Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014 1/3 Problema n. 3. Il più semplice modello di scarica in un gas (10 punti) Il fenomeno fisico della corrente elettrica che fluisce in un gas è chiamato scarica in un gas. Ci sono molti tipi di scariche in un gas, compresa la scarica a incandescenza in una lampada, la scarica ad arco nel processo di saldatura e il ben noto fenomeno della scarica di particelle elettriche tra nuvole e terreno che prende il nome di fulmine. Parte А. Scarica in un gas non-auto-sostenuta (4.8 punti) In questa parte del problema viene studiato il tipo di scarica in un gas che è chiamato scarica in un gas nonauto-sostenuta. Per mantenere permanentemente in funzione questo tipo di scarica, è necessario disporre di uno ionizzatore esterno il quale crea Zext coppie di ioni, ionizzati una volta, ed elettroni liberi per unità di volume e per unità di tempo. Quando uno ionizzatore esterno viene messo in funzione, il numero degli elettroni e degli ioni inizia a crescere. La crescita illimitata della densità del numero di elettroni e di ioni nel gas viene impedita dal processo di ricombinazione nel quale un elettrone libero si ricombina con uno ione per formare un atomo neutro. Il numero di eventi di ricombinazione Zrec che avviene nel gas per unità di volume e per unità di tempo è dato dalla relazione Zrec=r ne ni dove r è una costante chiamata coefficiente di ricombinazione e ne ed ni rappresentano rispettivamente la densità del numero degli elettroni e la densità del numero degli ioni. Si supponga che lo ionizzatore esterno venga messo in funzione al tempo t=0 e che la densità del numero iniziale degli elettroni liberi e degli ioni nel gas siano entrambe uguale a zero. Inoltre la densità del numero degli elettroni ne (t) dipende dal tempo t come segue: ne (t)=n0+a tanh bt, dove n0,a e b sono delle costanti e tanh x rappresenta la tangente iperbolica di x . A1 Trovare l’espressione delle grandezze n0,a,b ed esprimerle in funzione di Zext edr. (1.8 punti) Si assuma ora che ci siano disponibili due ionizzatori esterni. Quando solo il primo ionizzatore esterno viene messo in funzione, la densità del numero degli elettroni liberi nel gas raggiunge il suo valore di equilibrio di 10cm . Quando invece viene messo in funzione solo il secondo, la densità del numero degli elettroni liberi raggiunge il suo valore di equilibrio di 10cm . A2 Trovare la densità del numero degli elettroni liberi ne all’equilibrio quando entrambi gli ionizzatori esterni vengono messi in funzione contemporaneamente. (0.6 punti) Attenzione! Nella parte che segue viene assunto che lo ionizzatore esterno è mantenuto in funzione per un lungo periodo di tempo in modo tale che tutti i processi siano diventati stazionari e dunque non dipendano dal tempo. Inoltre si trascuri completamente il campo elettrico prodotto dai portatori di carica. Si assuma che il gas riempia completamente un tubo dove ci sono due piastre conduttrici parallele di area S separate una dall’altra da una distanza . Tra le piastre c’è una tensione U che crea un campo elettrico nello spazio compreso tra le due piastre. Si assuma che la densità del numero di entrambi i portatori di carica elettrica rimanga pressoché costante lungo tutto il tubo. Si assuma che, a causa del campo elettrico E, sia gli elettroni (indicati dal pedice e) sia gli ioni (indicati dal pedice i) acquisiscano una velocità v dello stesso ordine di grandezza, pari a dove è una costante chiamata mobilità della carica elettrica. A3 Esprimere la corrente elettrica Iche scorre nel tubo in funzione di U ,b, L, S,Zext ,r ed e dove quest’ultima è la carica elementare. (1.7 punti) A4 Trovare la resistività del gas per valori sufficientemente piccoli della tensione elettrica applicata
Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014 2/3 ed esprimerla in funzione di b, L,Zext ,r ed e. (0.7 punti)
Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014 3/3 Parte B. Scarica in un gas auto-sostenuta (5.2 punti) In questa parte del problema viene presa in considerazione l’accensione della scarica in un gas autosostenuta per mostrare come la corrente elettrica che scorre nel tubo diventa auto-mantenuta. Attenzione! In questa parte si assuma che lo ionizzatore esterno continui a funzionare allo stesso regime Zext e si trascuri il campo elettrico dovuto ai portatori di carica in modo tale che il campo elettrico possa essere considerato uniforme lungo il tubo; inoltre si assuma che il processo di ricombinazione possa essere completamente trascurato. Per la scarica in un gas auto-sostenuta ci sono due processi importanti che non sono stati considerati precedentemente. Il primo processo è l’emissione di un elettrone secondario e il secondo processo è la formazione di una valanga di elettroni. L’emissione di un elettrone secondario avviene quando uno ione colpisce l’elettrodo negativo, chiamato catodo, con il risultato che un elettrone viene rilasciato dal catodo e si mette in movimento verso l’elettrodo positivo, chiamato anodo. Il rapporto tra il numero degli elettroni secondari emessi ̇N e nell’unità di tempo e il numero di ioni ̇N i che colpiscono il catodo nell’unità di tempo viene chiamato coefficiente di emissione degli elettroni secondari e vale ̇N e/ ̇Ni. Invece la formazione della valanga di elettroni viene spiegata come segue. Il campo elettrico accelera gli elettroni liberi i quali di conseguenza acquisiscono sufficiente energia cinetica per poter ionizzare gli atomi del gas quando li colpiscono. Il risultato è che il numero degli elettroni liberi che si muovono verso l’anodo aumenta in modo significativo lungo il percorso. Questo processo è descritto dal coefficiente di Townsend, , il quale caratterizza l’aumento del numero degli elettroni d Ne prodotto dallo spostamento di N e elettorni che hanno percorso una distanza dl, ovvero d N e dl N e. La corrente elettrica totale I considerata in una qualsiasi sezione del tubo del gas è formata dalla corrente elettrica degli ioni I i( x ) e dalla corrente elettrica degli elettroni I e (x ) le quali, nello stato stazionario, dipendono dalla coordinata x, che è definita nella figura precedente. La corrente elettrica dovuta agli elettroni I e ( x ) varia lungo l’asse x in base alla formula I e (x )=C1e A1 x+ A2, dove A1, A2,C1 sono delle costanti. B1 Trovare le costantiA1, A2 ed esprimerle in funzione di ,e ,L,S. (2 punti) La corrente elettrica dovuta agli ioniI i(x )varia lungo l’assexin base alla formula I i(x )=C2+B1e B2 x, dove B1,B2,C2 sono delle costanti. B2 Trovare le costanti B1,B2 ed esprimerle in funzione di ,e ,L,S ,C1. (0.6 punti) B3 Scrivere la condizione che è soddisfatta da I i( x ) quando x=L. (0.3 punti) B4 Scrivere la condizione che è soddisfatta da I i(x ) e da I e (x ) quando x=0. (0.6 punti) B5 Trovare la corrente elettrica totale I ed esprimerla in funzione di ,e, L,S. Si assuma che essa si mantenga finita.(1.2 punti) Si consideri costante il coefficiente di Townsend . Quando la lunghezza del tubo diventa più grande di un certo valore critico, cioè L>Lcr, lo ionizzatore esterno può essere spento e la scarica diventa autosostenuta. B6 Trovare Lcr ed esprimerlo in funzione di ,e, L,S. (0.5 punti)
Topic: Electrostatics, Circuits, Electromagnetism Metodi: Differential Equations, Conservation Laws, Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Capacitor, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)
Theoretical competition. The Commission’s decision on the application of this Regulation The Commission shall adopt the following: 3. The simplest model of discharge into a gas (10 points) The physical phenomenon of electric current flowing into a gas is called discharge into a gas. There are many types of discharges in a gas, including incandescent discharge in a lamp, arc discharge in The welding process and the well-known phenomenon of discharge of electric particles between clouds and ground It’s called lightning. Part A. Discharge in a non-self-supporting gas (4.8 points) In this part of the problem, the type of discharge in a gas is studied and is called self-sustaining discharge in a gas. In order to maintain this type of discharge in operation permanently, it is necessary to have an external ionizer which creates Zext pairs of ions, ionized once, and free electrons per unit of volume and time units. When an external ionizer is put into operation, the number of electrons and ions begins to I’m going to grow up. The unlimited increase in the density of the number of electrons and ions in the gas is prevented by the Recombination process in which a free electron recombines with an ion to form an atom Neutral. The number of Zrec recombination events occurring in gas per unit volume and per unit volume of Time is given by the report The following is the list of the countries of the European Union: where r is a constant called the recombination coefficient and n and n are respectively the density of the number of electrons and density of the number of ions. Suppose that the external ionizer is started at time t=0 and that the density of the number The initial free electrons and ions in the gas are both equal to zero. In addition, the density of the number The electron ne (t) depends on the time t as follows: the value of the product concerned shall be the sum of the values of the product concerned. where n0,a and b are constants and tanh x is the hyperbolic tangent of x . A1 Find the expression of the quantities n0,a,b and express them as a function of Zext andr. The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 8 (1) of Regulation (EC) No 1272/2009. It is now assumed that two external ionizers are available. When only the first external ionizer comes in When the gas is put into operation, the density of the free electrons in the gas reaches its equilibrium value of 10cm . When only the second is put into operation, the density of the number of free electrons reach its equilibrium value of 10cm . A2 Find the density of the number of free electrons in equilibrium when both ionizers The external equipment is simultaneously operational. (0.6 points)
- Watch your step! The following part assumes that the external ionizer is kept in operation for a The process of conversion is therefore not dependent on the I’ve been here since the dawn of time. In addition, the electric field produced by the load carriers is completely neglected. The gas is assumed to completely fill a pipe where there are two parallel conducting plates of Area S separated from each other by a distance . Between the plates is a U voltage that creates a field electrical in the space between the two plates. It is assumed that the density of the number of both carriers The electrical load remains almost constant throughout the tube. It is assumed that, due to the electric field E, both electrons (indicated by the e-pole) and ions (indicated by footnote i) gain a speed v of the same order of magnitude, equal to where is a constant called the electrical charge mobility. A3 Express the electric current flowing through the tube as a function of U,b,L,S,Zext,r and where The latter is the elementary charge. The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of this Regulation. A4 Find the resistivity of the gas for sufficiently small values of the applied electrical voltage
Theoretical competition. The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of the Financial Regulation. And then we can express it as a function of b, L, Zext, r and e. (0.7 points)
Theoretical competition. The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of the Financial Regulation. Part B. Discharge in a self-supporting gas (5.2 points) In this part of the problem, the ignition of discharge in a self-sustaining gas is considered to show how the electric current flowing through the pipe becomes self-sustaining.
- Watch your step! In this part it is assumed that the external ionizer continues to operate at the same The electric field due to the load carriers is neglected so that the electric field is The same can be said of the pipe; it is also assumed that the recombining process can be I’m completely ignored. For discharge in a self-supporting gas there are two important processes that have not been considered I’ve been here before. The first process is the issuance of a The secondary electron and the second process is the formation of It’s an electron avalanche. The emission of an electron secondary occurs when an ion hits the electrode negative, called a cathode, with the result that an electron It is released from the cathode and moves towards the The positive electrode, called anode. The ratio of the number The secondary electrons emitted in the unit of time and the number of ions ̇N i that hit the cathode in the unit time This is called the secondary electron emission coefficient and is ̇N e/ ̇Ni. Instead, training is The electron avalanche is explained as follows. The electric field accelerates the free electrons which are As a result, they acquire enough kinetic energy to ionize the gas atoms when they are They hit. The result is that the number of free electrons moving toward the anode increases so that the significant along the way. This process is described by the Townsend coefficient, , which is the The number of electrons in the electron is increased by the movement of N and electrons that have a distance of dl, i.e. d N e dl N e. The total electric current I considered in any section of the gas pipe shall be formed by the Electric current of ions I i(x) and electric current of electrons I and (x) which, in the stationary state, The coordinates are the same as the coordinates of the two coordinates. Electricity from the Electrons I and (x) vary along the x-axis according to the formula I e (x )=C1e A1 x+ A2, where A1, A2, C1 are constants. B1 Find the constants A1, A2 and express them as a function of ,and ,L,S. (two points) The electric current due to ions will vary along the ax ax axis based on the formula I i(x )=C2+B1e B2 x, where B1, B2, C2 are constants. B2 Find the constants B1, B2 and express them as a function of ,e ,L,S,C1. (0.6 points) B3 Write the condition that is satisfied by I i(x) when x=L. (Documents and documents) B4 Write the condition that is satisfied by I i(x) and I e (x) when x=0. (0.6 points) B5 Find the total electric current I and express it as a function of ,e,L,S. It is assumed that It should be kept finished. The Townsend coefficient is constant. When the length of the tube gets bigger The external ionizer can be turned off and the discharge becomes self-sustaining. B6 Find Lcr and express it as a function of ,e, L,S. (0.5 points)
Topic: Electrostatics, Circuits, Electromagnetism Metodi: Differential Equations, Conservation Laws, Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Capacitor, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)