OII 2015 2° Livello

1 – Giochi d’ombra [Punti 10] Una sorgente di luce rettangolare, di lati b e c con $b > c$ , è fissata al soffitto di una stanza di altezza $L = 3.00 m$ . Uno schermo opaco quadrato di lato $a = 10 cm$ , disposto orizzontalmente, è collocato sotto la lampada ad un’altezza h rispetto al pavimento (v. figura a sinistra). I lati della sorgente sono paralleli a quelli dello schermo. La figura a destra mostra schematicamente la forma e le dimensioni dell’ombra gettata dallo schermo sul pavimento della stanza, costituita da un’ombra vera e propria circondata da una zona di penombra; per motivi di chiarezza, i confini tra le varie zone sono stati rappresentati in maniera molto più netta di quanto appaiano nella realtà.

Determinare le dimensioni della sorgente di luce, b e c, e l’altezza h dello schermo.
Specificare l’orientazione della lampada chiarendo se il suo lato lungo (b) è parallelo all’asse x o a quello y della figura a destra.

sorgente rettangolare e ombra sul pavimento

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni

1 – Shadow games [10 points] A rectangular light source, with sides b and c where $b > c$ , is fixed to the ceiling of a room of height $L = 3.00 m$ . A square opaque screen of side $a = 10 cm$ , placed horizontally, is positioned below the lamp at a height h above the floor (see figure on the left). The sides of the source are parallel to those of the screen. The figure on the right schematically shows the shape and dimensions of the shadow cast by the screen on the floor of the room, consisting of a true shadow (umbra) surrounded by a penumbra region; for clarity, the boundaries between the various regions are drawn much sharper than they appear in reality.

Determine the dimensions of the light source, b and c, and the screen height h.
Specify the orientation of the lamp by clarifying whether its long side (b) is parallel to the x-axis or to the y-axis of the figure on the right.

rectangular source and shadow on the floor

2 – Riscaldatore elettrico [Punti 10] Un riscaldatore elettrico di acqua è formato da due cilindri coassiali metallici di lunghezza L. Il raggio del cilindro interno vale r e s è la distanza tra i due cilindri, con $s ≪ r$ . I due cilindri sono collegati ad un generatore che fornisce una bassa tensione $V_{0}$ . L’acqua scorre tra i due cilindri parallelamente al loro asse con velocità v e viene riscaldata dalla corrente elettrica che la attraversa.

Specificare, motivando, se la corrente elettrica scorre: (a) parallelamente all’asse dei cilindri; (b) attorno al cilindro interno, descrivendo circonferenze perpendicolari all’asse; (c) perpendicolarmente all’asse dei cilindri, in direzione radiale. Si indichi con $δ$ la densità dell’acqua, con $ρ$ la sua resistività e con c il suo calore specifico. Si trascurino la capacità termica dei due cilindri e il trasferimento di calore all’ambiente. Si consideri un sottile tratto d’acqua di larghezza $Δ x$ . In funzione dei parametri forniti, si calcoli:
La sua resistenza elettrica.

Topic: Circuits, Electrostatics Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni

2 – Electric heater [10 points] An electric water heater consists of two coaxial metal cylinders of length L. The radius of the inner cylinder is r and s is the distance between the two cylinders, with $s ≪ r$ . The two cylinders are connected to a generator that supplies a low voltage $V_{0}$ . The water flows between the two cylinders parallel to their axis with speed v and is heated by the electric current passing through it.

Specify, giving reasons, whether the electric current flows: (a) parallel to the axis of the cylinders; (b) around the inner cylinder, describing circles perpendicular to the axis; (c) perpendicular to the axis of the cylinders, in the radial direction. Let $δ$ denote the density of the water, $ρ$ its resistivity, and c its specific heat. Neglect the heat capacity of the two cylinders and the transfer of heat to the environment. Consider a thin section of water of width $Δ x$ . As a function of the given parameters, calculate:
Its electrical resistance.

Solution: Soluzioni

La quantità di calore che assorbe nel passaggio attraverso l’intercapedine tra i cilindri.

cilindri coassiali riscaldatore elettrico

Topic: Circuits, Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni

The amount of heat absorbed in the passage through the intercaepedine between the cylinders.

The following table shows the manufacturer’s technical specifications for the manufacturer’s products:

La variazione di temperatura $Δ T$ che subisce. 3 – Tappeto elastico [Punti 20] Valeria è una ragazzina che sta saltando sul tappeto elastico al parco giochi. Fa inizialmente alcuni semplici rimbalzi in verticale aumentando ad ogni rimbalzo l’altezza massima raggiunta. Per studiarne il moto consideriamo il suo centro di massa (CdM) C. Fissiamo un sistema di riferimento con l’origine nel punto in cui si trova C all’istante del distacco dal tappeto elastico e l’asse y verticale e orientato verso l’alto.

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: First Law of Thermodynamics, Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni

The temperature variation $Δ T$ that it undergoes. 3 – Trampoline [20 points] Valeria is a little girl jumping on the trampoline at the playground. She initially does a few simple vertical bounces, increasing the maximum height reached with each bounce. To study her motion, let us consider her center of mass (CoM) C. Let us fix a reference frame with the origin at the point where C is located at the instant of detachment from the trampoline and the y-axis vertical and oriented upward.

Solution: Soluzioni

Esprimere il tempo di volo $t_{0}$ (tra un rimbalzo e l’altro) e la velocità $v_{0}$ al momento del distacco dal tappeto in funzione dell’altezza h raggiunta, ovvero la variazione di quota del CdM. Calcolare i valori numerici di $t_{0}$ e $v_{0}$ per $h = 2 m$ . Nei suoi salti, Valeria si mantiene dritta verticalmente, e tiene le braccia tese verso l’alto. Molto grossolanamente, possiamo assimilarla ad un’asta rigida e uniforme di lunghezza $ℓ$ e massa m, come mostrato in figura (a). A un certo punto, quando giudica di aver raggiunto un’altezza massima sufficiente, Valeria vorrebbe fare una capriola (salto mortale) in aria, ma si rende conto che se resta rigida ciò non è possibile.

ragazzina su tappeto elastico con angolo

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod, Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni

Express the flight time $t_{0}$ (between one bounce and the other) and the speed $v_{0}$ at the time of detachment from the carpet The maximum height of the MQC is h. Calculate the numerical values of $t_{0}$ and $v_{0}$ for $h = 2 m$ . In her jumps, Valeria stands upright vertically, holding her arms outstretched upwards. Very coarsenely, We can assimilate it to a rigid and uniform strip of length $ℓ$ and mass m, as shown in Figure (a). At some point, when she thinks she has reached a sufficient maximum height, Valeria would like to make a Capriola (death leap) in the air, but he realizes that if he stays rigid that’s not possible.

*girl on rubber rug with corner *

Perché? Valeria allora fa in modo di ruotare (più avanti vedremo come), subito dopo un rimbalzo, attorno ad un asse orizzontale passante per il suo CdM, come mostrato in figura (b). Sia $ω_{0}$ la sua velocità angolare. Valeria si rende però presto conto che sta ruotando troppo lentamente e non riuscirà a completare la capriola. Allora si rannicchia di scatto, come mostrato in figura (c) e in questo modo riesce a ridurre il proprio momento d’inerzia I di un fattore 4. La sua velocità angolare diventa $ω_{1}$ .

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni

Why? Why? Valeria then makes sure to rotate (later we’ll see how), right after a bounce, around an axis horizontal passing through its CdM, as shown in Figure (b). Let $ω_{0}$ be its angular velocity. Valeria soon realizes, however, that she is spinning too slowly and will not be able to complete the capriola. Then it snaps, as shown in Figure (c) and thus manages to reduce its momentum The value of the input data is the value of the input data. Its angular velocity becomes $ω_{1}$ .

Trovare la relazione tra $ω_{0}$ e $ω_{1}$ . Dopo aver compiuto buona parte della rotazione, Valeria si distende di nuovo. È davvero brava, perché riesce a farlo nel momento esatto che le consente di completare la rotazione e atterrare sul tappeto in posizione verticale. Durante il suo salto, ha trascorso metà tempo in posizione rannicchiata.

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni

Find the relationship between $ω_{0}$ and $ω_{1}$ . After completing much of the rotation, Valeria rests again. She’s really good, because she can Do it at the exact moment that allows you to complete the rotation and land on the carpet in a vertical position. During his jump, he spent half the time in a rancid position.

Ricordando che il tempo di volo è $t_{0}$ , trovare la velocità angolare $ω_{0}$ in funzione dell’altezza massima h e calcolare il valore numerico di $ω_{0}$ per $h = 2 m$ . Come abbiamo detto sopra, per fare la capriola Valeria fa in modo di avere una velocità angolare già all’inizio del suo salto. Per ottenere questo, alla fine del salto precedente arriva sul tappeto con un piccolo angolo $α$ rispetto alla verticale, perché in questo modo la spinta verticale che riceve dal tappeto le imprime un momento angolare rispetto al CdM, come mostrato in figura (d). Si supponga che il modulo della velocità con cui Valeria arriva sul tappeto, e con cui ne riparte, sia in entrambi i casi $v_{0}$ , e che prima dell’urto sia $ω = 0$ . Si tratti l’urto col tappeto come istantaneo. Si ricordi che il momento d’inerzia I di un’asta rigida e uniforme rispetto ad un asse perpendicolare all’asta e passante per il suo centro vale $I = m ℓ^{2} /12$ .

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod, Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni

If the flight time is $t_{0}$ , find the angular velocity $ω_{0}$ according to the maximum height h and calculate the numerical value of $ω_{0}$ for $h = 2 m$ . As we said above, to make the capriola Valeria makes sure to have an angular velocity already at the beginning of his jump. To get this, at the end of the previous jump you get on the carpet with a small angle $α$ And the vertical push that you get from the carpet is going to be a momentary impression. angular to the CdM, as shown in Figure (d). Suppose that the speed at which Valeria arrives on the carpet and leaves is in both cases $v_{0}$ , and that before impact it is $ω = 0$ . Treat the carpet as an instantaneous. Remember that The moment of inertia I of a rigid and uniform axis relative to a perpendicular axis of the axis and passing through the axis its centre is $I = m ℓ^{2} /12$ .

Ricavare $α$ in funzione di $ℓ$ e di h. Si trascuri la piccola inclinazione $α$ che la ragazzina ha in partenza e si consideri ancora una rotazione di $36 0^{\circ}$ ; posto che sia ancora $h = 2 m$ e che sia $ℓ = 1.80 m$ , calcolare il valore numerico di $α$ . 4 – Radiazione termica [Punti 20] Il termine radiazione termica viene usato per quelle onde elettromagnetiche il cui spettro è continuo e dipende soprattutto dalla temperatura del corpo che le emette, a differenza di quel che avviene per altri tipi di onde elettromagnetiche, come le onde radio o quelle del telefono cellulare, che sono caratterizzate da frequenze discrete e ben definite, riconducibili alle caratteristiche dei dispositivi che le emettono. Una grandezza utile per caratterizzare la radiazione termica emessa da un corpo è l’intensità della radiazione(∗). Detta $Δ E$ la quantità di energia emessa da una piccola porzione della superficie del corpo di area $Δ A$ , in un piccolo intervallo di tempo $Δ t$ , l’intensità I è il rapporto $Δ E / (Δ A Δ t)$ . La sua unità di misura nel SI è quindi quella di una potenza per unità di superficie: $W m^{- 2}$ . Per caratterizzare in dettaglio i fenomeni di emissione della radiazione la grandezza più utile è l’intensità spettrale, $I_{s} (λ)$ , intesa come il rapporto tra l’intensità della radiazione compresa in un piccolo intervallo di lunghezza d’onda $Δ λ$ (centrato su un particolare valore di $λ$ ) e l’ampiezza dell’intervallo stesso: $I_{s} = Δ I /Δ λ$ ; ovviamente, $I_{s}$ è funzione della lunghezza d’onda. In generale, l’intensità spettrale della radiazione termica emessa da un corpo dipende dalle proprietà del corpo, oltre che dalla sua temperatura, tuttavia in certi casi essa ha un andamento prossimo a quello di una funzione universale, che si calcola teoricamente sulla base della sola temperatura del corpo ed è appunto indipendente dalle sue proprietà: tale funzione è chiamata spettro di corpo nero. ATTENZIONE: In un foglio a parte vengono forniti i grafici dell’intensità spettrale di corpo nero a due diverse temperature $T_{1} = 2000 K$ e $T_{2} = 1300 K$ .

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Impulse-Momentum Theorem, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni

Derive $α$ as a function of $ℓ$ and h. Neglect the small inclination $α$ that the girl has at the start and again consider a rotation of $36 0^{\circ}$ ; assuming that it is still $h = 2 m$ and that it is $ℓ = 1.80 m$ , calculate the numerical value of $α$ . 4 – Thermal radiation [20 points] The term thermal radiation is used for those electromagnetic waves whose spectrum is continuous and depends above all on the temperature of the body that emits them, unlike what happens for other types of electromagnetic waves, such as radio waves or those of cell phones, which are characterized by discrete and well-defined frequencies, traceable to the characteristics of the devices that emit them. A useful quantity for characterizing the thermal radiation emitted by a body is the intensity of the radiation(∗). Let $Δ E$ be the amount of energy emitted by a small portion of the body’s surface of area $Δ A$ , in a small time interval $Δ t$ ; the intensity I is the ratio $Δ E / (Δ A Δ t)$ . Its unit of measurement in the SI is therefore that of a power per unit area: $W m^{- 2}$ . To characterize in detail the phenomena of radiation emission, the most useful quantity is the spectral intensity, $I_{s} (λ)$ , understood as the ratio between the intensity of the radiation contained in a small wavelength interval $Δ λ$ (centered on a particular value of $λ$ ) and the width of the interval itself: $I_{s} = Δ I /Δ λ$ ; obviously, $I_{s}$ is a function of the wavelength. In general, the spectral intensity of the thermal radiation emitted by a body depends on the properties of the body, as well as on its temperature; however, in certain cases it has a trend close to that of a universal function, which is calculated theoretically on the basis of the body’s temperature alone and is indeed independent of its properties: this function is called the black-body spectrum. ATTENTION: On a separate sheet, the graphs of the black-body spectral intensity at two different temperatures $T_{1} = 2000 K$ and $T_{2} = 1300 K$ are provided.

Solution: Soluzioni

Utilizzando questi due grafici determinare il rapporto tra le intensità spettrali delle radiazioni emesse, alla lunghezza d’onda di $4 μ m$ , da due corpi alle temperature $T_{1} = 2000 K$ e $T_{2} = 1300 K$ . Una legge importante legata allo spettro di corpo nero fu derivata nel 1893 da Wilhelm Wien: egli dimostrò che, per un corpo nero, la lunghezza d’onda $λ_{m}$ alla quale corrisponde il massimo dell’intensità spettrale è legata alla temperatura T dalla relazione $λ_{m} = b T^{n}$ , dove n è un numero intero e b è una costante universale, chiamata appunto costante di Wien.

spettro corpo nero T1=2000 K

spettro corpo nero T2=1300 K

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni

Using these two graphs to determine the ratio of the spectral intensities of the radiation emitted, Wavelength of $4 μ m$ , from two bodies at temperatures $T_{1} = 2000 K$ and $T_{2} = 1300 K$ . An important law related to the black-body spectrum was derived in 1893 by Wilhelm Wien: he proved that, For a black body, the wavelength $λ_{m}$ to which the maximum spectral intensity corresponds is bound to the temperature T from the $λ_{m} = b T^{n}$ ratio, where n is an integer and b is a universal constant, called The same as the constant of Wien.

The black body spectrum T1=2000 K*

The black body spectrum T2=1300 K

Determinare i valori di b ed n utilizzando esclusivamente i due grafici forniti. Un’altra legge importante venne derivata, circa nello stesso periodo, da Joseph Stefan e, indipendentemente, da Ludwig Boltzmann: la legge afferma che l’intensità della radiazione emessa da un corpo nero, cioè l’intensità spettrale integrata su tutte le lunghezze d’onda (sommando i contributi di radiazione delle varie lunghezze d’onda), è legata alla temperatura dalla relazione $I = σ T^{m}$ , dove m è un numero intero e $σ$ è una costante universale, chiamata appunto costante di Stefan-Boltzmann.

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Approximation & Series Expansion Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni

Determine the values of b and n using only the two charts provided. Another important law was derived, about the same time, from Joseph Stefan and, independently, By Ludwig Boltzmann: the law states that the intensity of radiation emitted by a black body, i.e. the intensity of the radiation emitted by a black body, is the The total radiation input of the various wavelengths is added to the total radiation input of the various wavelengths. d wave), is bound to temperature by the $I = σ T^{m}$ ratio, where m is an integer and $σ$ is a constant The first is the universal constant, called the Stefan-Boltzmann constant.

Determinare il valore di m e dare una stima di quello di $σ$ attraverso i due grafici forniti, illustrando adeguatamente come si sono utilizzati: misure e calcoli eseguiti. L’intensità spettrale della radiazione emessa dal Sole è approssimabile alla radiazione di corpo nero con $λ_{m} = 0.48 μ m$ .

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Estimation & Approximation Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni

Determine the value of m and estimate that of $σ$ using the two graphs provided, by the appropriate use: measurements and calculations carried out. The spectral intensity of radiation emitted by the Sun is approximate to black body radiation with $λ_{m} = 0.48 μ m$ .

Stimare il tempo necessario al Sole per perdere l’1 % della sua massa a causa della radiazione termica. La massa del Sole vale $M_{⊙} = 2.0 \times 1 0^{30} kg$ ed il suo raggio è $R_{⊙} = 7.0 \times 1 0^{8} m$ . . (∗) In questo problema useremo il termine “Intensità” come riferito, in senso generico, al valore di una certa grandezza. La grandezza in questione si dovrebbe chiamare propriamente Emettenza radiante (unità nel SI: $W/m^{2}$ ), mentre si definisce Intensità radiante il flusso di energia per unità di tempo e di angolo solido in una certa direzione (unità di misura nel SI: W/sr). Analogamente per le grandezze riferite all’unità di lunghezza d’onda nella distribuzione spettrale: Emettenza spettrale radiante (che si misura quindi in $W/m^{3}$ ) ed Intensità spettrale radiante (unità: W/(m sr)).

Topic: Astrophysics, Thermodynamics Metodi: Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni

Estimate the time it takes for the Sun to lose 1 percent of its mass due to thermal radiation. The mass of the Sun is $M_{⊙} = 2.0 \times 1 0^{30} kg$ and its radius is $R_{⊙} = 7.0 \times 1 0^{8} m$ . . (∗) In this problem we will use the term Intensity as a general reference to the value of a certain magnitude. The size in question should be properly called radiant emittance (unit in SI: $W/m^{2}$ ), while it is defined as Radiant intensity the flow of energy per unit of time and solid angle in a certain direction (measurement unit in SI: W/sr). Similarly for the quantities per unit wavelength in the spectral distribution: Spectral emission Radiant (which is then measured in $W/m^{3}$ ) and Radiant Spectral Intensity (unit: W/(m sr)).

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