OII na Teorica

Problema Teorico 3 Onde gravitazionali ed effetti della gravità sulla luce. Parte A Questa parte tratta le difficoltà di rivelare le onde gravitazionali che si generano a seguito di eventi astronimici. Si tenga conto che l’esplosione di una supernova lontana può produrre alla superficie della Terra fluttuazioni del campo gravitazionale di entità dell’ordine $10^{-19}{\text{N kg}}^{-1}$. Un modello di rivelatore di onde gravitazionali (vedi figura 3.1) consiste di due sbarre di metallo lunghe ciascuna 1 m poste ad angolo retto fra di loro. Un’estremità di ciascuna sbarra è lavorata otticamente a specchio e l’altra estremità è fissata rigidamente. La posizione di una delle due sbarre viene regolata in modo che la fotocellula riceva un minimo del segnale (vedi figura 3.1). FIGURA 3.1 Un dispositivo piezoelettrico invia alle sbarre un breve impulso con fronti molto ripidi. Di conseguenza le estremità libere delle sbarre oscillano con un’ampiezza longitudinale $\Delta x_t$, dove

$\Delta x_t=a{e}^{-\mu t}\cos (\omega t+\varphi )$

ed $a$, $\mu$, $\omega$ e $\varphi$ sono costanti. (a) Determina il valore di $\mu$ sapendo che l’ampiezza del moto si riduce del 20% in un intervallo di 50 s.

(b) Sapendo che la velocità delle onde longitudinali è $v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$, determina il più piccolo valore della pulsazione $\omega$, se le sbarre sono fatte di alluminio con densità $\rho =$ $2700{\text{kg m}}^{-3}$ e modulo di Young $E=7.1\times 10^{10}$ Pa. (c) Poiché non è possibile costruire delle sbarre esattamente della stessa lunghezza, il segnale della fotocellula presenta dei battimenti alla frequenza di 0.005 Hz. Trova la differenza di lunghezza tra le due sbarre. (d) Detta $l$ la lunghezza delle sbarre ricava un’espressione algebrica della variazione di lunghezza, $\Delta l$, dovuta a una variazione, $\Delta g$, dell’accelerazione di gravità in termini di $l$ e di altre costanti caratteristiche del materiale di cui è fatta la sbarra. Il rivelatore dà un segnale di risposta a questa variazione nella direzione di una sola delle sbarre. (e) La luce del laser in figura è monocromatica con lunghezza d’onda 656 nm. Qual è il minimo valore della lunghezza $l$ necessario per rivelare variazioni di $g$ dell’ordine di $10^{-19}{\text{N kg}}^{-1}$ se lo spostamento minimo delle frange che può essere misurato è $10^{-4}$ volte la lunghezza d’onda del laser? Parte B Questa parte tratta l’effetto del campo gravitazionale sulla propagazione della luce. (a) Un fotone emesso dalla superficie del Sole (massa $M$, raggio $R$) subisce red-shift. Assumendo che l’energia del fotone corrisponda alla massa a riposo della particella stessa e facendo uso della teoria della gravitazione di Newton mostra che la frequenza del fotone misurata a grande distanza dal Sole si riduce di un fattore $(1-GM/R{c}^2)$ rispetto a quella di emissione, ciò che si definisce red-shift. (b) Una riduzione della frequenza del fotone equivale ad un aumento del periodo, ovvero, usando il fotone come un orologio di riferimento, a una dilatazione del tempo. Inoltre si può far vedere che la dilatazione del tempo è sempre accompagnata da una contrazione dello stesso fattore delle lunghezze. Adesso cercheremo di studiare l’effetto che ciò comporta sulla propagazione della luce vicino al Sole. Cominciamo col definire con $n_r$ l’indice di rifrazione efficace in un punto a distanza $r$ dal centro del Sole. Sia esso

$n_r=\frac{c}{c_r^{\prime }},$

Dove $c$ indica la velocità della luce misurata in un sistema di riferimento lontano dall’influenza gravitazionalre del Sole ($r\to \infty$), e $c_r^{\prime }$ è la velocità della luce in un punto a distanza $r$ dal centro del Sole. Mostra che $n_r$ può essere espresso approssimativamente con:

$n_r=1+\alpha \frac{GM}{r{c}^2},$

per valori piccoli del termine $GM/r{c}^2$, dove $\alpha$ è una costante che devi determinare.

(c) Usando l’espressione precedente per $n_r$, calcola il valore in radianti della deflessione di un raggio di luce quando passa vicino al Sole. Dati: Costante di gravitazione universale, $G=6.67\times 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$. Massa del Sole, $M=1.99\times 10^{30}$ kg. Raggio del Sole, $R=6.95\times 10^8$ m. Velocità della luce, $c=3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$. Puoi aver bisogno del valore di questo integrale

${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}=\frac{2}{a^2}.$

Topic: Oscillations & Waves, Gravitation, Wave Optics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Wave Equation, Stress-Strain Analysis, Interference & Diffraction Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion, Calculus-Integration, Photon Energy Relation, Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Rod, Mirror, Star, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1

Theoretical problem 3 Gravitational waves and gravitational effects on light. Part A This part deals with the difficulties of revealing the gravitational waves that are generated as a result. The astronomical events. It should be noted that the explosion of a distant supernova can produce on the surface of the Earth fluctuations in the gravitational field of the entity of the order $10^{-19}{\text{N kg}}^{-1}$. A gravitational wave detector model (see Figure 3.1) consists of two bars of metal lengths of 1 m each, at right angles to each other. One end of each The bar is optically mirrored and the other end is rigidly fixed. La The position of one of the two bars is adjusted so that the photocell receives a The signal is minimal (see Figure 3.1). The following information is provided: A piezoelectric device sends a short pulse to the bars with very steep fronts. As a result, the free ends of the bars oscillate with a longitudinal width $\Delta x_t$, where

$\Delta x_t=a{e}^{-\mu t}\cos (\omega t+\varphi )$

and $a$, $\mu$, $\omega$ and $\varphi$ are constants. (a) Determine the value of $\mu$ knowing that the engine width decreases by 20% in a 50 s interval.

(b) Knowing that the longitudinal wave velocity is $v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$, it determines the maximum small pulse value $\omega$ if the bars are made of aluminium with a density $\rho =$ $2700{\text{kg m}}^{-3}$ e modulo di Young $E=7.1\times 10^{10}$ Pa. (c) Since it is not possible to build bars of exactly the same length, the The photocell signal is pulsed at a frequency of 0.005 Hz. Find the one the difference in length between the two bars. (d) The length of the bars given $l$ gives an algebraic expression of the variation length, $\Delta l$, due to a change, $\Delta g$, in the acceleration of gravity in terms of of $l$ and other constant characteristics of the material from which the bar is made. The detector It gives a signal to respond to this variation in the direction of only one bar. (e) The laser light in the figure is monochrome with a wavelength of 656 nm. What is it? The minimum length value $l$ required to detect variations of $g$ of the order of $10^{-19}{\text{N kg}}^{-1}$ if the minimum fringe displacement that can be measured is $10^{-4}$ times the laser wavelength? Part B This part deals with the effect of the gravitational field on the propagation of light. (a) A photon emitted from the surface of the Sun (mass $M$, radius $R$) undergoes red-shift. Assuming that the photon energy corresponds to the particle’s rest mass And using Newton’s theory of gravitation, it shows that the frequency of the The photon measured at a great distance from the Sun is reduced by a factor $(1-GM/R{c}^2)$ This is called red-shift. (b) A decrease in the frequency of the photon equals an increase in the period, That is, using the photon as a reference clock, to a dilation of the Time is running out. It is also possible to show that the time extension is always accompanied by The length factor is the same as the length factor. We shall now try to study the effect this has on the spread of the Light near the sun. Cominciamo col definire con $n_r$ l’indice di rifrazione efficace in a point $r$ from the centre of the Sun. It ‘s either it or it ‘s not .

$n_r=\frac{c}{c_r^{\prime }},$

Where $c$ indicates the speed of light measured in a remote reference system The gravitational influence of the Sun ($r\to \infty$), and $c_r^{\prime }$ is the speed of light in a point $r$ from the centre of the Sun. It shows that $n_r$ can be expressed approximately as:

$n_r=1+\alpha \frac{GM}{r{c}^2},$

for small values of the term $GM/r{c}^2$, where $\alpha$ is a constant that you have to determine.

(c) Using the previous expression for $n_r$, calculate the value in radians of the The deflection of a ray of light when it passes near the Sun. The following data: Universal gravity constant, $G=6.67\times 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$ The mass of the Sun, $M=1.99\times 10^{30}$ kg. The sun’s rays, $R=6.95\times 10^8$ m. The speed of light, $c=3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$. You may need the value of this integral

${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}=\frac{2}{a^2}.$

Topic: Oscillations & Waves, Gravitation, Wave Optics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Wave Equation, Stress-Strain Analysis, Interference & Diffraction Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion, Calculus-Integration, Photon Energy Relation, Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Rod, Mirror, Star, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1