Brasil 2017

Questão 1 (25 pontos). Um aro de massa m e raio r pode girar sem deslizamento sobre uma superfície interna de um cilindro de raio R. Determine o período de oscilação do aro considerando um ângulo $θ_{0}$ inicial pequeno.

Topic: Rotational Dynamics, Oscillations & Waves Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wheel, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 1 (25 punti). Un aro di massa m e di raggio r può girare senza scivolare su una superficie interna di un cilindro di raggi R. Determina il periodo di oscillazione dell’arco considerando un angolo iniziale $θ_{0}$ piccolo.

Question 1 (25 points). A m-mass ring and r-ray can rotate smoothly on an internal surface of a cylinder of radius R. Determine the period of swing of the ring by considering a ângulo $θ_{0}$ inicial pequeno.

Questão 2 (25 pontos). Um hangar de avião com uma forma semicilíndrica de comprimento L e raio R é submetido a um vento perpendicular ao seu eixo, como mostrado na figura abaixo. Considerando que a velocidade do vento distante é $v_{0}$ e laminar, determinar a força exercida neste hangar se a porta localizada na entrada, ponto A da figura, é completamente aberta. Dados: Equação da superfície equipotencial de velocidade: $ϕ = - v_{0} (r + \frac{R ^{2}}{r}) cos θ$ $L = 70 m$ ; $R = 10 m$ ; $v_{0} = 72 Km/h$ ; densidade do ar $ρ = 1, 2 Kg/m^{3}$

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Physical Modeling, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 2 (25 punti). Un hangar di aereo con una forma semicilindrica di lunghezza L e raggio R è sottoposto a un vento perpendicolare al suo asse, come mostrato nella figura seguente. Considerando che la velocità del vento lontano è $v_{0}$ e laminare, determinare la forza esercitato in questo hangar se la porta all’ingresso, punto A della figura, è completamente aperta. Data: Equazione della superficie equipotenziale di velocità: $ϕ = - v_{0} (r + \frac{R ^{2}}{r}) cos θ$ $L = 70 m$ ; $R = 10 m$ ; $v_{0} = 72 Km/h$ ; densità dell’aria $ρ = 1, 2 Kg/m^{3}$

Question 2 (25 points). An aircraft hangar with a semicylindrical shape of L length and R radius is subjected to a wind perpendicular to its axis, as shown in the figure below. Whereas the distant wind speed is $v_{0}$ and laminating, determine the force Exercised in this hangar if the door at the entrance, point A of the figure, is completely open. Data: Equation of the equivalent surface of speed: $ϕ = - v_{0} (r + \frac{R ^{2}}{r}) cos θ$ $L = 70 m$ ; $R = 10 m$ ; $v_{0} = 72 Km/h$ ; densidade do ar $ρ = 1, 2 Kg/m^{3}$

Questão 3 (25 pontos). Por um solenoide de 1 m de comprimento com 2000 espiras de 10 cm de diâmetro passa uma corrente constante de 1A. A um certo instante, o solenoide se estica na direção do comprimento a uma velocidade constante de 40 cm/s. A tensão aplicada no solenoide é variada para manter a corrente constante. Pergunta se: Dado: permeabilidade do vácuo $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H/m$

a) Qual o valor do campo magnético induzido dentro do solenoide antes de estiramento? (5 pontos) b) Qual será a variação da diferença de potencial aplicada no solenoide no momento em que a solenoide atinge dobro do valor inicial? (20 pontos)

Topic: Electromagnetic Induction, Magnetism, Circuits Metodi: Ampère’s Law, Faraday’s Law of Induction, Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 3 (25 punti). Per un solenoide di 1 m di lunghezza con 2000 spirale di 10 cm di diametro passa un corrente costante di 1A. In un certo istante, il solenoide si estende in direzione della lunghezza a velocità costante di 40 cm/s. La tensione applicata al il solenoide è variato per mantenere il corrente costante. Chiedi se: Data: permeabilità del vuoto $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H/m$

a) Qual è il valore del campo magnetico indotto all’interno del solenoide prima di

Stretching? 5 punti) b) Qual è la variazione della differenza di potenziale applicata al solenoide al momento quando il solenoide raggiunge il doppio del valore iniziale? (cfr.

Question 3 (25 points). For a solenoid 1 m long with 2000 spires 10 cm in diameter It passes a constant current of 1A. At a certain moment, the solenoid extends into the direction of the length at a constant speed of 40 cm/s. The voltage applied to the Solenoid is varied to maintain the current constant. Ask if you ‘re Dado: permeabilidade do vácuo $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H/m$

(a) What is the value of the induced magnetic field inside the solenoid before

What? (five points) (b) What will be the change in the potential difference applied to the solenoid at the time where the solenoid reaches twice the initial value? (A) the number of points

Questão 4 (25 pontos). Um peixe de comprimento L está na profundidade p em água de índice de refração n se aproximando de uma pessoa que o observa desde uma altura h e o vê sob ângulo $θ$ .

a) Onde está o peixe? Indique suas coordenadas extremas usando o esquema da Fig.1. Considere $n_{ar} = 1$ (05 pontos)

Figura 1: Esquema inicial para determinar a posição do peixe.

b) Onde está a imagem do peixe que o observador vê? (10 pontos) Dica: A Fig. 2, que mostra o traçado de raios, é de um caso paraxial e apenas introdutória ao problema. Não pode fazer aproximações paraxiais: utilize como base a Fig.3. Chame de a ao diâmetro de abertura do olho.

Figura 2: Imagem de um peixe na água para o caso paraxial. A abertura do cristalino do olho é a superfície que recebe os raios que formam a imagem. n é o índice de refração da água.

Figura 3: Esquema para determinar a posição da imagem não paraxial do peixe. c) Em qual profundidade a dispersão espectral gerada pela refração poderia cobrir a imagem do peixe? (vide Fig.4). Indique o procedimento e faça uma estimativa para um ângulo de observação de $4 5^{\circ}$ . Valores do índice de refração da água: Vermelho : 1,332 Azul : 1,340 (10 pontos).

Figura 4: O valor da refração dependendo do comprimento de onda, temos a dispersão dos raios de luz que saem do peixe, criando múltiplas imagens. O azul, por ter maior frequência, refrata sempre mais que o vermelho.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 4 (25 punti). Un pesce di lunghezza L è situato a profondità p in acqua di indice di refrazione n se avvicinandosi a una persona che lo osserva da un’altezza h e lo vede sotto un angolo $θ$ .

a) Dov’è il pesce? Indicare le sue coordinate estreme usando lo schema di Fig. 1. Considerare $n_{ar} = 1$ (05 punti)

Figura 1: Schema iniziale per determinare la posizione del pesce.

b) Dov’è l’immagine del pesce che l’osservatore vede? (cfr. Suggerimento: Fig. 2, che mostra il tracciato dei raggi, è di un caso paraxial e solo che è un’introduzione al problema. Non può fare approssimazioni paracostiche: utilizzare come base Fig. 3. Chiama a il diametro di apertura dell’occhio.

Figura 2: Immagine di un pesce in acqua per il caso paraxial. L’apertura del cristallino del L’occhio è la superficie che riceve i raggi che formano l’immagine. n è l’indice di refrazione dell’acqua.

Figura 3: Schema per determinare la posizione dell’immagine non paracciale del pesce. c) La profondità della dispersione spettrale generata dalla refrazione potrebbe coprire la immagine del pesce? (vedi Figura 4). Indicare la procedura e fare un’estimazione per un L’angolo di osservazione $4 5^{\circ}$ . Valori dell’indice di refrazione dell’acqua: rosso: 1,332 Azzurro: 1,340 (10 punti).

Figura 4: Il valore di refrazione a seconda della lunghezza d’onda, abbiamo la dispersione dei raggi di luce che uscivano dal pesce, creando molteplici immagini. Il blu, per avere più frequenza, si fretta sempre più del rosso.

Question 4 (25 points). A fish of length L is in water depth p with refractive index n approaching a person who is observing it from a height h and sees it at an angle $θ$ .

(a) Where is the fish? Indicate your extreme coordinates using the diagram in Fig.1. Consider $n_{ar} = 1$ (05 points)

Figure 1: Initial scheme to determine the position of the fish.

(b) Where is the image of the fish that the observer sees? (Figure 1) Tip: The Fig. 2, which shows the ray trajectory, is of a paraxial case and only The Commission’s proposal is a good one. You can’t make paraxis approaches: use as a base for Figure 3. Call from a to the eye opening diameter.

Figure 2: Picture of a fish in the water for the paraxial case. The opening of the lens of the The eye is the surface that receives the rays that form the image. n is the refractive index of water.

Figure 3: Scheme to determine the position of the non-paraxial image of the fish. (c) The depth to which the spectral dispersion generated by the refraction could cover the picture of the fish? (see Figure 4). Please indicate the procedure and estimate the ângulo de observação de $4 5^{\circ}$ . Water refractive index values: Red: 1,332 Blue: 1,340 (10 points).

Figure 4: The value of the refraction depending on the wavelength, we have the dispersion The rays of light that come out of the fish, creating multiple images. Blue, for having a larger frequency, it always refracts more than red.

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