IPhO 2000 — Teorica — Problema 1

Problema Teorico 1

A

Un “bungee jumper” è una persona che esegue dei salti acrobatici: per questo viene legato all’estremo di una lunga corda elastica, mentre l’altro estremo della corda è fissato ad un ponte a grande altezza. Il saltatore si lascia cadere dal ponte e precipita da fermo verso il basso; la sua massa è $m$, la lunghezza della corda a riposo è $L$, la costante elastica della corda è $k$ ($k$ rappresenta la forza che fa allungare la corda di 1 m), l’accelerazione di gravità è $g$. Si può assumere che:

Il saltatore può essere considerato come una massa $m$ puntiforme attaccata all’estremo della corda,

la massa della corda è trascurabile rispetto ad $m$,

la corda si allunga secondo la legge di Hooke,

durante la caduta del saltatore la resistenza dell’aria può essere trascurata. Trova un’espressione per le seguenti grandezze e riportala sul foglio risposte: a) la distanza $y$ percorsa dal saltatore prima di fermarsi, la prima volta, per un istante; b) la velocità massima $v$ raggiunta durante questa fase della caduta; c) la durata $t$ di questa fase della caduta (prima di fermarsi la prima volta).

B

Una macchina termica lavora scambiando calore con due oggetti A e B a temperature diverse, $T_A$ e $T_B$ ($T_A>T_B$); ciascuno dei due oggetti ha massa $m$ e calore specifico $c$. I due oggetti sono mantenuti a pressione costante e non subiscono transizioni di fase.

(a) Mostrando tutti i passaggi ricava un’espressione per la temperatura finale $T_0$ raggiunta dai corpi A e B supponendo che la macchina estragga dal sistema la massima quantità di energia meccanica consentita teoricamente. Scrivi l’espressione della temperatura $T_0$ determinata, sul foglio risposte.

(b) Ricava quindi un’espressione per la massima quantità di energia meccanica disponibile e trascrivila sul foglio risposte. La macchina termica lavora tra due serbatoi d’acqua il cui volume è $2.50{\text{m}}^3$. Un serbatorio è a 350 K, l’altro a 300 K.

(c) Calcola la massima quantità di energia meccanica che si può ottenere e trascrivi il valore trovato sul foglio risposte. Calore specifico dell’acqua $=4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Densità dell’acqua $=1.00\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$

C

Si assuma che nel periodo in cui si è formata la Terra fossero presenti gli isotopi ${}^{238}\text{U}$ e ${}^{235}\text{U}$, ma non i loro prodotti di decadimento. E’ possibile utilizzare il decadimento di ${}^{238}\text{U}$ e ${}^{235}\text{U}$ per determinare l’età della Terra $T$.

(a) L’isotopo ${}^{238}\text{U}$ decade con un tempo di dimezzamento pari a $4.50\times 10^9$ anni. I prodotti del decadimento della serie radioattiva risultante hanno un tempo di dimezzamento più corto rispetto agli altri e, in prima approssimazione la loro presenza si può trascurare. La serie dei decadimenti termina con l’isotopo stabile ${}^{206}\text{Pb}$. Sia ${}^{206}n$ il numero di atomi di ${}^{206}\text{Pb}$ prodotti all’istante $t$ ed ${}^{238}N$ il numero di atomi di ${}^{238}\text{U}$ presenti all’istante $t$, esprimi ${}^{206}n$ in funzione del tempo, del numero di atomi presenti di ${}^{238}\text{U}$, ${}^{238}N$, e del tempo di dimezzamento di ${}^{238}\text{U}$. (Può essere utile esprime tutto in unità di $10^9$ anni.) Riporta la formula trovata nel foglio risposte.

(b) Analogamente, si ha che ${}^{235}\text{U}$ decade con tempo di dimezzamento di $0.710\times 10^9$ anni nell’isotopo stabile ${}^{207}\text{Pb}$. I prodotti della serie del decadimento hanno un tempo di dimezzamento corto e perciò trascurabile. Ricava, come prima, un’espressione di ${}^{207}n$ in funzione di $t$, ${}^{207}\text{Pb}$ ed il tempo di dimezzamento di ${}^{235}\text{U}$. Trascrivi la formula trovata nel foglio risposte.

(c) Un minerale, contenente uranio e piombo, viene analizzato con lo spettrometro di massa. Si misura la concentrazione relativa degli isotopi di ${}^{204}\text{Pb}$, ${}^{206}\text{Pb}$ e ${}^{207}\text{Pb}$ e si trova che il numero di atomi degli isotopi sta, rispettivamente, nei rapporti di 1,00:29,6; 22,6. L’isotopo ${}^{204}\text{Pb}$ che non è radioattivo viene preso come riferimento. Se, invece, viene analizzato un minerale puro di piombo, si ottengono i seguenti rapporti 1,00;17,9;15,5. Sapendo che il rapporto ${}^{238}N$ : ${}^{235}N$ è di 137:1, trova un’equazione nell’incognita $T$, l’età della Terra.

(d) Supponendo che $T$ sia molto più grande del tempo di dimezzamento di tutti gli isotopi dell’uranio, calcola un valore approssimto dell’età della Terra $T$.

(e) Il valore approssimato calcolato al punto precedente non è più grande in maniera significativa del più lungo tempo di dimezzamento, ma può essere adoperato per ottenere un valore di $T$ molto più accurato. Da qui, o in qualche altro modo, stima un valore dell’età della Terra preciso al 2%.

D

La carica elettrica $Q$, nel vuoto, è distribuita uniformemente entro un volume sferico di raggio $R$.

(a) Trova un’espressione dell’intensità del campo elettrico in funzione della distanza $r$ dal centro della sfera, sia nel caso in cui $r\le R$ sia nel caso in cui $r>R$. Trascrivi l’espressione trovata nel foglio risposte.

(b) Trova l’energia elettrostatica totale di questa distribuzione di carica. Riporta l’espressione trovata nel foglio risposte.

E

Un sottile anello circolare di rame viene fatto ruotare attorno ad un diametro disposto verticalmente in un punto del campo magnetico terrestre. Il campo magnetico terrestre in tale punto ha intensità $44.5\mu \text{T}$ ed è diretto verso il basso con un angolo di $64^{\circ }$ con l’orizzontale.

Calcola quanto tempo occorre perché la velocità angolare dell’anello si dimezzi, sapendo che la densità del rame è $8.90\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$ e la sua resistività è $1.70\times 10^{-8}\Omega$ m. Descrivi il procedimento seguito e poi indica il valore del tempo richiesto sul foglio risposte. Nota che questo tempo è molto maggiore del periodo di rotazione dell’anello. Puoi supporre che gli effetti dell’attrito dovuti ai supporti e alla presenza dell’aria siano trascurabili e, ai fini di questo problema, ignorare gli effetti dell’autoinduzione per quanto, in realtà, non siano piccoli.

Topic: Newtonian Mechanics, Thermodynamics, Electrostatics Metodi: Energy Conservation Method, Radioactive Decay Law, Gauss’s Law, Faraday’s Law of Induction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Heat Engine, Nucleus, Sphere, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1

Theoretical Problem 1

A

A “bungee jumper” is a person performing acrobatic jumps: for this purpose, they are attached to one end of a long elastic cord, while the other end is fixed to a high bridge. The jumper falls from the bridge starting from rest, descending downward; their mass is $m$, the unstretched length of the cord is $L$, the spring constant of the cord is $k$ ($k$ represents the force required to stretch the cord by 1 m), and the acceleration due to gravity is $g$.

It may be assumed that:

• The jumper can be considered as a point mass $m$ attached to the end of the cord,
• The mass of the cord is negligible compared to $m$,
• The cord stretches according to Hooke’s law,
• Air resistance during the jumper’s fall can be neglected.

Find expressions for the following quantities and write them on the answer sheet: a) the distance $y$ traveled by the jumper before stopping momentarily for the first time; b) the maximum velocity $v$ reached during this phase of the fall; c) the duration $t$ of this phase of the fall (before stopping for the first time).

B

A heat engine operates by exchanging heat with two objects A and B at different temperatures, $T_A$ and $T_B$ ($T_A>T_B$); each of the two objects has mass $m$ and specific heat capacity $c$. The two objects are maintained at constant pressure and do not undergo phase transitions.

(a) Showing all steps, derive an expression for the final temperature $T_0$ reached by bodies A and B, assuming the machine extracts from the system the maximum amount of mechanical energy theoretically allowed. Write down the expression for temperature $T_0$ determined, on the answer sheet.

(b) Then derive an expression for the maximum amount of mechanical energy available, and copy it onto the answer sheet. The heat engine operates between two water reservoirs whose volume is $2.50{\text{m}}^3$. One reservoir is at 350 K, the other at 300 K.

(c) Calculate the maximum amount of mechanical energy that can be obtained, and write down the computed value on the answer sheet. Specific heat capacity of water $=4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Density of water $=1.00\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$

C

Assume that during the period when Earth was forming, isotopes ${}^{238}\text{U}$ and ${}^{235}\text{U}$ were present, but not their decay products. Is it possible to use the decay of ${}^{238}\text{U}$ and ${}^{235}\text{U}$ to determine Earth’s age $T$?

(a) The isotope ${}^{238}\text{U}$ decays with a half-life of $4.50\times 10^9$ years. The decay products in the resulting radioactive series have shorter half-lives than the others, and to a first approximation their presence can be neglected. The decay series ends with the stable isotope ${}^{206}\text{Pb}$. Let ${}^{206}n$ be the number of atoms of ${}^{206}\text{Pb}$ produced at time $t$, and let ${}^{238}N$ be the number of atoms of ${}^{238}\text{U}$ present at time $t$. Express ${}^{206}n$ as a function of time, the number of atoms present of ${}^{238}\text{U}$ and ${}^{238}N$, and the half-life of ${}^{238}\text{U}$. (It may be helpful to express everything in units of $10^9$ years.) Write down the formula found on the answer sheet.

(b) Similarly, ${}^{235}\text{U}$ decays with a half-life of $0.710\times 10^9$ years into the stable isotope ${}^{207}\text{Pb}$. The decay products in the series have short half-lives and are therefore negligible. As before, derive an expression for ${}^{207}n$ in terms of $t$, ${}^{207}\text{Pb}$, and the half-life of ${}^{235}\text{U}$. Write down the formula found on the answer sheet.

(c) A mineral containing uranium and lead is analyzed using a mass spectrometer. The relative concentrations of the isotopes ${}^{204}\text{Pb}$, ${}^{206}\text{Pb}$, and ${}^{207}\text{Pb}$ are measured, revealing that the number of atoms of these isotopes are in the ratios 1.00 : 29.6 ; 22.6, respectively. The isotope ${}^{204}\text{Pb}$, which is not radioactive, is taken as the reference. When instead a pure lead mineral is analyzed, the following ratios are obtained: 1.00 ; 17.9 ; 15.5. Knowing that the ratio ${}^{238}N$ : ${}^{235}N$ is 137:1, find an equation in the unknown $T$, representing the age of the Earth.

(d) Assuming that $T$ is much larger than the half-life of all uranium isotopes, calculate an approximate value for the age of the Earth $T$.

(e) The approximate value calculated in the previous point is not significantly larger than the longest half-life, but it can be used to obtain a much more accurate value for $T$. From this, or by some other method, estimate a value for the age of the Earth accurate to within 2%.

D The electric charge $Q$ is uniformly distributed throughout a spherical volume of radius $R$ in vacuum.

(a) Find an expression for the magnitude of the electric field as a function of distance $r$ from the center of the sphere, in both cases: when $r\le R$ and when $r>R$. Write down the expression found in the answer sheet.

(b) Find the total electrostatic energy of this charge distribution. Write down the expression found in the answer sheet.

E

A thin circular copper ring is rotated about a vertical diameter in the Earth’s magnetic field at a certain location. The Earth’s magnetic field at this point has magnitude $44.5\mu \text{T}$ and is directed downward at an angle of $64^{\circ }$ with respect to the horizontal.

Calculate how much time is required for the angular velocity of the ring to halve, given that the density of copper is $8.90\times 10^3{\text{kg m}}^{-3}$ and its resistivity is $1.70\times 10^{-8}\Omega$ Ω·m.

Describe the procedure followed, and then indicate the value of the required time on the answer sheet. Note that this time is much longer than the rotation period of the ring.

You may assume that frictional effects from supports and air resistance are negligible, and for the purposes of this problem, ignore the effects of self-induction, although in reality these are not small.