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Un generatore di vapore a plasmoni

Introduzione

In questo problema si studia un processo efficiente per produrre vapore. Esso trova riscontro anche sperimentalmente. Una soluzione acquosa di nanoparticelle d’argento di forma sferica, con solo $10^{13}$ particelle per litro, viene illuminata con un fascio di luce monocromatica focalizzata. Una frazione della luce viene assorbita dalle nanoparticelle, che si riscaldano e generano localmente, attorno a loro, del vapore senza riscaldare l’intera soluzione. Il vapore viene rilasciato dal sistema sotto forma di bollicine che possono sfuggire e venir raccolte sopra la soluzione. Non tutti i dettagli di questo processo sono noti, ma il nocciolo della spiegazione è che la luce viene assorbita per mezzo di oscillazioni collettive degli elettroni delle nanoparticelle metalliche. L’apparecchio che sfrutta questo processo è chiamato generatore di vapore a plasmoni.

La Fig. 2.1 descrive la schematizzazione del problema:

• (a) Una nanoparticella elettricamente neutra avente forma sferica di raggio $R$ con il centro nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano.
• (b) Una sfera con una densità di carica positiva omogenea $\rho$ (in colore rossiccio) contiene una regione sferica più piccola e senza carica elettrica ($\rho =0$, in colore giallino) avente raggio $r_0$ con il centro spostato di $\mathbf{d}$ rispetto all’origine del sistema di riferimento.
• (c) La sfera con densità positiva di carica $\rho$ formata dagli ioni d’argento della nanoparticella è fissata nell’origine del sistema di riferimento. Il centro della regione sferica di carica avente densità $-\rho$ (in colore blu) dovuta alla nuvola elettronica è spostata di $\mathbf{s}$, con $s\ll R$.
• (d) È stato applicato un campo elettrico esterno omogeneo ${\mathbf{E}}_0$. Per un campo ${\mathbf{E}}_0$ dipendente dal tempo, la nuvola elettronica si muove con velocità $\mathbf{v}(t)$.
• (e) Il recipiente di dimensioni $L_x\times L_y\times L_z$ che contiene la soluzione acquosa di nanoparticelle viene illuminato da luce monocromatica che si propaga lungo l’asse $x$ con pulsazione angolare $\omega$ e intensità $I$.

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Una nanoparticella d’argento singola

In questo problema si considera una nanoparticella d’argento di forma sferica e raggio $R=20\text{nm}$ con il centro posto nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane. Ogni moto, ogni forza e ogni campo sono paralleli all’asse orizzontale $x$ (avente $\hat{x}$ come versore unitario).

La nanoparticella contiene elettroni di conduzione liberi che si possono muovere ovunque nel volume della nanoparticella stessa, senza essere legati a nessun atomo d’argento in particolare. Ogni atomo di argento è uno ione positivo che ha donato uno degli elettroni liberi.

2.1 Ricava le quantità seguenti: il volume $V$ e la massa $m$ delle nanoparticelle, il numero di ioni $N$ e la densità di carica $\rho$ degli ioni d’argento nella particella, e, per gli elettroni liberi, la loro concentrazione $n$, la loro carica totale $Q$, e la loro massa totale $m_e^{\text{tot}}$.

(Punteggio: 0.7)

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Il campo elettrico nei punti di una regione priva di carica elettrica, situata all’interno di una sfera carica elettricamente

Nel resto del problema si assume che la costante dielettrica relativa di tutti i materiali sia ${\epsilon }_r=1$. All’interno di una sfera con densità di carica positiva ed omogenea $\rho$ avente raggio $R$ viene generata una piccola regione sferica senza carica elettrica avente raggio $r_0$. Per ottenere ciò si aggiunge una carica elettrica negativa di densità $-\rho$, con il centro spostato di $\mathbf{d}$ ($d\ll R$) dal centro della sfera di raggio $R$ (vedere la Fig. 2.1(b)).

2.2 Dimostra che il campo elettrico all’interno della regione neutra è omogeneo e che la sua espressione è data da $\mathbf{E}=\alpha \mathbf{d}$. Determina il fattore di proporzionalità $\alpha$.

(Punteggio: 1.2)

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La forza di richiamo che agisce sulla nuvola di carica elettronica spostata

Nel seguito si studia il moto collettivo degli elettroni liberi. A tal fine si rappresenta il sistema come una singola sfera con densità di carica omogenea e negativa $-\rho$, con il centro nella posizione $\mathbf{s}$, che si può muovere lungo l’asse $x$. Il centro della sfera positiva di carica (fatta di ioni d’argento), rispetto al quale si muove la sfera di carica negativa, è fisso nell’origine del sistema di coordinate (vedi Fig. 2.1(c)). Si assume che una forza esterna ${\mathbf{F}}_{\text{ext}}$ sposti la nuvola elettronica fino a una nuova posizione di equilibrio $\mathbf{s}=s\hat{x}$ con $s\ll R$. Tranne per due sottili porzioni di carica elettrica situate agli estremi opposti della nanoparticella, la maggior parte della nanoparticella ha carica nulla.

2.3 Esprimi in funzione di $\mathbf{s}$ e di $n$ le due quantità seguenti: la forza di richiamo ${\mathbf{F}}_{\text{ric}}$ esercitata sulla nuvola elettronica e il lavoro $W_{\text{ric}}$ fatto sulla nuvola elettronica durante lo spostamento.

(Punteggio: 1.0)

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La nanoparticella d’argento immersa in un campo elettrico esterno costante

Una nanoparticella è posta nel vuoto e ad essa è applicata una forza esterna $Q{\mathbf{E}}_0$ generata da un campo elettrostatico omogeneo ${\mathbf{E}}_0=E_0\hat{x}$, la quale sposta la nuvola elettronica di una piccola distanza $\mathbf{s}=s\hat{x}$, con $s\ll R$.

2.4 Trova lo spostamento $s$ della nuvola elettronica in funzione di $E_0$ e $n$. Determina, in funzione di $n$, $R$ e $E_0$, la quantità di carica degli elettroni $-Q^{\prime }$ che ha attraversato il piano $yz$ al centro della nanoparticella.

(Punteggio: 0.6)

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Le capacità e induttanza equivalenti di una nanoparticella d’argento

Sia nel caso di un campo ${\mathbf{E}}_0$ costante che dipendente dal tempo, si può modellizzare una nanoparticella con un circuito elettrico equivalente. La capacità equivalente si può trovare uguagliando il lavoro $W_{\text{ric}}$ fatto per separare le cariche $Q^{\prime }$ con l’energia di un condensatore carico con la carica $Q^{\prime }$. La separazione delle cariche determina un voltaggio equivalente $V_0$ ai capi della capacità equivalente.

2.5a Esprimi la capacità equivalente del sistema $C$ in funzione di ${\epsilon }_0$ ed $R$. Trova quindi il suo valore numerico.

(Punteggio: 0.7)

2.5b Con questa capacità, trova in funzione di $E_0$ e di $R$ il voltaggio equivalente $V_0$ che si deve applicare alla capacità equivalente per accumulare la carica $Q^{\prime }$.

(Punteggio: 0.4)

Per un campo ${\mathbf{E}}_0$ dipendente dal tempo, la nuvola elettronica si muove con una velocità $\mathbf{v}(t)=v(t)\hat{x}$ (vedi Fig. 2.1(d)). Essa possiede l’energia cinetica $K$ e dà origine a una corrente elettrica $I$ che fluisce attraverso il piano $yz$ fissato. L’energia della nuvola elettronica può essere attribuita all’energia di un’induttanza $L$ equivalente in cui passa la corrente $I$.

2.6a Esprimi sia $K$ che $I$ in funzione della velocità $v$.

(Punteggio: 0.7)

2.6b Esprimi l’induttanza equivalente $L$ in funzione del raggio $R$, della carica dell’elettrone $e$ e della sua massa $m_e$, della concentrazione di elettroni $n$. Calcola infine il suo valore numerico.

(Punteggio: 0.5)

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La risonanza plasmonica della nanoparticella d’argento

Dall’analisi precedente segue che il moto che si genera quando la nuvola elettronica viene spostata dalla sua posizione di equilibrio e poi viene rilasciata può essere modellizzato da un circuito $LC$ che oscilla alla frequenza di risonanza. Questo modo di vibrazione dinamica della nuvola elettronica è detto risonanza plasmonica: la nuvola elettronica oscilla alla cosiddetta frequenza angolare plasmonica ${\omega }_p$.

2.7a Trova un’espressione per la frequenza angolare plasmonica ${\omega }_p$ della nuvola di elettroni in funzione della carica dell’elettrone $e$, della sua massa $m_e$, della concentrazione di elettroni $n$, e della costante dielettrica del vuoto ${\epsilon }_0$.

(Punteggio: 0.5)

2.7b Calcola ${\omega }_p$ in rad/s e la lunghezza d’onda ${\lambda }_p$ (in nm) nel vuoto della luce che corrisponde a ${\omega }_p$.

(Punteggio: 0.4)

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La nanoparticella viene illuminata con della luce alla frequenza di plasmone

Nel resto del problema la nanoparticella è illuminata con luce monocromatica alla frequenza di plasmone ${\omega }_p$ con l’intensità incidente data da

$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2.$

Dato che la lunghezza d’onda è grande, ${\lambda }_p\gg R$, si può ritenere che la nanoparticella sia posta in un campo elettrico omogeneo che oscilla armonicamente e dato da $E_0(t)=E_0\cos ({\omega }_{p}t)$. Guidato da $E_0(t)$, il centro $s(t)$ della nuvola elettronica oscilla alla stessa frequenza con velocità $v(t)=v_0\cos ({\omega }_{p}t)$ e ampiezza costante $v_0$. Il moto oscillante degli elettroni produce assorbimento di luce. L’energia acquisita dalla particella viene in parte convertita in calore per effetto Joule all’interno della particella stessa, in parte riemessa dalla particella come luce diffusa.

Il riscaldamento per effetto Joule è dovuto a urti anelastici casuali in cui uno ione d’argento viene colpito da un elettrone libero alla volta, il quale gli cede tutta la sua energia cinetica. Essa viene convertita in vibrazione degli ioni d’argento (calore). Il tempo medio tra due collisioni consecutive è $\tau =\ell /v_F$, che, per le nanoparticelle trattate qui, è $\tau =3,0\times 10^{-14}\text{s}$.

2.8a Trova un’espressione per la potenza media sviluppata nelle nanoparticelle per effetto Joule tra due urti consecutivi $P_{\text{Joule}}$, come pure la corrente quadratica media $⟨I^2⟩$, che includano esplicitamente la media nel tempo del quadrato della velocità $⟨v^2⟩$ della nuvola di elettroni.

(Punteggio: 1.0)

2.8b Trova un’espressione per la resistenza ohmica equivalente $R_{\text{Joule}}$ in un modello in cui una nanoparticella è equivalente a un resistore che produce una potenza di riscaldamento $P_{\text{Joule}}$ dovuta alla corrente $I$ della nuvola di elettroni. Calcola il valore numerico di $R_{\text{Joule}}$.

(Punteggio: 1.0)

La luce del fascio incidente perde la potenza $P_{\text{diff}}$, mediata nel tempo, essendo diffusa dagli elettroni oscillanti della nuvola elettronica (riemissione). $P_{\text{diff}}$ dipende dall’ampiezza di oscillazione del centro diffusore $s_0$, dalla carica $Q$, dalla pulsazione angolare ${\omega }_p$ e da due proprietà della luce (la velocità della luce $c$ e la costante dielettrica del vuoto ${\epsilon }_0$). In funzione di queste variabili, $P_{\text{diff}}$ è data da:

$P_{\text{diff}}=\frac{Q^2{\omega }_p^4{s}_0^2}{12\pi c^3{\epsilon }_0}.$

2.9 A partire da $P_{\text{diff}}$, trova un’espressione della resistenza equivalente $R_{\text{diff}}$ (in analogia con $R_{\text{Joule}}$) in un modello resistore-equivalente e calcola il suo valore numerico.

(Punteggio: 1.0)

Gli elementi circuitali precedenti sono montati in serie in un circuito $LCR$ che è il modello di una nanoparticella d’argento. Tale particella esegue un moto armonico semplice per effetto del voltaggio equivalente $V_0(t)=V_0\cos ({\omega }_{p}t)$ dovuto al campo elettrico $E_0$ della luce incidente.

2.10a Ricava un’espressione per le potenze dissipate $P_{\text{Joule}}$ e $P_{\text{diff}}$ mediate nel tempo, in cui deve comparire l’ampiezza del campo elettrico $E_0$ della luce incidente alla frequenza di risonanza plasmonica ${\omega }_p$.

(Punteggio: 1.2)

2.10b Calcola il valore numerico di $v_0$, $P_{\text{Joule}}$, e $P_{\text{diff}}$.

(Punteggio: 0.3)

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Generazione del vapore dalla luce

Si prepara una soluzione acquosa di nanoparticelle d’argento alla concentrazione di $c_{\text{NP}}=10^{13}\text{particelle/litro}=10^{16}{\text{particelle/m}}^3$. Si versa la soluzione in un recipiente trasparente a forma di prisma avente le dimensioni $L_x\times L_y\times L_z=1,0\text{cm}\times 1,0\text{cm}\times 1,0\text{cm}$ e la si illumina con luce alla frequenza plasmonica con l’intensità $I=1,0\times 10^9{\text{W/m}}^2$ ad incidenza normale (vedere Fig. 2.1(e)). La temperatura dell’acqua è $T_{\text{acqua}}=100{}^{\circ }\text{C}$ e si assume, in buon accordo con le osservazioni sperimentali, che allo stato stazionario tutto il riscaldamento per effetto Joule delle nanoparticelle sia impiegato per produrre del vapore alla temperatura $T_{\text{vapore}}=100{}^{\circ }\text{C}$, senza aumentare la temperatura dell’acqua.

Si definisce l’efficienza termodinamica del generatore di vapore $\eta$ mediante il rapporto delle potenze $\eta =P_{\text{vapore}}/P_{\text{in}}$, in cui $P_{\text{vapore}}$ è la potenza spesa per la produzione del vapore nell’intero volume del recipiente, e $P_{\text{in}}$ è la potenza totale della luce che entra nel recipiente.

Per la maggior parte del tempo ogni nanoparticella è circondata da vapore invece che dall’acqua e si può trattare come se fosse nel vuoto.

2.11a Calcola la massa totale di vapore prodotta ogni secondo $\dot{m}$ dal generatore di vapore plasmonico durante l’illuminazione della luce alla frequenza plasmonica e all’intensità $I$.

(Punteggio: 0.6)

2.11b Calcola il valore numerico dell’efficienza termodinamica $\eta$ del generatore di vapore a plasmoni.

(Punteggio: 0.2)

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p.1 — Nanoparticella sferica in campo elettrico uniforme

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Equivalent Circuit Reduction, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Sphere, Electron, Bubble, Capacitor, Inductor Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A plasma steam generator

Introduzione

This problem is concerned with the efficient process of steam production. It also finds experimental evidence. A spherical aqueous solution of silver nanoparticles, with only $10^{13}$ particles per litre, is illuminated with a focused monochrome beam of light. A fraction of the light is absorbed by the nanoparticles, which heat up and generate steam locally around them without heating the entire solution. The steam is released by the system as bubbles which can escape and collect over the solution. Not all the details of this process are known, but the core of the explanation is that light is absorbed by the collective oscillations of electrons of metal nanoparticles. The device that exploits this process is called a plasma steam generator.

The Fig. 2.1 describes the schematic of the problem:

• **(a) ** An electrically neutral nanoparticle with a spherical radius shape $R$ with the centre at the origin of a Cartesian reference system.
• **(b) ** A sphere with a homogeneous positive charge density $\rho$ (red colour) contains a smaller, electrically charged spherical region ($\rho =0$, yellow colour) with a radius $r_0$ with a centre displaced of $\mathbf{d}$ compared to the origin of the reference system.
• **(c) ** The positive charge density sphere $\rho$ formed by the silver ions of the nanoparticle is fixed at the origin of the reference system. The centre of the spherical charge region with a density $-\rho$ (in blue) due to the electronic cloud is shifted by $\mathbf{s}$, with $s\ll R$.
• **(d) ** A homogeneous external electric field ${\mathbf{E}}_0$ has been applied. For a time-dependent ${\mathbf{E}}_0$ field, the electronic cloud moves at $\mathbf{v}(t)$ speed.
• **(e) ** The $L_x\times L_y\times L_z$ size container containing the aqueous nanoparticle solution is illuminated by monochrome light that propagates along the $x$ axis with angular pulse $\omega$ and intensity $I$.

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♪ A single silver nanoparticle ♪

In this problem a spherical silver nanoparticle with a radius $R=20\text{nm}$ is considered with the centre at the origin of a Cartesian coordinate system. Each motor, force and field are parallel to the horizontal axis $x$ (having $\hat{x}$ as a unit slope).

The nanoparticle contains free conducting electrons that can move anywhere in the nanoparticle’s volume, without being bound to any particular silver atom. Each atom of silver is a positive ion that has donated one of the free electrons.

2.1 It collects the following quantities: the volume $V$ and mass $m$ of the nanoparticles, the number of ions $N$ and the charge density $\rho$ of the silver ions in the particle, and, for free electrons, their concentration $n$, their total charge $Q$, and their total mass $m_e^{\text{tot}}$.

(Punteggio: 0.7)

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The electric field at points in a region free of electric charge, located within an electrically charged sphere

In the rest of the problem, the relative dielectric constant of all materials is assumed to be ${\epsilon }_r=1$. Within a sphere with a positive and homogeneous charge density $\rho$ with a radius $R$ a small spherical region without electric charge with a radius $r_0$ is generated. To achieve this, a negative electric charge of $-\rho$ density is added, with the centre of $\mathbf{d}$ ($d\ll R$) shifted from the centre of the radius sphere $R$ (see Fig. 2.1(b)).

2.2 Demonstrates that the electric field within the neutral region is homogeneous and is expressed as $\mathbf{E}=\alpha \mathbf{d}$. Determine the proportionality factor $\alpha$.

(Punteggio: 1.2)

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The force of call acting on the cloud of shifted electron charge

The following study examines the collective motion of free electrons. For this purpose, the system is represented as a single sphere with a homogeneous and negative charge density $-\rho$, with the centre in the position $\mathbf{s}$, which can be moved along the $x$ axis. The centre of the positive charge sphere (made of silver ions) with respect to which the negative charge sphere moves is fixed in the origin of the coordinate system (see Fig. 2.1(c)). It is assumed that an external force ${\mathbf{F}}_{\text{ext}}$ moves the electronic cloud to a new equilibrium position $\mathbf{s}=s\hat{x}$ with $s\ll R$. Except for two thin electric charge portions located at opposite ends of the nanoparticle, most of the nanoparticle has no charge.

2.3 Express the following two quantities as a function of $\mathbf{s}$ and $n$: the call force ${\mathbf{F}}_{\text{ric}}$ exerted on the electronic cloud and the work $W_{\text{ric}}$ done on the electronic cloud during the shift.

(Punteggio: 1.0)

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The silver nanoparticle immersed in a constant external electric field

A nanoparticle is placed in the vacuum and an external force $Q{\mathbf{E}}_0$ generated by a homogeneous electrostatic field ${\mathbf{E}}_0=E_0\hat{x}$ is applied to it, which moves the electron cloud from a small distance $\mathbf{s}=s\hat{x}$ to $s\ll R$.

2.4 Trova lo spostamento $s$ della nuvola elettronica in funzione di $E_0$ e $n$. Determine, by $n$, $R$ and $E_0$, the amount of charge of electrons $-Q^{\prime }$ that has passed through the $yz$ plane at the center of the nanoparticle.

(Punteggio: 0.6)

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The equivalent capacities and inductance of a silver nanoparticle

In the case of a constant and time-dependent ${\mathbf{E}}_0$ field, a nanoparticle can be modelled with an equivalent electrical circuit. The equivalent capacity can be found by equating the work $W_{\text{ric}}$ done to separate the loads $Q^{\prime }$ with the energy of a capacitor loaded with the load $Q^{\prime }$. The separation of the loads results in a voltage equivalent to $V_0$ for heads of equivalent capacity.

2.5a Express the equivalent system capacity $C$ in terms of ${\epsilon }_0$ and $R$. So find its numerical value.

(Punteggio: 0.7)

2.5b With this capacity, find the equivalent voltage $V_0$ for $E_0$ and $R$ which must be applied to the equivalent capacity to accumulate the charge $Q^{\prime }$.

(Punteggio: 0.4)

For a time-dependent ${\mathbf{E}}_0$ field, the electronic cloud moves at a speed $\mathbf{v}(t)=v(t)\hat{x}$ (see Fig. 2.1(d)). It has the kinetic energy $K$ and gives rise to an electric current $I$ flowing through the fixed plane $yz$. The energy of the electronic cloud can be attributed to the energy of an equivalent $L$ inductance through which the current $I$ passes.

2.6a Express both $K$ and $I$ depending on the speed $v$.

(Punteggio: 0.7)

2.6b Express the equivalent inductance $L$ in terms of the radius $R$, the electron charge $e$ and its mass $m_e$, the electron concentration $n$. Finally, calculate its numerical value.

(Punteggio: 0.5)

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The plasma resonance of the silver nanoparticle

From the previous analysis it follows that the motion generated when the electronic cloud is moved from its equilibrium position and then released can be modeled by a $LC$ circuit that oscillates at the resonance frequency. This dynamic mode of vibration of the electronic cloud is called plasmic resonance: the electronic cloud oscillates at the so-called plasmic angular frequency ${\omega }_p$.

2.7a Trova un’espressione per la frequenza angolare plasmonica ${\omega }_p$ della nuvola di elettroni in funzione della carica dell’elettrone $e$, della sua massa $m_e$, della concentrazione di elettroni $n$, e della costante dielettrica del vuoto ${\epsilon }_0$.

(Punteggio: 0.5)

2.7b Calculate ${\omega }_p$ in rad/s and the wavelength ${\lambda }_p$ (in nm) in the light vacuum corresponding to ${\omega }_p$.

(Punteggio: 0.4)

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The nanoparticle is illuminated with light at the plasma frequency

In the rest of the problem the nanoparticle is illuminated with monochrome light at plasma frequency ${\omega }_p$ with the incident intensity given by

$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2.$

Since the wavelength is large, ${\lambda }_p\gg R$, the nanoparticle can be considered to be placed in a homogeneous electric field which oscillates harmoniously and is given by $E_0(t)=E_0\cos ({\omega }_{p}t)$. Guidato da $E_0(t)$, il centro $s(t)$ della nuvola elettronica oscilla alla stessa frequenza con velocità $v(t)=v_0\cos ({\omega }_{p}t)$ e ampiezza costante $v_0$. The oscillating motion of the electrons produces absorption of light. The energy acquired by the particle is partly converted into heat by Joule effect within the particle itself, partly re-emitted by the particle as diffuse light.

Joule effect heating is due to random ring-shaped impacts in which a silver ion is hit by a free electron at a time, which gives it all its kinetic energy. It is converted into the vibration of silver ions (heat). The mean time between two consecutive collisions is $\tau =\ell /v_F$, which, for the nanoparticles treated here, is $\tau =3,0\times 10^{-14}\text{s}$.

2.8a Trova un’espressione per la potenza media sviluppata nelle nanoparticelle per effetto Joule tra due urti consecutivi $P_{\text{Joule}}$, come pure la corrente quadratica media $⟨I^2⟩$, che includano esplicitamente la media nel tempo del quadrato della velocità $⟨v^2⟩$ della nuvola di elettroni.

(Punteggio: 1.0)

2.8b Trova un’espressione per la resistenza ohmica equivalente $R_{\text{Joule}}$ in un modello in cui una nanoparticella è equivalente a un resistore che produce una potenza di riscaldamento $P_{\text{Joule}}$ dovuta alla corrente $I$ della nuvola di elettroni. Calculate the numerical value of $R_{\text{Joule}}$.

(Punteggio: 1.0)

The incident beam light loses $P_{\text{diff}}$ power, which is measured over time, being diffused by the oscillating electrons of the electronic cloud (reemission). $P_{\text{diff}}$ depends on the oscillation amplitude of the diffuser centre $s_0$, the charge $Q$, the angular pulse ${\omega }_p$ and two light properties (the speed of light $c$ and the dielectric constant of the vacuum ${\epsilon }_0$). For these variables, $P_{\text{diff}}$ is given by:

$P_{\text{diff}}=\frac{Q^2{\omega }_p^4{s}_0^2}{12\pi c^3{\epsilon }_0}.$

2.9 Starting from $P_{\text{diff}}$, find an expression of the equivalent resistance $R_{\text{diff}}$ (in analogy with $R_{\text{Joule}}$) in a resistor-equivalent model and calculate its numerical value.

(Punteggio: 1.0)

The previous circuit elements are assembled in series in a $LCR$ circuit which is the model of a silver nanoparticle. This particle performs a simple harmonic motion due to the equivalent voltage $V_0(t)=V_0\cos ({\omega }_{p}t)$ due to the electric field $E_0$ of the incident light.

2.10a It gives an expression for the time-mediated dissipation powers $P_{\text{Joule}}$ and $P_{\text{diff}}$, where the electric field width $E_0$ of the incident light at the plasmon resonance frequency ${\omega }_p$ must appear.

(Punteggio: 1.2)

2.10b Calculates the numerical value of $v_0$, $P_{\text{Joule}}$, and $P_{\text{diff}}$.

(Punteggio: 0.3)

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Steam generation from light

A aqueous solution of silver nanoparticles at $c_{\text{NP}}=10^{13}\text{particelle/litro}=10^{16}{\text{particelle/m}}^3$ concentration is prepared. Pour the solution into a transparent prism-shaped container $L_x\times L_y\times L_z=1,0\text{cm}\times 1,0\text{cm}\times 1,0\text{cm}$ and illuminate it with light at the plasma frequency with the intensity $I=1,0\times 10^9{\text{W/m}}^2$ at normal incidence (see Fig. 2.1(e)). The temperature of the water is $T_{\text{acqua}}=100{}^{\circ }\text{C}$ and it is assumed, in good agreement with the experimental observations, that at stationary state all Joule heating of the nanoparticles is used to produce steam at $T_{\text{vapore}}=100{}^{\circ }\text{C}$ temperature, without increasing the temperature of the water.

The thermodynamic efficiency of the steam generator $\eta$ is defined by the power ratio $\eta =P_{\text{vapore}}/P_{\text{in}}$, where $P_{\text{vapore}}$ is the power spent to produce steam in the entire volume of the vessel, and $P_{\text{in}}$ is the total power of the light entering the vessel.

Most of the time each nanoparticle is surrounded by steam instead of water and can be treated as if it were in a vacuum.

2.11a Calculates the total mass of steam produced every second $\dot{m}$ by the plasma steam generator during illumination of light at plasma frequency and intensity $I$.

(Punteggio: 0.6)

2.11b Calculates the numerical value of the thermodynamic efficiency $\eta$ of the plasma steam generator.

(Punteggio: 0.2)

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p.1 — Nanoparticella sferica in campo elettrico uniforme

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Equivalent Circuit Reduction, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Sphere, Electron, Bubble, Capacitor, Inductor Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)