OII 2013 '' — Version 5 IPhO2013_T3_italiano.pdf

(3.1) Utilizzando le ipotesi 1–3 e la conservazione della massa, ricava un’espressione per la componente orizzontale della velocità di scorrimento del ghiaccio $v_x(x)$ in funzione di $x$, del tasso di accumulo $a$ e dell’altezza dello strato di ghiaccio $H$.

(punteggio: 0.5)

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p.1 — Mappa Groenlandia e modello strato di ghiaccio

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Continuity Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**(3.1) ** Using the hypotheses 13 and mass conservation, it derives an expression for the horizontal component of the ice flow rate $v_x(x)$ as a function of $x$, the accumulation rate $a$ and the height of the ice sheet $H$.

The following is the list of the countries of the European Union:

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p.1 Greenland map and ice sheet model

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Continuity Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

(3.2) Utilizzando le ipotesi 1–3, stima la velocità di scorrimento $v_x$ del ghiaccio vicino alla costa ($x\approx L$), dato il tasso di accumulo $a\approx 0.5\text{m/anno}$, l’altezza dello strato $H\approx 2\text{km}$, e la distanza dal divisore alla costa $L\approx 700\text{km}$.

(punteggio: 0.3)

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Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**(3.2) ** Using the 13 hypothesis, estimate the $v_x$ flow rate of ice near the coast ($x\approx L$), given the accumulation rate $a\approx 0.5\text{m/anno}$, the height of the layer $H\approx 2\text{km}$, and the distance from the divider to the coast $L\approx 700\text{km}$.

The following is the list of the countries of the European Union:

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Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

(3.3) Utilizza la conservazione della massa per ricavare un’espressione per la velocità orizzontale di scorrimento del ghiaccio $v_x$ in funzione di $x$, $a$ e $H$.

(punteggio: 0.6)

Dall’ipotesi di non comprimibilità, cioè di densità costante del ghiaccio $\rho$, segue che la conservazione della massa implica la seguente restrizione sulle componenti della velocità di scorrimento del ghiaccio:

$\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0$

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Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**(3.3) ** uses mass storage to obtain an expression for the horizontal velocity of ice flow $v_x$ as a function of $x$, $a$ and $H$.

The following is the list of the countries of the European Union:

From the hypothesis of non-compressibility, i.e. of constant density of ice $\rho$, it follows that mass conservation implies the following restriction on the components of the ice flow rate:

$\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0$

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Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

(3.4) Scrivi un’espressione per la dipendenza da $z$ della componente verticale della velocità di scorrimento del ghiaccio $v_z(z)$.

(punteggio: 0.6)

Dall’equazione di continuità per un fluido incomprimibile:

$\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0$

e dall’ipotesi 5 (che $v_x$ sia indipendente da $z$), ricava $v_z$ in funzione di $z$, $a$ e $H$.

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Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Continuity Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**(3.4) ** Write an expression for the dependence on $z$ of the vertical component of the ice flow rate $v_z(z)$.

The following is the list of the countries of the European Union:

From the continuity equation for an incompressible fluid:

$\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0$

and from hypothesis 5 (that $v_x$ is independent of $z$), it derives $v_z$ as a function of $z$, $a$ and $H$.

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Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Continuity Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

(3.5 – 3.9) Questa sezione comprende i sottoproblemi relativi alle traiettorie di scorrimento, all’età del ghiaccio, agli indicatori climatici e all’innalzamento del livello del mare.

Traiettorie di scorrimento

Una piccola particella di ghiaccio con posizione iniziale $(x_0,H)$ sulla superficie scorrerà, al trascorrere del tempo, come parte dello strato di ghiaccio lungo una traiettoria di scorrimento $z(x)$ nel piano verticale $(x,z)$.

(3.5) Ricava un’espressione per la traiettoria di scorrimento $z(x)$.

(punteggio: 0.9)

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Indicatori dell’età e del clima nello strato dinamico di ghiaccio

Sulla base delle componenti della velocità di scorrimento e dello strato di ghiaccio, è possibile stimare l’età del ghiaccio ad una specifica profondità dalla superficie dello strato di ghiaccio.

(3.6) Scrivi un’espressione per l’età $t(z)$ del ghiaccio in funzione dell’altezza $z$ rispetto al terreno, esattamente al divisore del ghiaccio ($x=0$).

(punteggio: 1.0)

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Il carotaggio di un campione nell’interno dello strato di ghiaccio della Groenlandia penetra attraverso strati di neve del passato e il campione può essere analizzato per rivelare cambiamenti climatici del passato. Uno dei migliori indicatori è il cosiddetto ${\delta }^{18}\text{O}$, definito come

${\delta }^{18}\text{O}=\frac{{\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]}_{\text{campione}}-{\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]}_{\text{rif}}}{{\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]}_{\text{rif}}}$

dove $\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]$ indica l’abbondanza relativa dei due isotopi stabili ${}^{18}\text{O}$ e ${}^{16}\text{O}$ dell’ossigeno. Il riferimento è basato sulla composizione isotopica degli oceani attorno all’Equatore.

Osservazioni dello strato di ghiaccio della Groenlandia mostrano che ${\delta }^{18}\text{O}$ nella neve varia approssimativamente linearmente con la temperatura, Fig. 3.2(a). Assumendo che questo si sia sempre verificato, ${\delta }^{18}\text{O}$ derivato dal campione carotato alla profondità $d=H-z$ porta ad una stima della temperatura della Groenlandia all’epoca $t(z)$.

Figura 3.2: (a) Relazione osservata tra ${\delta }^{18}\text{O}$ nella neve in funzione della temperatura media annuale alla superficie. (b) Misure di ${\delta }^{18}\text{O}$ in funzione della profondità dalla superficie, presa da un nucleo di ghiaccio carotato dalla superficie fino al letto di roccia in un punto specifico lungo il divisore di ghiaccio della Groenlandia dove $H=3060\text{m}$.

Misure di ${\delta }^{18}\text{O}$ in un nucleo di ghiaccio della Groenlandia lungo 3060 m mostrano un brusco cambiamento di ${\delta }^{18}\text{O}$ ad una profondità di 1492 m, Fig. 3.2(b), segnalando la fine dell’ultima glaciazione. La glaciazione cominciò 120000 anni fa, corrispondenti ad una profondità di 3040 m, e l’attuale epoca interglaciale cominciò 11700 anni fa, in corrispondenza di una profondità di 1492 m. Assumi che questi due periodi possano essere descritti rispettivamente da due differenti tassi di accumulazione, $a_{\text{ia}}$ (età del ghiaccio, “ice age”) e $a_{\text{ig}}$ (età dell’interglaciale, “interglacial age”). Puoi assumere che $H$ rimanga costante durante questi 120000 anni.

(3.7a) Determina i tassi di accumulazione $a_{\text{ia}}$ e $a_{\text{ig}}$.

(punteggio: 0.8)

(3.7b) Utilizzando i dati in Fig. 3.2, trova la variazione di temperatura durante la transizione dall’età del ghiaccio all’interglaciazione.

(punteggio: 0.2)

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Innalzamento del livello del mare a causa dello scioglimento dello strato di ghiaccio della Groenlandia

Una fusione completa dello strato di ghiaccio della Groenlandia causerebbe un innalzamento dei livelli in tutto l’oceano. Per una stima rozza dell’innalzamento dei livelli dei mari si può considerare un innalzamento uniforme in tutto l’oceano di area costante $A_{\text{ocean}}$.

(3.8) Calcola l’innalzamento medio globale del livello dei mari $\Delta h_{\text{sea}}$ che risulterebbe dalla fusione completa dello strato di ghiaccio della Groenlandia, data la sua attuale area $A_{\text{ice}}=1.7\times 10^{12}{\text{m}}^2$, $H=2\text{km}$, ${\rho }_{\text{ghiaccio}}=917{\text{kg/m}}^3$, ${\rho }_{\text{acqua}}=1025{\text{kg/m}}^3$, e $A_{\text{ocean}}=3.62\times 10^{14}{\text{m}}^2$.

(punteggio: 0.6)

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Il massiccio strato di ghiaccio della Groenlandia esercita un’attrazione gravitazionale sui circostanti oceani. Se lo strato di ghiaccio fondesse, questo innalzamento locale verrebbe a mancare e il livello del mare si abbasserebbe vicino alla Groenlandia, un effetto che in parte bilancerebbe l’innalzamento dei mari calcolato sopra.

Per stimare la grandezza dell’attrazione gravitazionale sull’acqua, lo strato di ghiaccio della Groenlandia è ora modellizzato come un punto di massa localizzato a livello del suolo, avente una massa pari a quella dello strato di ghiaccio della Groenlandia $M_{\text{ice}}$. Copenhagen dista $d_C=3500\text{km}$ lungo la superficie della Terra dal centro della palla di ghiaccio. Possiamo considerare la Terra, senza la palla di ghiaccio, avere simmetria sferica e un oceano globale diffuso su tutta la superficie della Terra pari a $A_{\text{ocean}}=3.62\times 10^{14}{\text{m}}^2$. Tutti gli effetti legati alla rotazione della Terra possono essere trascurati.

(3.9) Con questo modello, determina la differenza $\Delta h=h_C-h_A$ tra i livelli del mare a Copenhagen ($h_C$) e in un punto diametralmente opposto alla Groenlandia ($h_A$).

(punteggio: 1.8)

p.4 — Grafici delta 18O vs temperatura e profondita

Topic: Fluid Mechanics, Gravitation, Thermodynamics Metodi: Continuity Equation, Conservation Laws, Calculus-Integration, Newton’s Law of Gravitation, Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

(3.5 – 3.9) Questa sezione comprende i sottoproblemi relativi alle traiettorie di scorrimento, all’età del ghiaccio, agli indicatori climatici e all’innalzamento del livello del mare.

Traiettorie di scorrimento

A small ice particle with an initial position $(x_0,H)$ on the surface will, over time, pass as part of the ice sheet along a trajectory of movement $z(x)$ in the vertical plane $(x,z)$.

**(3.5) ** It is an expression for the flow path $z(x)$.

(punteggio: 0.9)

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Age and climate indicators in the dynamic ice sheet

Based on the components of the flow rate and the ice sheet, it is possible to estimate the ice age at a specific depth from the ice sheet surface.

**(3.6) ** Write an expression for the age of ice $t(z)$ in terms of the height $z$ with respect to the ground, exactly at the ice divider ($x=0$).

(punteggio: 1.0)

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The cartilage of a sample inside Greenland’s ice sheet penetrates through past snow layers and the sample can be analyzed to reveal past climate changes. One of the best indicators is the so-called ${\delta }^{18}\text{O}$, defined as

${\delta }^{18}\text{O}=\frac{{\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]}_{\text{campione}}-{\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]}_{\text{rif}}}{{\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]}_{\text{rif}}}$

where $\left[{}^{18}\text{O}/{}^{16}\text{O}\right]$ indicates the relative abundance of the two stable isotopes ${}^{18}\text{O}$ and ${}^{16}\text{O}$ of oxygen. The reference is based on the isotopic composition of the oceans around the equator.

Greenland ice sheet observations show that ${\delta }^{18}\text{O}$ in snow varies approximately linearly with temperature, Fig. 3.2(a). Assuming this has always occurred, ${\delta }^{18}\text{O}$ derived from the carotene sample at depth $d=H-z$ leads to an estimate of the temperature of Greenland at the time $t(z)$.

**Figure 3.2: ** (a) Observed ratio of ${\delta }^{18}\text{O}$ in snow to mean annual surface temperature. (b) Measurements of ${\delta }^{18}\text{O}$ in terms of depth from the surface, taken from a surface-carotene ice core to the rock bed at a specific point along the Greenland ice divide where $H=3060\text{m}$.

Measurements of ${\delta }^{18}\text{O}$ in a 3060 m long Greenland ice core show a sharp change from ${\delta }^{18}\text{O}$ to a depth of 1492 m, Fig. 3.2 (b), signalling the end of the last glaciation. The glaciation began 120,000 years ago, at a depth of 3,040 m, and the present interglacial period began 11,700 years ago, at a depth of 1,492 m. Assume that these two periods can be described by two different accumulation rates, $a_{\text{ia}}$ (ice age, ‘ice age’) and $a_{\text{ig}}$ (interglacial age, ‘interglacial age’, respectively). Puoi assumere che $H$ rimanga costante durante questi 120000 anni.

**(3.7a) ** Determines the accumulation rates of $a_{\text{ia}}$ and $a_{\text{ig}}$.

(punteggio: 0.8)

**(3.7b) ** Using the data in Fig. 3.2, finds the temperature change during the transition from the ice age to interglacial.

(punteggio: 0.2)

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Rising sea level due to the melting of Greenland’s ice sheet

A complete melting of the Greenland ice sheet would cause sea levels to rise throughout the ocean. For a rough estimate of sea level rise, a uniform ocean-wide rise of constant area $A_{\text{ocean}}$ can be considered.

**(3.8) ** Calculates the average global sea level rise $\Delta h_{\text{sea}}$ that would result from the complete melting of Greenland’s ice sheet, given its current area $A_{\text{ice}}=1.7\times 10^{12}{\text{m}}^2$, $H=2\text{km}$, ${\rho }_{\text{ghiaccio}}=917{\text{kg/m}}^3$, ${\rho }_{\text{acqua}}=1025{\text{kg/m}}^3$, and $A_{\text{ocean}}=3.62\times 10^{14}{\text{m}}^2$.

(punteggio: 0.6)

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Greenland’s massive ice sheet exerts a gravitational pull on the surrounding oceans. If the ice sheet were to melt, this local rise would be missing and sea levels would drop near Greenland, an effect that would partly balance the sea rise calculated above.

To estimate the magnitude of gravitational attraction on water, the Greenland ice sheet is now modeled as a point of mass located at ground level, having a mass equal to that of the Greenland ice sheet $M_{\text{ice}}$. Copenhagen lies $d_C=3500\text{km}$ along the Earth’s surface from the centre of the ice ball. We can consider the Earth, without the ice ball, to have spherical symmetry and a global ocean spread over the entire surface of the Earth equal to $A_{\text{ocean}}=3.62\times 10^{14}{\text{m}}^2$. All the effects of the Earth’s rotation can be overlooked.

**(3.9) ** Using this model, it determines the difference $\Delta h=h_C-h_A$ between sea levels in Copenhagen ($h_C$) and at a point diametrically opposite Greenland ($h_A$).

(punteggio: 1.8)

p.4 — Grafici delta 18O vs temperatura e profondita

Topic: Fluid Mechanics, Gravitation, Thermodynamics Metodi: Continuity Equation, Conservation Laws, Calculus-Integration, Newton’s Law of Gravitation, Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)