IPhO 2014 — Teorica — Problema 1

Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014 1/1

Problema n. 1 (9 punti)

Questo problema è formato da tre parti indipendenti.

Parte A (3 punti)

Un piccolo blocco di massa $m$ è delicatamente posto sulla superficie interna di un sottile cilindro cavo di massa $M$ e raggio $R$. Inizialmente il cilindro è fermo su un piano orizzontale e il blocco è posto fermo ad un’altezza $R$ sopra il piano, come mostrato nella figura a sinistra. Trovare la forza di interazione $F$ tra il blocco e il cilindro nel momento in cui il blocco descrive il punto più basso della sua traiettoria. Si assuma che non ci sia attrito tra il blocco e la superficie interna del cilindro e che il cilindro si muova sul piano senza strisciare. L’accelerazione di gravità è $g$.

Parte B (3 punti)

Una bolla di raggio $r=5.00\text{cm}$, che contiene un gas perfetto biatomico, è formata da una pellicola di sapone di spessore $h=10.0\mu \text{m}$ ed è posta nel vuoto. La pellicola di sapone ha una tensione superficiale $\sigma =4.00\cdot 10^{-2}\text{N/m}$ e una densità $\rho =1.10{\text{g/cm}}^3$.

1. Trovare la formula per la capacità termica molare del gas nella bolla per un processo in cui il gas è riscaldato così lentamente che la bolla rimane in equilibrio meccanico e successivamente calcolarne il valore.

2. Si consideri ora che il raggio della bolla possa variare. Trovare la formula per la frequenza $\omega$ delle piccole oscillazioni del raggio e calcolarne il valore assumendo che la capacità termica della pellicola di sapone sia molto maggiore della capacità termica del gas nella bolla. Si assuma anche che l’equilibrio termico all’interno della bolla sia raggiunto molto più rapidamente della durata del periodo di oscillazione.

Suggerimento: Laplace ha dimostrato che c’è una differenza di pressione tra i due spazi separati da una superficie curva generica, la quale è causata dalla tensione superficiale che si forma sulla interfaccia che separa un liquido da un gas, ovvero $\Delta p=\frac{2\sigma }{r}$.

Parte C (3 punti)

Nel circuito mostrato nella figura a destra, inizialmente l’interruttore $S$ è aperto, il condensatore di capacità $2C$ ha una carica elettrica $q_0$ e quello di capacità $C$ è scarico, inoltre non passa corrente elettrica in nessuna delle due bobine di induttanza rispettivamente $L$ e $2L$. Il condensatore inizia ora a scaricarsi e nel momento in cui la corrente elettrica nelle bobine raggiunge il massimo valore, l’interruttore $S$ viene istantaneamente chiuso. Trovare la massima corrente $I_{\text{max}}$ che attraversa l’interruttore $S$ subito dopo.

p.1 — Blocco m dentro cilindro cavo M, R

p.1 — Circuito con condensatori 2C, C e induttori L, 2L

Topic: Newtonian Mechanics, Thermodynamics, Circuits Metodi: Conservation Laws, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Ideal Gas Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Block, Cylinder, Bubble, Gas, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Theoretical Competition. Tuesday, 15 July 2014 1/1

Problem No. 1 (9 points)

This problem consists of three independent parts.

Part A (3 points)

A small block of mass $m$ is gently placed on the inner surface of a thin hollow cylinder of mass $M$ and radius $R$. Initially, the cylinder is at rest on a horizontal plane, and the block is placed at rest at a height $R$ above the plane, as shown in the figure on the left. Find the interaction force $F$ between the block and the cylinder at the instant when the block reaches the lowest point of its trajectory. It is assumed that there is no friction between the block and the inner surface of the cylinder, and that the cylinder rolls on the plane without slipping. The acceleration due to gravity is $g$.

Part B (3 points)

A bubble of radius $r=5.00\text{cm}$, containing a perfect diatomic gas, is formed by a soap film of thickness $h=10.0\mu \text{m}$ and placed in vacuum. The soap film has surface tension $\sigma =4.00\cdot 10^{-2}\text{N/m}$ and density $\rho =1.10{\text{g/cm}}^3$.

1. Find the formula for the molar heat capacity of the gas inside the bubble for a process in which the gas is heated so slowly that the bubble remains in mechanical equilibrium, and subsequently compute its value.

2. Now consider that the bubble’s radius may vary. Derive the formula for the frequency $\omega$ of small oscillations of the radius, and compute its value under the assumption that the thermal capacity of the soap film is much greater than the thermal capacity of the gas inside the bubble. Also assume that thermal equilibrium within the bubble is established much more rapidly than the duration of the oscillation period.

Hint: Laplace showed that there is a pressure difference between two regions separated by a generic curved surface, caused by the surface tension that forms at the interface separating a liquid from a gas, namely $\Delta p=\frac{2\sigma }{r}$.

Part C (3 points)

In the circuit shown in the figure on the right, initially switch $S$ is open, capacitor with capacitance $2C$ carries electric charge $q_0$, while the capacitor with capacitance $C$ is uncharged. Moreover, no electric current flows through either of the two inductors with inductances $L$ and $2L$. The capacitor now begins to discharge, and at the instant when the current in the inductors reaches its maximum value, switch $S$ is instantaneously closed. Find the maximum current $I_{\text{max}}$ passing through switch $S$ immediately after.

p.1 — Block m inside hollow cylinder M, R

p.1 — Circuit with capacitors 2C, C and inductors L, 2L

Solution: Soluzioni (PDF)