IPhO 2010 — Teorica — Problema 1

41esima Olimpiade Internazionale della Fisica – Prova Teorica, 19 Luglio 2010 1/3

1. Carica immagine in un oggetto metallico Introduzione – Metodo delle immagini Una particella puntiforme di carica elettrica è posizionata nelle vicinanze di una superficie sferica metallica collegata elettricamente a terra e di raggio [vedi Fig. 1(a)]. Di conseguenza, sulla sfera viene indotta una distribuzione superficiale di carica. Riuscire a calcolare il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico prodotti dalla distribuzione della carica superficiale è un compito assai improbo. Tuttavia tale calcolo può essere considerevolmente semplificato utilizzando un metodo matematico chiamato metodo delle immagini. In questo metodo il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico prodotti dalla carica distribuita sulla sfera sono equivalenti a quelli prodotti da una singola carica puntiforme posta dentro la sfera (non devi dimostrare ciò). Nota: Il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico di questa carica immagine riproducono il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico solamente all’esterno della sfera (compresa la sua superficie). (a) (b)

Fig 1. (a) Una carica puntiforme è posizionata nelle vicinanze di una sfera metallica collegata elettricamente a terra. (b) Il campo elettrico della carica indotta sulla sfera è equivalente al campo elettrico dovuto a una carica immagine . Parte 1 – La carica immagine Per la simmetria del sistema la carica si trova sulla linea congiungente la carica puntiforme e il centro della sfera [vedi Fig. 1(b)]. a) Qual è il valore del potenziale elettrostatico della sfera in figura? (0.3 punti) b) Esprimi e la distanza della carica dal centro della sfera, in funzione di , e . (1.9 punti) c) Trova l’espressione dell’intensità della forza che agisce sulla carica . Si tratta di una forza repulsiva? (0.5 punti) Parte 2 – Schermaggio di un campo elettrostatico Considera una particella puntiforme di carica q posizionata a distanza d dal centro di una sfera metallica di raggio R collegata elettricamente a terra. Siamo interessati a come la presenza della sfera metallica collegata elettricamente a terra modifica il campo elettrico in un punto A posizionato sul

41esima Olimpiade Internazionale della Fisica – Prova Teorica, 19 Luglio 2010 2/3 lato opposto della sfera (vedi Fig. 2). Il punto A è sulla retta che unisce la carica q al centro della sfera; la distanza di A dalla carica puntiforme q è r. a) Trova il vettore campo elettrico totale nel punto A. (0.6 punti) b) Se la distanza r è molto maggiore di d ( ), trova l’espressione approssimata per il campo elettrico nel punto A utilizzando l’approssimazione (1+a)-2 $\approx$ 1-2a, dove . (0.6 punti) c) A che limite deve tendere d perché la sfera metallica collegata elettricamente a terra schermi completamente il campo generato dalla carica q, in modo che il campo elettrico totale in A sia esattamente nullo? (0.3 punti) Fig 2. Il campo elettrico in A è parzialmente schermato dalla sfera collegata elettricamente a terra. Parte 3 – Piccole oscillazioni nel campo elettrico generato dalla sfera metallica Una particella puntiforme di carica q e massa m è legata a un filo di lunghezza L che ha l’altra estremità fissata a un muro nelle vicinanze della sfera metallica collegata elettricamente a terra. Nelle tue considerazioni, ignora tutti gli effetti elettrostatici prodotti dal muro. La particella puntiforme si comporta come un pendolo matematico (vedi Fig. 3). Il punto al quale il filo è fissato al muro si trova a distanza dal centro della sfera. Trascura gli effetti della gravità. a) Trova il modulo della forza elettrica che agisce sulla carica puntiforme q per un certo angolo e indicane chiaramente la direzione in un disegno (0.8 punti) b) Per questa forza, esprimi la componente perpendicolare al filo in funzione di , L, R, q e . (0.8 punti) c) Trova la frequenza delle piccole oscillazioni del pendolo. (1.0 punti) Fig 3. Una carica puntiforme nelle vicinanze di una sfera metallica collegata a terra oscilla come un pendolo.

41esima Olimpiade Internazionale della Fisica – Prova Teorica, 19 Luglio 2010 3/3 Parte 4 – L’energia elettrostatica del sistema Data una distribuzione di cariche elettriche, è importante calcolare l’energia elettrostatica del sistema. Nel nostro problema (vedi Fig. 1a), c’è interazione elettrostatica tra la carica q esterna alla sfera e le cariche indotte sulla superficie della sfera ed è presente un’interazione elettrostatica anche tra le cariche indotte sulla sfera. In funzione della carica q, del raggio R della sfera e della distanza d determina le seguenti energie elettrostatiche: a) l’energia elettrostatica dovuta all’interazione tra la carica q e le cariche indotte sulla sfera; (1.0 punti) b) l’energia elettrostatica dovuta all’interazione tra le cariche indotte sulla sfera; (1.2 punti) c) l’energia elettrostatica totale del sistema dovuta all’interazione. (1.0 punti) Suggerimento: Ci sono almeno due modi diversi di risolvere il problema: (1) Puoi sfruttare il seguente integrale: . (2) Un altro modo è usare il fatto che per una famiglia di N cariche puntiformi posizionate nei punti , l’energia elettrostatica la semisomma su tutte le coppie di cariche diverse:

p.1 — Carica vicino a sfera metallica, pannelli (a) e (b)

p.2 — Carica vicino a sfera collegata a terra

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Conducting Sphere, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.1

41st International Physics Olympiad – Theoretical Examination, July 19, 2010 1/3

1. Image charge in a metallic object Introduction – Method of images

A point particle with electric charge is placed near a grounded spherical metallic surface of radius [see Fig. 1(a)]. As a result, a surface charge distribution is induced on the sphere. Calculating the electric field and electrostatic potential produced by this surface charge distribution is a highly complicated task. However, this calculation can be significantly simplified using a mathematical technique known as the method of images. In this method, the electric field and electrostatic potential produced by the charge distribution on the sphere are equivalent to those generated by a single point charge located inside the sphere (you do not need to prove this). Note: The electric field and electrostatic potential of this image charge reproduce the actual electric field and electrostatic potential only outside the sphere (including its surface).

(a) (b)

Fig 1. (a) A point charge is located near a metal sphere connected to ground electrically. (b) The electric field due to the induced charge on the sphere is equivalent to the electric field produced by an image charge.

Part 1 – The Image Charge Due to the symmetry of the system, the image charge lies on the line connecting the point charge and the center of the sphere [see Fig. 1(b)].

a) What is the value of the electrostatic potential of the sphere in the figure? (0.3 points)

b) Express and the distance of the charge from the center of the sphere, in terms of , and . (1.9 points)

c) Find the expression for the magnitude of the force acting on the charge . Is this a repulsive force? (0.5 points)

Part 2 – Shielding of an Electrostatic Field Consider a point particle with charge q located at distance d from the center of a metal sphere of radius R, connected electrically to ground. We are interested in how the presence of the grounded metal sphere modifies the electric field at point A located on the opposite side of the sphere (see Fig. 2). Point A lies along the line connecting charge q to the center of the sphere; the distance from A to point charge q is r.

a) Find the vector of the total electric field at point A. (0.6 points)

b) If the distance r is much greater than d (r ≫ d), then… ), find the approximate expression for the electric field at point A using the approximation (1+a)⁻² $\approx$ 1−2a, where . (0.6 points)

c) To what limit must d tend so that the electrically grounded metallic sphere completely shields the field generated by charge q, such that the total electric field at point A is exactly zero? (0.3 points)

Fig 2. The electric field at point A is partially shielded by the electrically grounded sphere.

Part 3 – Small Oscillations in the Electric Field Generated by the Metallic Sphere

A point mass with charge q and mass m is attached to a string of length L, the other end of which is fixed to a wall near the electrically grounded metallic sphere.

In your analysis, ignore all electrostatic effects produced by the wall. The point charge behaves like a mathematical pendulum (see Fig. 3). The point where the string is attached to the wall lies at a distance from the center of the sphere. Neglect gravitational effects.

a) Find the magnitude of the electric force acting on charge q for a given angle, and clearly indicate its direction in a diagram. (0.8 points)

b) For this force, express the component perpendicular to the string in terms of , L, R, q, and . (0.8 points)

c) Find the frequency of small oscillations of the pendulum. (1.0 point)

Fig 3. A point charge near an electrically grounded metallic sphere oscillates like a pendulum.

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Part 4 – Electrostatic Energy of the System

Given a distribution of electric charges, it is important to compute the electrostatic energy of the system. In our problem (see Fig. 1a), there is an electrostatic interaction between the external charge q and the induced charges on the surface of the sphere, as well as an electrostatic interaction among the induced charges themselves on the sphere. In terms of charge q, radius R of the sphere, and distance d, determine the following electrostatic energies:

a) the electrostatic energy due to the interaction between charge q and the induced charges on the sphere; (1.0 points)

b) the electrostatic energy due to the interaction among the induced charges on the sphere; (1.2 points)

c) the total electrostatic energy of the system due to interactions; (1.0 points)

Hint: There are at least two different ways to solve the problem:

(1) You may use the following integral: .

(2) Another approach is to use the fact that for a family of N point charges located at positions , the electrostatic energy is half the sum over all pairs of distinct charges:

p.1 — Charge near a metallic sphere, panels (a) and (b)

p.2 — Charge near a grounded sphere