respect to the symmetry axis $S$ in terms of $T$, $b$ and the quantities notes referred to in (1). You can assume that you’re moving from the equilibrium position only in small quantities so that $\varphi$ is always very small. 0.5pt The results of questions A.1 and A.2 shall be used to determine the geometry and position of the disc. of metal inside the wood disc. A.3 Find an expression of the distance $d$ in terms of $b$ and the quantities indicated in (1). You can also include the values $r_2$ and $h_2$ as variables in your expression, as they will be determined later in the query A.5. 0.4pt A.4 Find an expression for the moment of inertia $I_S$ in terms of $b$ and the known quantities indicated in (1). You can also include the values $r_2$ and $h_2$ as variables in your expression, as they will be later determined in application A.5. 0.7pt A.5 Using all the above results, write an expression for $h_2$ and $r_2$ in relation to $b$, $T$ and the known quantities indicated in (1). You can express $h_2$ as a funzione di $r_2$. 1.1pt Part B. Rotating Space Station (6.5 points) Alice is an astronaut who lives on a space station. La stazione spaziale è una gigantesca ruota di raggio $R$ che gira intorno al proprio asse, generando in questo modo una gravità artificiale per gli astronauti. Astronauts live in the inner circle of the wheel. Attraction can be overlooked The gravitational pull of the space station and the curvature of the floor. B.1 At what angular speed ${\omega }_{ss}$ the space station must rotate in such a way that che gli astronauti percepiscano la stessa gravità $g_E$ che percepirebbero sulla the surface of the earth? 0.5pt Alice and her astronaut friend Bob have a fight. Bob doesn ‘t think they actually exist . He’s on a space station and thinks he’s on Earth. Alice, using physics arguments, wants to prove to Bob that they’re inside a rotating space station. To this end, it applies a mass $m$ to a spring of constant elasticity $k$ and place it in oscillation. The mass can only oscillate in the direction vertical and cannot move in a horizontal direction. B.2 Assuming that gravity on Earth is constant and is $g_E$, what would be the The system oscillation frequency ${\omega }_E$ measured by a person located on earth? 0.2pt B.3 Qual è la frequenza di oscillazione $\omega$ misurata da Alice sulla stazione spaziale? 0.6pt Alice is convinced that her experiment shows that they are inside a rotating space station. Bob , what ‘s up ? He’s still skeptical. He contended that if the change in gravity on the

Theory Italian (Italy) Q1-4 The results of the study are similar to those of the previous study. In the next step we’ll look at whether Bob has I’m right. R ${\omega }_{ss}$ Figure 4: Space station B.4 It takes an expression for the gravity $g_E(h)$ for small heights $h$ above the earth’s surface and calculates the oscillation frequency ${\tilde{\omega }}_E$ della massa oscillante (a linear approximation is more than sufficient). Indicate with $R_E$ the radius of the The earth. It traces the rotation of the Earth. 0.8pt Actually, for this space station Alice finds that the spring pendulum oscillates with frequency I’m sure Bob did. B.5 For which radius $R$ of the space station the oscillation frequency $\omega$ is equal at the oscillation frequency ${\tilde{\omega }}_E$ sulla Terra? Express your answer in function di $R_E$. 0.3pt Exasperated by Bob’s stubbornness, Alice suggests another experiment to test her point. I’m not going to be able to see. To this end, he climbs to the top of a tower $H$ above the space station floor and He dropped a mass. This experiment can be explained in both the rotating reference system as well as in an inertial reference system. In a uniformly rotating reference system, astronauts perceive a fictitious force ${\vec{F}}_C$ The force of Coriolis. The Force ${\vec{F}}_C$ acting on an object of mass $m$ moving at $\vec{v}$ speed in a Rotating reference with constant angular velocity ${\vec{\omega }}_{ss}$ is given by ${\vec{F}}_C=2m\vec{v}\times {\vec{\omega }}_{ss}.$ (2) In terms of scalar magnitudes, $F_C=2mv{\omega }_{ss}\sin \varphi ,$ (3)

Theory Italian (Italy) Q1-5 where $\varphi$ is the angle between the speed and the axis of rotation. The force is perpendicular to both the $v$ speed and the the axis of rotation. The direction of force can be determined by the right hand rule, but in You can choose what you want. B.6 Calculate the horizontal speed $v_x$ and the horizontal displacement $d_x$ (relative to the base of the tower, perpendicular to the tower itself) of the mass The moment it touches the floor. You can assume that the height $H$ of the The tower is small, so the acceleration measured by the astronauts is constant. during the fall. You can also assume that it’s $d_x\ll H$. 1.1pt To get a good result, Alice decided to conduct this experiment from a much larger tower higher than the previous one. To his surprise, the mass touches the floor at the base of the tower, so that $d_x=0$. B.7 Find the minimum height of the tower for which $d_x=0$ occurs. 1.3pt Alice is eager to make one last attempt to convince Bob. He wants to use his previous spring oscillator to show the effects of Coriolis’ force. To this end, amend the previous assembly: attach the spring to a ring which can slide freely along a horizontal axis in the direction $x$ without I was frightened. The spring shall oscillate in the direction $y$. The axis is parallel to the floor and perpendicular to the axis of the rotation of the space station. The plane $xy$ is perpendicular to the rotation axis, with the direction $y$ pointing straight towards the centre of rotation of the station. y = 0 d Figure 5: Assembly.

Theory Italian (Italy) Q1-6 B.8 Alice pushes the mass at a distance $d$ downwards from the equilibrium point $x=0$, $y=0$, and then let it go (see Figure 5).

• Provide an algebraic expression for $x(t)$ and $y(t)$. You can assume that the The amount ${\omega }_{ss}d$ is small, and neglect the Coriolis force for long-range the $y$ axis.
• Draw the trajectory $(x(t),y(t))$, highlighting all the characteristics The number of units of measurement is the same as the number of units of measurement. 1.7pt Alice and Bob keep fighting.

p.1 Disc: side and upper view

p.2 — Disco sopra al piano inclinato

p.2 — Disco sospeso ad asta rigida

p.4 — Stazione spaziale rotante

p.5 — Montaggio molla con anello

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Small-Angle Approximation, Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Disk, Inclined Plane, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)