IPhO 1999 — Teorica

Problema 1 Assorbimento di radiazione da parte di un gas Un recipiente cilindrico, con l’asse verticale, contiene un gas molecolare all’equilibrio termodinamico. La base superiore del cilindro si può spostare liberamente ed è fatta di una lastra di vetro; supponiamo che non vi sia perdita di gas e che l’attrito fra la lastra di vetro e il cilindro sia appena sufficiente per smorzare le oscillazioni ma non comporti perdite di energia apprezzabili nel bilancio energetico complessivo. All’inizio la temperatura del gas è uguale a quella dell’ambiente circostante. Il gas può essere considerato perfetto con buona approssimazione. Supponiamo anche che le pareti del cilindro (comprese le basi) abbiano una conduttività e capacità termiche molto basse, e quindi che gli scambi di calore fra il gas e l’ambiente siano molto lenti; nella soluzione di questo problema essi possono essere trascurati. Attraverso la lastra di vetro inviamo nel cilindro la luce emessa da un laser a potenza costante; l’aria e il vetro sono trasparenti per questa radiazione, ma essa è totalmente assorbita dal gas all’interno del recipiente. Assorbendo questa radiazione le molecole si portano in stati eccitati, da cui esse rapidamente riemettono radiazione infrarossa ritornando in cascata verso lo stato fondamentale; tuttavia questa radiazione è ulteriormente assorbita da altre molecole ed è riflessa dalle pareti del recipiente, compresa la lastra di vetro. In ultima analisi, quindi, l’energia assorbita proveniente dal laser viene trasferita in un tempo molto breve in moto termico (caos molecolare), e in seguito rimane nel gas per un tempo piuttosto lungo. Osserviamo che la lastra di vetro si alza; dopo un certo tempo di irraggiamento spegniamo il laser e misuriamo questo innalzamento. 1. Utilizzando i dati forniti in fondo e – se necessario – quelli sul foglio con le costanti fisiche, si calcoli la temperatura e la pressione del gas dopo l’irraggiamento. [2 punti] 2. Si calcoli il lavoro meccanico fatto dal gas in seguito all’assorbimento di radiazione. [1 punto] 3. Si calcoli l’energia raggiante assorbita nel corso dell’irraggiamento. [2 punti] 4. Si calcoli la potenza emessa dal laser che è assorbita dal gas, e il numero corrispondente di fotoni assorbiti (e quindi di processi elementari di assorbimento) per unità di tempo. [1.5 punti] 5. Si calcoli il rendimento del processo di conversione di energia ottica in energia potenziale meccanica della lastra di vetro. [1 punto] In seguito il cilindro è ruotato lentamente di $90^{\circ }$, portando il suo asse in direzione orizzontale. Gli scambi di calore fra gas e recipiente possono ancora essere trascurati. 6. Si dica se la pressione e/o la temperatura del gas cambiano in seguito a questa rotazione e – in caso positivo – qual è il suo/loro nuovo valore. [2.5 punti] Dati Pressione ambiente: $p_0=1013\text{kPa}$ Temperatura ambiente: $T_0=20.0{}^{\circ }\text{C}$ Diametro interno del cilindro: $2r=100\text{mm}$ Massa della lastra di vetro: $m=800\text{g}$ Quantità di gas all’interno del recipiente: $n=0.100\text{mol}$ Calore specifico molare a volume costante del gas: $c_V=20.8\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ Lunghezza d’onda di emissione del laser: $\lambda =514\text{nm}$ Tempo di irraggiamento: $\Delta t=10.0\text{s}$ Spostamento della lastra mobile in seguito all’irraggiamento: $\Delta s=30.0\text{mm}$ NAME____________________________ TEAM_____________________________ CODE______________________________ Foglio-risposte In questo problema vi si chiede di dare i vostri risultati sotto forma sia di espressioni analitiche che di risultati numerici con unità: si scriva prima la formula e poi il risultato numerico (p. es. $A=bc=1.23{\text{m}}^2$). 1. Temperatura del gas dopo l’irraggiamento $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. Pressione del gas dopo l’irraggiamento $.\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. 2. Lavoro meccanico compiuto $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$… 3. Energia ottica complessivamente assorbita dal gas $.\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ 4. Potenza ottica proveniente dal laser assorbita dal gas $.\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Frequenza di assorbimento dei fotoni (numero di fotoni assorbiti per unità di tempo) $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots .\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. 5. Rendimento nella conversione di energiia ottica in variazione dell’energia potenziale meccanica della lastra di vetro $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.. 6. C’è un cambiamento di pressione in seguito alla rotazione del cilindro? SI NO Se sì, qual è il suo nuovo valore? $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. C’è un cambiamento di temperatura in seguito alla rotazione del cilindro? SI NO Se sì, qual è il suo nuovo valore? $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics, Newtonian Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Photon Energy Relation, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: Gas, Cylinder, Piston, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 1 Radiation absorption by a gas

A cylindrical container, with its axis vertical, contains a molecular gas in thermodynamic equilibrium. The upper base of the cylinder can move freely and is made of a glass plate; we assume no gas leakage occurs, and the friction between the glass plate and the cylinder is just sufficient to dampen oscillations but does not cause appreciable energy losses in the overall energy balance. Initially, the gas temperature is equal to that of the surrounding environment. The gas may be considered ideal with good approximation. We also assume that the cylinder walls (including both bases) have very low thermal conductivity and heat capacity, so that heat exchange between the gas and the environment is extremely slow; in solving this problem, such exchanges may be neglected. Through the glass plate, we send light from a laser with constant power into the cylinder; air and glass are transparent to this radiation, but it is completely absorbed by the gas inside the container. Upon absorbing this radiation, molecules are excited to higher energy states, from which they rapidly re-emit infrared radiation as they cascade back down to the ground state. However, this emitted radiation is further absorbed by other molecules and reflected off the container walls, including the glass plate. In the end, therefore, the energy absorbed from the laser is converted into thermal motion (molecular chaos) in a very short time, and subsequently remains trapped in the gas for a rather long period.

We observe that the glass plate rises; after a certain irradiation time, we turn off the laser and measure this elevation.

Using the data provided at the bottom and – if necessary – those on the sheet with physical constants, calculate the temperature and pressure of the gas after irradiation. [2 points]

Calculate the mechanical work done by the gas as a result of absorbing radiation. [1 point]

Calculate the radiant energy absorbed during irradiation. [2 points]

Calculate the power emitted by the laser that is absorbed by the gas, and the corresponding number of photons absorbed (and thus elementary absorption processes) per unit time. [1.5 points]

Calculate the efficiency of the process converting optical energy into mechanical potential energy of the glass plate. [1 point]

Subsequently, the cylinder is slowly rotated by $90^{\circ }$, bringing its axis into a horizontal direction. Heat exchange between the gas and the container can still be neglected.

State whether the pressure and/or temperature of the gas change as a result of this rotation, and if so, determine their new values. [2.5 points]

Data Ambient pressure: $p_0=1013\text{kPa}$ Ambient temperature: $T_0=20.0{}^{\circ }\text{C}$ Internal diameter of the cylinder: $2r=100\text{mm}$ Mass of the glass plate: $m=800\text{g}$ Amount of gas inside the container: $n=0.100\text{mol}$ Molar specific heat at constant volume of the gas: $c_V=20.8\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ Wavelength of laser emission: $\lambda =514\text{nm}$ Irradiation time: $\Delta t=10.0\text{s}$ Displacement of the movable plate due to irradiation: $\Delta s=30.0\text{mm}$

NAME____________________________ TEAM_____________________________ CODE______________________________ Answer Sheet

In this problem, you are asked to provide your results both in analytical expressions and numerical values with units: write the formula first, then the numerical result (e.g., $A=bc=1.23{\text{m}}^2$).

Temperature of the gas after irradiation: $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Pressure of the gas after irradiation: $.\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

Mechanical work performed: $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

Total optical energy absorbed by the gas: $.\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

Optical power emitted by the laser and absorbed by the gas: $.\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Photon absorption frequency (number of photons absorbed per unit time) $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots .\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. 5. Efficiency in the conversion of optical energy into change of mechanical potential energy of the glass plate $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. 6. Is there a pressure change due to the rotation of the cylinder? YES NO If yes, what is its new value? $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. Is there a temperature change due to the rotation of the cylinder? YES NO If yes, what is its new value? $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.

Problema 2 Campo magnetico prodotto da un filo a V Uno dei primi successi dell’interpretazione di Ampère dei fenomeni magnetici fu il calcolo del campo magnetico generato da correnti nei fili. Quest’interpretazione in certi casi era in disaccordo con precedenti ipotesi formulate originariamente da Biot e Savart. Un caso particolarmente interessante è quello di un filo sottile e molto lungo in cui circola una corrente costante $i$, fatto di due tratti rettilinei piegati a formare una “V”, con semiapertura angolare $\alpha$ (vedi figura). Secondo i calcoli di Ampère l’ampiezza $B$ del campo magnetico in un punto $P$ sull’asse della “V”, al di fuori di essa e a una distanza $d$ dal suo vertice, è proporzionale a $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$. Il lavoro di Ampère più tardi fu incorporato nella teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell, ed ora è universalmente accettato. Usando la nostra attuale conoscenza dell’elettromagnetismo, 1. Si trovi la direzione del campo $B$ in $P$. [1 punto] 2. Sapendo che il campo è proporzionale a $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ si trovi il fattore di proporzionalità $k$ in $B(P)=k\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$. [1.5 punti] 3. Si calcoli il campo $B$ in un punto $P^{\ast }$ simmetrico di $P$ rispetto al vertice, cioè lungo l’asse e alla stessa distanza $d$, ma all’interno della “V” (vedi figura). [2 punti] 1 In questo problema $\alpha$ è sempre misurato in radianti. 4. Per misurare il campo magnetico, collochiamo in $P$ un piccolo ago magnetico con momento d’inerzia $I$ e momento di dipolo magnetico $\mu$; esso oscilla attorno a un punto fisso in un piano che contiene la direzione di $B$. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni di quest’ago in funzione di $B$. [2.5 punti] Nelle stesse condizioni Biot e Savart avevano invece fatto l’ipotesi che il campo magnetico in $P$ fosse (usando la notazione moderna) $B(P)=\frac{i{\mu }_0\alpha }{{\pi }^{2}d}$, dove ${\mu }_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto. In effetti essi cercarono di decidere fra le due interpretazioni (quella di Ampère e quella di Biot e Savart) con un esperimento, misurando il periodo di oscillazione dell’ago magnetico al variare dell’apertura della “V”. Tuttavia, per alcuni valori di $\alpha$ le differenze sono troppo piccole per essere facilmente misurabili. 5. Se, per discriminare sperimentalmente fra le due previsioni per il periodo $T$ di oscillazione dell’ago magnetico in $P$, abbiamo bisogno di una differenza almeno del 10%, cioè $T_1>1.10T_2$ ($T_1$ è la previsione di Ampère e $T_2$ quella di Biot e Savart), si dica in quale intervallo, approssimativamente, dobbiamo scegliere la semiapertura $\alpha$ della “V” per poter discriminare fra le due interpretazioni. [3 punti] Suggerimento A seconda della strada che seguite nella soluzione, la seguente equazione trigonometrica potrebbe esservi utile: $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$ NAME____________________________ TEAM_____________________________ CODE______________________________ Foglio-risposte In questo problema scrivete i risultati sotto forma di espressioni analitiche, e non di risultati numerici, tranne quando ciò viene richiesto esplicitamente. 1. Usando lo schizzo seguente, si disegni la direzione e il verso del campo $B$ (la lunghezza del vettore non ha importanza). Lo schizzo è in vista prospettica spaziale. 2. Fattore di proporzionalità $k$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. 3. Intensità (valore assoluto) del campo magnetico nel punto $P^{\ast }$ descritto nel testo $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Si disegni nello schizzo precedente la direzione di $B$. 4. Periodo delle piccole oscillazioni dell’ago magnetico $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ 5. Si scriva in quale intervallo di valori di $\alpha$ (indicando qui i valori numerici degli estremi dell’intervallo) il rapporto fra i periodi di oscillazione, secondo le previsioni di Ampère e di Biot e Savart, è maggiore di 1.10: $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.

p.5 — Filo a V con punto P, distanza d, angolo alfa

p.6 — Filo a V con punti P e P asterisco

p.7 — Vista prospettica spaziale del filo a V

Topic: Magnetism, Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Biot-Savart Law, Ampère’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem 2 Magnetic field produced by a V-shaped wire

One of the early successes of Ampère’s interpretation of magnetic phenomena was the calculation of the magnetic field generated by currents in wires. This interpretation sometimes disagreed with earlier hypotheses originally formulated by Biot and Savart.

A particularly interesting case is that of a thin, very long wire carrying a constant current $i$, made of two straight segments bent to form a “V” shape, with angular semi-opening $\alpha$ (see figure). According to Ampère’s calculations, the magnitude $B$ of the magnetic field at a point $P$ located on the axis of the “V”, outside it, and at a distance $d$ from its vertex, is proportional to $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$.

Ampère’s work was later incorporated into Maxwell’s theory of electromagnetism, and is now universally accepted.

Using our current knowledge of electromagnetism,

Determine the direction of the magnetic field $B$ at point $P$. [1 point]

Knowing that the field is proportional to $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$, determine the proportionality factor $k$ in $B(P)=k\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$. [1.5 points]

Calculate the magnetic field $B$ at a point $P^{\ast }$ symmetric to $P$ with respect to the vertex, that is, along the axis and at the same distance $d$, but inside the “V” (see figure). [2 points]

1 In this problem $\alpha$ is always measured in radians. To measure the magnetic field, we place a small magnetic needle with moment of inertia $I$ and magnetic dipole moment $\mu$ at $P$; it oscillates about a fixed point in a plane containing the direction of $B$. Calculate the period of small oscillations of this needle as a function of $B$. [2.5 points]

Under the same conditions, Biot and Savart instead assumed that the magnetic field at $P$ was (using modern notation) $B(P)=\frac{i{\mu }_0\alpha }{{\pi }^{2}d}$, where ${\mu }_0$ is the magnetic permeability of vacuum.

Indeed, they attempted to decide between the two interpretations (Ampère’s and Biot–Savart’s) through an experiment, measuring the oscillation period of the magnetic needle as a function of the opening angle of the “V”. However, for some values of $\alpha$, the differences are too small to be easily measurable.

If, in order to experimentally discriminate between the two predictions for the oscillation period $T$ of the magnetic needle at $P$, we require a difference of at least 10%, i.e., $T_1>1.10T_2$ (where $T_1$ is Ampère’s prediction and $T_2$ Biot–Savart’s), determine approximately in which interval we must choose the semi-opening angle $\alpha$ of the “V” in order to distinguish between the two interpretations. [3 points]

Hint Depending on the approach you take in solving, the following trigonometric equation might be useful: $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

NAME____________________________ TEAM_____________________________ CODE______________________________ Answer Sheet In this problem, write the results in analytical expression form, not as numerical values, unless explicitly required.

Using the following sketch, draw the direction and sense of the field $B$ (the vector length is irrelevant). The sketch is in spatial perspective view.

Proportionality factor $k$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.

Magnitude (absolute value) of the magnetic field at point $P^{\ast }$ described in the text $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$. Draw on the previous sketch the direction of $B$.

Period of small oscillations of the magnetic needle $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.

Write in which interval of values of $\alpha$ (indicating here the numerical values of the endpoints of the interval) the ratio between the oscillation periods, according to Ampère’s and Biot–Savart’s predictions, is greater than 1.10: $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.

p.5 — V-shaped wire with point P, distance d, angle alpha

p.6 — V-shaped wire with points P and P asterisk

p.7 — Spatial perspective view of the V-shaped wire

Problema 3 Una sonda spaziale verso Giove In questo problema consideriamo un metodo usato spesso per accelerare sonde spaziali nella direzione voluta. La sonda passa vicino a un pianeta e può aumentare notevolmente la propria velocità e/o variare considerevolmente la sua direzione di volo, scambiando una piccolissima quantità di energia col moto orbitale del pianeta. Studiamo qui quest’effetto per una sonda spaziale che passa vicino a Giove. Il pianeta Giove orbita intorno al Sole lungo una traiettoria ellittica, che possiamo approssimare con una circonferenza di raggio medio $R$; anzitutto, per procedere con l’analisi della situazione fisica, 1. Si trovi la velocità $V$ del pianeta nella sua orbita intorno al Sole. [1.5 punti] 2. Quando la sonda è fra il Sole e Giove (sul segmento Sole-Giove), si trovi la distanza da Giove dove l’attrazione gravitazionale del Sole è uguale a quella di Giove. [1 punto] Una sonda spaziale di massa $m=825\text{kg}$ passa vicino a Giove. Per semplicità si faccia l’ipotesi che la traiettoria della sonda spaziale sia interamente nel piano dell’orbita di Giove; in tal modo non consideriamo un caso importante, quello in cui la sonda spaziale è espulsa dal piano orbitale. Consideriamo soltanto ciò che avviene nella regione in cui l’attrazione di Giove è del tutto preponderante rispetto a tutte le altre interazioni gravitazionali. Nel sistema di riferimento del Sole la velocità iniziale è $v_0=1.00\cdot 10^4$ m/s (nel verso positivo dell’asse $y$) mentre la velocità di Giove è nel verso negativo dell’asse $x$ (vedi figura 1); per “velocità iniziale” intendiamo la velocità della sonda quando è nello spazio interplanetario, ancora distante da Giove ma già nella regione in cui l’attrazione solare è trascurabile rispetto a quella di Giove. Supponiamo che l’incontro avvenga in un tempo abbastanza breve per poter trascurare la variazione di direzione di Giove nella sua orbita intorno al Sole. Consideriamo il caso in cui la sonda passa dietro Giove, cioè l’ascissa $x$ è maggiore per la sonda che per Giove quando l’ordinata $y$ è la stessa. Figure 1 Vista nel sistema di riferimento del Sole. O indica l’orbita di Giove, S la sonda spaziale. 3. Si trovi la direzione del moto della sonda (cioè l’angolo $\phi$ fra la sua direzione e l’asse $x$) e la sua velocità $v^{\prime }$ nel sistema di riferimento di Giove, quando essa è ancora distante da Giove. [2 punti] 4. Si trovi l’energia totale $E$ della sonda spaziale nel sistema di riferimento di Giove, ponendo, come di regola, uguale a zero il valore della sua energia potenziale a distanza molto grande; nel nostro caso quand’essa si muove a velocità praticamente costante in presenza di interazioni gravitazionali molto piccole. [1 punto] La traiettoria della sonda spaziale nel sistema di riferimento di Giove è un ramo di iperbole la cui equazione in coordinate polari, in tale riferimento, è $\frac{1}{r}=\frac{GM}{v^{\prime 2}{b}^2}\left(1+\sqrt{1+\frac{2E{v}^{\prime 2}{b}^2}{G^2{M}^{2}m}}\cos \theta \right)(1)$ dove $b$ è la distanza fra uno degli asintoti e Giove (il cosidetto parametro d’impatto), $E$ è l’energia meccanica totale della sonda nel sistema di riferimento di Giove, $G$ è la costante di Cavendish, $M$ è la massa di Giove, $r$ e $\theta$ sono le coordinate polari (la distanza radiale e l’angolo polare). La figura 2 mostra i due rami dell’iperbole, uno dei quali è descritto dall’equazione (1); sono anche mostrati gli asintoti e le coordinate polari. Si noti che l’equazione (1) ha l’origine nel “fuoco attrattivo” dell’iperbole. La traiettoria della sonda spaziale è quella attrattiva (il ramo evidenziato). Figura 2. Traiettoria della sonda nel riferimento di Giove e asintoti dell’iperbole. Jupiter = Giove, Space probe = sonda spaziale. 5. Usando l’equazione (1) che descrive la traiettoria della sonda spaziale, si trovi la deviazione angolare totale $\Delta \theta$ nel sistema di riferimento di Giove (come indicato in figura 2) e la si esprima in funzione della velocità iniziale della sonda $v^{\prime }$ e del parametro d’impatto $b$. [2 punti] 6. Facendo l’ipotesi che la minima distanza a cui la sonda possa passare da Giove sia pari a tre raggi di Giove dal centro del pianeta, si trovi il valore minimo possibile del parametro d’impatto $b$ e il valore massimo possibile della deviazione angolare $\Delta \theta$. [1 punto] 7. Si trovi una formula per la velocità finale $v^{\prime \prime }$ nel sistema di riferimento del Sole, in funzione soltanto della velocità di Giove $V$, della velocità iniziale $v_0$ della sonda e dell’angolo di deviazione $\Delta \theta$. [1 punto] 8. Usando i risultati precedenti, si trovi il valore numerico della velocità finale $v^{\prime \prime }$ nel sistema di riferimento solare quando la deviazione angolare ha il valore massimo possibile. [0.5 punti] Suggerimento A seconda della strada che scegliete per la soluzione, le seguenti relazioni trigonometriche potrebbero esservi utili: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ NAME________________________________ TEAM________________________________ CODE________________________________ Foglio-risposte In questo problema dovete scrivere i vostri risultati sia come espressioni analitiche che come risultati numerici con unità (ad esempio $A=bc=1.23{\text{m}}^2$), tranne che dove è richiesto esplicitamente di far diversamente.

1. Velocità $V$ di Giove lungo la sua orbita $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
2. Distanza da Giove in cui le due attrazioni gravitazionali si eguagliano. $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.
3. Velocità iniziale $v^{\prime }$ della sonda spaziale nel sistema di riferimento di Giove $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$… e angolo che la sua direzione forma con l’asse $x$ come definito in figura 1, $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..\dots \dots \dots$
4. Energia totale $E$ della sonda spaziale nel sistema di riferimento di Giove $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$…
5. Si scriva una formula che dia la deviazione angolare della sonda nel sistema di riferimento di Giove in funzione del parametro d’impatto $b$, della velocità iniziale $v^{\prime }$ e di altre quantità note o già calcolate $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
6. Se la distanza della sonda dal centro di Giove non può essere minore di tre volte il raggio di Giove, si dia il valore minimo di $b$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ e il valore massimo di $\Delta \theta$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
7. Si scriva una formula che dia la velocità finale $v^{\prime \prime }$ della sonda nel sistema di riferimento del Sole in funzione di $V$, $v_0$ e $\Delta \theta$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ...\dots \dots \dots$
8. Valore numerico della velocità finale nel sistema di riferimento solare quando la deviazione angolare ha il valore massimo calcolato al punto 6. $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Costanti fisiche e dati generali Oltre ai dati numerici forniti col testo dei singoli problemi, può essere utile la conoscenza di alcuni dati generali e costanti universali, che potete trovare fra quanto segue. Questi dati sono pressoché i più accurati attualmente disponibili, e quindi hanno un alto numero di cifre significative; tuttavia ci si attende che voi scriviate i vostri risultati con un numero di cifre appropriato per ciascun problema. Velocità della luce nel vuoto: $c=299792458\text{m}{\text{s}}^{-1}$ Permeabilità magnetica del vuoto: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\text{H}{\text{m}}^{-1}$ Costante dielettrica del vuoto: ${\epsilon }_0=8.8541878\text{pF}{\text{m}}^{-1}$ Costante di Cavendish: $G=6.67259\cdot 10^{-11}{\text{m}}^3/(\text{kg}\cdot {\text{s}}^2)$ Costante dei gas: $R=8.314510\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ Costante di Boltzmann: $k=1.380658\cdot 10^{-23}\text{J}{\text{K}}^{-1}$ Costante di Stefan: $\sigma =56.703{\text{nW/(m}}^2{\text{K}}^4)$ Carica elementare: $e=1.60217733\cdot 10^{-19}\text{C}$ Massa dell’elettrone: $m_e=9.1093897\cdot 10^{-31}\text{kg}$ Costante di Planck: $h=6.6260755\cdot 10^{-34}\text{J}\text{s}$ Base della scala Celsius: $T_K=273.15\text{K}$ Massa del Sole: $M_S=1.991\cdot 10^{30}\text{kg}$ Massa della Terra: $M_E=5.979\cdot 10^{24}\text{kg}$ Raggio medio della Terra: $r_E=6.373\text{Mm}$ Semiasse maggiore dell’orbita terrestre: $R_E=1.4957\cdot 10^{11}\text{m}$ Giorno sidereo: $d_S=86.16406\text{ks}$ Anno: $y=31.558150\text{Ms}$ Valore standard del campo gravitazionale terrestre al livello del mare: $g=9.80665\text{m}{\text{s}}^{-2}$ Valore standard della pressione atmosferica al livello del mare: $p_0=101325\text{Pa}$ Indice di rifrazione dell’aria per luce visibile, a pressione standard e a $15{}^{\circ }\text{C}$: $n_{\text{air}}=1.000277$ Costante solare: $S=1355\text{W}{\text{m}}^{-2}$ Massa di Giove: $M=1.901\cdot 10^{27}\text{kg}$

p.9 — Figura 1: orbita ellittica nel sistema del Sole

p.10 — Figura 2: traiettoria iperbolica vicino a Giove

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problem 3 A spacecraft journeying toward Jupiter

In this problem we consider a method frequently used to accelerate space probes in the desired direction. The spacecraft passes near a planet and can significantly increase its own speed and/or substantially change its flight direction, by exchanging a very small amount of energy with the planet’s orbital motion. Here we examine this effect for a spacecraft passing near Jupiter.

The planet Jupiter orbits the Sun along an elliptical trajectory, which we may approximate as a circle of mean radius $R$; first, to proceed with the analysis of the physical situation,

Find the velocity $V$ of the planet in its orbit around the Sun. [1.5 points]

When the spacecraft is located between the Sun and Jupiter (on the segment Sun-Jupiter), find the distance from Jupiter where the gravitational attraction of the Sun equals that of Jupiter. [1 point]

A spacecraft of mass $m=825\text{kg}$ passes near Jupiter. For simplicity, assume that the trajectory of the spacecraft lies entirely within the plane of Jupiter’s orbit; thus we do not consider an important case, namely that in which the spacecraft is ejected out of the orbital plane.

We consider only what happens in the region where Jupiter’s gravitational attraction completely dominates all other gravitational interactions. In the Sun’s reference frame, the initial velocity is $v_0=1.00\cdot 10^4$ m/s (in the positive direction of axis $y$), while Jupiter’s velocity is in the negative direction of axis $x$ (see Figure 1). By “initial velocity” we mean the velocity of the spacecraft when it is in interplanetary space, still far from Jupiter but already in the region where solar gravitational attraction becomes negligible compared to that of Jupiter. We assume the encounter occurs over a sufficiently short time interval so that Jupiter’s orbital direction change can be neglected. We consider the case in which the spacecraft passes behind Jupiter, meaning that coordinate $x$ is larger for the spacecraft than for Jupiter when their coordinate $y$ is equal.

Figure 1: View in the Sun’s reference frame. O denotes Jupiter’s orbit, S the spacecraft.

3. Determine the direction of motion of the spacecraft (i.e., angle $\phi$ between its velocity vector and axis $x$) and its speed $v^{\prime }$ in Jupiter’s reference frame, when it is still far from Jupiter. [2 points]

4. Determine the total energy $E$ of the spacecraft in Jupiter’s reference frame, setting (as usual) the potential energy to zero at very large distances; in our case, when it moves at nearly constant velocity under the influence of negligible gravitational interactions. [1 point] The trajectory of the space probe in Jupiter’s reference frame is a branch of a hyperbola whose equation in polar coordinates, within this reference frame, is $\frac{1}{r}=\frac{GM}{v^{\prime 2}{b}^2}\left(1+\sqrt{1+\frac{2E{v}^{\prime 2}{b}^2}{G^2{M}^{2}m}}\cos \theta \right)(1)$ where $b$ is the distance between one of the asymptotes and Jupiter (the so-called impact parameter), $E$ is the total mechanical energy of the probe in Jupiter’s reference frame, $G$ is the gravitational constant (Cavendish constant), $M$ is Jupiter’s mass, and $r$ and $\theta$ are the polar coordinates (radial distance and polar angle).

Figure 2 shows the two branches of the hyperbola, one of which is described by equation (1); the asymptotes and polar coordinates are also indicated. Note that equation (1) has its origin at the “attractive focus” of the hyperbola. The trajectory of the space probe is the attractive branch (the highlighted one).

Figure 2. Trajectory of the probe in Jupiter’s reference frame and asymptotes of the hyperbola. Jupiter = Giove, Space probe = sonda spaziale.

Using equation (1), which describes the trajectory of the space probe, find the total angular deflection $\Delta \theta$ in Jupiter’s reference frame (as indicated in Figure 2), and express it as a function of the probe’s initial velocity $v^{\prime }$ and impact parameter $b$. [2 points]

Assuming that the minimum distance at which the probe can pass by Jupiter is three times Jupiter’s radius from the planet’s center, determine the minimum possible value of the impact parameter $b$ and the maximum possible value of the angular deflection $\Delta \theta$. [1 point]

Find a formula for the final velocity $v^{\prime \prime }$ in the Sun’s reference frame, as a function solely of Jupiter’s velocity $V$, the probe’s initial velocity $v_0$, and the deflection angle $\Delta \theta$. [1 point] 8. Using the previous results, find the numerical value of the final velocity $v^{\prime \prime }$ in the solar reference frame when the angular deflection has the maximum possible value. [0.5 points] Hint Depending on the path you choose for the solution, the following trigonometric relations may be useful to you: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ NAME________________________________ TEAM________________________________ CODE________________________________ Answer sheet In this problem you must write your results both as analytical expressions and as numerical results with units (for example $A=bc=1.23{\text{m}}^2$), except where it is explicitly required to do otherwise.

1. Velocity $V$ of Jupiter along its orbit $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
2. Distance from Jupiter at which the two gravitational attractions become equal. $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$.
3. Initial velocity $v^{\prime }$ of the space probe in the reference frame of Jupiter $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$… and the angle that its direction forms with the axis $x$ as defined in figure 1, $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..\dots \dots \dots$
4. Total energy $E$ of the space probe in the reference frame of Jupiter $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$…
5. Write a formula that gives the angular deflection of the probe in the reference frame of Jupiter as a function of the impact parameter $b$, of the initial velocity $v^{\prime }$ and of other known or already calculated quantities $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
6. If the distance of the probe from the center of Jupiter cannot be less than three times the radius of Jupiter, give the minimum value of $b$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ and the maximum value of $\Delta \theta$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
7. Write a formula that gives the final velocity $v^{\prime \prime }$ of the probe in the reference frame of the Sun as a function of $V$, $v_0$ and $\Delta \theta$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ...\dots \dots \dots$
8. Numerical value of the final velocity in the solar reference frame when the angular deviation has the maximum value calculated in point 6. $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Physical constants and general data In addition to the numerical data provided with the text of the individual problems, knowledge of some general data and universal constants may be useful, which you can find among the following. These data are nearly the most accurate currently available, and therefore have a high number of significant digits; however, you are expected to write your results with a number of digits appropriate for each problem. Speed of light in vacuum: $c=299792458\text{m}{\text{s}}^{-1}$ Magnetic permeability of vacuum: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\text{H}{\text{m}}^{-1}$ Dielectric constant of vacuum: ${\epsilon }_0=8.8541878\text{pF}{\text{m}}^{-1}$ Cavendish constant: $G=6.67259\cdot 10^{-11}{\text{m}}^3/(\text{kg}\cdot {\text{s}}^2)$ Gas constant: $R=8.314510\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ Boltzmann constant: $k=1.380658\cdot 10^{-23}\text{J}{\text{K}}^{-1}$ Stefan constant: $\sigma =56.703{\text{nW/(m}}^2{\text{K}}^4)$ Elementary charge: $e=1.60217733\cdot 10^{-19}\text{C}$ Electron mass: $m_e=9.1093897\cdot 10^{-31}\text{kg}$ Planck constant: $h=6.6260755\cdot 10^{-34}\text{J}\text{s}$ Base of the Celsius scale: $T_K=273.15\text{K}$ Mass of the Sun: $M_S=1.991\cdot 10^{30}\text{kg}$ Mass of the Earth: $M_E=5.979\cdot 10^{24}\text{kg}$ Mean radius of the Earth: $r_E=6.373\text{Mm}$ Semi-major axis of Earth’s orbit: $R_E=1.4957\cdot 10^{11}\text{m}$ Sidereal day: $d_S=86.16406\text{ks}$ Year: $y=31.558150\text{Ms}$ Standard value of Earth’s gravitational field at sea level: $g=9.80665\text{m}{\text{s}}^{-2}$ Standard value of atmospheric pressure at sea level: $p_0=101325\text{Pa}$ Refractive index of air for visible light, at standard pressure and at $15{}^{\circ }\text{C}$: $n_{\text{air}}=1.000277$ Solar constant: $S=1355\text{W}{\text{m}}^{-2}$ Mass of Jupiter: $M=1.901\cdot 10^{27}\text{kg}$

p.9 — Figure 1: elliptical orbit in the Sun’s frame

p.10 — Figure 2: hyperbolic trajectory near Jupiter