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Il Meteorite Maribo

Introduzione

Un meteoroide è una piccola particella (tipicamente di dimensioni minori di 1 m) proveniente da una cometa o un asteroide. Quando un meteoroide cade sul suolo viene chiamato meteorite.

La notte del 17 gennaio 2009 molte persone vicino al mar Baltico videro una traccia brillante o una palla di fuoco attribuita ad un meteoroide in caduta nell’atmosfera terrestre. In Svezia una telecamera di sorveglianza registrò un video dell’avvenimento, alcuni fotogrammi del quale sono riprodotti nella figura 1.1(a).

Da queste inquadrature e dalle descrizioni dei testimoni oculari fu possibile restringere la possibile zona di impatto e sei settimane più tardi venne individuato un meteorite di massa $0.025\text{kg}$ nelle vicinanze della città di Maribo nella Danimarca meridionale. Misure effettuate sul meteorite, ora chiamato Maribo, e sulla sua orbita nel cielo diedero interessanti risultati. La sua velocità all’ingresso nell’atmosfera risultò estremamente alta. La sua età, $4.4\times 10^9\text{anni}$, mostra che si formò poco dopo la nascita del sistema solare. Il meteorite Maribo potrebbe essere una parte della cometa Encke.

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La velocità di Maribo

La palla di fuoco si muoveva all’incirca in direzione ovest, più precisamente lungo un percorso che forma un angolo di $285°$ rispetto al nord, verso il luogo dove il meteorite fu successivamente trovato, come schematizzato in figura 1.1. Il meteorite fu individuato ad una distanza di $195\text{km}$ dalla telecamera di sorveglianza in direzione $230°$ rispetto al nord.

Dati da Fig. 1.1(b) — azimuth = posizione angolare dal nord in verso orario nel piano orizzontale; altitudine = posizione angolare sull’orizzonte:

Fotogramma	Tempo	Azimuth	Altitudine
155	$1.46\text{s}$	$215°$	$19.2°$
161	$2.28\text{s}$	$221°$	$14.7°$
Atterraggio a M	—	$230°$	$0.0°$

Domanda 1.1 (1.3 punti)

Sulla base di quanto detto sopra e usando i dati forniti in Fig. 1.1, calcola la velocità media di Maribo nell’intervallo tra i fotogrammi 155 e 161. Trascura la curvatura della Terra e la forza gravitazionale sul meteoroide.

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L’attraversamento dell’atmosfera e la fusione

La forza di attrito dell’aria sul meteoroide in moto nella parte più esterna dell’atmosfera dipende in maniera complicata dalla forma e dalla velocità del meteoroide e dalla temperatura e densità dell’atmosfera. Con ragionevole approssimazione la forza d’attrito $F$ in questa regione è data dalla formula

$F=\frac{1}{2}{C}_D{\rho }_{\text{atm}}A{v}^2,$

dove $C_D$ è una costante adimensionale, ${\rho }_{\text{atm}}$ la densità dell’atmosfera, $A$ la sezione trasversale del meteorite proiettata nella direzione della velocità, e $v$ la sua velocità.

Per analizzare il meteoroide si facciano le seguenti ipotesi semplificatrici: l’oggetto mentre entra nell’atmosfera era una sfera di massa $m_0=0.5\text{kg}$, raggio $r_0=0.04\text{m}$, temperatura $T_0=300\text{K}$ e velocità $v_0=3.0\times 10^4{\text{ms}}^{-1}$. La densità dell’atmosfera viene assunta costante (con valore pari a quello ad una altezza di 40 km sulla superficie della Terra), ${\rho }_{\text{atm}}=3.97\times 10^{-3}{\text{kgm}}^{-3}$, e il coefficiente di attrito è $C_D=1.0$.

Domanda 1.2a (0.7 punti)

Trova il valore dell’intervallo di tempo trascorso a partire dall’ingresso nell’atmosfera del meteoroide affinché la sua velocità si riduca del 10% dal valore $v_0$ fino a $0.9v_0$. Trascura la forza gravitazionale agente sul meteoroide e assumi che esso mantenga la stessa massa e forma.

Domanda 1.2b (0.3 punti)

Calcola quante volte l’energia cinetica del meteoroide all’ingresso nell’atmosfera $E_k$ è maggiore dell’energia $E_{\text{fus}}$ necessaria per fonderlo completamente (si veda la tabella dei dati numerici).

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Il riscaldamento di Maribo durante la caduta nell’atmosfera

Quando il meteoroide di pietra Maribo entrò nell’atmosfera a velocità supersonica apparve come una palla di fuoco a causa dell’aria circostante incandescente. Nondimeno, solo lo strato più esterno di Maribo era riscaldato. Assumi che Maribo sia una sfera omogenea di densità ${\rho }_m$, calore specifico $c_m$ e conducibilità termica ${\kappa }_m$ (i valori sono riportati nella tabella dei dati numerici). Inoltre, all’ingresso nell’atmosfera, aveva temperatura $T_0=300\text{K}$, mentre attraversando l’atmosfera la sua temperatura superficiale rimaneva costante $T_s=1500\text{K}$ a causa dell’attrito con l’aria, riscaldando progressivamente in questo modo il suo interno.

Dopo essere caduto per un tempo $t$ nell’atmosfera, lo strato più esterno di Maribo di spessore $d$ risulterà essere stato riscaldato ad una temperatura significativamente maggiore di $T_0$. Questo valore dello spessore può essere stimato sulla base di una analisi dimensionale come un semplice prodotto di potenze dei parametri termodinamici:

$d\propto {\kappa }_m^{\alpha }{c}_m^{\beta }{\rho }_m^{\gamma }{t}^{\delta }.$

Domanda 1.3a (0.6 punti)

Determina mediante analisi dimensionale delle unità il valore dei quattro esponenti $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\delta$.

Domanda 1.3b (0.4 punti)

Calcola lo spessore $d$ dopo un tempo di caduta $t=30\text{s}$, e determina il rapporto $d/r_0$.

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L’età di un meteorite

Le proprietà chimiche di elementi radioattivi possono essere differenti, cosicché durante la cristallizzazione dei minerali di un dato meteorite qualche minerale avrà un alto contenuto di uno specifico elemento radioattivo e altri un basso contenuto. Questa differenza può essere utilizzata per determinare l’età di un meteorite mediante datazione radiometrica dei suoi minerali radioattivi.

Come esempio specifico studiamo l’isotopo ${}_{37}^{87}\text{Rb}$ (elemento n. 37), che decade nell’isotopo stabile ${}_{38}^{87}\text{Sr}$ (elemento n. 38) con una emivita di $t_{1/2}=4.88\times 10^{10}\text{anni}$, relativamente all’isotopo stabile ${}^{86}\text{Sr}$. All’epoca della cristallizzazione il rapporto ${}^{87}\text{Sr}/{}^{86}\text{Sr}$ era lo stesso per tutti i minerali mentre il rapporto ${}^{87}\text{Rb}/{}^{86}\text{Sr}$ era differente. Con il trascorrere del tempo, la quantità di ${}^{87}\text{Rb}$ diminuisce per decadimento mentre, conseguentemente, la quantità di ${}^{87}\text{Sr}$ aumenta. Come risultato oggi il rapporto ${}^{87}\text{Sr}/{}^{86}\text{Sr}$ sarà differente. In Fig. 1.2(a), i punti sulla retta orizzontale si riferiscono al rapporto ${}^{87}\text{Rb}/{}^{86}\text{Sr}$ in differenti minerali all’istante di tempo in cui essi sono cristallizzati.

Domanda 1.4a (0.3 punti)

Scrivi lo schema di decadimento del ${}_{37}^{87}\text{Rb}$ in ${}_{38}^{87}\text{Sr}$.

Domanda 1.4b (0.7 punti)

Mostra che il grafico del rapporto ${}^{87}\text{Sr}/{}^{86}\text{Sr}$ al tempo presente riportato in funzione del rapporto ${}^{87}\text{Rb}/{}^{86}\text{Sr}$ al tempo presente per campioni di minerali differenti ma provenienti dallo stesso meteorite è una linea retta, la cosiddetta linea isocrona, con pendenza

$s(t)=e^{\lambda t}-1.$

Qui $t$ è il tempo trascorso dalla formazione dei minerali mentre $\lambda$ è la costante di decadimento inversamente proporzionale all’emivita $t_{1/2}$.

Domanda 1.4c (0.4 punti)

Determina l’età $t_0$ del meteorite utilizzando la linea isocrona di Fig. 1.2(b).

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La cometa Encke, da cui Maribo può provenire

Nella sua orbita intorno al Sole la distanza minima e massima tra la cometa Encke e il Sole sono rispettivamente $r_{\min }=0.3140\text{AU}$ e $r_{\max }=4.429\text{AU}$.

Domanda 1.5 (0.6 punti)

Calcola il periodo orbitale $T_{\text{Encke}}$ della cometa Encke.

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Conseguenze dell’impatto di un asteroide con la Terra

65 milioni di anni fa la Terra fu colpita da un enorme asteroide con densità ${\rho }_a=2500{\text{kgm}}^{-3}$, raggio $r_a=5.0\text{km}$ e velocità finale $v_a=7.4\times 10^4{\text{ms}}^{-1}$. Questo impatto provocò la sparizione di molte forme viventi sulla Terra e la formazione dell’enorme Cratere Chicxulub. Assumi che un identico asteroide colpisca oggi la Terra in un urto completamente anelastico e usa il fatto che il momento di inerzia della Terra è $0.83$ volte quello di una sfera omogenea della stessa massa e raggio. Il momento di inerzia di una sfera omogenea di massa $M$ e raggio $R$ è $\frac{2}{5}M{R}^2$. Trascura ogni cambiamento nell’orbita della Terra.

Domanda 1.6a (0.7 punti)

Supponi che l’asteroide urti il Polo Nord. Trova la massima variazione dell’orientazione angolare $\Delta \theta$ dell’asse della Terra dopo l’impatto.

Domanda 1.6b (0.7 punti)

Supponi che l’asteroide colpisca l’Equatore con un urto radiale. Trova la variazione $\Delta T$ nella durata di una rivoluzione della Terra dopo l’impatto.

Domanda 1.6c (0.7 punti)

Supponi che l’asteroide colpisca l’Equatore con un urto tangenziale nel piano equatoriale. Trova la variazione $\Delta T$ nella durata di una rivoluzione della Terra dopo l’impatto.

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Velocità massima di impatto

Considera un corpo celeste, gravitazionalmente legato al sistema solare, che urta la superficie della Terra con velocità $v_{\text{imp}}$. Inizialmente l’effetto del campo gravitazionale della Terra sul corpo può essere trascurato. Trascura l’attrito con l’atmosfera, l’effetto degli altri corpi celesti e la rotazione della Terra.

Domanda 1.7 (1.6 punti)

Calcola $v_{\text{imp}}^{\max }$, il valore massimo possibile di $v_{\text{imp}}$.

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p.2 — Fotogrammi della palla di fuoco nel cielo

p.2 — Mappa Copenaghen-Maribo con azimut

p.3 — Figura 1.2 isocrone datazione del meteorite

Topic: Newtonian Mechanics, Thermodynamics, Nuclear & Particle Physics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations, Dimensional Analysis, Radioactive Decay Law, Kepler’s Laws, Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Torque & Angular Momentum Analysis, Graph Linearization Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: Projectile, Planet, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Il Meteorite Maribo

♪ ♪ The first one ♪

A meteorite is a small particle (typically less than 1 m in size) from a comet or asteroid. When a meteorite falls to the ground, it’s called a meteorite.

On the night of January 17, 2009, many people near the Baltic Sea saw a bright trace or a fireball attributed to a meteorite falling into the Earth’s atmosphere. In Sweden, a surveillance camera recorded a video of the event, some frames of which are reproduced in Figure 1.1 (a).

From these footage and eyewitness accounts, it was possible to narrow down the possible impact area and six weeks later a meteorite of $0.025\text{kg}$ mass was detected near the town of Maribo in southern Denmark. Measurements of the meteorite, now called Maribo, and its orbit in the sky yielded interesting results. Its velocity at atmospheric entry was extremely high. La sua età, $4.4\times 10^9\text{anni}$, mostra che si formò poco dopo la nascita del sistema solare. The meteorite Maribo could be part of the comet Encke.

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♪ The speed of Maribo ♪

The fireball moved about westward, more precisely along a path that formed an angle of $285°$ relative to the north, towards the place where the meteorite was later found, as outlined in Figure 1.1. The meteorite was detected at a distance of $195\text{km}$ from the surveillance camera in the direction $230°$ with respect to the north.

Data from Fig. 1.1(b) azimuth = angular position from north to clockwise in the horizontal plane; altitude = angular position on the horizon:

♪ The time is now ♪ ♪ The time is now ♪ |---|---|---|---| | 155 | $1.46\text{s}$ | $215°$ | $19.2°$ | | 161 | $2.28\text{s}$ | $221°$ | $14.7°$ | | Atterraggio a M | — | $230°$ | $0.0°$ |

Domanda 1.1 (1.3 punti)

On the basis of the above and using the data provided in Fig. 1.1, calculates the average Maribo speed in the range between frames 155 and 161. It tracks the curvature of the Earth and the gravitational pull on the meteorite.

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♪ ♪ The crossing of the atmosphere and the fusion ♪

The frictional force of air on the moving meteorite in the outermost part of the atmosphere depends on the shape and velocity of the meteorite and the temperature and density of the atmosphere. With a reasonable approximation the friction force $F$ in this region is given by the formula

$F=\frac{1}{2}{C}_D{\rho }_{\text{atm}}A{v}^2,$

where $C_D$ is a dimensionless constant, ${\rho }_{\text{atm}}$ the atmospheric density, $A$ the transverse section of the meteorite projected in the direction of velocity, and $v$ its velocity.

The following simplifying assumptions are used to analyze the meteorite: the object as it entered the atmosphere was a sphere of mass $m_0=0.5\text{kg}$, radius $r_0=0.04\text{m}$, temperature $T_0=300\text{K}$ and velocity $v_0=3.0\times 10^4{\text{ms}}^{-1}$. The density of the atmosphere is assumed to be constant (with a value equal to that at an altitude of 40 km above the Earth’s surface), ${\rho }_{\text{atm}}=3.97\times 10^{-3}{\text{kgm}}^{-3}$, and the friction coefficient is $C_D=1.0$.

Domanda 1.2a (0.7 punti)

Find the value of the time interval from the meteorite’s entry into the atmosphere to its velocity decrease by 10% from $v_0$ to $0.9v_0$. It traces the gravitational force of the agent on the meteorite and assumes that it maintains the same mass and shape.

Domanda 1.2b (0.3 punti)

Calculates how many times the kinetic energy of the meteorite at entrance into the atmosphere $E_k$ is greater than the energy $E_{\text{fus}}$ required to completely melt it (see the numerical data table).

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Maribo’s warming up during the fall into the atmosphere

When the Maribo stone meteorite entered the atmosphere at supersonic speed it appeared as a ball of fire due to the surrounding air glowing. Nevertheless, only the outer layer of Maribo was heated. Assume that Maribo is a homogeneous sphere of density ${\rho }_m$, specific heat $c_m$ and thermal conductivity ${\kappa }_m$ (the values are given in the numerical data table). Furthermore, upon entering the atmosphere, it had a temperature of $T_0=300\text{K}$, while crossing the atmosphere its surface temperature remained constant $T_s=1500\text{K}$ due to friction with air, gradually heating its interior in this way.

After falling $t$ into the atmosphere for a time, the outermost layer of Maribo of $d$ thickness will be heated to a temperature significantly higher than $T_0$. This thickness value can be estimated on the basis of a dimensional analysis as a simple product of thermodynamic parameters’ powers:

$d\propto {\kappa }_m^{\alpha }{c}_m^{\beta }{\rho }_m^{\gamma }{t}^{\delta }.$

Domanda 1.3a (0.6 punti)

Determine the value of the four exponents $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ and $\delta$ by unit dimensional analysis.

Domanda 1.3b (0.4 punti)

Calculate the $d$ thickness after a fall time $t=30\text{s}$, and determine the $d/r_0$ ratio.

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The age of a meteorite

The chemical properties of radioactive elements can be different, so that during the crystallization of minerals of a given meteorite some minerals will have a high content of a specific radioactive element and others a low content. This difference can be used to determine the age of a meteorite by radiometric dating of its radioactive minerals.

As a specific example, we study the isotope ${}_{37}^{87}\text{Rb}$ (element n. 37), which decays into the stable isotope ${}_{38}^{87}\text{Sr}$ (element n. 38), with a half-life of $t_{1/2}=4.88\times 10^{10}\text{anni}$, with respect to the stable isotope ${}^{86}\text{Sr}$. At the time of crystallization the ${}^{87}\text{Sr}/{}^{86}\text{Sr}$ ratio was the same for all minerals while the ${}^{87}\text{Rb}/{}^{86}\text{Sr}$ ratio was different. Over time, the amount of ${}^{87}\text{Rb}$ decays by decay while the amount of ${}^{87}\text{Sr}$ increases as a result. Come risultato oggi il rapporto ${}^{87}\text{Sr}/{}^{86}\text{Sr}$ sarà differente. In Fig. 1.2 (a) points on the horizontal line refer to the ratio ${}^{87}\text{Rb}/{}^{86}\text{Sr}$ in different minerals at the time they crystallize.

Domanda 1.4a (0.3 punti)

Write the decay pattern of ${}_{37}^{87}\text{Rb}$ in ${}_{38}^{87}\text{Sr}$.

Domanda 1.4b (0.7 punti)

It shows that the ${}^{87}\text{Sr}/{}^{86}\text{Sr}$ present-time ratio graph, expressed as a function of the ${}^{87}\text{Rb}/{}^{86}\text{Sr}$ present-time ratio for samples of different minerals but from the same meteorite, is a straight line, the so-called isocron line, with slope

$s(t)=e^{\lambda t}-1.$

Here $t$ is the time elapsed from the formation of the minerals while $\lambda$ is the decay constant inversely proportional to the half-life $t_{1/2}$.

Domanda 1.4c (0.4 punti)

Determine the age of the meteorite $t_0$ using the Fig isocron line. 1.2(b).

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The comet Encke, from which Maribo may have come

In its orbit around the Sun, the minimum and maximum distances between comet Encke and the Sun are $r_{\min }=0.3140\text{AU}$ and $r_{\max }=4.429\text{AU}$ respectively.

Domanda 1.5 (0.6 punti)

Calcola il periodo orbitale $T_{\text{Encke}}$ della cometa Encke.

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# Consequences of an asteroid impact on Earth

65 milioni di anni fa la Terra fu colpita da un enorme asteroide con densità ${\rho }_a=2500{\text{kgm}}^{-3}$, raggio $r_a=5.0\text{km}$ e velocità finale $v_a=7.4\times 10^4{\text{ms}}^{-1}$. This impact resulted in the disappearance of many living forms on Earth and the formation of the enormous Chicxulub Crater. Assume that an identical asteroid hits Earth today in a completely ring-shaped impact and uses the fact that Earth’s moment of inertia is $0.83$ times that of a homogeneous sphere of the same mass and radius. The moment of inertia of a sphere of homogeneous mass $M$ and radius $R$ is $\frac{2}{5}M{R}^2$. It tracks every change in Earth’s orbit.

Domanda 1.6a (0.7 punti)

Suppose the asteroid hits the North Pole. Find the maximum change in the angular orientation $\Delta \theta$ of the Earth’s axis after impact.

Domanda 1.6b (0.7 punti)

Suppose the asteroid hits the equator with a radial impact. Find the $\Delta T$ change in the duration of an Earth revolution after impact.

Domanda 1.6c (0.7 punti)

Suppose the asteroid hits the equator with a tangential impact in the equatorial plane. Find the $\Delta T$ change in the duration of an Earth revolution after impact.

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Maximum impact speed

It considers a celestial body, gravitationally bound to the solar system, hitting the Earth’s surface at a speed of $v_{\text{imp}}$. Initially, the effect of the Earth’s gravitational field on the body can be overlooked. It traces friction with the atmosphere, the effect of other celestial bodies, and the rotation of the Earth.

Domanda 1.7 (1.6 punti)

Calculate $v_{\text{imp}}^{\max }$, the maximum possible value of $v_{\text{imp}}$.

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p.2 — Fotogrammi della palla di fuoco nel cielo

p.2 — Mappa Copenaghen-Maribo con azimut

p.3 — Figura 1.2 isocrone datazione del meteorite

Topic: Newtonian Mechanics, Thermodynamics, Nuclear & Particle Physics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations, Dimensional Analysis, Radioactive Decay Law, Kepler’s Laws, Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Torque & Angular Momentum Analysis, Graph Linearization Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: Projectile, Planet, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)