OII na Sperimentale

Problema Teorico 1

A

Un “bungee jumper” è una persona che esegue dei salti acrobatici: per questo viene legato all’estremo di una lunga corda elastica, mentre l’altro estremo della corda è fissato ad un ponte a grande altezza. Il saltatore si lascia cadere dal ponte e precipita da fermo verso il basso; la sua massa è $m$, la lunghezza della corda a riposo è $L$, la costante elastica della corda è $k$ ($k$ rappresenta la forza che fa allungare la corda di 1 m), l’accelerazione di gravità è $g$. Si può assumere che:

• Il saltatore può essere considerato come una massa $m$ puntiforme attaccata all’estremo della corda,

• la massa della corda è trascurabile rispetto ad $m$,

• la corda si allunga secondo la legge di Hooke,

• durante la caduta del saltatore la resistenza dell’aria può essere trascurata.

Trova un’espressione per le seguenti grandezze e riportala sul foglio risposte: a) la distanza $y$ percorsa dal saltatore prima di fermarsi, la prima volta, per un istante; b) la velocità massima $v$ raggiunta durante questa fase della caduta; c) la durata $t$ di questa fase della caduta (prima di fermarsi la prima volta).

B

Una macchina termica lavora scambiando calore con due oggetti A e B a temperature diverse, $T_A$ e $T_B$ ($T_A>T_B$); ciascuno dei due oggetti ha massa $m$ e calore specifico $c$. I due oggetti sono mantenuti a pressione costante e non subiscono transizioni di fase.

(a) Mostrando tutti i passaggi ricava un’espressione per la temperatura finale $T_0$ raggiunta dai corpi A e B supponendo che la macchina estragga dal sistema la massima quantità di energia meccanica consentita teoricamente. Scrivi l’espressione della temperatura $T_0$ determinata, sul foglio risposte.

(b) Ricava quindi un’espressione per la massima quantità di energia meccanica disponibile e trascrivila sul foglio risposte. La macchina termica lavora tra due serbatoi d’acqua il cui volume è $2.50{\text{m}}^3$. Un serbatorio è a 350 K, l’altro a 300 K.

(c) Calcola la massima quantità di energia meccanica che si può ottenere e trascrivi il valore trovato sul foglio risposte.

Calore specifico dell’acqua $=4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Densità dell’acqua $=1.00\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$

C

Si assuma che nel periodo in cui si è formata la Terra fossero presenti gli isotopi ${}^{238}\text{U}$ e ${}^{235}\text{U}$, ma non i loro prodotti di decadimento. È possibile utilizzare il decadimento di ${}^{238}\text{U}$ e ${}^{235}\text{U}$ per determinare l’età della Terra $T$.

(a) L’isotopo ${}^{238}\text{U}$ decade con un tempo di dimezzamento pari a $4.50\times 10^9$ anni. I prodotti del decadimento della serie radioattiva risultante hanno un tempo di dimezzamento più corto rispetto agli altri e, in prima approssimazione la loro presenza si può trascurare. La serie dei decadimenti termina con l’isotopo stabile ${}^{206}\text{Pb}$.

Sia ${}^{206}n$ il numero di atomi di ${}^{206}\text{Pb}$ prodotti all’istante $t$ ed ${}^{238}N$ il numero di atomi di ${}^{238}\text{U}$ presenti all’istante $t$, esprimi ${}^{206}n$ in funzione del tempo, del numero di atomi presenti di ${}^{238}\text{U}$, ${}^{238}N$, e del tempo di dimezzamento di ${}^{238}\text{U}$. (Può essere utile esprime tutto in unità di $10^9$ anni.) Riporta la formula trovata nel foglio risposte.

(b) Analogamente, si ha che ${}^{235}\text{U}$ decade con tempo di dimezzamento di $0.710\times 10^9$ anni nell’isotopo stabile ${}^{207}\text{Pb}$. I prodotti della serie del decadimento hanno un tempo di dimezzamento corto e perciò trascurabile. Ricava, come prima, un’espressione di ${}^{207}n$ in funzione di $t$, ${}^{207}\text{Pb}$ ed il tempo di dimezzamento di ${}^{235}\text{U}$. Trascrivi la formula trovata nel foglio risposte.

(c) Un minerale, contenente uranio e piombo, viene analizzato con lo spettrometro di massa. Si misura la concentrazione relativa degli isotopi di ${}^{204}\text{Pb}$, ${}^{206}\text{Pb}$ e ${}^{207}\text{Pb}$ e si trova che il numero di atomi degli isotopi sta, rispettivamente, nei rapporti di 1,00:29,6; 22,6. L’isotopo ${}^{204}\text{Pb}$ che non è radioattivo viene preso come riferimento. Se, invece, viene analizzato un minerale puro di piombo, si ottengono i seguenti rapporti 1,00;17,9;15,5. Sapendo che il rapporto ${}^{238}N:{}^{235}N$ è di 137:1, trova un’equazione nell’incognita $T$, l’età della Terra.

(d) Supponendo che $T$ sia molto più grande del tempo di dimezzamento di tutti gli isotopi dell’uranio, calcola un valore approssimto dell’età della Terra $T$.

(e) Il valore approssimato calcolato al punto precedente non è più grande in maniera significativa del più lungo tempo di dimezzamento, ma può essere adoperato per ottenere un valore di $T$ molto più accurato. Da qui, o in qualche altro modo, stima un valore dell’età della Terra preciso al 2%.

D

La carica elettrica $Q$, nel vuoto, è distribuita uniformemente entro un volume sferico di raggio $R$.

(a) Trova un’espressione dell’intensità del campo elettrico in funzione della distanza $r$ dal centro della sfera, sia nel caso in cui $r\le R$ sia nel caso in cui $r>R$. Trascrivi l’espressione trovata nel foglio risposte.

(b) Trova l’energia elettrostatica totale di questa distribuzione di carica. Riporta l’espressione trovata nel foglio risposte.

E

Un sottile anello circolare di rame viene fatto ruotare attorno ad un diametro disposto verticalmente in un punto del campo magnetico terrestre. Il campo magnetico terrestre in tale punto ha intensità $44.5\mu \text{T}$ ed è diretto verso il basso con un angolo di $64^{\circ }$ con l’orizzontale.

Calcola quanto tempo occorre perché la velocità angolare dell’anello si dimezzi, sapendo che la densità del rame è $8.90\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$ e la sua resistività è $1.70\times 10^{-8}\Omega \text{m}$. Descrivi il procedimento seguito e poi indica il valore del tempo richiesto sul foglio risposte. Nota che questo tempo è molto maggiore del periodo di rotazione dell’anello. Puoi supporre che gli effetti dell’attrito dovuti ai supporti e alla presenza dell’aria siano trascurabili e, ai fini di questo problema, ignorare gli effetti dell’autoinduzione per quanto, in realtà, non siano piccoli.

Topic: Thermodynamics, Electrostatics, Electromagnetic Induction Metodi: Energy Conservation Method, Radioactive Decay Law, Gauss’s Law, Faraday’s Law of Induction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Heat Engine, Nucleus, Sphere, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1

Theoretical problem 1

A

A bungee jumper is a person who performs acrobatic jumps: for this reason The other end of the rope is connected to the end of a long elastic rope, while the other end of the rope is connected to the end of the rope. The rope is fixed to a high-altitude bridge. The jumper drops from the The length of the bridge and the slope of the bridge is $m$, the length of the bridge is $m$. The resting rope is $L$, the rope’s elastic constant is $k$ ($k$ represents the force that The acceleration of gravity is $g$. It can be assumed that:

• The jumper can be considered as a pointed mass $m$ And she is attached to the end of the rope,

• the mass of the rope is negligible compared to $m$,

• the rope lengthens according to Hooke’s law,

• during the fall of the jumper the air resistance may be neglected.

Find an expression for the following quantities and report it on the answer sheet: (a) the distance $y$ travelled by the jumper before stopping, the first Once, for a moment; (b) the maximum speed $v$ reached during this falling phase; (c) the duration $t$ of this fall phase (before the first stop) (Table number of the report)

B

A thermal machine works by exchanging heat with two objects A and B different temperatures, $T_A$ and $T_B$ ($T_A>T_B$); each of the two objects has a mass $m$ and calore specifico $c$. The two objects are kept under constant pressure and not They are undergoing phase transitions.

(a) By showing all the steps, it takes an expression for the final temperature $T_0$ achieved by bodies A and B assuming that the machine extracts from the The system is the maximum amount of mechanical energy theoretically allowed. Write the temperature $T_0$ as determined on the answer sheet.

(b) It thus yields an expression for the maximum amount of mechanical energy The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of the Treaty. The heat machine works between two water tanks whose volume is $2.50{\text{m}}^3$. One reservoir is 350 K, the other 300 K.

(c) Calculates the maximum amount of mechanical energy that can be obtained and Write down the value found on the answer sheet.

Specific heat of water $=4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Density of water $=1.00\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$

C

It is assumed that at the time of the formation of the Earth the isotopes ${}^{238}\text{U}$ and ${}^{235}\text{U}$, but not their decay products. It is possible use the decay of ${}^{238}\text{U}$ and ${}^{235}\text{U}$ to determine the age of the Earth $T$.

(a) The ${}^{238}\text{U}$ isotope decays with a half-life of $4.50\times 10^9$ years. Products of the resulting radioactive series decay They have a shorter half-life than others and, in the first The approximation of their presence can be neglected. The series of decay ends with the stable isotope ${}^{206}\text{Pb}$.

Either the ${}^{206}n$ number of atoms of ${}^{206}\text{Pb}$ produced at the present $t$ and ${}^{238}N$ the number of atoms of ${}^{206}\text{Pb}$ atoms of ${}^{238}\text{U}$ present in the $t$ adjacent, expressions ${}^{206}n$ in terms of time, number The average of the atoms present at ${}^{238}\text{U}$, ${}^{238}N$ and the half-life of ${}^{238}\text{U}$. (You can be useful is expressed in units of $10^9$ years.) Report the formula found in the reply sheet.

(b) Similarly, ${}^{235}\text{U}$ decreases with half-life of $0.710\times 10^9$ anni nell’isotopo stabile ${}^{207}\text{Pb}$. Products of the series decay have a short half-life and therefore It’s negligible. It is an expression of ${}^{207}n$ as a function of $t$, ${}^{207}\text{Pb}$ and the half-life of ${}^{235}\text{U}$. Transcribe the formula found in the answer sheet.

(c) A mineral containing uranium and lead is analysed with the mass spectrometer. The relative concentration of isotopes is measured di ${}^{204}\text{Pb}$, ${}^{206}\text{Pb}$ e ${}^{207}\text{Pb}$ e si trova che il numero di atomi degli isotopi The value of the underlying assets shall be calculated as follows: The isotope ${}^{204}\text{Pb}$ which It is not radioactive, it is taken as a reference. If, on the other hand, it comes The following results are obtained from the analysis of a pure lead mineral: 1,00;17,9;15,5. Sapendo che il rapporto ${}^{238}N:{}^{235}N$ è di 137:1, trova un’equazione nell’incognita $T$, l’età della Terra.

(d) Assuming that $T$ is much greater than the half-life of The total number of uranium isotopes is calculated as the approximate age of the Terra $T$.

(e) The approximate value calculated in the preceding paragraph shall not be greater than The Commission has not yet taken any further action. be used to obtain a much more accurate value of $T$. From here, or Somehow, it estimates an exact Earth age value of 2%.

D

The electrical charge $Q$ in the vacuum is evenly distributed within one volume The radius of the sphere $R$.

(a) Find an expression of the electric field intensity in relation to the distance $r$ from the centre of the sphere, whether in the case of $r\le R$ or in the case of $r\le R$ where $r>R$ is used. Transcribe the expression found in the reply sheet.

(b) Find the total electrostatic energy of this charge distribution. Report the expression found in the reply sheet.

E

A thin circular copper ring is rotated around a diameter It is located vertically at a point in the Earth’s magnetic field. The field The magnetic field at this point is $44.5\mu \text{T}$ and is directed towards the low with an angle of $64^{\circ }$ with the horizontal.

Calculate how long it takes for the angular velocity of the ring to halve, Knowing that copper density is $8.90\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$ and its resistivity is $1.70\times 10^{-8}\Omega \text{m}$. Describe the procedure followed and then indicate the time required for the The answer sheet. Note that this time is much longer than the period of rotation of the ring. You can assume that the effects of friction due to the presence of The problem is that the effects of the air pollution are negligible and, for the purpose of this problem, the effects of the The Commission has already decided to adopt a proposal for a directive on the protection of the environment.

Topic: Thermodynamics, Electrostatics, Electromagnetic Induction Metodi: Energy Conservation Method, Radioactive Decay Law, Gauss’s Law, Faraday’s Law of Induction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Heat Engine, Nucleus, Sphere, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1