IPhO 2016 — Teorica — Q2

Theory Italiano (Italy) Q2-1 Dinamica non-lineare nei circuiti elettrici (10 punti) Per favore, leggi le istruzioni di carattere generale nella busta a parte prima di iniziare a lavorare su questo problema. Introduzione Elementi semiconduttori non-lineari bistabili (per es. i thyristor) sono ampiamente usati in elettronica come interruttori e generatori di oscillazioni elettromagnetiche. Il principale campo di applicazione dei thyristor è nel controllo delle correnti alternate in circuiti elettronici di potenza, per esempio per la conversione di corrente alternata (AC) in corrente continua (DC) con potenze dell’ordine del megawatt. Elementi bistabili possono servire anche per modellizzare fenomeni di auto-organizzazione in fisica (la parte B del problema si riferisce a questo argomento), in biologia (v. parte C) e in altri campi della moderna scienza non lineare. Obbiettivi Studiare le instabilità e la dinamica non banale di circuiti che contengono elementi aventi una curva caratteristica $I-Vnon$ lineare. Scoprire possibili applicazioni di tali circuiti in ingegneria e nella modellizzazione di sistemi biologici. Parte A. Stati stazionari e instabilità (3 punti) La figura 1 mostra la curva caratteristica $I-V$, detta ad S, di un elemento non-lineare X. Nell’intervallo di d.d.p. tra Uh = 4.00 V (tensione di mantenimento - holding voltage) e Uth = 10.0 V (tensione di soglia

• threshold voltage) questa curva caratteristica $I-V\grave{e}$ una funzione a più valori. Per semplicità il grafico di figura 1 è stata scelto come una curva non lineare ”a tratti” (ogni ramo è costituito da un segmento di retta). In particolare il ramo più in alto appartiene ad una retta passante per l’origine. Questa approssimazione dà una buona descrizione di un thyristor reale.

Theory Italiano (Italy) Q2-2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U [V] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Uh Uth I [A] Figura 1: Curva caratteristica $I-Vdell’elemento$ non-lineare X. A.1 Usando il grafico, determina la resistenza Ron dell’elemento Xnel ramo superiore della curva caratteristica $I-V$, e Roff nel ramo inferiore, rispettivamente. Il ramo intermedio è descritto dall’equazione I= I0 $-U$ Rint . (1) Trovare il valore dei parametri I0 e Rint. 0.4pt L’elemento Xè collegato in serie (v. figura 2) con il resistore R, l’induttore Le un generatore ideale di d.d.p. E. Si dice che il circuito è in uno stato stazionario se la corrente è costante nel tempo, I(t) = const. E R L Figura 2: Circuito con l’elemento X, un resistore R, un inductore Le un generatore di d.d.p. E. A.2 Quali sono i possibili numeri di stati stazionari che il circuito di figura 2 può avere per un dato valore Edella d.d.p. del generatore e per R= 3.00 $\Omega$? Come cambia la risposta per R= 1.00 $\Omega$? 1pt

Theory Italiano (Italy) Q2-3 A.3 Sia R= 3.00 $\Omega$, L= 1.00 μH ed E= 15.0 V nel circuito mostrato in figura 2. Determina il valore della corrente Istationary e della d.d.p. Vstationary ai capi dell’elemento non-lineare X, nello stato stazionario. 0.6pt Il circuito di figura 2 è in uno stato stazionario con I(t) = Istationary. Questo stato stazionario è detto stabile se, a seguito di un piccolo spostamento (la corrente cresce o decresce), la corrente torna al valore dello stato stazionario. Se invece il sistema tende ad allontanarsi ulteriormente dallo stato stazionario, si dice che questo è instabile. A.4 Usa i valori numerici della domanda A.3 e studia la stabilità dello stato stazionario con I(t) = Istationary. E’ stabile o instabile? 1pt Parte B. Elementi bistabili non-lineari in fisica: trasmettitore radio (5 punti) Consideriamo adesso una diversa configurazione circuitale (v. figura 3). Questa volta l’elemento nonlineare Xè collegato in parallelo ad un condensatore di capacità C= 1.00 μF. Questo blocco è collegato in serie al resistore di resistenza R= 3.00 $\Omega$ e a un generatore ideale di d.d.p. costante E= 15.0 V. Viene fuori che il circuito inizia ad oscillare con l’elemento non lineare Xche salta da un ramo della curva caratteristica $I-Vad$ un altro, nel corso di un ciclo. C E R Figura 3: Circuito con l’elemento X, il condensatore C, il resistore Re il generatore di d.d.p. E. B.1 Traccia il ciclo dell’oscillazione sul grafico della curva caratteristica $I-V$, precisando il suo verso (orario o antiorario). Giustifica la tua risposta con equazioni e schizzi. 1.8pt B.2 Trova le espressioni dei tempi t1 e t2 durante i quali il sistema si trova in ciascuno dei due rami della curva caratteristica $I-Vdurante$ il periodo di un’oscillazione. Determina i loro valoci numerici. Trova il valore numerico del periodo di oscillazione Tfacendo l’ipotesi che i tempi necessari a saltare da un ramo ad un altro della curva $I-Vsiano$ trascurabili. 1.9pt B.3 Stima la potenza media Pdissipata nell’elemento non-lineare nel corso di un’oscillazione. E’ sufficiente dare l’ordine di grandezza. 0.7pt

Theory Italiano (Italy) Q2-4 Il circuito di figura 3 viene usato per costruire una trasmittente radio. Per questo scopo l’elemento Xviene connesso ad un’estremità di un’antenna lineare (un lungo filo rettilineo) di lunghezza s. L’altra estremità del filo è libera. Nell’antenna si forma un’onda elettromagnetica. La velocità dell’onda elettromagnetica lungo l’antenna è la stessa del vuoto. Il trasmettitore usa l’armonica principale del sistema che ha il periodo Tdella domanda B.2. B.4 Qual è il valore ottimale di sassumendo che esso non possa superare la lunghezza di 1 km? 0.6pt Parte C. Elementi bistabili non-lineari in biologia: il neuristor (2 punti) In questa parte del problema consideriamo un’applicazione degli elementi bistabili non-lineari per modellizzare dei processi biologici. Un neurone del cervello umano ha questa proprietà: quando viene eccitato da un segnale esterno, effettua una singola oscillazione e torna nel suo stato iniziale. Questa caratteristica è chiamata eccitabilità. A causa di questa proprietà gli impulsi si possono propagare nella rete di neuroni accoppiati che formano i sistemi nervosi. Un chip semiconduttore progettato per simulare l’eccitabilità e la propagazione di un impulso è chiamato neuristor (da neurone e transistor). Cerchiamo di modellizzare un semplice neuristor usando un circuito che include l’elemento non lineare Xche abbiamo studiato precedentemente. Per questo la d.d.p. Enel circuito di figura 3 viene diminuita al valore $E^{\prime }$ = 12.0 V. Le oscillazioni si interrompono e il sistema raggiunge uno stato stazionario. In seguito la d.d.p. viene improvvisamente riportata al valore E= 15.0 V, e dopo un intervallo di tempo τ (con τ< T) viene fissata di nuovo al valore $E^{\prime }$ (v. figura 4). Si vede che esiste un certo valore critico τcrit., e che il sistema mostra un diverso comportamento a seconda che sia τ< τcrit oppure τ> τcrit. t 11 12 13 14 15 16 E t0 t0 + $\tau$ Figura 4: d.d.p. ai capi del generatore, in funzione del tempo. C.1 Fai uno schizzo del grafico della corrente IX(t) che attraversa l’elemento nonlineare Xnel caso τ< τcrit e nel caso τ> τcrit. 1.2pt

Theory Italiano (Italy) Q2-5 C.2 Trova l’espressione e il valore numerico del tempo critico τcrit per il quale il comportamento cambia. 0.6pt C.3 Il circuito con τ= 1.00 $\times 10-6$ s rappresenta un neuristor? 0.2pt

p.2 — Curva caratteristica I-V elemento non-lineare X

p.2 — Circuito con elemento X, R, L, generatore

p.3 — Circuito con elemento X, condensatore C, resistore R

p.4 — Andamento temporale della tensione del generatore

Topic: Circuits, Oscillations & Waves, Electromagnetic Induction Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Simple Harmonic Motion Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Resistor, Inductor, Capacitor, Battery, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Theory Italiano (Italy)

Q2-1 Nonlinear Dynamics in Electrical Circuits (10 points)

Please read the general instructions provided in the separate envelope before beginning work on this problem.

Introduction Bistable nonlinear semiconductor elements (e.g., thyristors) are widely used in electronics as switches and sources of electromagnetic oscillations. The primary application field for thyristors is the control of alternating currents in power electronic circuits, for example, for converting alternating current (AC) into direct current (DC) at power levels on the order of megawatts.

Bistable elements can also be used to model self-organization phenomena in physics (part B of the problem refers to this topic), biology (see part C), and other areas of modern nonlinear science.

Objectives Investigate instabilities and nontrivial dynamics in circuits containing elements with a characteristic curve $I-Vnon$ that is linear. Discover possible applications of such circuits in engineering and in modeling biological systems.

Part A. Stationary States and Instabilities (3 points) Figure 1 shows the characteristic curve $I-V$, known as an S-shaped curve, of a nonlinear element X. In the voltage range between Uh = 4.00 V (holding voltage) and Uth = 10.0 V (threshold voltage),

• threshold voltage) this characteristic curve $I-V\grave{e}$ is a multi-valued function. For simplicity, the graph in Figure 1 has been chosen as a piecewise nonlinear “curve” (each branch consists of a straight-line segment). In particular, the uppermost branch belongs to a line passing through the origin.

This approximation provides a good description of a real thyristor.

Theory Italian (Italy) Q2-2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U [V] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Uh Uth I [A] Figure 1: Nonlinear characteristic curve $I-Vdell’elemento$ X.

A.1 Using the graph, determine the resistance Ron of element X in the upper branch of the characteristic curve $I-V$, and Roff in the lower branch, respectively. The intermediate branch is described by the equation I = I0 $-U$ Rint . (1) Find the values of the parameters I0 and Rint. 0.4 pt

Element X is connected in series (see Figure 2) with resistor R, inductor L, and an ideal voltage source E. The circuit is said to be in a steady state if the current is constant over time, I(t) = const.

E R L Figure 2: Circuit with element X, resistor R, inductor L, and voltage source E.

A.2 What are the possible numbers of steady states that the circuit in Figure 2 can have for a given value E of the voltage source and R = 3.00 $\Omega$? How does the answer change for R = 1.00 $\Omega$? 1 pt

Theory Italian (Italy) Q2-3 A.3 Let R = 3.00 $\Omega$, L = 1.00 μH, and E = 15.0 V in the circuit shown in Figure 2. Determine the value of the stationary current Istationary and the stationary voltage Vstationary across the nonlinear element X, in the steady state.

0.6pt The circuit of Figure 2 is in a steady state with I(t) = Istationary. This steady state is said to be stable if, following a small perturbation (the current increases or decreases), the current returns to the value of the steady state. If instead the system tends to move further away from the steady state, it is said to be unstable.

A.4 Use the numerical values from question A.3 and analyze the stability of the steady state with I(t) = Istationary. Is it stable or unstable?

1pt Part B. Nonlinear bistable elements in physics: radio transmitter (5 points) Now consider a different circuit configuration (see Figure 3). This time, the nonlinear element X is connected in parallel with a capacitor of capacitance C = 1.00 μF. This block is connected in series with a resistor of resistance R = 3.00 $\Omega$ and an ideal constant-voltage source E = 15.0 V.

It turns out that the circuit begins to oscillate, with the nonlinear element X switching back and forth between different branches of the characteristic curve $I-Vad$ during each cycle.

C E R Figure 3: Circuit with the element X, capacitor C, resistor R, and voltage source E.

B.1 Draw the oscillation cycle on the characteristic curve diagram $I-V$, specifying its direction (clockwise or counterclockwise). Justify your answer using equations and sketches. 1.8pt

B.2 Find the expressions for the times t₁ and t₂ during which the system resides on each of the two branches of the characteristic curve $I-Vdurante$, and determine the period of one oscillation. Determine their numerical values. Find the numerical value of the oscillation period T, assuming that the times required to jump from one branch to another on the curve $I-Vsiano$ are negligible. 1.9pt

B.3 Estimate the average power Pdissipated in the nonlinear element over one oscillation cycle. It is sufficient to provide only the order of magnitude. 0.7pt

Theory Italiano (Italy) Q2-4 The circuit shown in Figure 3 is used to build a radio transmitter. For this purpose, element X is connected to one end of a linear antenna (a long straight wire) of length s. The other end of the wire is free. An electromagnetic wave forms along the antenna. The speed of the electromagnetic wave along the antenna equals that in vacuum. The transmitter uses the fundamental harmonic of the system, whose period is T from question B.2.

B.4 What is the optimal value of s, assuming it cannot exceed 1 km? 0.6pt

Part C. Bistable nonlinear elements in biology: the neuristor (2 points) In this part of the problem we consider an application of nonlinear bistable elements to model biological processes. A neuron in the human brain exhibits this property: when excited by an external signal, it performs a single oscillation and returns to its initial state. This characteristic is called excitability. Due to this property, nerve impulses can propagate through networks of coupled neurons forming nervous systems. A semiconductor chip designed to simulate excitability and impulse propagation is called a neuristor (from neuron and transistor).

We aim to model a simple neuristor using a circuit that includes the nonlinear element X we studied previously. For this, the electromotive force E in the circuit of Figure 3 is reduced to the value $E^{\prime }$ = 12.0 V. Oscillations cease and the system reaches a steady state. Subsequently, the electromotive force is suddenly restored to E = 15.0 V, and after a time interval τ (with τ < T) it is again set to the value $E^{\prime }$ (see Figure 4).

It can be observed that there exists a certain critical value τcrit, and the system exhibits different behavior depending on whether τ < τcrit oppure τ> τcrit.

t 11 12 13 14 15 16 E t0 t0 + $\tau$ Figure 4: Voltage across the generator as a function of time.

C.1 Sketch the graph of the current IX(t) passing through the nonlinear element X in the case τ < τcrit e nel caso τ> τcrit. 1.2pt

Theory Italian (Italy) Q2-5 C.2 Find the expression and numerical value of the critical time τcrit at which the behavior changes. 0.6pt

C.3 Does the circuit with τ = 1.00 $\times 10-6$ s represent a neuristor? 0.2pt

p.2 — I-V characteristic curve of nonlinear element X

p.2 — Circuit with element X, R, L, and voltage source

p.3 — Circuit with element X, capacitor C, and resistor R

p.4 — Time evolution of the voltage source

Solution: Soluzioni (PDF)